Распределение двумерных площадок в евклидовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика и механика. Физика

УДК 514.76

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ПЛОЩАДОК В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Е.Т. Ивлев, Е.А. Молдованова

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Инвариантным аналитическим и геометрическим образом строится поле двумерных площадок, ассоциированных суказанным распределением. Доказывается существование конечного числа двумерных площадок, связанных в каждой точке отображением Коши-Римана. Приводится геометрическая характеристика случаев размерности пространства n=6 и n=8.

Ключевые слова:

Евклидово пространство, отображение.

Key words:

Euclidean spaces, mapping.

Введение

Как известно [1], распределения на дифференцируемых многообразиях занимают важное место в теории дифференциально-геометрических структур. Особое место среди распределений линейных подпространств в однородном пространстве занимает распределение двумерных площадок в многомерном евклидовом пространстве. Данная статья посвящена изучению распределения двумерных площадок в «-мерном евклидовом пространстве.

Все рассмотрения в данной статье носят локальный характер, а функции, встречающиеся в статье, предполагаются функциями класса С".

1. Аналитический аппарат

Рассматривается «-мерное евклидово пространство Е— отнесенное к ортонормированному реперу Л=(АД), (/,/,£=1, «) с деривационными формулами и структурными уравнениями:

(А =ю'ё, (е =ю/ё,

Do' = ю7 лю/, D®k, = ю/ лю/,

ю;

i „ /__________\ ~ [0, i* /•

+ю = “• e)=s/ ={,,;=/

(1)

Здесь символ <х;у>означает скалярное произведение векторов х,у еЕ„.

В пространстве Е« задается распределение

АП 2 : А ^ L? = (А• е2).

(2)

Здесь символом LP=(X, хь x2,...xp) обозначается р-мерная плоскость (p-плоскость) Lp^En, проходя-

щая через точку Х&Е„ параллельно линейно независимым векторам хь х2,...хг

В силу (1) и (2) дифференциальные уравнения распределения А1„2 имеют вид:

= А1\ф‘, (ар 0Р У\ = 1, 2; ах, ^ у! = 3, и), (3)

где величины Аа образуют внутренний дифференциальный объект в смысле ГФ. Лаптева [2] иудо-влетворяют дифференциальным уравнениям:

dA: + А'3!®"1 - АайО)в1 - Аа1ю] = Аа\. оЮ,

ttji ^ii 331 :i :! i : ii/ ^

А331 = 0

Aa[i, / ] 0*

(4)

С учетом (1)—(3) замечаем, что в пространстве En определено распределение:

А?

: А ^ Pn-2 (А, e3 • е4 • • • • • en ) ^ L2

с дифференциальными уравнениями

юа = а: юЮ =-Ю

а а =- а:

(5)

(6)

2. Распределение А2„,2 в пространстве Еп(п>4)

В подпространстве Р1„_2 пространства Е„рассмотрим двумерную площадку Х22, которая определяет распределение

АИ,2: А ^ 4 с рИХ-2, (и > 4), (7)

и задаётся так, что

4 = (А, ё3, ё4) «■ ха = gах“2, х“х = 0. (8)

Здесь величины Ба=еа1+£$е$1 удовлетворяют дифференциальным уравнениям, которые являют-

ся дифференциальными уравнениями распределения (7)

dg:: + gM2 +<=£>' ,

( а2, в:, у2 = 3,4; «2, 02, у2 = 5, и; и >4). (9)

Из (1), (5) и (8) следует, что каждой точке АеЕп (п>4) в Р1„_2 отвечает (п-4)-плоскость

(10)

Р1-4 = (А,Ё5,...,ёя) 1 ь\ О х“2 = gО2х“2, ха = 0,

+ £? -.2 е £? -.2 = — £? 2

«2 «2 ^ «2 а29 <“>(Х2 а 2

В пространстве Е„ рассматривается кривая к(1), описываемая точкой АеЕп и определяемая параметрическими уравнениями

а‘ = ;0, Пв = 0. (11)

Здесь величины V при фиксированных первичных параметрах, т. е. при ю‘=0, удовлетворяют системе дифференциальных уравнений 8Р+Рж;=0, причем 8 - символ дифференцирования по вторичным параметрам [3].

Из (1) и (10) следует, что прямая

; = (А, е) ;' (12)

является касательной к кривой к(/) в точке А. Поэтому в дальнейшем будем считать, что смещение в направлении (12) (или в направлении /) будет означать смещение по кривой к(/).

Каждой точке АеЕп поставим в соответствие точки ХеХ1 и УеЦ с радиус-векторами

X = А + х%, У = А + /%.

Пользуясь (1), (3), (4), (6) и (7)—(11), получаем:

— = (-)А ев + ;' (8,а1 + х“х А«|).

0 в1 1 а1 ах

Символ (...) означает несущественные выражения.

