О распределении многомерных плоскостей в эвклидовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика и механика. Физика

УДК 514.76

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ МНОГОМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ЭВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Е.Т. Ивлев, А.С. Пшеничникова, В.К. Барышева

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Изучаются отображения двумерных площадок m-плоскостей и нормальных (п-т)-плоскостей распределения ДПт в En, определяемые двумя соответствующими функциями двух аргументов, которые удовлетворяют условиям Коши-Римана.

Введение

Как известно [1], распределение на дифференцируемом многообразии Ир представляет собой один из существенных разделов дифференциально-геометрических структур. Одной из основных проблем распределения линейных т-мерных подпространств (т-плоскостей) Цт в «-мерном однородном пространстве является проблема инвариантного оснащения. В «-мерном эвклидовом пространстве Еп эта проблема становится тривиальной, поскольку с каждой т-плоскостью Цт ассоциируется оснащающая (нормальная) (п-т)-плоскость Рп_т±Ьт. Поэтому возникает проблема достаточно полного привлечения геометрических свойств полей пар соответствующих линейных подпространств Цт и Рп_т в Еп.

Обозначения и терминология соответствуют принятым в [1-6].

Данная статья посвящена изучению распределения А1п_т:М—Ьт т-плоскостей Ьт в Еп (т>2, (п-т)>2), где МеЕ„. Каждой точке ИеЕп сопоставляются двумерные плоскости Ц^Ьт и Р12^Ьт, проходящие через точку А. Особое внимание уделяется отображениям плоскостей Ц2 и Р\.

Первый пункт посвящен аналитическому аппарату, который применяется во всех остальных пунктах при изучении распределения А1п,т:М-~Хт. В пункте 2 изучаются отображения Р,:Ц1—Р2 и Р,:Р2—Ц при каждом фиксированном направления , которые определяются соответствующими двумя функциями двух аргументов. В пункте 3 ^рассматриваются случаи, когда отображения Р, и р являются аналитическими, т. е. определяющие их функции удовлетворяют условиям Коши-Римана [4. С. 188-189]. В этом же пункте рассматриваются случаи взаимосвязей между числами т и п, когда поля двумерных плоскостей Ь\<^Ьт и Р\^Ьт определяются инвариантным об-

разом в предположении, что отображения Ft и Ft являются аналитическими.

Все рассмотрения в данной статье носят локальный характер, а функции, встречающиеся в статье, предполагаются аналитическими.

Результаты, изложенные в пунктах 1-3 для общего распределения Д',и в En (m>2, (n—m)>2), принадлежат Е.Т. Ивлеву, в пункте 3.2 при n=6, n=m+4 и m=4 принадлежат А.С. Пшеничниковой, при n<7 - В.К. Барышевой.

1. Аналитический аппарат

1.1. Распределение Д1^

Рассматривается n-мерное эвклидово пространство En, отнесенное к подвижному ортонормально-му реперу R={A,-}, (ij,k,l=1,ri) с деривационными формулами и структурными уравнениями

dA =ю'ei,

det = ю'.е j

Dm' = О люЦ, Dmk = mj лю*, где 1-формы mk удовлетворяют соотношениям:

О + mj = 0,

вытекающим из условий ортонормальности репера R:

[0, i * i

(1)

(2)

(е; Ц = 8i =k' = j.

(3)

Здесь и в дальнейшем символом (х ;у) обозначается скалярное произведение векторов -,- еЕ„. В пространстве Еп зададим распределение

А^ : М — Ьт, (4)

где М - текущая точка пространства Еп, принадлежащая соответствующей т-плоскости Цт.

К распределению (4) присоединим ортонор-мальный репер R={A} так, чтобы

М — А, Lm — (A, ei, в2,..., em).

