Об устойчивости решения задачи о внутренней оценке выпуклого компакта шаром произвольной нормы Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Дмитриев О.Ю. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора п-го порядка с нерегулярными краевыми условиями // Математика и ее приложения Саратов, 1991 С. 70 - 72

3. Дмитриев О.Ю. Разложение по собственным функциям дифференциального оператора л-го порядка с нерегулярными краевыми условиями И Современные проблемы теории функций и их приложения Саратов, 1996. С. 41 - 42.

УДК 519.853

С. И. Дудов

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ВНУТРЕННЕЙ ОЦЕНКЕ ВЫПУКЛОГО КОМПАКТА ШАРОМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ НОРМЫ"

1. Пусть D - выпуклый телесный компакт из конечномерного действительного пространства Rp, а функция п(х) удовлетворяет на Rp аксиомам нормы. Задачу о вложении в данный компакт D шара нормы л(-) максимального радиуса можно записать в виде

df

рп(л) s min п(х ->)—> max , (1)

уе О xeD

где Q = Rp \ D. Эта, так называемая, задача о внутренней оценке компакта D шаром нормы п( ) рассматривалась в работе [1] В ней получено необходимое и достаточное условие решения, доказана единственность решения для случая строго выпуклого компакта D, предложена схема алгоритма приближенного решения задачи для оценки произвольного выпуклого компакта.

Здесь мы рассмотрим вопрос об устойчивости решения задачи (1) относительно погрешности задания компакта D .

Приведем используемые далее обозначения, вспомогательные понятия и факты Под Kv(Rp) будем понимать пространство всех выпуклых

компактов из Rp с метрикой h(A,B) = maxi supinf п(а - />),sup inf n(a - b) L

{ аеАь*в ЬеВа*А I

G(xo)= e Rp ■ PnO) * Pn(*o)}. Gc(x„) = {* 6 Rp - pn(*) < pn(*0)}, о =(0,...,0)eRp, ||-|j - евклидова норма в Rp, p(D) = max pn(x),

x e D

X(D) = {yeD:pn(y) = p(D)}, А - В - {с e Rp : с + В с A},

Работа выполнена при поддержке программы «Ведущие научные школы», проект № 00-15-96123

Bn(x,r) = {yeRp :n(x-y)<r}, B(x,r) = {у e Rp : f* - y\\ < r}, intD - внутренность множества D.

ЛЕММА 1 [2]. Если рпОО^РпМ.™ PnO0 = PG«(l)O') + PnW-

Нетрудно показать, что имеет место

ЛЕММА 2. Если рп(д:0) > 0, то справедливо представление

О(х0) = D-Bn(op,pa(x0))

Определение 1 [3]. Множество AczRp называется г-сильно выпуклым множеством, если оно может быть представлено как пересечение евклидовых замкнутых шаров радиуса г

Определение 2 [3]. Пусть Acz Rp - ограниченное множество, а числа р>0 и г> О такие, что В(ор,р)'А и г>р. Сильно выпуклой

г -оболочкой множества А называется пересечение всех замкнутых евклидовых шаров радиуса г, содержащих данное множество А. Будем ее обозначать sir согА.

ЛЕММА 3 [3]. Если AcRp - /--сильно выпуклое множество, то множество А-В, если оно не пусто, также г-сильно выпукло

ЛЕММА 4 [3] Пусть г> 0, а точки а0 и а, из Rp таковы, что О < ||а0 - а, I < 2г. Тогда справедливо представление

sir cor{aQ,ax}= U#(aa>0.

aefOJJ

где аа = (1 - a)a0 + a a,, ra = г - ■yjr2 - a(l - a)||a0 - a,||2

2. Пусть e>0 - погрешность задания компакта DeKv(Rp) компактом Dt e Kv{Rp), то есть

А(Д£>Е)<е, (2)

а C0 - положительная константа (она существует в силу эквивалентности норм в Rp), для которой

И- С0п(х), Vxe R". (3)

ТЕОРЕМА. Имеет место неравенство

IP(D)-P(DE)|<E. (4)

Кроме того, если D - г-сильно выпуклое множество, а ее

0,-^- | и дос-. со

таточно мало, чтобы X(DE)c int D, то

|х* - хеI < ^С0Е(Г-С0Е), V дгЕ € Х(ПС), (5)

где х - единственное решение задачи (1).