Отсюда получается следующее отображение плоскостей 12 иЦ, отвечающее точке АеЕп при каждом фиксированном направлении (12):

Т;12: Ь\ — 4 О у “2 =

= я [х б“2/ + (82 + g«2 8“2) ;' ], я я о. (13)

Здесь величины Ой определяются по формулам

G а = А а 2 + g 33? А 32

a,i а^ *^2 а!

(14)

и в силу (4), (6) и (9) удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

dGa + Ов2.юа -G^1 -

а^ а ii Р2 в! :i

-Gaю/ - А“2ю"2 = Ga2..ю1 •

aiJ 1 aii а2 а 1J •

(15)

причем явный вид величин О^ для нас несущественный.

Геометрически отображение (13) характеризуется следующим образом [7. С. 34]:

у = АУ = Т?12X = {Т(X)к(;) и4 ир1—4}Пь\. (16)

Здесь символ Т(2)ад означает касательную к линии (7)щ, описываемой точкой 2, соответствую-

щей точке АеЕп, вдоль кривой к(/). При этом предполагается, что точка X не является фокусом плоскости Ц всмысле [4] вдоль соответствующего фокального направления (12).

Из (13) замечаем, что отображение Т/2, отвечающее точке АеЕп, при фиксированных Р определяется двумя соответствующими функциями двух аргументов.

Определение 2.1. Отображение ^/2:Х1—>Х|, отвечающее точке АеЕп, называется отображением Т^12 или Т/2—Т^2, если определяющие его функции удовлетворяют условиям Коши-Римана [6].

Из (13) получаем, что в соответствии с определением 2.1 отображение Т/2 является отображением Т^2 тогда и только тогда, когда ду3 = ду4 дх1 дх2,

д/ _ ду4 _ ^ ^ _ [(СЦ - С4) ;' = 0,

дх2

Зх1

(g! + G3) Г = 0^ (17)

( I; - фиксированы).

Из (17) в силу (14) и (15) вытекает справедливость следующего утверждения.

Утверждение 2.1. Каждой плоскости Х22сР«_2, соответствующей точке АеЕп, в пространстве Еп отвечает (п-2)-плоскость, проходящая через точку А:

Ги-2 = {t е £и|^12 — Т^12}. (18)

В соответствии с утверждением 2.1 и с учетом (17) линейное подпространство Г„_2 определяется системой уравнений

[(С3 - С4 );' = 0,

(G + G3 )f = 0.

(19)

Здесь предполагается, что в общем случае выполняется условие

rang

G31 - g4]

G4 + G2:

G3 - G2 g;+G3

= 2.

3. Поля инвариантных площадок Х22сР1_2

В предыдущем разделе рассматривалось отображение Т/2:Х21—Х22 при фиксированных Р, что приводило при таких ? к системам (17) или (19) при определении Оп_2. В данном пункте выясним существование инвариантных площадок Х2 вточке АеЕп, при которых при определенных величинах Р.

Теорема 3.1. Каждой точке АеЕп при п>4 в общем случае отвечает конечное число двумерных площадок Х22сР«_4 таких, что

т/2 — т;:2, V? е р;-4 с р1-2. (20)

Доказательство. Из (12) и (10) следует, что 1еР«_4 тогда и только тогда, когда

; а2 = g «2 ; а2, ;а 1 = 0 ° Й2

( ах = 1,2;а2 = 3,4; а2 = 5, и) (21)

Из (14) в силу (17), утверждения 2.1 и (27) получаем, что условие (20) имеет место тогда и только

тогда, когда П;=2(«-4) величин йО^=~й^1 в точке АеЕп удовлетворяют следующей системе щ неоднородных алгебраических уравнений:

+я? А? - оі А^ - А4- + А3- = 0,

02 1«2 в? 2 2а2 2а? 2 1а 2

¥ ?

- ^(4 Ав + 4 О++ А« 2)+

+я і А8?2 + я 8 Ав + А4? + А3? = 0,

02 1а2 ® в? 2 2«2 1а 2 2а 2

^1,01 = 1,2; аь ?1 = 3, п; ^ ча2,02 = 3,4; а2,02 = 5,п Рассмотрим якобиеву матрицу системы (22):

дт? дш ?

1 (У1 ’ /V-

(22)

дЯг до

02

нулевых значениях величин ?:і2=-?«.

о 82 = я 82 = 0

(24)

что с учетом (22) приводит к следующим соотношениям:

А4? - А3? = 0, А4? + А3? = 0.

2 а2 1а2 1а2 2а2

(25)

С учетом (22), (24) и (25) замечаем, что в точке АеЕп (п>4) в общем случае существует следующий тождественно ненулевой минор порядка «|=2(п—4) матрицы (23):

В2 - ёе

А « 2 А15

Ав2

.25

- А»

- А0

_ А«2___________А?

