CC BY
33
Математика и механика. Физика
УДК 514.76
МНОГООБРАЗИЕ ПРЯМЫХ В МНОГОМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Е.Т. Ивлев, Е.Д. Глазырина
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Аналитически и геометрически изучаются поля инвариантных геометрических образов на m-семействе прямых в евклидовом пространстве En (n>2m+1), определяемых компонентами фундаментального геометрического объекта.
Ключевые слова:
Евклидово пространство, фундаментальный геометрический объект, линейное отображение.
Key words:
Euclid's Space, Fundamental Geometric Object, Linear Mapping.
Введение
Как известно [1], одной из основных проблем многообразия линейных подпространств (линейчатого многообразия) в однородном пространстве является проблема инвариантного оснащения. В евклидовом пространстве эта проблема оснащения линейчатого многообразия является тривиальной, поскольку с каждым элементом этого многообразия ассоциируется нормальное (оснащающее) линейное подпространство, ортогональное элементу линейчатого многообразия. Поэтому при рассмотрении линейчатого многообразия в евклидовом пространстве представляет интерес изучение полей инвариантных геометрических образов, определяемых компонентами внутреннего фундаментального геометрического объекта этого многообразия в смысле ГФ. Лаптева [2].
Статья посвящена изучению полей некоторых инвариантных геометрических образов на т-мер-ном многообразии От{ прямых /1" в «-мерном евклидовом пространстве Е« при «>2т+1.
Функции, встречающиеся в статье, предполагаются функциями класса С, а все рассуждения носят локальный характер.
Обозначения и терминология соответствуют принятым в [1-6].
1. Аналитический аппарат
Рассматривается «-мерное евклидово пространство Е«, отнесенное к ортонормальному реперу Я=(Л,-), (гу,£,/=1,и) с деривационными формулами и структурными уравнениями:
СА = ю‘е!, Сеі = ю/е],
Ою‘ = юк лю‘к, ОЮк = Ю люк, юк + Ю* = 0- (1)
В пространстве Еп задается т-мерное многообразие (т семейство) Отг прямых ї1п (п>2т+1), к которому присоединяется ортонормальный репер так, что точка Лєї", а вектор еп параллелен прямой I", т. е.
? = (А, еп)- (2)
В силу выбора ортонормального репера Я и с учетом (1) и (2) дифференциальные уравнения многообразия От1^Еп запишутся в виде:
«а=::, ю:= вію: =
ал:+луь - л; 4 - - л; в; 4; = л;4,
в;;Ю; - в:г4;- в: в^.-4=в^:, 4; = 0, в;п[;а] = 0, в;=8а;. (3)
Здесь и в дальнейшем используется система индексов:
а,;,;= 1,т; а,;,; = т +1,:-1; а,Ь,с = 1,:-1;
I, ],к, I = 1,:; /, g, к = т + 1,2т;
/,/, к = 2т +1,: -1. (4)
Из (3) замечаем, что величины Л: и В„аа образуют внутренний фундаментальный геометрический объект Г={Л:,В/а} многообразия Отг всмысле ГФ. Лаптева [2].
Замечание 1. В следующих разделах статьи будут рассмотрены поля некоторых инвариантных образов многообразия Отг<^Еп, определяемые компонентами геометрического объекта Г={Л:Д:}.
2. Центрирование прямых l1nеGm'cE„
2.1. Рассмотрим на прямой /1пеОт1 точку Т с радиус-вектором
Т = л + Шп. (5)
Отсюда с учетом (1)-(3) получаем йТ=Е() ап;+(4+й?) е«, где
Ё; ^) = (л: + ts: К + (л; + в; )е2. (6)
Из (5) и (6) замечаем, что (т+1)-плоскость
1т+1(0 = (T, E2,•••, Ёт , е ) (7)
является касательной (т+1)-плоскостью в точке Т к (т+1)-поверхности, описываемой точкой Т, когда прямая /" описывает многообразие От\ С другой стороны из (6) и (7) замечаем, что т-плоскость
Ь'т =_(БХ, ...,ет), (8)
где е"а=еа+Вате/, В=ОВ, является касательной т-плоскостью к сферическому изображению От, описываемому конечной точкой В вектора -п с началом в некоторой неподвижной точке ОеЕп, когда прямая /" пробегает многообразие От\ Из (2) в силу (1), (3) и (7) получаем, что (п-т-1)-плоскость
ГП-т-1 = (^, С+Р •, (9)
где -/=-/+В/а е а, В:=-В^/а=В'па, ортогональна т-плоскости Хт', причем
ГП-т-1 и?т =Г1 -1 = (в,Ц,...,е-1) 11П.
