CC BY
36
Математика и механика. Физика
УДК 514.76
ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ПОЛЯХ ДВУМЕРНЫХ ПЛОЩАДОК РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ В ЭВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Е.Т. Ивлев, А.С. Пшеничникова, В.А. Пилипенко
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Изучаются поля пар соответствующих двумерных площадок m-плоскостей Lm и нормальных (п-т)-плоскостей Pnm распределения A[m в эвклидовом пространстве E. Доказывается существование конечного числа пар соответствующих площадок L’^Lm и P2<^Pn-m, характеризуемых наличием вполне определенных отображений этих площадок специального вида.
Введение
Распределения на погруженных многообразиях составляют один из важных разделов дифференциально-геометрических структур [1]. Одной из основных проблем распределения т-плоскостей Ьт в «-мерном однородном пространстве является проблема оснащения [1]. Эта проблема для распределения т-плоскостей Ьт в эвклидовом пространстве Еп является тривиальной, поскольку оснащающей плоскостью является (п-т)-плоскость Рп_т±Ьт. В этом случае возникает необходимость более детального изучения инвариантных геометрических образов, связанных с распределением т-плоскостей Ьт в Еп.
Данная статья является продолжением статьи [2].
В первом пункте, посвященном аналитическому аппарату, приводятся некоторые аналитические результаты работы [2], которые используются в данной статье при изучении распределения Д1пт:Л^Хт в Еп.
В пункте 2 доказывается теорема о существовании в общем случае инвариантного поля пар двумерных площадок Ц^Ьт и Р21еРп_т, Р„_т^Ьт.
Третий пункт посвящен изучению некоторых специальных распределений и Дп”т в Еп.
Все рассмотрения в данной статье, как и в [2], носят локальный характер, а функции, встречающиеся в статье, предполагаются функциями класса С”.
1. Аналитический аппарат
1.1. В п-мерном эвклидовом пространств-; Еп, отнесенном к ортонормальному реперу Я={Л,—}, (/,/', к,/=1,п) с деривационными формулами и структурными уравнениями
йЛ =т'в[, йе1 = т] е],
Бт' = Ю лт], Бтк = Ю люЮ, (1)
/- - \ Го,' ^
т +т] = о, (е';' = 8« =|1. = .
рассматривается распределение
ДП,т : Л ^ 1т = (А еЬ е2 ,ет). (2)
Здесь, как и в [2], символ (х;-) означает скалярное произведение векторов х,- еЕ„, а символ Ь1=(Б,—,—,,...,—,) обозначает р-мерная плоскость (р-плоскость) Ьр^Еп, проходящая через точку Б<еЕ„ параллельно линейно независимым векторам Б ,х1,х2,...,хр.
В соответствии с (1), (2) и [2. Ур. (6), (8), (9)] дифференциальные уравнения распределения Д1п,т имеют вид:
ю“ = Л“ т, УЛ“ = Л““, т], = 0,
а а' ’ а' а'] > а\}]\
(!, ] = 1, п, а, в, У= 1, т; а, /3,у = т +1, п). (3)
С учетом (1)-(3) и [2. Ур. (10), (11)] замечаем, что в пространстве Еп определено распределение:
Дп,п-т : А ^ Рп-т = (Л, вт+1,вт+2,..., вп ) ^ ^ . (4)
Из (1) и (3) следует, что
та = Ла т = -Ю ^ Ла = -Ла, (5)
а а! а а' а!
(см. [2. Ур. (11)]).
Замечание 1.1. Здесь и в дальнейшем предполагается, что т и п удовлетворяют неравенствам: т>2, п—т>2, т<п.
1.2. Каждой точке ЛеЕ« сопоставим в ¿т и Р„_т следующие двумерные плоскости в соответствии с [2. Ур. (15), (16)]:_ _
-2 — (A, еь е2)о х“' = я“1 х х“ = 0, L12 с Lm;
Р,1 = (А, £т+1, Бт+ 2) « Х“2 = Я“2X“2,
где /
х а = 0, Р'2 с Рп _
Б а1 = еа1 + ЯЯ1 еЯ1 , е а 2 = еа 2 + Яа ; С'
а1, Р1,Т1 = 1,2; а1, в х,у 1 = 3, т;
^ а2, в:,/: = т +1, т + 2; а:,Р 2,у 2 = т + 3, п
(6)
(7)
причем величины g“1 и ,“2 удовлетворяют дифференциальным уравнениям [2. Ур. (14)]:
V# ^ + ю“1 = я “Ю', Уе“2 + ю“2 = е“'2 ю'. (8)
о а1 а1 о а^ ’ <Ьа 2 а 2 <^а ; ' '
Заметим с учетом (1), (2), (4)-(7) и в соответствии с [2. Ур. (17)—(19)], что в точке ЛеЕ« определяются следующие линейные подпространства:
1^т-2 = (А, Бз,---, Бт) 1 -2, Lrm- 2 С ;
Р/п-т-2 = (А, Бт+3,..., Бп) 1 Р21, Р- ; С Р- т , (9)
где е«1 — е«1 + #^ еа 1, Баг — е«2 + еа2,
(10)
2. Поля инвариантных плоскостей 1.2с1-т и Р1сР-т
2.1. В соответствии с [2. Ур. (27)] в каждой точке ЛеЕ« определены при каждом фиксированном направлении /еЕ„:
, — (А, е1 ),' следующие отображения
Р, : -2 ^ р; о уа2 — (О“2ха1 + §а2),'
(11)
(12)
^ :Р2 ^-2 о *“- — О:-у“2 + дГ-)/', геометрически определенные в виде [2, (28)].