А25 А2 п

Ав?2

А15

— Ав2

1п

(26)

А -

А5 А11 А6 А11 - АІ1 - А261

А5 А12 А162 - 4 - а22

АІ1 А261 А5 А11 А6 А11

А252 А22 А5 А12 А6 А12

(27)

о3 А“2 - о4 А“2 = А4 - А3

|° А1 а, О ?Л а2 а, А2а : А1а ^

2 1 а1 ^ а 2 2а1

„3 а а2 , _4 л <?2

о і Ав! + ог 2Ав =-А4; -

(29)

( а1,01=1,2) с основным определителем (27), который, как легко видеть, не равен нулю в точке А. Поэтому система (29) имеет в общем случае единственное решение относительно й^-?^. Теорема 3.2 доказана.

Теорема 3.3. В общем случае при и=8 точке А є .£8 отвечает конечное число (и-4)-плоскостей

(30)

(23) =

5 /?2 в2

Подсчитаем ранг матрицы (23) при следующих

Доказательство. Как и в теоремах 3.1 и 3.2 показывается, что условие (30) выполняется при /еХ2'иХ22 тогда и только тогда, когда «;=2(п-4)= =2(8—4)=8 величин й“г2=—й«2 удовлетворяет системе восьми алгебраических уравнений:

9, - g г?2 АО - < АО2, + А. , - А, , =0,

, - g О ао; + 4 да2, + а: , + Аа ,=0,

_ „«2 / л3

та2 - <2 (A;і2 - А; + £2 а; - о? а; )+

+о? А“2 - оі А^2 + А3 - А4 2 = 0,

*3 А а2

5И2 А1 “2

¥2 - + 4-2 + о|2 ^ + о! А?) +

'4 а: + а: 2 + Аа 2=0,

здесь а2=5,и - номера первых (и-4) строк, 02=5,и -номера следующих (и-4) строк. Поскольку определитель В2 порядка и1=2(и-4) тождественно не равен нулю в точке АєД,, то система (22) в общем случае состоит из и1 алгебраически независимых уравнений, а поэтому она допускает в общем случае конечное число решений относительно ?“2=-?г» Теорема 3.1 доказана.

Отметим некоторые частные случаи.

Теорема 3.2. В общем случае при и=6, когда определитель

не равен тождественно нулю в точке АеЕ6, точке А соответствует единственная двумерная площадка

Г2 = {; е 4 |Т; — Та}. (28)

Доказательство. Из (11), (12) и (2) следует, что /еХ тогда и только тогда, когда /“>=0. Поэтому с учетом (19) условие (28) выполняется тогда и только тогда, когда п1=2(п-4)=2(6-4)=4 неизвестных £“2=-,?« удовлетворяет системе четырех линейных уравнений:

(а,, в, = 1, 2; а2,02 = 5, 8; а2, 02 = 3, 4). (31)

Как и в случае системы (22) доказывается, что система (31) состоит в общем случае из алгебраически независимых уравнений. Поэтому она определяет в общем конечное число решений относительно й^-йО2. Теорема 3.3 доказана.

Выше были выделены случаи п=6 и п=8 инвариантного определения в точке Ае Еп двумерной площадки Х22, геометрически отличного от общего случая, о котором идет речь в начале данного раздела. Далее приведем другие геометрические характеристики случаев п=6 и п=8.

Точке АеЕп сопоставим точку 2еР«_2 с радиус-вектором:

2 = А + га1 ё« (а1, 0х = 3, и).

Пусть точка 2еР«_2 описывает характеристический элемент НсР«_2 в любом направлении /еХ2‘ ( /“‘=0), т. е. точка Н и вся ее первая дифференциальная окрестность не выходят из Р \_2 вдоль /еХ2'. Тогда из

(2 = (• • ■)а1 ёа, +;' (ю01 + г Лю0‘) ёв, (32)

с учетом (6) и (11) при любом /“1 получаем следующую систему четырех линейных уравнений с (п-2) неизвестными 2«1, определяющих характеристический элемент Н«_6сР «_2:

Нп-6 О 1А^^ +8;; = 0, ^1 = 0,

(«1,01,71 = 1, 2; «1 = 3, п).

(33)

Из (33) и (32) следует, что (п-6)-плоскость Н«_6сР«_2 существует при «-2>4о«>6. В частности, в пространстве Е6 подпространство Н«_6 является точкой Н0сР4', в пространстве Е7 - прямой ДсР^, в пространстве Е8 - двумерной площадкой Н2сР6' и т. д.