2.2. На сферическом изображении От рассмотрим некоторую кривую 2, описываемую текущей точкой В и определяемую параметрическими дифференциальными уравнениями
< = уа&, Б© = ©л©. (10)
Из (-) и (3) с учетом (10) и (8) следует, что прямая ,=(Вкасается кривой 2 в точке ВеОт. Заметим, что кривой 2 на сферическом изображении От соответствует однопараметрическое семейство (1-семейств) прямых /"многообразия От\ Поэтому в дальнейшем имея в виду какой-нибудь факт вдоль 1-семейства (/Дсбт'мы будем говорить о нем вдоль направления ,=(В ,-а) у;еЬт1.
2.3. Определение 2.1. Точка Те/"еОт1 называется основной точкой прямой /1п относительно т-плоскости Ьт\ если существует такое направление (основное) уеЬт\ вдоль которого эта точка Т описывает линию (Т), с касательной, параллельной т-плоскости Хт'.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 2.1. На прямой /"еО^ в общем случае существует не более т основных точек и соответствующих им основных направлений относительно т-плоскости Хт'.
Доказательство. Из (5)-(8) с учетом (9) и (10) следует, что точка Те/" будет основной точкой
вдоль направления уеЬт в смысле определения 2.1 тогда и только тогда, когда / и ,а удовлетворяют с учетом (3) уравнениям:
[(л: - в: л;) +1(§: - в: в; )У = о. (11)
Эта система имеет нетривиальные решения относительно ,а тогда и только тогда, когда / будет корнем алгебраического уравнения степени т:
&*[(л; - в: л;) +1(з; - в;в;)] = о. (12)
Отсюда замечаем, что в общем случае на прямой /1п существует не более т основных точек
Т%= л + t% е , (13)
где 4 - корни уравнения (12). Каждой основной точке Та отвечает основное направление уаеЬт\ определяемое с учетом (12) из системы (11). Теорема 2.1 доказана.
Определение 2.2. Центральной точкой или центром прямой /"еОт1 называется гармонический полюс основных точек Т: относительно несобственной точки прямой /"в смысле [3].
Из (12) и (13) в соответствии с [3] следует, что точка Се/", являющаяся центром прямой в соответствии с определением 2.2, имеет радиус вектор
_ _ л;-вал; с = л —;^ е.
(14)
т+в; в;
Здесь с учетом (9) имеют место соотношения в:в:nа + т = (в^1)2 + (в^2)2 +... + (в-1)2 + т Ф 0.
3. Однопараметрическое семейство конусов
3.1. Для упрощения аналитических выкладок и геометрических рассуждений с учетом (9) проводится следующая канонизация ортонормального репера Я:
в:а= 0 ^ вп; = о ^ в; = 0; л; = 0.
ШХ 1-11-1 п IX
(15)
Из дифференциальных уравнений (3) с учетом (1) и (15) получаются следующие дифференциальные уравнения:
п
т
ал;- лп;4;=
ал; + л; 4 - л; 4 - л;.: = л 4,
л/ял = 0, л; = 0, л; = л. . (16)
1;сс] а[аy] аа ;;
Здесь явный вид коэффициентов Л/щ и Л"; несущественный.
В соответствии с [4] канонизация ортонормаль-ного репера Я на многообразии От1 типа (15) существует на любом многообразии Отг^Еп при «>2т+1.
