Свойства функции расстояния до строго и сильно выпуклого множества Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Konotиев А. Б. Формула субдифференциала одной негладкой функции // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 13-й Capar, зимней шк. Саратов, 27 янв. - 3 февр. 2006 г. Саратов: ООО Изд-во «Научная книга», 2006. С. 93 - 94.

4. Дудов С. И., Златорунская И. В. Равномерная оценка выпуклого компакта шаром произвольной нормы // Мат. сб. 2000. № 10. С. 13 - 38.

5. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

УДК 519.853

А. С. Дудова

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАССТОЯНИЯ ДО СТРОГО И СИЛЬНО ВЫПУКЛОГО МНОЖЕСТВА

Под функцией расстояния до замкнутого множества D a Rp в норме «(■), действующей на Rp, понимается

РоМ = min«(x - у).

y<=D

Известно [1 — 3], что если D является выпуклым множеством, то функция Ро(х) является выпуклой на Rp, а функция рп(х), где

Q = Rp \ D, является вогнутой на D. В данной статье укажем на некоторые свойства функции расстояния до строго выпуклого множества [2] и функции расстояния до r-сильно выпуклого множества [4], то есть множества, представимого в виде пересечения евклидовых шаров радиуса г.

ТЕОРЕМА 1. Если D является строго выпуклым множеством, то функция рп(х) является строго квазивыпуклой на D, то есть

pn(cu, +(l-a)x2)>min{pn(x1),pn(x2)}, Vxux2eD, ае(0,1).

Доказательство. Известно [3], что для любых jct,х2 из Rp

|pn(*i)-Pn(*2)|^«(*i ~хг)- (О

Пусть далее, для определенности, точки x¡,x2 из D таковы, что Pn(*i) á Pq) • Если только рп(х2)< Pn(*i) + п{х{ - х2), то можно показать выполнение строгого неравенства

рп(оа, + (1 - а)л2) > арп(х[) + (1 - а)рп(х2), Va е (0,1), из которого вытекает неравенство pn(cu, + (1 - а)х2) > ашт{рп(х,),рп(д:2)} + (1 - a)min{pQ(xI),pí2(x2)} =

= min {pQ (*[), pn (х2 )}.

Ввиду (1), альтернативным случаем является выполнение равенства Pq(*2) = P£j(xi) + w(xi ~хг)> используя которое, с учетом вогнутости функции рп{х) на D, получаем

Pij(otX] + (1 - a)x2)> apn(x,) + (1 - a)pn(x2) = pQ(x|) + (1 - a)n(x} -x2)> >pn(x1) = min{pn(x1),pn(x2)}. □

ТЕОРЕМА 2. Если D является строго выпуклым множеством, а норма и( ) - строго квазивыпуклой, то

1) для любого А. > О множество G(X) = {х е Rp :pD(x) < Я,} является строго выпуклым,

2) если к тому же хотя бы одна из точек Л',, х2 не содержится в D, то

pD(cuci+(l-a)x2)<max{p0(x]),pD(x2)}, Vae(0,l). (2)

Доказательство. 1) Нетрудно показать, что

G(X) = D + Bn(Op,X), (3)

где Вп(Ор,Х) = {yeRp \п(у) < X.}. Если X = О, то G{0) = D - строго выпуклое множество по условию теоремы.

Пусть >.>0. В соответствии с (3) любая пара точек у1,у2 из G(X) нредставима в виде yt = dj + bt, где di е D,bi s Bn(0,X), i = 1,2. Тогда точка ya = cxy, + (1 - о.)у2 прецставима в виде

уа = ad] + (1 - a)d2 + а А, + (1 - а )Ь2.

Если у\ * у2, то либо с/, ^ d2, либо />| # Ь2. Поэтому, в силу условий теоремы, либо ad] + (1 - a)d2 s int D, либо аА, + (1 - a)b2 e intBn(0p,X) при ае(0,1). Это, ввиду (3), влечет включение уа е int G(X). Поскольку у,,у2 выбирались из G(X) произвольно, мы тем самым доказали строгую выпуклость множества G(X).

2) Пусть, для определенности, pö(xi) < р0(х2) и х2 <£ D. Если к тому же выполняется pD(x2) < р¿j (jct) + - х2 ), то нетрудно доказать выполнение неравенства

Pd(cüc, +(l-a)x2)<apD(x1) + (l-a)pD(A-2), Vae(0,l), из которого сразу следует (2). Если же р0(х2) = рD(x\) + n{xx -х2), то используется выпуклость функции pD(x):

р0(ох, + (1 - а)х2) < apD(x,) + (1 - а)р0(д:2) < pD(x2) = = max{pD0,),pD(x2)}. □

СЛЕДСТВИЕ. Если D не является строго выпуклым множеством или норма и(-) не является строго квазивыпуклой, то множество G(X) при любом А. > 0 не является строго выпуклым.

