Формула интегрирования по частям неклассического типа при исследовании задачи Гурса для одного псевдопараболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2011, Том 13, Выпуск 4, С. 40-51

УДК 517.956

ФОРМУЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ НЕКЛАССИЧЕСКОГО ТИПА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ЗАДАЧИ ГУРСА ДЛЯ ОДНОГО ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

И. Г. Мамедов

В данной статье обоснована формула интегрирования по частям неклассического типа при исследовании задачи Гурса для псевдопараболического уравнения с негладкими коэффициентами и с доминирующей производной четвертого порядка.

Ключевые слова: Задача Гурса, дифференциальные уравнения с негладкими коэффициентами, обобщенная функция Римана, интегральное представление решения.

1. Введение

В данной статье, при некоторых условиях типа р-интегрируемости и ограниченности на коэффициенты, дано понятие обобщенной функции Римана на случай уравнений четвертого порядка и найдено интегральное представление решения задачи Гурса. Исследованы условия, при которых оператор этой задачи, вместе с оператором соответствующей сопряженной задачи нетрадиционного вида, осуществляют гомеоморфизмы между определенными парами банаховых пространств. Найдены также некоторые достаточные условия, при которых обобщенная функция Римана существует и единственна.

Многочисленные теоретические и прикладные проблемы приводят к необходимости разработки псевдопараболических уравнений, встречающихся в ряде исследований, в частности, в задачах теории фильтрации жидкости в трещиновато-пористых средах, передачи тепла в гетерогенной среде, влагопереноса в почвогрунтах, распространения импульсных лучевых волн, моделировании различных биологических процессов явлений, в теории оптимальных процессов и т. д. [1—8].

В работах [9, 10] функция Римана определяется как решение интегрального уравнения. Это более естественно, чем классический способ введения функции Римана. Дело в том, что в этом случае для определения функции Римана или для определения фундаментального решения не требуется налагать жесткие условия гладкости на коэффициенты уравнения [11, 12].

В работе изучены вопросы представления решения задачи Гурса для псевдопарабо-лического уравнения с ^-коэффициентами. Рассматриваемое уравнение имеет, вообще говоря, негладкие коэффициенты, и поэтому не обладает некоторым формально-сопряженным дифференциальным уравнением, имеющим определенный смысл. По этим причинам этот вопрос не может быть исследован посредством известных методов, использующие классические формулы интегрирования по частям и функций Римана или фундаментальных решений классического типа.

© 2011 Мамедов И. Г.

Поэтому в данной статье этот вопрос исследован путем нахождения одной неклассической формулы для интегрирования по частям и введении функции Римана неклассического типа.

2. Постановка задачи

Рассмотрим уравнение 3 1

(^3ди)(ж) = ЕЕ ау (ж)^1 ^и(ж) = £3д(ж) е £р(С), ж = (ж1, ж2) € С, (2.1)

*=0 у=0

при следующих начально-краевых условиях

' И),ои = и(0, 0) = ^0,0 е М;

У1;0п = ^1 и(0, 0) = £д,0 е М; р2,0« = ^«(0, 0) = ^2,0 е М;

< (Уз,0и)(ж1) = ^3«(ж1, 0) = ^3,0(Ж1) е Ьр(^1); (2.2)

(Р0,1 и)(ж2) = ^2П(0,ж2) = £0,1 (ж2) е Ьр(^2);

(^1,1 и)(ж2) = ААзи(0,ж2) = <£1,1 (ж2) е Ьр(^2);

,(^2,1 и)(ж2) = ^2^2и(0,ж2) = £2,1 (ж2) е Ьр(^2),

где £*,0, * = 0,1, 2, — заданные постоянные, а остальные являются заданными измеримыми функциями; = -тщ- (к = 1,2) — оператор обобщенного дифференцирования в смысле С. Л. Соболева. Кроме того, а*,у(■) — измеримые функции на С = С1 х С2, С1 = (0, Д1), С2 = (0, Д2), удовлетворяющие следующим условиям:

а*,0(ж) е ^р(С)) а*,1(ж) е Щ>]<х>2 (С) * = 0 1 2;

О3,0(ж) е Ь^>2(С), О3,1(ж) = 1.