Из (8) и (14) заключаем, что канонизация репера Я, осуществленная по формулам (15), геометрически характеризуется тем, что точка А является центром прямой /"еОт\ а т-плоскость
Ь1т = (в, е1, ег, ..., ёт ) (17)
касается сферического изображения От в точке В. Поэтому т-плоскость
I = (л, ёр ёт ) (18)
проходит через точку А параллельно т-плоскости
Т 1
т
3.2. Из соотношений (6) с учетом (15), (16), (18), (1)—(3) и (5)-(7) получаем дифференциальные уравнения
ал = л; , аеп = тапеа, (19)
(г=1,п; а=1,т), а также следующие линейные под-
пространства
Ьп-1 = (л, ё1, ё2, ■ • ■, еп-1) 111 ;
Гп -т-1 = (A, em + 1,■■■, ё -1) 1 Ьт , Гп -т -1 С 1 - й
Рп-т = (л, ёт + 1,., ёп _1, еп ) =Гп _т _ 1 и Г, . (20)
Из (18) и (20) замечаем, что (п-1)-плоскость Ьп—1 является оснащающей (п-1)-плоскостью для многообразия От\ а (п-т)-плоскость Рп_т является оснащающей плоскостью для т-семейства т-пло-скостей Тт1.
3.3. Из (17)—(20) следует, что каждой прямой /1"еОт1 отвечает линейное отображение:
П = {л; }: Ь\ ^ Ьт . (21)
Геометрически это отображение каждой прямой ,=(В ,—а),аеЬт сопоставляет прямую х=(Л,—;)Л;уаеЬт — пересечение т-плоскости Тт с линейным подпространством, проходящим через (п-т)-пло-скость Рп-т и касательную к линии (Л)„, описываемой точкой А в направлении уеЬт\ Будем предполагать, что линейное отображение П является невырожденным, т. е.
ёе![л; ] ф 0. (22)
В этом случае введем в рассмотрение величины В; по формулам:
в;л; = л;в; = 3;. (23)
а ; а ; а
Из (3) с учетом (15), (16) и (23) следует, что величины В; удовлетворяют дифференциальным уравнениям:
ав; + в4; - в;4 = в; 4.
а а ; ; а а; ;
Здесь явный вид величин В; несущественный. Из (21)—(23) замечаем, что прямой /" еОт1отвечает обратное линейное отображение
П-1 = {в,;}: Ьт ^ Ьт. (24)
Заметим с учетом (21), что с линейным отображением П ассоциируется линейный оператор
П={Л;}, действующий в линейном подпространстве Тт. Геометрически это-т —линейный оператор каждому направлению _х=(Л,—:)Л:vаеLm сопоставляет направление ПУ=(Л —^Л^еЬ^ Здесь
У = {Р-т и X} П Ьт = (Ё, ё;)х;е Ьт .
3.4. Имеют место следующие теоремы.
Теорем- 3_ Каждой точке Те/"еб^срадиус-вектором Т=Л+—п отвечает в общем случае (т—1)-мерный конус Кт2—1(/)сЬт1 второго порядка с вершиной в точке ВеОт. Этот конус представляет собой совокупность всех направлений ,=(В,—а)уаеЬт\ вдоль которых касательные к линиям (Л)„ и (В)„, описываемым точками А и В, ортогональны.
Теорема 3.2. Основным точкам Те/" в смысле определения 2.1 отвечают вырожденные конусы 22_1(1)сЬт1 с прямолинейными вершинами, проходящими через точку В параллельно собственным векторам линейного оператора П.
Теорема 3.3. Центральной точке Ле/1пеОт1 всмы-сле определения 2.2 отвечает в общем случае невырожденный конус 0т-1=0т~1(Л)сЬт1, определяемый линейным отображением П. Несобственной точке прямой /"еОтхотвечает конус От—1=Ш—1(да), порожденный абсолютом евклидова пространства Еп.
