Отображения Коши-Римана двумерных площадок касательного и нормального расслоений поверхности в евклидовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

ОТОБРАЖЕНИЯ КОШИ-РИМАНА ДВУМЕРНЫХ ПЛОЩАДОК КАСАТЕЛЬНОГО И НОРМАЛЬНОГО РАССЛОЕНИЙ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Е.Т. Ивлев, А.А. Лучинин, Е.А. Молдованова

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Изучаются двумерные площадки касательной и нормальной плоскости m-поверхности SmeEnи отображения этих площадок, отвечающие каждому направлению в касательной плоскости.

Ключевые слова:

Многомерные евклидовы пространства, многомерные поверхности, отображения.

Key words:

Multidimensional Euclidean spaces, multidimensional surfaces, mapping.

Введение

Как известно [1], одной из проблем дифференциальной геометрии многомерной поверхности является проблема инвариантного оснащения. Для т-мерной поверхности (т-поверхности) 8т в п-мер-ном евклидовом пространстве Е„ эта проблема становится тривиальной, поскольку с каждой текущей точкой т-поверхности 8т в Еп ассоциируется оснащающая (нормальная) (и-т)-плоскость Рп_т, ортогональная касательной т-плоскости Ьт к 8т в ее текущей точке. Поэтому при изучении т-поверхно-сти 8т<^Еп представляет интерес детальное изучение полей инвариантных геометрических образов, определяемых компонентами внутреннего фундаментального геометрического объекта т-поверхно-сти 8т<^Е„ в смысле ГФ. Лаптева [2].

Данная работа посвящена рассмотрению т-по-верхности $тсЕ„. Раздел 1 работы посвящен аналитическому аппарату, в котором указываются основные дифференциальные уравнения т-поверхности ^<$т<^Еп и объясняется задача, которая решается в данной работе. В разделе 2 изучаются двумерные площадки Х21сХт и Р21сРп-т и отображения которые отвечают каждому фиксированному направлению 1еЬт и определяются двумя соответствующими функциями двух аргументов. Доказывается существование конечного числа двумерных площадок Ь-1 таких, что функции, определяющие отображение Л (отображение Коши-Римана), удовлетворяют условиям Коши-Римана ([3. С. 188-189]).

Все рассмотрения в данной статье носят локальный характер, а функции, встречающиеся в статье, предполагаются функциями класса С". Обозначения и терминология соответствует принятым в [1-7].

1. Аналитический аппарат

Рассматривается п-мерное евклидово пространство Еп, отнесенное к подвижному ортонор-мальному реперу Я={Л ,-} с деривационными формулами и структурными уравнениями

ОА = ю'ё, Сё = ю/ё/,

П&' = юк Аю‘к, Пюк = ю, А юк, (1)

где 1-формы ю1 удовлетворяют соотношениям

ю/ +ю/ = 0, (2)

вытекающим из ортонормальности репера Я.

Здесь и в дальнейшем индексы будут принимать следующие значения

I,/,к = 1, и; а, в, у,а = 1, т; а, Ъ, с = т +1, и; а1; в1, у1 = 1,2; а1, Ър с1 = т +1, т + 2; а1,Ъъ1,С1 = т + 3, и; ш, в1, У1 = 3, т; а2,в2,У2 = 3,4; а2,в2,72 = 5, т; ар,вр = 2р-1,2р ар,/Зр = 2р +1,т.

В пространстве Еп рассматривается т-мерная поверхность 8т и к ней присоединяется ортонор-мальный репер Я так, что точка Л - текущая точка этой поверхности, а т-мерная плоскость

Кт = (А ер- ёт ) (3)

касается ее в точке Л. Здесь и в дальнейшем символом Г?=(Х,-1,_,-?) обозначается плоскость пространства Еп, проходящая через точку X с радиус-вектором X и параллельная линейно независимым векторам XI,...,-, пространства Еп. В силу выбора ортонормального репера Я дифференциальные уравнения т-поверхности 8т в Еп запишутся в виде

°а = 0,0 = Ааав°в,

<Кв + АЪв &1 - А ю1 - 4г о>1 = АавуЮ7,

Ааав ] = 0, Аавг ] = 0- (4)

Заметим, что в дифференциальных уравнениях (4) величины Лвв являются компонентами фундаментального геометрического объекта Г={Л“в} т-поверхности 8т в смысле Г.Ф. Лаптева [2].

Замечание 1.1. В данной статье предполагается, что т и п удовлетворяют неравенствам

т(т +1)

1 < т < и -1; и < т +---^----= т1. (5)

Замечание 1.2. Из (2) и (3) следует, что с каждой точкой Л&8т<^Еп ассоциируется оснащающая (нормальная) т-плоскость

Ри-т (^ ёm+1, """, ёи ), (6)

ортогональная Ьт.

