CC BY
29
Естественные науки
УДК 514.76
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ЭВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Е.Т. Ивлев, Е.Д. Глазырина
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Рассмотрены отображения двумерных плоскостей L и L2, инвариантным образом связанных с распределением двумерных плоскостей в четырехмерном эвклидовом пространстве. Каждое из отображений определяется двумя соответствующими функциями двух аргументов. Поэтому для их изучения привлекаются гармонические функции и известные условия Коши-Римана. Все рассмотрения носят локальный характер, а функции, встречающиеся в статье, предполагаются аналитическими.
1. Аналитический аппарат
Обозначения и терминология в данной статье соответствуют принятым в [1-7].
Рассматривается четырехмерное эвклидово пространство Е4, отнесенн-е к подвижному орто-нормальному реперу Я={Л }(уД/=1,4) с деривационными формулами и структурными уравнениями
dA = 0e,, de, =wiel, n 14
1 1 1 k (1.1)
Dok = О л o\, Ddt = oj a ok.
Здесь 1-формы ok удовлетворяют соотношениям
o\ +0 = 0,
(1.2)
вытекающим из условия ортонормальности репера Я:
(е; е)(1-3)
[О, 1Ф ].
В пространстве E4 зададим распределение А\,4: М ^ 1}2,
где М - текущая точка пространства E4, а Ь\ - двумерная плоскость, проходящая через эту точку. Присоединим к распределению ортонормальный репер Я так, чтобы
М = Л,Ц = ———) ^ х“ = 0,аф,у = 3,4. (1.4) Зд-сь и в дальнейшем символом Ь5 = (Л—, -ь...—)(я<4) обозначается д-мерная плоскость
(д-плоскость), проходящая через точку Л параллельно линейно-независимым векторам —,—,,...,.—, а величины х означают локальные точечные координаты относительно репера Я. Из (1.4) и (1.1) следует, что дифференциальные уравнения распределения А\4:М^Ц в Е4 можно записать в виде:
О = Л.0 ^ о. =-О“ = М0 ^ Л. - Л“,
йХ1—Х10-40+ ЛаЩ =Л“т, Л“т = 0, (1.5)
где а,Р,у= 1,2. Из (1.3) и (1.4) следует, что с распределением А\4:М^Ь\ в Е4 ассоциируется распределение
А2,4: А ^ ¿2 = (А, е3, е4) 1 Ь\. (1.6)
Здесь плоскость Д = (Л,-,-) » х“ = 0 в точке
Ае Е4 будет оснащающей в смысле [2] или нормальной в смысле [3] плоскостью распределения А2,4.
Замечание 1.1. Из (1.3-1.6) в силу (1.1) следует, что интегральные кривые [2] распределений
А2,4:М^Х2 и А224:М^Х2, описываемые точкой Ае Е4 с касательными, принадлежащими Ь\ и Ь\, определяются соответственно уравнениями:
А2,4 : о“ = 0; А2,4 : та = 0. (1.7)
Эти дифференциальные уравнения в силу (1.1) и (1.5) будут вполне интегрируемыми, т.е. распределения А12,4 и А22,4 будут инвалютивными или голо-номными [2], тогда и только тогда, когда соответственно:
А2,4 : Л.2] = 0; А2,4: = 0, (а = 1,2; а = 3,4). (1.8)
2. Отображения /а и фа плоскостей ¿’2 и ¿22
2.1. Квадратичные отображения
В каждой точке Ае Е4 можно получить нижеследующие отображения плоскостей Ц и Д, определяемые двумя соответствующими квадратичными функциями двух аргументов:
Л: у1 = Бц^хР-; /: у“ =
Заметим, что функции (2.3) будут гармоническими в точке Ме Н2 тогда и только тогда, когда они удовлетворяют соотношениям:
д2у" д2у"
- = 0.