При наложенных условиях решение и(ж) задачи (2.1)—(2.2) естественно искать в пространстве С. Л. Соболева: Шр3,1)(С) = (п(ж) : ^^и(ж) е £р(С), * = 0,1, 2, 3, ] = 0,1},

(3 1)

1 ^ р ^ то. Норму в пространстве (С) будем определять равенством:

31

1Нж)Н^р(3,1)(С) = ЕЕ 11^1 ^ и(ж)Уьр(С).

*=0 у=0

3. Эквивалентное интегральное уравнение и теоремы о гомеоморфизмах

В современной теории дифференциальных уравнений особое значение имеет вопрос о выявлении классов задач, операторы которых осуществляют гомеоморфизм между определенными парами банаховых пространств. Такие гомеоморфизмы выявлены в работах Ю. М. Березанского и Я. А. Ройтберга [13], Ж.-Л. Лионса и Э. Мадженеса [14],

В. И. Корзюка [15], С. С. Ахиева [16], Н. В. Житарашу [17], И. Г. Мамедова [18] и др. для некоторых классов дифференциальных уравнений с частными производными. С

этой точки зрения, эта работа посвящена актуальным проблемам математической физики.

В работе [19] для общего случая показано, что условие (2.2) можно рассматривать как условие Гурса неклассического типа. По своим начально-краевым условиям задача

(2.1)—(2.2) более естественна, так как в этом случае не требуется никаких дополнительных условий типа условия согласования. Поэтому задачу (2.1)—(2.2) можно рассматривать как задачу Гурса неклассического типа. Такая постановка задачи обладает рядом преимуществ:

(3 1)

1) она порождает гомеоморфизм между двумя банаховыми пространствами Шр ’ (С)

2) ее можно рассматривать как задачу сформулированную по следам в пространстве

3) в этой постановке рассматриваемое уравнение является обобщением многих модельных уравнений некоторых процессов (например, обобщенного уравнения влагопере-носа, телеграфного уравнения, уравнения колебания струны и т. д.).

В текущем параграфе выявлены гомеоморфизмы между определенными парами банаховых пространств при исследовании задачи Гурса для псевдопараболического уравнения с доминирующей производной четвертого порядка ^3^2и (ж) с негладкими коэффициентами (^-коэффициентами) на основе сведения этой задачи к эквивалентному интегральному уравнению.

Задачу (2.1), (2.2) будем исследовать при помощи интегральных представлений спе-

(3 1) (3 1)

циального вида для функций и (ж) £ (С). Для функций и(ж) £ Шр ’ (С) можно

найти различные интегральные представления, например, имеет место представление

о о

посредством следов и(0, 0), ^1и(0, 0), ^2и(0, 0), ^3и(ж1, 0), ^2и(0, ж2), ^1^2и(0, ж2), ^2^2и(0, ж2) и доминирующей производной ^3^2и(ж).

С. Л. Соболева Шр3 ’ 1)(С);

о

о

о

Х1 Х2

(3 1)

Формула (3.1) показывает, что функция и £ (С), удовлетворяющая услови-

ям (2.2), имеет вид:

(3.2)

о

о

о

(X і — Ті ) 2

Ко (ті,т2;жі,ж2) =------^------9(хі - п)в(х2 - т2), (3.3)

причем 0(г) — функция Хевисайда на Ж, т. е.

<ад = I1’ г> 0;

|0, г < 0.