(5)

Здесь символом Ьр=(В,'х1,х2,...,хр) обозначается р-мерная плоскость в ЬрсЕ„, проходящая через точку В<еЕ„ параллельно линейно независимым векторам X!,—,...,— эвклидова пространства Еп. Из (5) в силу (1) следует, что распределение (4) определяется дифференциальными уравнениями:

о® — Aaap', (а, р,у= 1, m; а, ¡5,у — m +1, n), (6)

где компоненты A% внутреннего фундаментального геометрического объекта

г — A}

V A а = Aа т1 Аа = О

VAai Aaii® , Aa [j 0.

Здесь и в дальнейшем оператор V означает следующее:

) .(9)

VH^ = dH"a ai ml — Habpi о® - Kb 2 т, a, b, c e G, a, b, c, e G,, a2b2c2 eG2, G ,G ,G2 с N,

^ N - множество положительных натуральных чисел

Из (5) и (1) в силу (3) следует, что в каждой точке АеЕ„ определяется (и-т)-плоскость

р„-т = (А, ёт+1,~ёт+2,..., ~еп) 14. (10)

С этой (и-т)-плоскостью ассоциируется распределение

: А ^ Pn m.

Из (2) и (6) получаем

,,а л а i а

т- — A- т — —та

A" . — — a" .

(11)

a2, Р2,у2 — m +1, m + 2; a 2, P2,y 2 = m + 3, n

(13)

определяют ортогональные двумерные плоскости L2cL т и P\cP„_m, проходящие через точку A:

¿1 / л \ . . а, а, а, а

2 = (A, £1, £2) » x — g x x — О;

P, — (A, £m+1, £m+2) x"2 = g Jxxa = О. (15)

Здесь соответствующие линейно независимые векторы и определяются по формулам:

£ a, = e а, + g:;e«1, еа 2 = ea 2 + g^ e~2. (16)

Замечание 1.1. Из (15) в силу (13), (10), (5) и (3) замечаем, что в каждой точке AeEn определяются перпендикулярные линейные подпространства

L\_2cLn(L\tL\_2) и Plm_2cP„_m(P^2±Plm_2), проходя-

(7) щие через точку A:

первого порядка распределения А\т в смысле Г.Ф. Лапласа [2] удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

" " " (8)

L2m—2 = (A, £3,..., £m) xa1 = g£xa 1, xa = О;

Pi-m—2 = (A, £m+3,..., £n) xa2 = g^xa2, xa = О, (17) где

^ __. а, _ _ ^ . а 2

£«1 — ea1 + gea,, £2 — e«2 + gea

а 1 1 y а

причем

(18)

(19)

Заметим с учетом (5) и (10), что в локальных координатах X репера Я линейные подпространства Ьт и Рп-т определяются уравнениями, соответственно:

Ьт « X" = 0; Рп-т « Ха = 0. (12)

1.2. Поля двумерных плоскостей Х^сХ, и Р21сРл-т, проходящих через соответствующие точки АеЕ„

На пространстве Е„ как на дифференцируемом многообразии зададим поля геометрических объектов

§1 = {<Ь § 2 = (СЬ Ка^;1] = = 2,

а1; Р1,у1 = 1,2; а.1, ¡31,у 1 = 3, т;

2. Отображения плоскостей LJ и P\

2.1. Поля некоторых геометрических объектов

С помощью компонент геометрических объектов (7) и (13) точке АеЕ„ поставим в соответствие следующие величины:

§ " = А" + е"1 , 2а . = Аа. + е"2А1 ;

о а,; а,; о а, а1р о а 2 а 2 &сс 2 агг

^а 2 = е а 2 + е «2 е а 2 ^а 1 = „а 1 + е„а 1 (20)

а]/ о а]/ о а а 2 <->а { &а .о а1> V /

которые в силу (11), (8), (9), (13), (14) и (19) удовлетворяют дифференциальным уравнениям:

в1= i®1,

Vgа. + A" та 1 + gа 1AI тв — ga

о a, a,i а 1 о а , в,' а, 1

Vga . + A- таг + ga2Aa .тв — ga т1,

S аг1 а.2 6а 2 Р2 • Я2 Sa гЧ '