Доказательство. В соответствии с известным фактом [5, с. 124] из (3) следует

» •

D = G(X)~ Вп{0р,Х), Вп(0р,Х) = G(X)-D,

*

где А-В = {с :с + В с. А) - разность JT. С. Понтряшна множеств А и В.

Поэтому допущение о строгой выпуклости G(X) [4, с. 292] приводит нас к строгой выпуклости D и строгой квазивыпуклости нормы «(•) одновременно. □

ТЕОРЕМА 3. Пусть D является г-сильно выпуклым множеством. Существует константа С > О, что для любых точек xt,x2 из D таких, что Pn(xi) = Pn(x2) = P и осе[0,1] выполняется

pn(ax, + (1 - а)х2)^р + 2r Г-

Здесь | • I - евклидова норма.

Доказательство. В силу эквивалентности норм в Rр существует С > 0 такое, что

С||х| < и(х), VxeRp. (4)

1) Рассмотрим случай pQ(xt) = рп(х2) = 0. Поскольку точки х,,х2 содержатся в r-сильно выпуклом множестве Д то [4, с. 298 - 300] точка ха = olV[ + (1 - а)х2 содержится в D вместе с евклидовым шаром

B(xa,ra) = {yeRp :\\ха-у\\<га}, где ra = г - Jr2 - а(1 - а)\\Х] -х2\\2 . Поэтому из (4) следует включение Вп(ха,С • ra) ci D, из которого вытекает неравенство

п (х )> Сг Сц(1-а)|К-*212 _ ||2

Рп(ха)гСга - I , 7г ~ Fl Х2|| •

r + yjr2- а(1-а)||х,-х2|Г 2г

2) Пусть теперь ра(х, ) = рп(х2) = р > 0. Обозначим через

Ql={xe«':pQ(x)<p}, D]={xeRp :pn(x)> р}.

Легко видно, что = \ Д , а множество £>, представимо в виде £>, =£>-5и( 0„,р)

и значит [4, с. 292] является, как и множество О, г-сильно выпуклым. Поскольку рП| (х,) = рП] (х2) = 0, то в соответствии со случаем, рассмотренным выше, можем записать

, Са(1 - а) у „2

Осталось заметить справедливость равенства Ро(ха) = рП) (ха) + р. □

ТЕОРЕМА 4. Если О является г,-сильно выпуклым множеством, а норма п(-) такова, что ее шар единичного радиуса является г2 -сильно выпуклым множеством, то для любого X > 0 множество С (к) является (г, + Аг2) -сильно выпуклым.

Доказательство. Поскольку шар Впф р,\) = ~кВп(0 р,\) является Хг2 -сильно выпуклым, то утверждение теоремы вытекает из (3) и известного факта о радиусе сильной выпуклости суммы сильно выпуклых множеств [4, с. 292]. □

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пшеничный Б. И. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

2. Демьянов В. Ф., Васшьев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука,

1981.

3. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988.

4. Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.' Физматлит, 2004.

5. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990.

УДК 517.51

В. С. Зюзин, Е. К. Черепанов

ПРИБЛИЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ИНТЕРВАЛЬНЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ ТЕЙЛОРА

Предлагается методика нахождения коэффициентов рядов Тейлора в интервальном виде для решения уравнений в частных производных с начальными условиями. Она разработана по аналогии с методикой нахождения коэффициентов рядов Тейлора для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями [1].

Находим многочлен до п-й степени и оцениваем остаточный член (п + 1)-го порядка. Используя интервальные методы, получаем гарантированные, апостериорные оценки погрешности, включая погрешности вычисления приближенного решения задачи.

В данной статье рассматривается, метод приближения решения задачи

с2и ди ди

"Г~ПГ7 = /(*>■*'>М>~5~>1Г")> l + J = 2> (и

дх ду1 ох су

и{х0,у)= ср20>); м(х,у0) = ф1(х); (2)

причем ф] (л^о)= Ф2 (>'о) (условие непрерывности), многочленами Тейлора с интервальной оценкой остаточного члена.

Предполагается, что правая часть (1) имеет рациональный вид и непрерывные частные производные любого порядка, также предполагается дифференцируемость фуикций из начальных условий достаточное число раз. Требование рациональности правой части уравнения (1) не ограничи-