Тогда после замены и = до + и, где

й(ж) = JJ Ло(ті,т2; Ж1,Ж2)^3^2п(ті,т2) гігігіг2,

о

уравнение (2.1) можно записать в виде

(^3,1 и) (ж) = Т(ж), (3.4)

где Т = £3,1 — Рз;ідо. Производные функции и можно записать посредством равенств

Х1 Х2

3

^іи(ж) ^ У /(жі — Ті)^3^2и(ті,т2) ^Т1^Т2, оо

Х1 Х2 Х2

^ и(ж) ^ У У^3^2 и(Ті,Т2 ) гітігіГ2, ^и(ж) = I" ^3^2и(жі ,Т2 ) ^Т2,

о о о

Х1 2 Х1

£>2п(ж) = J ^—^р^—01в2и(т1,Х2) йт\, А-С*гй(ж) = J{х\ - т1)в\в2и{т1, ж2) йть оо

Х1

^2^2и(ж) ^ У ^3^2и(г1 ,ж2) ^71, ^3^2и(ж) = ^3^2и(ж).

о

Теперь доминирующую производную рассмотрим как неизвестную функцию, т. е. эоизведем замену ^3^2и(ж) = Ь(ж). Тогда уравнение (3.4) можно записать в виде:

Х1 Х2

(^3, 1 и)(ж) = (Ж6)(ж) = Ь(ж 1,ж2) + У J ао, о (ж 1,ж2 )Яо (т1,Т2; ж 1,ж2 Жтьтг) ЙТ1 ^Т2

оо

Х1 Х2

+ J J (ж1 - Т1)а1,о(ж1,ж2)6(г1 ,Т2 ) ^Т1^Т2

оо

Х1 Х2 Х2

+ J У а2,о(жі,ж2)6(гі ,Т2) ^ТігіТ2 + J аз,о(жі ,ж2)Ь(жі ,Т2) ^Т2 о о о

Х1 Х1

Г (ж і — Ті )2 [

+ І -----^----а0,і(жі,ж2)6(ті,ж2) гіті + / (жі - Ті)аід(жі,ж2)6(гі,ж2) гіті (3.5)

2!

о

Х1

+ J а2,і(жі, ж2)Ь(ті,ж2) гіті = Т(ж), ж = (жі,ж2) Є С.

о

Оператор N уравнения (3.5) линеен. Используя условия, наложенные на коэффициенты а*,-, можно доказать, что этот оператор является ограниченным оператором из £р(С) в Ьр(С), 1 ^ р ^ то.

Определение 3.1. Если задача (2.1), (2.2) для любого

£ = (£о,о,£і,о,£2,о,£3,о,£о,1,£і,1 ,£2,і ,£3,і) Є £р3,і)

= Ж х Ж х Ж х ір(Сі) X £р(С2) х £р(С2) х £р(С2) х £р(С) имеет единственное решение и Є ^р3,і) (С) такое, что

іні^^о) ^Мі іі£Нерз-1> ,

то будем говорить, что оператор V = (Уо,о, У1,о, У2,о, Рз,о, Род, Рі,і, ^2>і, У3;і) задачи (2.1),

(з і) (зі)

(2.2) задает гомеоморфизм из (С) на Ер или задача (2.1), (2.2) везде корректно

разрешима. Здесь Мі — постоянная, не зависящая от £.

(зі)

Очевидно, что если оператор V задачи (2.1), (2.2) задает гомеоморфизм из (С)

на £р3,1), то существует ограниченный обратный оператор

V-і : Езд) ^ Шр(3>1)(С).

Оператор N является вольтерровым оператором относительно точки (0, 0). Это означает, что если функции 6і,62 Є £р(С) в области С(Х1 ,Х2) = (0,жі) х (0,ж2) удовлетворяют условию 6і (Ті,Т2) = 62 (ті, Т2) , то выполняется также условие

(М>і)(ті ,Т2) = (N62)^1^)

почти для всех (т1 ,т2) Є С(Х1Х2), где (ж1,ж2) Є С произвольная точка.