та1 + gTgern — g.:®1 ,

VGа2 + ^ т , g g

a1 i ^ а 1 i а 1 ^ а 1 ^в 1 i

VGa 1. + g°1т°2 + g"2ge,' тв2 — Ga 1..т

а 2! <Ь ^ i а 2 о а 7 о й. ч а . 11

(21)

Здесь

у "2 — A"2 + g A а

? a,! a ii ® а, а

— A"1 + g"2 A0

а 2! а 2 0

компоненты которых удовлетворяют дифференциальным уравнениям

+<■ = ¡£р\ vg:: =¿у. (14)

Из (5) и (10) с учетом (12)—(14) следует, что в каждой точке АеЕ„ геометрические объекты g2 и g2

причем явный вид величин, стоящих при а1, для нас несущественный.

Из (20), (21), (8) и (7) замечаем, что на многообразии Еп определены поля следующих геометрических объектов в смысле Г.Ф. Лаптева [2]:

g, — A, g,}, g 2 — {Ai, g 2},

* * * *

G1 — г, U g 1, G 2 — г, U g 2.

(22)

В следующем пункте будут изучаться отображения плоскостей Ц и Р\, которые ассоциируются с полями геометрических объектов (22).

2.2. Отображения Р;Ц—Р1 и р.Ц—Р2'

Рассматривается кривая к( ,), проходящая через точку ЛеЕ„, определяемая параметрическими дифференциальными уравнениями:

к (,): аа = г'в, Бв=влв1, (23)

где величины Р при фиксированных главных параметрах, т. е. при а=0, удовлетворяют условиям:

8 Г + п)Р = в1 1.

Здесь я/'=®/Ь=0, 8- символ дифференцирования по вторичным параметрам [2], [3], причем вв1=в1|и/=0

Из (1) в силу (23) замечаем, что прямая

, = (А, 1), 1 = г'в, (24)

с направляющим вектором ,, проходящая через точку Л, является касательной к кривой к(,) в точке Л. В дальнейшем в соответствии с (23) и (24) будем считать, что смещение по кривой к(,) равносильно смещению в направлении ,.

Точке ЛеЕп сопоставим точки ХеР12«Цт и УеР\<Р„-т с радиус-векторами:

X = А + х:еа,, У = А + ха2е«2.

(25)

3. Аналитические отображения плоскостей

Ц'сЦ и Р]сР„,

3.1. Отображения Р1й и ¥ш

Пусть каждой точке ЛеЕп отвечает отображение:

щ: ^ Р12 о у"2 = (х1; х2), (29)

где функции \ а2(х1;х2) непрерывно дифференцируемы по крайней мере дважды на плоскости Ц..

Определение 3.1. Отображение \Ц—Р2 называется аналитическим и обозначается т. е. если определяющие его функции (29) удовлетворяют условиям Коши-Римана [4. С. 188-189] на плоскости Щ:

д\т+1(М) = д\т+2(М)

дх1 д\т+2(М)

дх2 ' д\т+,(М)

дх1 дх2

М(х1;х2) е Ь\.

(30)

Из (27) замечаем, что при каждом фиксированном направлении ,=(Л,-)Р каждое отображение (27) определяется двумя соответствующими функциями двух аргументов. Поэтому в соответствии с определением 3.1 из (30) и (27) получаем, что

, , Гст+1 - вт>+2 У = 0;

Р, — Р,а : 4 - Р\ о] " 2' 1(С2,

->т+1 , /^т+2\ Л

+ с,.

Из (23)-(25) с учетом (1), (15), (16) и (12) получаем:

АХ - ~ - -

/ \а . А / а , ^а а, \ ^

— = (...) е: + ,(8, + ga,¡x )еа , в

АУ — -

— = (...) а е « + (8« + g« 2,у: 2)е«. (26) в

Здесь символом (...) обозначаются несущественные величины.