Здесь величины Оа! и Оа в соответствии с [2. Ур. (20)] определяются по формулам:
о; — 4; + < А|;+4 + ¿А), о;—С' + ¡С42' + са; + с с), (!3)
и удовлетворяют дифференциальным уравнениям [2. Ур. (21)].
В соответствии с определением 3.1, теоремой 3.1 и (27) в [2] имеем
('(О1’т+1 - От+2У — 0; [(От1 + О’т+2),' — 0
(14)
при каждом фиксированном направлении (11).
В соответствии с теоремой [2. Теорема 3.2] и [2. Ур. (29)—(31)] в точке ЛеЕ« плоскостям Х2'сХт и Р 1сР„_т отвечает («-2)-плоскость
Гп-2 «
\(От+1 - От+2у — 0; [(вЩ+2 + от+1у — 0,
(15)
как совокупностьвсех направлений (11), при которых е^ое^^.
2.2. Имеет место следующая теорема.
Теорема 2.1. Каждой точке ЛеЕ« при «>4 отвечает конечное число пар соответствующих плоскостей
-2 — -т П Гп-2 И Р;1 — Рп-т П Г„-; (16)
таких, что р ^ ра , V* е Гп-4 — - - 2 и Р - ;•
Доказательство. Из (9) и (10) с учетом (11)—(16) получаем, что
и1=2(т-2)+2(«-т-2)=2(«-4) величин и &“2=-,?“2, определяющих иско-
мые плоскости ¿2 и Р2 в точке ЛеЕ«, удовлетворяют « неоднородным алгебраическим уравнениям:
т~ - (вт+1 - ва2) ¡“1 + в'^1 - вт++2 — 0;
' а1 ^ 1 а1 2 а1 ' ^ й1 1а 1 2а 1
-тт+1
+ От+1 — 0;
Та 1 ’
^ - (ва;2+о%) ¡£+ в
т„. - (в,т+1 -в7т+ 2)е “2 + О-О”^2 — 0;
' ' 1 аТ 2а Т ГУ о 1 ГУ о ?ГУ ->
т+1
1а
т+ 2 1а 1 т+1 1а
(17)
- (От+2 + О7т+1)е “2 + от2 + От+1 — 0,
' аг 1 а 2 2а 2 а 2 1а 2 2а 2
а1, в1 — 1,2; а 1, в 1 — 3, т;
Л
ча 2, в2 — т +1, т + 2; аг, в2 — т + 3, п/ Рассмотрим якобиеву матрицу системы (17):
дт- дш~ дт- дш~
дев1
дев1
дев22
дев22
дт- дш~ дт- дш~
'/"У
деР1
дев1
в -ыв д8в: дев
в;
(18)
Подсчитаем ранг якобиевой матрицы (18) при следующих нулевых значениях величин:
е “1 — -е ^ — 0, е“: — -е“2 — 0, (19)
® а1 <“’а1 ® а; ® а 2
что с учетом (13) и (17) приводит к следующим соотношениям:
лт+1 лт+2 г\ лт+ 2 . лт + 1
^4”!+1 - ^т+2 — 0,
1а1 2а1
^4т+1 - Ат+2 — 0,
1аг 2аг
Ат+2
1 а1 Ат+2
1 а 2
+ А - — 0,
Та 1 ’
+ А^1 — 0.
2а 2
(20)
С учетом (19), (20) и (13) следует, что в точке ЛеЕИ при «>4 в общем случае существует нижеследующий тождественно ненулевой минор порядка и1=2(и-4) матрицы (18):
В — det
Ат+2 Ат+2 - А 2 А'3-:
Р1 а1 /? 1 а1 1а 1 2а 1
Ат+2 Ат+.1 - Ав - Ав:
Д1 а1 в? 1 а1 2а 1 1а 1
- Ат+2 Ат+ 2 А^2 - АТ’г
^1 «2 в1 «2 1а 2 2а
Ат+2 - А!”+-1 А^ А^2
в1 «2 /?1 а 2 2а 2 1а 2
Здесь
а;=3,т - номера (т-2) первых пар строк, а2=т+3,« - номера (и-т-2) следующих пар строк, в 1=3,т - номера (т-2) первых пар столбцов, в 2=т+3,«- номера (и-т-2) следующих пар столбцов.
