Оценка погрешности решения одной экстремальной задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

многогранника, которая сводится к задаче линейного программирования [1], мы, используя оценку' погрешности аппроксимации выпуклого компакта D много!ранником и теорему 1, имеем возможность оценить погрешность полученного приближенного решения задачи (1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 JJydoe СИ. Внутренняя оценка выпуклого множества телом нормы // ЖВМ и МФ 1996. Т 36. № 5. С. 153 -159.

2. Дудов С.И. Об обобщенном градиенте функции расстояния // Итоги науки и техники Сер Современная математика и ее приложения Темат обзоры 1999 Т 61(2). Негладкий анализ и оптимизация. С. 5 - 14.

3. Половинкин Е.С. Сильно выпуклый анализ // Мат сб 1996 Т 187. № 2. С 102- 130.

УДК 519.853.3

И. В. Златорунская

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ"

1. Пусть D заданный выпуклый компакт из Rr, функция п(х) удовлетворяет аксиомам нормы на Rp, р(А,В)= sup inf п(х-у) - уклонение

уеВ

множества А от множества Я, И(А, В)=тзх {р(А, В), р(В, ,4)} - расстояние Хаусдорфа между множествами Л и В в норме п(дс), Вп (дг, г) = {у е Rp : п(х - у) <, г | - шар в норме п(х) с центром в точке х и радиусом г. Тогда задачу о наилучшем приближении выпуклого компакта D шаром нормы п(х) в метрике Хаусдорфа, порожденной этой нормой, можно записать в виде

h(D, Вп(х, г)) -> nun. (1)

xzfC.rZ 0

Свойства решения этой задачи изучались в [1] для случая евклидовой нормы и в [2] для произвольной нормы п(х).

В данной статье мы рассмотрим вопрос о погрешности решения задачи (1) при аппроксимации компакта D многогранником, а именно оценим разность |/i0(D)-/j0(Dc)|, где /i„(D)= min h(D, Вп(х, г)), Dc -

хеНр, г>0

многогранник, аппроксимирующий компакт D.

' Работа выполнена при поддержке про!раммы «Ведущие научные школы», проект № 00-15-96123.

К/(х) =

2. Пусть оцениваемый компакт D задан своей опорной функцией IV(D, х) = тах(х, у). Для построения многогранника, аппроксимирующего

yeD

компакт Ü, можно воспользоваться результатами работы [3], которые, в частности, позволяют строить внешние (по включению) аппроксимации выпуклых множеств многогранниками и оценивать погрешность этой аппроксимации. Приведем два определения.

Определение 1 [3]. Сеткой С мелкости Ле(0,1) называется конечный набор точек jгч е Rp, i е 1,7, из единичной сферы 5(0^,1) = {хе Rp :||xf = l} такой, что для любого х*0р существует подмножество индексов /х с 1,/ и числа а, >0, где / 6 /х, такие, что ||х( -*у||< А, V/, у е /х, Xf,Xj еС,

х= ¡Xj, xt еС. ieJx

Определение 2 [3]. Пусть задана сетка С мелкости А е (0,1) На множестве положительно однородных функций / :RP -+R зададим сеточный оператор К по формуле

f/(x), х/\\|х||еС, [too, х/||х||«С.

Как показано в работе [3] оператор К задает внешнюю многогранную аппроксимацию выпуклого компакта по сетке С. При этом

coKW(D,x) = W(Dc,x), где многогранник Dc, содержащий компакт Д образован опорными к D гиперплоскостями с нормалями х, еС, / = 1,/ и имеет вид

Dc={yeRp:(-x„y) + W(D1x,)ZO, х, еС, i = lj}-Используя результаты работы [3] и свойства опорных функций, нетрудно показать, что имеет место

J1EMMA 1. Пусть D выпуклый компакт, тогда

|W{D, х) - W(Dc,x)\ < 4(diam D)2 Л||х||/р. где diamD = max w(x[-x2) - диаметр множества D,

xt,x2eD

р = max min ||х - - радиус наибольшего евклидова шара, содержаше-

xeD yeRp\D

гося в D.

3. Лемма 1 дает возможность получить оценку погрешности приближенного решения задачи (I).

ТЕОРЕМА 1. Справедлива оценка

\h0(D)-h0(De) |< 4(diam D)2 AK / р,

где константы diamD, р определены в лемме 1, а константа К определяется для полярной нормы л'(х)= max (v,x) соотношением ||x||<

VxeRp.