Из (26) с учетом (20), (5), (10), (12), (15)-(19) замечаем, что в каждой точке ЛеЕп определены следующие отображения:

Р,: 4 - Р1 о у«2 = (0::,ха 1 + 8«2)Р,

Р,: Р, — Ь2 о X«1 = (ОЦУ2 + 8«1),', (27)

отвечающие направлению (24). Геометрически каждое из отображений (27) характеризуется следующим образом:

У = Р,Х = {Т (X ), и 4 и Рп2т - 2 } П Р21, X = Р,У = {Т(У), и Рп-т и Ь^-2> П 4. (28)

Здесь символом Т(2)1 обозначается касательная к линии (2),, описываемой точкой 2 вдоль кривой (23) или вдоль направления (24). Заметим, что в (28) предполагается, что точки ХеЦ<РК и УеР\<Р„-т не являются фокусами линейных подпространств Цт и Р-т вдоль кривой к(,) в смысле [5].

1, У = 0,

Р Р Р1 Ь К+1,, - 2,1 )г' =

11 — Р'.„ : Р1 — 4 о <

а 1(ст+2,+ет+м),.=(31)

(Р - фиксировано).

Имеют место следующие теоремы. Теорема 3.1. Отображение РЦ—Р], отвечающее точке ЛеЕ„, будет отображением Рш при каждом фиксированном ¡еЕ„ тогда и только тогда~ когда отображение Р;.В—Р1 будет отображением ра.

Доказательство этой теоремы вытекает с учетом (31), (11), (19) и (20) из того, что

ст+1 - ст;2=-от+,,+оя

2

т+2,, •

Ст+1 . г^т+2 2

2, + С1, =-Ст +2,, - Ст +1,, .

(32)

Теорема 3.2. Каждой паре двумерных плоскостей Ц\<Цт и Р\<Р„-т в точке ЛеЕп в общем случае, т. е. в случае, когда ранг матрицы

С =

11 С21 11 + С21

0 т +1 т + 2

1п - С 2п

0 т + 2 . т + 1 1п + С 2п

(33)

в точке Л равен 2, отвечает (и-2)-плоскость Гп-2 = (, е Е„\Р, — Р1а о Р, — Рь ),

проходящая через точку Л.

Доказательство этой теоремы вытекает из (31) с учетом теоремы 3.1 и соотношений (32).

Замечание 3.1. С учетом (31) и (32) и теоремы 3.1 (п-2)-плоскость (33) фактически определяется в локальных координатах ортонормального репера Я уравнениями:

Ю+1 - О^У = 0;

m+1 . /->m+2 \ J r\ + Gii )t =

M

(34)

3.2. Существование двумерных плоскостей А'сА, и Р-1сР„-т в общем случае при определенных значениях т и п, когда

Имеют место следующие теоремы. Теорема 3.3. Каждой точке АеЕп в общем случае отвечает при п<7 - бесчисленное и при п=7 - конечное число соответствующих пар плоскостей ЦсЬт и Р2сР,

n-m таких, что

F ^ F L t 'L t

ta

(35)

при всех направлениях I, принадлежащих некоторой гиперплоскости Гп-1.

Доказательство. Из (15) следует, что в каждой точке АеЕп плоскости ЦсЬт и Р\сРп-т определяются компонентами геометрических объектов (13), число которых равно, соответственно:

Ь\: т1 = 2(т - 2); р : т2 = 2(п - т - 2). (36)

Из (34) следует, что плоскости Ь\ и Р2, будут такими, о которых идет речь в теореме 3.3, тогда и только тогда, когда ранг матрицы (33) будет равен 1, т. е., когда с учетом (20) величины и удовлетворяют алгебраическим уравнениям1: 2

т г //-im+2 . / r-^m + 2 \

Vb = (G1n + G2n )(Gb - G2b ) -

-(G1b + G2b )(G1n - G2n ) = °

(37)

(Ь = 1, п-1).