Поскольку определитель В порядка « тождественно не равен нулю в точке ЛеЕ«, то система (17) в общем случае состоит из « алгебраически независимых уравнений, а потому она допускает в общем случае конечное число решений относительно ¿“¡—¿¡¡и £|2=-,|.
Теорема 2.1 доказана.
Проведем в точке ЛеЕ« -акую канонизацию ор-тонормального репера Я={Л,-}, при которой имеют место соотношения (20) и В^0 (см. ур. (21)). Из [2. Ур. (21)] и (20) с учетом [2. Ур. (11)], (19), (20), (8) и В^0 получаем
ю;1 — , <<2 — 4'ю',
VA:;'—, VA:: — 4:ю. (22)
Здесь явный вид величин Ли Ла“2 для нас не существенен, причем в силу (1) и1 меем2
ю“1 — -ю“1 — -А“1 ю' ^ — -А“1 ,
а1 а1 а1/ а1' й1 '
ю“2 —-ю“2 — -А“2ю' ^ А“2, — -А“2 . (23)
а2 а 2 а:' 2' а 2'
Из (22) следует, что указанная канонизация орто-нормального репера Я, осуществленная по формулам (20) и Вф0, в соответствии с [3] существует на любом распределении Д\т:Л^Ьт, на котором В^0. В соответствии с Теоремой 2.1 эта канонизация репера с учетом
(19), (16) и (9) геометрически характеризуется тем, что ______________________ *2 ____________________
-2 — (А, е1, е:) ^ — т-2 — (А, е3,..., ет),
_________ * 2 _________ _
Р1 — (А, ет+1, ет+ 2) ^ Рп-т-2 — (А, ет + 3,..., еп ). (24)
Здесь плоскости ¿1 и Р2; в точке ЛеЕ« геометрически определены в Теореме 2.1. В случае В=0 эти плоскости определяются бесчисленным количеством способов. Естественно, этот случай из рассмотрения исключается при указанной канонизации ортонормального репера Я.
3. Распределение ДЦт
Определение 3.1. Распределение
называется распределением Д^, если F ^ : L\ ^ Р2, Vte Еп.
(26)
Теорема 3.1. Распределение Д1««,т существует. Доказательство. Из (14) в силу (3), (5), (13),
(20), (25) и (26) получаем, что распределение Д характеризуется следующими дифференциальны ми уравнениями:
1п
n,m
,^m+l ^лт+ 2 A ^m+ 2 . m +1 _
О —®2 = 0, ©1 + ©2 = 0-
(27)
Рассмотрим распределение Дп , определяемое дифференциальными уравнениямип(см. ур. (22), (23)):
со* 1 = 0, о “2 = 0,
= 0, о“2 = 0,
01
^ а1 = 1,2; ai = 3, m; а 2 = m +1, m + 2; ^
а 2 = m + 3, n
(28)
Из (1) заключаем, что дифференциальные уравнения (28) замкнуты относительно операции внешнего дифференцирования. Поэтому распределение Д0 1« существует. Из (27) и (28) следует, что распреде-
^н.т 01«
ление Д0 «,т является частным случаем распределения Д1««,т. Сле«д,товательно, распределение Д1««,т существует. Теорема 3.1 доказана.
0 1«
Теорема 3.2. В случае распределения Д«т и только в этом случае ортогональные линейные подпространства (см. ур. (24)):
Гm — (A, £m+1, @m+ 2, ез,..., @m) — P, U Lm-2,
___ _ _ _ _ * 2
Гn-m = ( A, e1, e2, £m+3, ..., en ) = ¿2 U Р n-m- 2
(29)
изменяются параллельно самим себе.
Доказательство этой теоремы вытекает из (1), (24) и (29) с учетом (22) и (23).
Из теоремы 3.2 следует, что каждое из распределений
Дnm : A ^ Г„
(25)
в случае распределения является голономным в смысле [1].
Замечание 3.1. Из (28) с учетом (22) и (23) заключаем, что определитель (21) сохраняет свое значение как для общего распределения Д1„,т в Е«, так и для распределений Д1„"т и Д1« .
’ ^и,m
2
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г, Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии. Итоги науки и техники. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1979. - С. 7-246.
2. Ивлев Е.Т, Пшеничникова А.С., Барышева В.К. О распределении многомерных плоскостей в эвклидовом пространстве //
Известия Томского политехнического университета. - 2007. -Т. 310. - № 3. - С. 31-35.
3. Остиану Н.М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. math. pures et appl. (RNR) - 1962. -№ 2. - P. 231-240.
Поступила 25.10.2007г.