(2.4)
ф: уа = Л“2(х‘)2 + (Ла2 - Ла)х1х2 - А“..1; (2.1)
ф : уа = Л“4(х3)2 + (Л4“4 -Ла3)х3хл - Л43(^)2, где величины Б“ и Ве&. определяются по формулам и удовлетворяют в силу (1.5) соответствующим дифференциальным уравнениям:
Б“в = -4д, Ц = -Л“. = -Б“,
йБ“в - вата - &т1+ щт.=щт. (2.2)
Символом Ти(г) будем обозначать касательное линейное подпространство к 1-семейству прямых г в направлении и, т.е. вдоль линии (А), описываемой точкой А, с касательными и в точке А. Из (2.1) с учетом (1.1), (1.4), (1.5-1.7) и (2.2) получается следующая геометрическая интерпретация отображений /а и фа (а = 1,2):
Л: Ц ^ Ц « у = /(.) = Ц п {Тх(х) и Ц}, х е Д; ф: Ц ^ Ц « у = ф(х) = Ц п {Тх(х) и Ц}, х ± х, х е Ц, / : Ц ^ ц« у = /г(х) = Ц п {Тх(х) и Ц}, х е Д; ф: Ц ^Ц»у = ф(х) = Ц п {Тх(х) и Ц}, х ±х,х, хе Д.
Здесь в случае отображения /а(фа) прямая хе Д(х е Ха) является касательной к линии (Л) вдоль интегральной кривой распределения А“,4(а= 1,2).
2.2. Гармонические/ш, <раг и аналитические/ш, (рш отображения плоскостей ¿2 и ¿2
Из (2.1) следует, что каждое из отображений /а, фа: Ь“ ^ Ц, (а ^ в, а, в= 1,2) в каждой точке ЛеЕ4 определяется двумя соответствующими функциями от двух аргументов с областью определения Д(а ^ в). Каждая из пар указанных функций от двух аргументов в точках области определения могут удовлетворять условиям Коши-Римана [6. С. 75-76] или могут быть гармоническими функциями.
Определение 2.1. Отображение ф: Н 2 ^ Н2*^ у" =ф“ (хр), (р = 1,2; " = 3,4) (2.3)
двумерных плоскостей Н2 и Н2(Ле Н2, Ле Н2) называется:
1. гармоническим в точке М(Х)е Н2 или отображением фг(ф ~^фг), если определяющие это отображение функции у" являются гармоническими в этой точке;
2. аналитическим или отображением фа(ф ^ фа), если функции уя удовлетворяют условиям Ко-ши-Римана в любой точке М(х)фаеН2.
(дх1)2 (дх1)2
В соответствии с [6. С. 75-76] функции (2.3) удовлетворяют условиям Коши-Римана тогда и только тогда, когда во всех точках Ме Н2 выполняются соотношения:
(2.5)
д/ = Э/ V = -д/ дх1 дх2’ дх2 дх1
Легко заметить, что из условий (2.5) в точке Ме Н2 вытекают условия (2.4). Этот факт известен в теории функций комплексного переменного: если функции комплексного переменного является аналитической, т.е. ее вещественная и мнимая части удовлетворяют в некоторой области условиям Ко-ши-Римана, то эти функции являются гармоническими в этой области.
Из (2.4) и (2.5) в соответствии с определением 2.1 получаем условия гармоничности и аналитичности всех отображений (2.1). При этом следует иметь в виду, что если каждое отображение /а или фа гармонично, то оно будет гармонично на всей плоскости Ц2 или Д.
1. Гармонические отображения
fir : Au + А22 — 0; ф1г : А“2 -A2i — 0;
(2.6)
(2.7)
f2r ■ Азз + А44— 0; tfhr ■ А34— А43— 0.
2. Аналитические отображения /1а:Ап+А22—0, А32+А21—2А22—0, А12+А21+2А22—0;
фу'-Ап—А21, А11—А22+2А12—0, А22-Ап+2А}2—0;
У2„:А“зА44—0, А34+А43—2А44—0, А34+А43+2А44—0;
ф2а:АЧ4—А4з, А33—А44+2А34—0, А44—А33+2А34—0; где а — 1,2; 2 — 3,4. Из (2.6) и (2.7) вытекают следующие утверждения:
1) fa ^ faa fa ^ far;
2) фа ^ фаа фа ^ фаг;
3) 1"а ^ Уса, фа ^ фаг ^ фа^ ф а;
4) фа ^ фаa, Jа ^ fm ^ f а ^Уаа.
Имеет место
Теорема 2.1. Отображение фа : Х2^Д(а, в — 1,2) в каждой точке Me E4 является гармоническим, в смысле определения 2.1, тогда и только тогда, когда распределение А“,4 ( а — 1,2; а — фиксировано) голономно.
Доказательство этой теоремы вытекает из (2.6) и (1.8).