Из (36) следует, что неизвестные и g^2, число

которых равно 1 2

т1 +т2=2(п-4),

удовлетворяют п-1 алгебраическим уравнениям (37) в каждой точке АеЕ„. Поэтому утверждение 1, о котором идет речь в настоящей теореме, справедливо. Докажем справедливость утверждения 2. Рассмотрим якобиеву матрицу системы (37):

dVb dvb

dg? dga

fn = 7; b = 1,6; Д = 1,2; «1, в1 = 3,4; ^ a2, в2 = 5,6; Й2, в2 = 7

(38)

Подсчитаем ранг матрицы (38) при ^=0, g^I2=0. Из (38) и (37) в силу (19) и (20) замечаем, что матрица (38) имеет определитель (минор) шестого порядка

]. (39)

Здесь индексы принимают значения:

'7^ (7^ (5^ (5^ (6^ ( 6^

b = 1

1

b = 1,6,

причем величины P~b определяются по формулам:

р7 = -A1bP7 -A77Qb + A2bQ7 + A17Pb ,

P2b = -A2bP7 -A17Qb + A1bQ7 -AnPb ,

Pi = A P7 + Ai Qb - A6 Q7 - Ai Pb,

rnb cub 7 b ш b1^7 a 17 b'

P6b = -Ai bP7 + Ai _Qb - Ai bQ7 + Ai 7Pb,

®1b «1b 7 «1 b*'7 a 17 b'

P = A16+a, a = A - 4 (40)

(b = 1,6; «1 = 3,4; i = 1,7).

Из (40) следует, что определитель (39) в общем случае в точке Ae^7 не равен нулю. Это означает, что ранг матрицы (38) в общем случае равен 6. Поэтому система (37) состоит из 6 алгебраических уравнений, а потому имеет конечное число решений относительно g^1 и g72.

Теорема 3.3 доказана.

Теорема 3.4. Каждой заданной в точке A плоскости L\eLm при n=6 отвечает одна плоскость P2 такая, что имеет место (35) при V teL2.

Доказательство. Возможны три случая при n=6. 1. m=2, n=6.

В этом случае в соответствии с (5), (10), (13) и (15) имеем

ь\ = ь2 = (A, ¡1,е2) ^ g? = g« = 0, X « = 0,

P1 с P4 = (A, ез, ¡4, ¡5, eб), P2 « x"2 = gf22 xa% xa = 0, (a2 = 3,4; a 2 = 5,6).

Поэтому соотношение (35), V e L12 будет с учетом (34) выполняться тогда и только тогда, когда величины g£22=-g|22, число которых равно 4, удовлетворяют следующей системе 4 линейных в общем случае неоднородных уравнений:

I g3 Aаг - g4 Aаг = A4 - A3 ■

15 а2 1а 6 аг 2a1 2а1 ^Ьа ^

\а3 A+ g4 A=- A4 - A3

[S6аг а1 1а1 1

(41)

(а = 1,2; Й2 = 5,6).

Можно показать, что основной определитель четвертого порядка системы (41) в точке А не равен нулю тождественно. Поэтому система (41) в общем случае в точке А допускает единственное решение относительно g^l2. 2. т=3, п=6.

В этом случае индексы принимают следующие значения:

а1, в1 = 1,2; Й1, в1 = 3; а 2, в2 = 4,5; а2,Д2 = 6;г = 1,6; а ,в = 1,2; а, в = 4,5,6, причем

Ь\ о ха2 = еIх", х" = 0,

2 ° а

-Е 62 ха2, ха = 0; Ь\ = (А, ^ 3), Ьъ = (А, 61, в2, ез) о ха = 0, Р3 = (А, 64,65, еб) о ха = 0. (42)

Будем считать в точке Ле Е6 плоскость Ь\ заданной. Проведем в соответствии с (42) такую канонизацию репера Я, при которой

Ь\ = (А, ~ви ~в2) < X3 = 0, X5 = 0 < я^ = -яЗа' = 0, (43)

что в силу (14) приводит к дифференциальным уравнениям

/)3

р3

Это означает, что указанная фиксация репера Я существует в соответствии с [6].

Из (34) с учетом (43) и (20) заключаем, что (35), (=(Л,-), (ха1=0,хг=0) имеет место тогда и только тогда, когда две величины й"2=-,?662 удовлетворяют следующим двум в общем случае линейным неоднородным уравнениям:

|я4Аз -А2з = А2з -4;

^ я 4 Абз + А =-А23 - Аз. (44)

Основной определитель второго порядка этой системы, как легко видеть, не равен тождественно нулю в точке Л. Поэтому система (44) имеет единственное решение относительно ,64 и ,5. 3. т=4, п=6.