Доказательство. Уклонение компакта D от многогранника Д. в произвольной норме и(-) можно выразить следующим образом [4]

p(D,Dc)= max {W{D,x)-W(Dc,x)}. «'(*)=i

Тогда расстояние Хаусдорфа между множествами D и Dc выражается формулой

h(D,Dc)= шах ^V(D,x)-W{Dc,x)\. (2)

Л*)=1

Используя липпгицевость функции h0(D), доказанную в статье [2], лемму I и соотношение (2), получаем

\h0(D)-h0(Dcyi<h(D,Dc)< max {*{d,am D? Щ/р).

п (дг)=1

Поскольку по условию выполняется неравенство ||х)| < К п (х), то, следовательно,

|А0(D) - h0(Dc)| <;4{diam D)2AK/p. Таким образом, погрешность приближенного решения задачи (1) при аппроксимации компакта D многогранником пропорциональна мелкости сетки С, по которой строится внешняя многогранная оценка множества D и обратно пропорциональна радиусу наибольшего шара, вложенного в D.

Если компакт D является сильно выпуклым множеством [3], то можно получить более точную (по порядку мелкости сетки С) оценку погрешности, а именно имеет место

ТЕОРЕМА 2. Если компакт D является сильно выпуклым множеством с радиусом R0, то справедлива следующая оценка \h0(D)-h0(Dc)\^2R<)A2/P. Замечание. Если шар используемой нормы «(■) является многогранником, то задача (1) доя многогранника Д. сводится к задаче линейного программирования [5]. Решив задачу линейного программирования и воспользовавшись теоремой 1 или 2, можно оценить погрешность полученного приближенного решения задачи (1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Никольский М.С., Силин Д Б О наилучшем приближении выпуклого компакта элементами аддиала//Тр МИ РАН 1995. Т. 211. С. 338 -354

2 Цудт С И , Златорунская И И Равномерная оценка выпуклого компакта шаром произвольной нормы // Мат. сб 2000. Т. 191, № 10 С. 13 - 38

3 Половинкам ЕС Сильно выпуклый анализ // Мат сб. 1996. Т. 187, №2. С. 102 - 130

4 Пшеничный Б.Н Выпуклый анализ и экстремальные задачи М Наука, 1980.

5 Лудов С.И, Златорунская И В Алгоритм наилучшего приближения выпуклого компакта шаром произвольной нормы // Математика. Механика: Сб. науч. тр Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2001 Вып 3. С. 43 - 46

УДК 681.3.068

В. А. Иванов, С. П. Шевырёв ГЕНЕРАТОР ТЕСТОВ

В статье рассматривается задача построения универсального генератора тестов Работа развивает идеи, изложенные в [1 - 5]

Математически тест, созданный таким генератором, представляет собой нагруженный ориентированный граф, вершинами которого являются вопросы одного из трёх видов:

1 Выбрать один вариант из нескольких.

2 Отметить несколько пунктов в списке ответов.

3. Ввести строку с последующим сравнением с ответом в списке ответов

Дугами ориентированного 1-рафа являются пути перехода от одного вопроса теста к другому.

Второй, глубинный уровень модели генератора тестов предоставляет совокупность трёх модулей: тестируемого, преподавателя и администратора Модуль администратора обеспечивает учет пользователей системы Модуль тестируемого предоставляет собой интерфейс пользователя для прохождения тестирования, заносит результаты тестирования в базу данных. Модуль преподавателя, в свою очередь, представляет собой инструмент для создания вопросов, тестов, а также просмотра результатов тестирования

Между модулями существуют связи, определяющие потоки информации в системе. Так, например, через модуль администратора в систему попадает информация о том, какие пользователи относятся к преподавателям, а какие - к тестируемым Между модулем тестируемого и модулем преподавателя существует двунаправленная связь - результат работы модуля преподавателя есть входная информация для модуля тестирования. Модуль преподавателя предоставляет сформированные тесты тестирующему модулю и обрабатывает результаты, поступающие в систему после окончания тестирования. В свою очередь, модуль тестирования формирует данные (результаты прохождения тестов), необходимые модулю преподавателя. Далее перечислим все основные процессы, протекающие в системе тестирования при её работе.

Модуль администратора. Процесс 1. Управляет базой данных пользователей системы, включает в себя операции добавления, удаления