3. Геометрические свойства отображений
fаг, фаг : L2^LI2((°^в)
В настоящем пункте будут выяснены геометрические свойства отображений f r и ф r. Для опреде-
ленности подробнее остановимся для выяснения геометрических свойств указанных отображений при а = 1. Геометрические свойства отображений при а = 2 можно получить из геометрических свойств отображений при = 1 формальной заменой индексов 1 ^ 3, 2 ^ 4.
3.1. Прямые д2(г) и “2(г) в Д, отвечающие прямой ге Д
Точке Ле Е4 в плоскости Д поставим в соответствие прямую -
г = (А,-)?. (3.1)
Из (2.1) с учетом (2.2) замечаем, что совокупность прямых х = (Л,-“)г“е 12, образы которых при отображениях/ : Д ^ Д и ф : Д ^ Ц ортогональны прямой (3.1), определяются уравнениями соответственно
д2(г)=/1(х)^гаБ“1хахр = 0, х“ = 0, г. = г', Х2(г)=ф(х)«гй{Ла2(х1)2+(Л2^-Лй)х1х!-Ла1(х!)2}=0, х1=0, (3.2)
( а = 1,2: в= 1,2: а$ = 3,4).
Из (3.2) следует, что каждой прямой геЦ2 в плоскости Д отвечают по две прямые д2(г)=/(х) и Хг(г)=ф(х). Каждую из этих пар прямых в Д,прохо-дящих через точку А, будем называть ассоциированными прямыми прямой ге Ц22 относительно соответствующего отображения/ или ф.
Из (3.2) и (2.6) вытекает справедливость следующей теоремы.
Теорема 3.1. Отображение / : Д ^ Ц2 (ф : Ц ^ Д), отвечающее точке Ле Е4, является гармоническим отображением/1г(ф) тогда и только тогда, когда ассоциированные прямые д2(г) (“2(г)) прямой геЦ2 относительно отображения/|(ф) ортогональны друг другу при любом выборе прямой ге Д.
3.2. Фокусная прямая К2 с Ц и коника К22 с Ц вдоль интегральных кривых распределения Д2,4
_ П-сть точки ХеЦ2 и УеП2 с радиус-векторами X = Л +ха-а и 7 = Л + у“-х являются фокусами [7] вдоль фокальных интегральных кривых распределения Д12,4. Тогда из
^Х-,-,-) = 0, (d——,—,—) = 0, а“ = 0 с учетом (1.1), (1.5) и (1.7) находятся уравнения двух фокусных прямых К2 плоскости Д и фокусной коники К22 с Д:
К1: Язь^х3 = 0, х“ = 0;
К2: + 2Ь .у “ + 1 = 0, уа = 0, (3.3)
где
а11 = А А142 - А132 А141, а22 = А^ А^ - А^ А,
2а12 = А131А22 + А231А142 - А132 А241 - А232 А,
Ьзз = А3 А232 - А1324, Ьм = А141- АА, (3.4)
2^34 = А42 + А А32 - А А - А А ,
2Ь “ = -Л“ -Л“.
Теорема 3.2. Отображение/ : Д ^ Д, отвечающее точке Ле Е4, является отображением /г тогда и только тогда, когда точка Ле Е4 является центром коники К22 с Д.
Теорема 3.3. Если отображения / : Ц ^ Д, ф : Ц ^ Д, отвечающие точке ЛеЕ4, являются отображениями/¡г,фг, то фокусные прямые К2 с Д, ортогональны.
Доказательство теорем 3.2 и 3.3 вытекает из (3.3), (3.4) и (2.6).
Замечание 3.1. Геометрические свойства отображений /аа,фш : Ц2 ^ Ц(а ^ Да,в = 1,2) в каждой точке Ле Е4, а также существование этих отображений будет предметом особого рассмотрения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ивлев Е.Т., Глазырина Е.Д. О двумерном многообразии центрированных 2-плоскостей в многомерном эвклидовом пространстве // Известия Томского политехнического университета. -2003. -Т. 306. -№ 4. -С. 5-9.
2. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г, Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Итоги науки и техники. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1979. -С. 7-246.
3. Норден А.П. Пространства аффинной связности. - М.: Наука, 1976. -432 с.
4. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды московского математического общества. -М., 1953. -Т. 2. -С. 275-382.
5. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. - М.: ГИТТЛ, 1948. -432 с.
6. Александров И.А. Теория функций комплексного переменного. - Томск: Томский государственный университет, 2002. -510 с.
7. Акивис М.А. Фокальные образы поверхностей ранга г // Известия вузов. Сер. Математика. -1957. - № 1. -С. 9—19.