Замечание 1.3. Из (3) с учетом (2) вытекают соотношения

Юа =-Юа = А^о/^ А£в=- Ав , Аав= Ава - (7)

Замечание 1.4. В данной статье изучаются поля инвариантных геометрических образов т-поверх-ности 8т<^Еп, определяемых компонентами геометрического объекта Г, а также некоторые частные классы т-поверхностей 5т, когда эти геометрические образы имеют специальный вид.

Замечание 1.5. Кривую £(/), описываемую точкой Л&8т<^Е„, в дальнейшем будем задавать дифференциальными уравнениями

ю а= га в. (8)

Здесь в - параметрическая 1-форма, удовлетворяющая структурному уравнению Бв=вАвъ а величины / а с учетом (1) удовлетворяют дифференциальным уравнениям

8га +жа/ = в1га пв =юв (8)Д = в1(8),

где 8 - символ дифференцирования по вторичным параметрам [2]. Прямую

г = (А, ёа Уа С Ьт (9)

касательную к кривой (8) в точке Л&8т будем называть направлением и В дальнейшем любую операцию, совершаемую вдоль кривой (8), будем считать так же совершаемой в направлении (9) или в направлении /, которое принадлежит Цт или его подпространству.

2. Поля двумерных площадок

в линейном подпространстве 1.т

В этом разделе будут рассмотрены двумерные площадки, отвечающие точке Л&8тсЕ„ в соответствующих линейных подпространствах Цт и Рп_т.

2.1. Отображение л р 2—Ц2; Р 2сРп-т, Р2сЬт

2.1.1. Точке Ле^т в соответствующих линейных подпространствах Рп_т и Цт сопоставим двумерные площадки Р\эЛ и Ь\эЛ , которые зададим следующим образом

1) Двумерную плоскость Р\сР„_т, проходящую через точку Ле£т, относительно ортонормального репера Я определим так

Р1 = (А, ёт+1, ёт+2) О Х" = 0,X а = 0. (10)

Из (1) и (6) с учетом (10) следует, что на т-по-верхности SmсEп имеют место дифференциальные уравнения

где

= ба, + Еа1 ев,,

(13)

Юаа1 = Ааа1аюа = -ю? = -Ав юа

а1 а1а а1 аа

■САа1 + АЪ1 юа1 - А1 ю*1 - Аавюв = А'1 вюв. (11)

аха аха Ъ\ Аъа а^ ар а А ав

2) Двумерную площадку ЦсЬт в локальных ко-инатах ортонормального репера определим так

4 = (А, ёрё2) О ха = Ев1 ха‘,ха = 0, (12)

а величины £“> удовлетворяют дифференциальным уравнениям

< + -Евю +ю^ = £1аюа . (14)

Из (10) и (12) с учетом (2) следует, что точке ЛeSmсEп отвечают линейные подпространства

Ри-т-2 = (А, ёт + 3, •••, ) ^ Р2 ,

Ьт-2 = (А, ^3,..., Вт ) ^ Ь2,

в (15)

в^ = е 2а 1 = - 1

°а1 «1 + 1 “1, 2а1 <5^ .

2.1.2. Точке ЛeSm сопоставим точки Х&Ц и УеР‘ срадиус-векторами

X = А + ха%1, ¥ = А + у^. (16)

Отсюда с учетом (1), (4), (8)-(11) получаем

с¥ -

в = (-Г ёа1 + (7а1 Ава + 8в )гаёв. (17)

Здесь символ (...)а> означает несущественные для нас выражения.

Из (17) с учетом (10)-(14), (9) и (15) замечаем, что каждой точке ЛeSmсEп отвечает отображение

/г1: Р — Ь2 О 7 а1 = ^аУа1 + О1 )га, ^ * 0, (18)

соответствующее фиксированному направлению =Л ,-в) ^>&Ьт. Здесь

Оа1 = Аа 1 + яв1 Аа , Оа 1 = 8а 1 + 2“18“1. (19)

Оаа аа 2 «1 аа,Оа а 2а1 а .

При этом величины &а'1а удовлетворяют дифференциальным уравнениям

со:;а + ов;а «в; - оа1 юЪ1 - о:р юв+Ав юв=оа .

Здесь явный вид величин, стоящих при юв, для нас несущественен.

Геометрически отображение (20) (по аналогии с [7. С. 347]) каждой точке УеР 1, отвечающей точке ЛeSm, сопоставляет прямую Х=(Л,-а1)ха> пересечения плоскости Ц с линейным подпространством, проходящим через Рп-т и касательную к линии (У), описываемой точкой У вдоль кривой (8) или в направлении и При этом точка Упредполага-ется нефокальной точкой (п-т)-плоскости Рп-т в смысле [5].

2.2. Попарно-ортогональные площадки в т-плоскости 1т

2.2.1. Отображение Л: Р^Ц^ Коши-Римана. Определение 2.1. Отображение Л: Р^Ц^назы-

вается отображением Коши-Римана и обозначается Л, т. е. Л—>/*-', если определяющие его функции при каждом фиксированном направлении удовлетворяют условиям Коши-Римана [3. С. 188-189].