В этом случае Р = Рб-4 = Р. = (А, к, ~вб) < = -я02 = 0.

При этом плоскость Р2 считается заданной, а плоскость Ь\ - определяемой. Следовательно, случай 3 формально такой же, как и случай 1.

Теорема 3.4 доказана.

Теорема 3.5. Каждой точке ЛеЕп при п=т+4 {при т=4} в общем случае отвечает конечное число соответствующих плоскостей Ь\(^Ьт {Р2еРп_т} таких, что имеет место (35) при {У/еР„_т}.

Доказательство. Из (34) с учетом (36), (5), (10), (12) и (15) следует, что (35) имеет место при а=0 {У1еРп_т< а=0} тогда и только тогда, когда величины й^1—,!1 и ,а22=-,?г22 удовлетворяют следующим в общем случае нелинейным алгебраическим уравнениям:

и - о:+1 - от2=0; к - от2+о::-1=0, (45)

Здесь величины Оаа, определяются по формулам (20).

Из (34) и (36) заключаем, что каждая система (45) содержит одинаковое число т1+т2=2(п-4) неизвестных й!,1 и ,,1 и уравнений в следующих соот-ветствующих1 случ2аях:

V/ е 1т (Г = 0) ^ п = т + 4и с = ^т,

V/ е Рп-т (Г= 0)

m = 4 и c = m +1, n. Рассматривается якобиева матрица системы (45)

дус ; дус ; дус ; дус

dga дС да д£

(46)

Подсчитывая ранг матрицы (46), например, при й^-,!,1^, й^-йг^о, убеждаемся в том, что ма-тр1ица (41 6) им2еет сл2едующие ненулевые миноры в соответствующих случаях: 1) п=т+4.

det

_ Am+3 _ Am+ A2a A2a

3 ¿m4 Am+a

m + 2 A m + 1

A"0+1 Am

A m+3 Am+4 Am + 3 Am+4 Am +1

^ip ^ip ^^p зр

(

Am+1 Am+2 Am+2

. A о A -, о ... A о mp 3p mp

a = 1, m _ номера первых m строк; в = 1, m _ номера следующих m строк

2) m=4.

det

_A3 - _ A4

m+2, a m■

■ A3 - A4

-A1 - ... A1

m + 3a n_

A3 в A4 в A3 в A4 в A1 в ... A1 - A2 - ... A2 -

m+1,e m+1,- m+2— m + 2,- m+3,- n _m — m+3, - n _m -

= _A?p ; a = m + 1, n _ номера первых n _m строк;

(c = 1, m ^ Vt e L ; c = m +1,n ^ Vt e P ).

V' m ' ' n _m '

Р = т +1, п - номера следующих п - т строк

Поскольку в случае 1) {2)} минор порядка 2т {2(п-т)} в общем случае в точке Л не равен нулю тождественно, то ранг матрицы (46) в соответствующем случае равен 2т {2(п—т)}. Это означает, что система (46) в каждом случае состоит из алгебраически независимых уравнений, а потому допускает конечное число решений относительно

Теорема 3.5 доказана.

Замечание 3.2. Объединение случаев п=т+4 и т=4 теоремы 3.5 приводит к случаю т=4; п=8, т. е. к распределению Д8,4 в Е8.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциальные геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии. Итоги науки и техники. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1979. - С. 7-246.

2. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Московского математического общества. -1953. - Т. 2. - С. 275-382.

3. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. - М.: ГИТТП, 1948. - 432 с.

4. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. - М.: Наука, 1958. - 678 с.

5. Акивис М.А. Фокальные образы поверхности ранга // Известия вузов. Математика. - 1957. - № 1. - С. 9-19.

6. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RNR). - 1962. -№ 2. - P. 231-240.

Поступила 21.12.2006 г.