Используя вольтерровость оператора N, при помощи, например, метода последовательных приближений можно доказать, что уравнение (3.5) для любой правой части Т(ж) Є Ьр(С) имеет единственное решение 6 Є Ьр(С), где 1 ^ р ^ то, и это решение удовлетворяет условию

I

где М2 — постоянная, не зависящая от Т. Далее, очевидно, что если £3д Є Ьр(С), то Т Є Ьр(С). Кроме того, если 6 Є Ьр(С) есть решение уравнения (3.5), то решение задачи

(2.1), (2.2) можно найти при помощи равенства

Ж1 Х2

и(ж) = 5о(ж) + У у"б(т1,т2 )До (ті,,Т2; жі,ж2) ЙТі ^Т2. оо

Поэтому справедлива

(3 1)

Теорема 3.1. Оператор V задачи (2.1), (2.2) задает гомеоморфизм из Шр ’ (С) на Е(3,1)

Теперь рассмотрим вопрос о построении сопряженного оператора N * для оператора N, определяемого равенством (3.5). Оператор N действует в пространстве Ьр(С) и ограничен. Поэтому N имеет сопряженный оператор N *, который действует в пространстве Ь*(С) и ограничен. Для нахождения явного вида оператора N*, возьмем произвольную функцию / Є ЬЧ(С), где ^ | = 1, и рассмотрим выражение

/(N6) = ^ ((N6)^),/(ж)) гіж, о

где (■, ■) — скалярное произведение в Ж. Используя выражения (3.5) оператора N, имеем

Ж1 Х2

/ (N6) ^ уу"(6(ж1,ж2) ^ У J ао,о(жі,ж2)Яо (ті,Т2; жі ,ж2 )6(Т1,Т2) ^Ті^Т2

о о о

Х1 Х2 Х1 Х2

+ J У (жі — Т1)а1,о(ж1,ж2)6(т1 ,Т2 ) ^Т1^Т2 + J У а2,о(жі,ж2)6(ті ,Т2 ) ^Т1^Т2

о о о о

Х2 Х1

Г Г (жі — Ті )2

+ аз,о(жі, ж2)6(жі, т2) гіт2 + -----^----а0;і(жі,ж2)6(ті,ж2) гіті

оо

Х1 Х1

^ J(жі — т1)а1,1(ж1,ж2)6(т1 ,ж2) йті + J а2,і(жі,ж2)6(ті,ж2) ^Ті,/(ж)) гіж. оо

Меняя порядок интегрирования в нужных местах, получим

/ї! /і2

(жі - Ті)2

" ’ 'ї-'і > ж2 п і жі, ж2 і аж і (

/(Ж6) = УУ 16(ті,т2),/(ті,т2) + У У Жі 2,Ті а0,о(жі,ж2)/(жі,ж2)гіжігіж2

о ' Т1 Т2

Ї1 Ї2 Ї1 Ї2

+ У У (ж1 — Т1)а1,о(ж1,ж2)/(ж1,ж2) гіж1 гіж2 + J J а2,о(ж1,ж2)/(ж1 ,ж2) гіж1 гіж2