Из (32) в соответствии с [4] и с учетом (33), (2) и (3) заключаем, что множество всех фокусов 2еР«_2 вдоль фокальных направлений /еХ2', отвечающих точке АеЕп, образует фокусный конус КV, второго порядка с вершиной Н«_6сР«1_2(п>6):

K2 3 ■ A" а z11 z 5l + A"1 z151 + 2 = О,

n 3 аі в і "а

где

1

(34)

А^1; 2(Aв21)2 (35)

Проведем в точке Аєі- такую канонизацию ортогонального репера Я=[А, -} , при которой имеют место соотношения (25) и В2ф0 (см. (26)). Из (4), (14), (15), (24) и В2ф0 получаем

_ : 2 л: 2 _ i

а: 2 = A: а ,

А“2 ав2 _ А

a; 2iа: 2 a; 2/а

dA“2, + АЧа"2 - А?2.ав - А“\а' = А“2„ а'.

а 21 а 21 0 2

Здесь явный вид величин А“^ для нас несущественный, причем в силу (1) имеем

0 0 (36)

а: 2 = -а"2 = - А"2 а' о А"2 = -,

а 2 :2 : 2i : 2i

Ги-2 П Ги-2 =ги-4 = (А, ё5,..., ёи ).

Имеет место следующая теорема.

Теорема 3.4. Пусть в точке АеЕп выполняются условия:

1. Двумерная площадка Х22сР1_2, о которой идёт речь в теореме 3.3, не принадлежит Нп_6 (п>8); не содержит Н0 (п=6), не содержит Н1 (п=7) Н1 (п=7); не совпадает с Н2 (п=8).

2. Функции, определяющие отображение Т/2: Х2—Х22, удовлетворяют условиям Коши-Римана при любом /еЕп.

3. Распределение А1п2:А—Х является голоном-ным [1].

Тогда коника Q^=L\nK1п_, является окружностью с центром в точке АеЕп.

Доказательство. Из (1)-(3) следует, что интегральные кривые, описываемые точкой АеЕп и принадлежащие распределению А1п,2 в смысле [1], определяются дифференциальными уравнениями Пфаффа

ю01 = 0. (39)

С учётом (1) и в соответствии с [1] заключаем, что система (41) является вполне интегрируемой, т. е. распределение А1п,2 является голоморфным, тогда и только тогда, когда

Da:i ла; 1 = О о А"1 = А"1

Из (34) следует, что канонизация ортонормаль-ного репера Я, осуществленная по формулам (25) и В2^0, в соответствии с [5] существует на любом распределении А1п2:А—Х1, на котором В2^0. В соответствии с теоремой 3.1 и с учетом (24), (25), (8), (10) и (14) эта канонизация характеризуется тем, что

4 = (А, ё3, ё4) 1 р-4 = (А, ё5, ..., ёй), (и > 4). (37)

Здесь плоскость Х22 вточке АеЕп геометрически определена в теореме 3.1. В случае В=0 плоскость Х22 определяется бесконечным числом способов.

Замечание 3.1. Из (25) и (3) следует, что в точке Ае Еп имеют место дифференциальные уравнения:

Ю24-Юх3 = (<2 - А3аи) ю % ю,4 +Ю23 = (< + А3^) ю “12,

( а,2, 0,2, 7,2 = 1,2, 3,4). (38)

Замечание 3.2. Из (5), (19), (36), (25) и того, что ранг матрицы (23) равен двум, следует, что

(40)

Из (13)—(17), (25), (38) и (40) с учётом (39) и условия 2 теоремы, заключаем, что в точке Ае Еп выполняются соотношения

А4 = а3 А4 =- А3 А а2 = А а2

А2 а, А1 а,, А1 а, А2а,, А12 А21 .

Тогда из (35) получаем следующие соотношения

А34 = 0, А33 = А44 =-(А,)2 - (Д1,)2.

Поэтому из (34) и (37) следует, что коника 22, о которой идёт речь в настоящей теореме, определяется уравнениями

б,2 о (х3)2 + (х4)2 = г2, х= 0, х02 = 0,

где

7( А1,)2 +(А41)2

Это означает, что й2 - окружность с центром в точке А радиуса г. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г, Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1979. - С. 7-246.

2. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Московского математического общества. -М., 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

3. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. - М.: ГИТШ, 1948. - 432 с.

4. Акивис М.А. Фокальные образы поверхности ранга г // Известия вузов. Сер. Математика. - 1957. - № 1. - С. 9-19.

5. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RNR). - 1962. -№ 2. - P. 231-240.

6. Ивлев Е.Т., Глазырина Е.Д. О двумерном многообразии центрированных 2-плоскостей в многомерном евклидовом пространстве Em(m>4) // Известия Томского политехнического университета. - 2003. - Т. 306. - № 4. - С. 5-9.

7. Ивлев Е.Т., Молдованова Е.А. О дифференцируемых отображениях аффинных пространств в многообразия m-плоскостей в многомерном евклидовом пространстве // Известия вузов. Сер. Математика. - 2009. - № 11. - С. 24-42.

Поступила 28.03.2011 г.

в