Доказательство этих теорем вытекает из соотношений (11)—(14) с учетом (15)—(21) и (22)—(24), в силу чего указанные в этих теоремах конусы в т-плоскости Ьт определяются соответствующими уравнениями:
от-1^)о{лЛ; + tsa;} ^= 0;
02-1(0 о{л^;; + ,3;а = 0; от-1« лаз;; ^= 0;
от-1 о (V1)2 + (V2)2 + - + (Ут)2 = 0, (25)
где — корни уравнения det[Л:+t3:]=0.
Замечание 3.1. Из (21), (24) и (25) следует, что прообразы конусов при линейном отображении П={Л;} являются конусы в Ьт с вершиной в центральной точке А, определяющиеся соответствующими уравнениями:
02-1(0 сЬт о ^13;;+tвав;зrJх;х; = 0, х; = 0, хп = 0;
О^Ю с Ьт О {в; 3;;) + ^^3^} х% х13 = 0, х; = 0, хп = 0; от-1 с Ьт О в;а3тхах; = 0, = 0, хп = 0;
002т_1 с ьт о в;в;зга хах; = 0, х: = 0, хп = 0.
_ Здесь вершинами соответствующих конусов 2т^,) являются прямые, проходящие через центр А и параллельные собственным векторам линейного оператора П.
4. Поле т-плоскостей Гт
4.1. Случай п=2т+1. В этом случае из (20) получаем для каждой прямой /1пеОт1 т-плоскость
Гт = (2, ёт +Р •, ё2т ). (26)
4.2. Общий случай п>2т+1. Из (1), (3) и (16) замечание, что
ал = (л;еа + л/'е; + л;еп4а+1.
Отсюда следует, что каждой прямой /1пеОт1 отвечает касательная т-плоскость Гт' (п>2т+1) к т-по-верхности (А)т, описываемой точкой А вдоль многообразия От\ которая параллельна линейно независимым векторам:
е' = л;е„ + лае~ + л'е.
а а ; а а а п
Здесь предполагается, что в каждом элементе многообразия От1
КапёК ] = т. (27)
Проведем такую канонизацию ортонормально-го репера Я, при которой с учетом (4) и в соответствии с (22) выполняются соотношения
л%= 0,с1е1[л// ] Ф 0. (28)
Соотношения (28) с учетом (1), (4), (16) и (27) приводят к дифференциальным уравнениям:
а/ = 0, mf = Bffaman, dBfa+ fog - Bg/g - Bf/f =
= Bfafi/I3’ B/[a/J] = 0-
(29)
Здесь в силу (1) выполняются дифференциальные уравнения:
4/ = -4 ^4 = л/ ^ л/а = -л/ . (30)
/ / / /а / а /а
Из дифференциальных уравнений (29) и (30) следует, что канонизация репера Я, осуществленная по формулам (28), существует в соответствии с [3]. Из (20) с учетом (26) и (27) вытекает следующая геометрическая интерпретация канонизации типа (28) в случае п>2т+1:
Гт = (2, ет +1, ..., е2т ) = {Гт и # П Гп - _ 1. (31)
Линейные подпространства (18) и (31) приводят с учетом (1) к линейным подпространствам:
Г2 т = (л, е1, ••', е2т ) = Ьт и Гт ,
2m + Р * * *5
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Московского математического общества. -М., 1953. - Т. 2. - С. 275-382.
2. Базылев В.Т К геометрии плоских многомерных сетей // Вопросы дифференциальной и неевклидовой геометрии. Ученые записки Московского государственного педагогического института. - М., 1965. - С. 29-37.
3. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RNR). - 1962. -№ 2. - Р. 231-240.
4. Евтушик Л.Е., Лушисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1979. — С.7—246.
5. Фиников С.П. Методы внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. — М.: ГИТТП, 1948. — 432 с.
6. Ивлев Е.Т., Молдованова Е.А. О дифференцируемых отображениях аффинных пространств в многообразия т-плоскостей в многомерном евклидовом пространстве // Известия вузов. Математика. — 2009. — № 11. — С. 24—42.
Поступила 01.03.2011 г.