Доказательство. Легко показать, что из (2) для любого xeR'' следует оценка

|Ро(*)-Рп.(*Же. (6)

пользуясь которой уже нетрудно получить (4).

Пусть теперь D - г-сильно выпуклое множество. Тогда, как и для любого строго выпуклого компакта [1], задача (1) имеет единственное решение, то есть X(D)={x } Возьмем произвольный элемент x.eX(De). Так как рп(лЕ), то по лемме 1

Pn(**) = PGc(A.t)C**) + Pn(*E) (7)

Отсюда, учитывая что х' - решение задачи (1), вытекает

™.ах (8) ° xeG(xc) ь t1*'

Поскольку хЕ е X(Df) и в соответствии с (6) выполняется |Pn(*s)-PncC*e)|£s. то из (?) следует рсС(х )(х')£ 2е Поэтому, принимая во внимание (3) и (8), можно дать оценку сверху для максимального радиуса евклидова шара вложенного в G(.xe)1

max min \\х - у\\ < 2sC0. (9)

xeG(x t)yeG'(xt)

Из условия теоремы X(DE) с int D следует Рп(лЕ)>0. Тогда, применяя леммы 2 и 3, заключаем, что множество G(xe) является г-сильно выпуклым Поскольку л* еО'(-*е) и хс е G(xf. )> то [3]

sir cor[x* ,xc\czG(xe) (10)

Из леммы 4 легко сделать вывод, что максимальный радиус евклидова шара, вложенного в множество sir cor {х',хс J, равен г - Jr2 - - хЕ| . Поэтому, учитывая (9) - (10), получаем неравенство

очевидное преобразование которого и дает (5). Теорема доказана

Замечание. Один из способов получения приближенного решения задачи (1) может заключаться в следующем. Можно задать сетку векторов на единичной евклидовой сфере пространства Rp с центром в ир и построить опорные г иперплоскости к компакту D, для которых эти вектора являются нормалями Результаты работы [3] позволяют в зависимости от «мелкости» этой сетки дать оценку погрешности аппроксимации компакта D многогранником, который образуют построенные гиперплоскости Далее, решив соответствующую задачу о внутренней оценке построенного

многогранника, которая сводится к задаче линейного программирования [1], мы, используя оценку погрешности аппроксимации выпуклого компакта D много!ранником и теорему 1, имеем возможность оценить погрешность полученного приближенного решения задачи (1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 JJydoe СИ. Внутренняя оценка выпуклого множества телом нормы // ЖВМ и МФ 1996. Т 36. № 5. С. 153 -159.

2. Дудов С.И. Об обобщенном градиенте функции расстояния // Итоги науки и техники Сер Современная математика и ее приложения Темат обзоры 1999 Т 61(2). Негладкий анализ и оптимизация. С. 5 - 14.

3. Половинкин Е.С. Сильно выпуклый анализ // Мат сб 1996 Т 187. № 2. С 102- 130.

УДК 519.853.3

И. В. Златорунская

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ"

1. Пусть D заданный выпуклый компакт из Rr, функция п(х) удовлетворяет аксиомам нормы на Rp, р(А,В)= sup inf п(х-у) - уклонение

уеВ

множества А от множества Я, И(А, Я)=тах {р(А, В), р(В, ,4)} - расстояние Хаусдорфа между множествами Л и В в норме "(■*), Вп (дг, г) = {у е Rp : п(х - у) <, г | - шар в норме п(х) с центром в точке х и радиусом г. Тогда задачу о наилучшем приближении выпуклого компакта D шаром нормы п(х) в метрике Хаусдорфа, порожденной этой нормой, можно записать в виде

h(D, Вп(х, г)) -> nun. (1)

xzfC.rZ 0

Свойства решения этой задачи изучались в [1] для случая евклидовой нормы и в [2] для произвольной нормы п(х).

В данной статье мы рассмотрим вопрос о погрешности решения задачи (1) при аппроксимации компакта D многогранником, а именно оценим разность |/i0(D)-/j0(Dc)|, где /i„(D)= min h(D, Вп(х, г)), Dc -

хеНр, г>0

многогранник, аппроксимирующий компакт D.

' Работа выполнена при поддержке про!раммы «Ведущие научные школы», проект № 00-15-96123.