Из (20) в соответствии с определением 2.1 замечаем, что отображение Л :Р 1—Ц является отображением Л/(Л —/Г1) тогда и только тогда, когда в точке Л6Sm выполняются условия

в

дx1 дx2

д/^1 дут

дx1

ду^

дx2

дym+1,

эквивалентные соотношениям

(Gm+1, а - G2+2,и )tа = о, +2а - g+1 )t“ = 0,

Г - фиксированы. (20)

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2.1. Каждой двумерной плоскости P21cP„_m, отвечающей точке AeSm^En, в m-плоскости Lm (m>2), касательной к Sm в точке A, соответствует конечное число двумерных площадок L\ таких, что

ft1: р ^ L\ ^ fl, Vt е 1}т-2 1 L\. (21)

Доказательство. Из (20) в силу (15), (21) и в соответствии с определением 2.1 следует, что k1=2(m-2) величин g^—gf; определяющих двумерные площадки LJcLm, о которых идет речь в настоящей теореме, удовлетворяют следующей системе k1 неоднородных алгебраических уравнений:

тП = HY + H°17i gaJ + H g“ i ge = 0. (22)

e Pa ig m Aa gYi ge v 7

Здесь

И, = A1 , - A2 , ; И, = A2 ,

,1 m+1,в; m+2,^^ в; m+І.в;

-A1

2/і ;

U-Yi1 = Л7і Л1

н в; "i Am+1,в; Лаi

- A1 Л1 •

Am+2,в; Лаi ;

н =A;;2,?isYi+Am+i,,isY^+(Am+1^1 + ^s;;

m+2,/Зi Yi

m+івіі Yi

Hyi2 = А7 І s1

н в; а; Am+2,в; Лаi

- /; s2 •

Am+1,вiSа;;

H,:1 = A, si - A'

PiYi

m+1,/3i 7i

m+2,,i 7i

+1,71

-Am+(23)

Покажем, что система (22) имеет конечное число решений относительно величин £“1=-£а,1. Рассмотрим якобиеву матрицу системы (22)

дg,1

(24)

и подсчитаем ее ранг при нулевых значениях вели чин gаh=g“1 =0. Тогда из системы (23) получаем сле дующие соотношения

А1 а - А2 а = 0, А2 а + А1 а = 0.

т+1, “1 т+2,/? 1 т + 1,в1 т + 2 ,в 1

(25)

Рассмотрим с учетом (25) в матрице (24) минор порядка k1=2(m-2)

И. = det[H

ЩД'

Ил ■

здесь значения пар индексов

в:Л в:

(2б)

указывает

на номера строк, а | ^ J - на номера столбцов. Пусть, например,

Ат+1 ,в і — +2,0і _ 0> ^11 + 1 ,в ! + А + 2,0! _ 0>

Тогда из (23) и (26) получаем

И =

A3 Am+1,3 . A3 . Am+1,m A + 2,3 . -A3 A+2m

Am Am+1,3 . Am . Am+1,m - Am Am + 2,3 . -Am A+2m

A3 Am+2,3 . . Am+2,m A + 1,3 . ^j+im

Am Am+2,3 Am . Am+2,m Am Am+1,3 . Am "^m + lm

(27)

Из (27) заключаем, что определитель (26) в общем случае не равен нулю в точке Ле SmсEп. В этом нетрудно убедиться, например, при следующих числовых значениях Ла+^в^в', Лт>+2,в1=0 при которых с учетом (27) Я,=1*0.

Поскольку определитель (26) не равен нулю в общем случае, то ранг матрицы (24) равен ,1=2(т-2). Это означает, что система (22) состоит из алгебраически независимых уравнений, а потому в общем случае она имеет конечное число решений относительно g“l=-g|. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г, Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. - М.: ВИНИТИ АН СССР. -1979. - С. 7-246.

2. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Московского математического общества. -1953. - Т. 2. - С. 275-382.

3. Акивис М.А. Фокальные образы поверхности ранга г // Известия вузов. Сер. Математика. - 1957. - № 1. - С. 9-19.

4. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. - М.: ГИТТП, 1948. - 432 с.

5. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RNR). - 1962. -№ 2. - P. 231-240.

6. Ивлев Е.Т., Глазырина Е.Д. О двумерном многообразии центрированных 2-плоскостей в многомерном евклидовом пространстве Em(m>4) // Известия Томского политехнического университета. - 2003. - Т. 306. - № 4. - С. 5-9.

7. Ивлев Е.Т., Молдованова Е.А. О дифференцируемых отображениях аффинных пространств в многообразия m-плоскостей в многомерном евклидовом пространстве // Известия вузов. Сер. Математика. - 2009. - № 11. - С. 24-42.

Поступила 14.11.2011 г.