Приближение решения уравнений в частных производных с начальными условиями интервальными многочленами Тейлора Текст научной статьи по специальности «Математика»

Доказательство. Поскольку шар Впфр,\) = ~кВп(0р,\) является Хг2 -сильно выпуклым, то утверждение теоремы вытекает из (3) и известного факта о радиусе сильной выпуклости суммы сильно выпуклых множеств [4, с. 292]. □

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Пшеничный Б. И. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

2. Демьянов В. Ф., Васшьев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука,

1981.

3. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988.

4. Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.' Физматлит, 2004.

5. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990.

УДК 517.51

В. С. Зюзин, Е. К. Черепанов

ПРИБЛИЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ИНТЕРВАЛЬНЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ ТЕЙЛОРА

Предлагается методика нахождения коэффициентов рядов Тейлора в интервальном виде для решения уравнений в частных производных с начальными условиями. Она разработана по аналогии с методикой нахождения коэффициентов рядов Тейлора для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями [1].

Находим многочлен до п-й степени и оцениваем остаточный член (п + 1)-го порядка. Используя интервальные методы, получаем гарантированные, апостериорные оценки погрешности, включая погрешности вычисления приближенного решения задачи.

В данной статье рассматривается метод приближения решения задачи

с2и ди ди

"Г~ПГ7 = /(*>■*'>М>~5~>1Г")> l + J = 2> (и

дх ду1 ох су

и{х0,у)= ср20>); м(х,у0) = ф1(х); (2)

причем ср1 (х0) = ф2{уо) (условие непрерывности), многочленами Тейлора с интервальной оценкой остаточного члена.

Предполагается, что правая часть (1) имеет рациональный вид и непрерывные частные производные любого порядка, также предполагается дифференцируемость фуикций из начальных условий достаточное число раз. Требование рациональности правой части уравнения (1) не ограничи-

вает общности. В основном большой класс уравнений путем замены переменных можно свести к рациональному виду.

Решение задачи (1), (2) находим с помощью ряда Тейлора

п п

>') = X Е (и)« (х - х0 у (у - л У + *и+1. (3)

1=0 ] о

где остаточный член

п+1 . , .

*«+, > , (4)

(=0

где а-0 < х, < х0 + кх, у0 < х2 ^ у0 + И2,

1 д'+]и(х,у) 1' а /! лг'А^'

•У'

Для нахождения коэффициентов ряда Тейлора (3) выведены следующие рекуррентные формулы. Пусть и(х,у) и ил{х,у) имеют частные производные любого порядка, тогда имеют место следующие формулы:

("*)<>■ =0' + 1)(")/+1,у. ("А = О'+ !)("),,у-И . =('+1)(У+ 1)("),+1,у+1.

("« )// = (' + 0 0' + 2) (")/+2,у. («уу )ц = (У +1) и + 2) .

| У

= («),, ±(«|),у. (ЦЩ= £ £(")*/("|)<•-*,;-/ •

В приведенных формулах не рассмотрен случай операции деления. Если у функции рационального вида встречается операция деления, то ее можно избежать путем замены переменных.

Применение выведенных формул избавляет от необходимости последовательного дифференцирования правой части уравнения (1). Если нам известна двусторонняя оценка решения и(х,у) задачи (1), (2) на области [х0,х0 + /*,] х [у0,у0 +И2) (и< и(х,у)< и или и(х,у)ч[и,и] := [и ]), то, используя рекуррентные формулы, можно получить двустороннюю оценку остаточного члена (4).

В случае, когда нам неизвестна двусторонняя оценка решения и(х,у) задачи (1), (2) в рассматриваемой области, ниже приводится вариант нахождения указанной двусторонней оценки.

Для этого сводим задачу (1), (2) к системе интегральных уравнений с помощью замены: V := их, ю = иу.

Пусть

г:=(у,и<,ы), Тг := (Т^,Ткч>,Тии) => г = Гг.

Предположим, что функция /(х, у, V, и.', и) по переменным и, V, ч> удовлетворяет условию Липшица.

Введем расстояние [2]

p(z,z0):= шах {e -«(—^o 5 [| M - м01+| v - v01+| w - w01]},

x0 <x<x0 +hl \y0 <y<y0 +h2

где a, ß > 0.

С его помощью показываем, что оператор Т есть оператор сжатия при соответствующем выборе а, ß > 0, т.е.

p(Tz,Tz0) < <7p(z,z0), где 0 < q < 1.

Следовательно, оператор Т с введенным расстоянием обеспечивает сжатое отображение на заданной области.

Приведенная ниже теорема способствует установлению двусторонней оценки решения и(х,у) задачи (1), (2).

ТЕОРЕМА. Пусть интервальный вектор [z°J := ([v°],[w°],[м°]) такой, что

[z1] :— J[z0]c[z0].

Тогда задача (1), (2) на области [х0, х0 + h, ] х [ у0, _у0 + h2 ] имеет единственное решение и(х, у) е [ z1 ] с [ z() ].

Установленную оценку [ы1] := [«!,«'] можно использовать для оценки остаточного члена (4), используя приведенные выше рекуррентные формулы.

Предлагаемый метод позволяет находить приближения решения и{х,у) задачи (1), (2) в аналитическом виде, а именно в виде многочлена Тейлора с интервальной оценкой остаточного члена. При вычислении на Pascal-XSC получаем гарантированные двусторонние приближения точного решения с учетом погрешности округлений.

В работе [3] был рассмотрен частный случай: задача Гурса.

Решение задачи (1), (2) было рассмотрено на следующем примере:

д2 и / дхду + ди / дх + ди! ду + и = 0,

z/(0,^) = cosy, 0<^</72; h2 := 0.1,

и(х,0) = е'\ Q<x<h\\/г, :=0.1.

Полученное решение оказалось на 2 порядка точнее решения этого примера с помощью численных методов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Moore R. Е. Interval Analysis. Englewood Cliffs. N. J.: Prentice-Hali, 1966.

2. Walter W. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Berlin: Springer-Verlag, 1976.

3. Филиппенко E. Г., Зюзин В. С. Приближение решения задачи Гурса интервальными многочленами Тейлора // Междунар. конф. по вычислительной математике: Рабочие совещания. Новосибирск, 21-25 июля 2004 г. Новосибирск: ЗАО РИЦ «Прайс -Курьер», 2004. С. 255 - 257.