Т1 Т2 Т1 Т2

Ї2 Ї1 2 + У аз,о(ті,ж2)/(ті,ж2)сгж2 + У ^Жі 2,Ті'> а0,і(жі,т2)/(ж1,т2)гіжі Т2 Т1

Ї1 Ї1 \

^У (жі — Ті)аі,і(жі,Т2)/(жі,Т2) гіжі + J а2,і(жі,Т2)/(жі,Т2)йжИ ^Ті^

Т1 Т1

или

/(N6) = Ц ^6(тЬТ2), (N*/)(Ті,Т2)) ^Ті^Т2,

о

где

Ї1 Ї2 2

(ЛГ*/)(тї,т2) = /(ті,т2) + у У(Ж1 2!'Гі'> а0,о(жі,ж2)/(жі,ж2)гіжігіж2

Т1 Т2

Ї1 Ї2 Ї1 Ї2

+ У У (ж1 — т1)а1,о(ж1, ж2)/(ж1,ж2) гіж1гіж2 + J J а2,о(ж1, ж2)/(ж1,ж2) гіж1гіж2

Т1 Т2 Т1 Т2

Ї2 Ї1

Г Г (жі — Ті )2

+ аз,о(т'і)Ж2)/(гі)ж2^ гіж2 + ------------а0,і(жі,т2)/(жі,т2) гіжі

Т2 Т1

Ї1 Ї1

+ У (жі — Ті)аі,і (жі,Т2)/(жі,Т2) гіжі + У а2,і(жі,Т2)/(жі,Т2) гіжі.

(3.6)

Теперь рассмотрим уравнение

N 7 = Ф, (3.7)

где Ф £ (С) — заданная, а 7 £ (С) — искомая функция. В дальнейшем уравне-

ние (3.7) мы будем рассматривать в качестве сопряженного уравнения для задачи (2.1),

(2.2). Очевидно, что N * является двумерным интегральным оператором, который является вольтерровым относительно точки (^1, ^2). Иначе говоря, если функции 71 £ (С)

и 72 £ (С) удовлетворяют условию

71 (ж) = 72(ж), ж = (ж1,ж2) £ С(а1 ’“2) = (а1, Л) X (а2, Л2),

то для этих функций верно равенство

(N*71)(ж1,ж2) = (N*72)(ж1,ж2), (ж1 ,ж2) £ С(а1 ,а2),

где точка (а1,а2) £ С рассматривается как параметриальная точка. Используя это свойство оператора N *, можно доказать, что оператор N * имеет ограниченную обратную К = ^*)-1, действующую в (С). Этот факт можно получить также непосредственно из существования ограниченного обратного оператора В = N-1, действующего в Ьр(С). Очевидно, что при этом имеет место К = В*.

Заметим также, что при вышеналоженных условиях сопряженное интегральное уравнение (3.7) для любого Ф £ (С) обладает единственным решением 7 £ (С). Кроме

того, при этом можно найти постоянное С > 0 такое, что У7II ь (с) ^ С ■ ||Ф||ь (с), где 7 — решение уравнения (3.7) с правой частью Ф.

Таким образом, справедлива следующая теорема:

Теорема 3.2. Оператор N * : (С) ^ £?(С) задает гомеоморфизм.

4. Формула интегрирования по частям неклассического типа и ее применение для нахождения интегрального представления решения задачи Гурса

Теперь рассмотрим задачу (2.1), (2.2) и поставим вопрос о нахождении формулы интегрирования по частям, посредством которого можно было бы найти интегральное представление для решения этой задачи.

До сих пор для получения интегральных представлений решений начально-краевых задач использовались формулы интегрирования по частям классического вида, связывающие дифференциальный оператор У3д с его формально сопряженным дифференциальным оператором, определяемым равенством

д4 р (ж) д3

№>)М = Э^-^(°3-о(:ф(*)>

2^ Г д* д*+1 П (4.1)

+ д~гМФ(х)) - (агЛ{х)р{х))

*=о 1 1

где р(ж) £ Шр(3,1)(С).

Однако, для того чтобы оператор (4.1) имел смысл необходимо, чтобы коэффициенты а*у(ж) (г + ^ < 4, г = 0,1, 2, 3, ] = 0,1) оказались достаточно гладкими. Поэтому интегральное представление решения уравнения (2.1) до сих пор в литературе изучено только при жестких условиях на коэффициенты. Иначе говоря, если рассматриваемая

задача связана с уравнением, имеющим негладкие коэффициенты, то вопрос о построении его формально сопряженной дифференциальной задачи является, вообще говоря, неразрешимой проблемой.

В данной статье вопрос об интегральном представлении решения начально-краевой задачи (2.1), (2.2) изучен в общем случае, когда коэффициенты а*у (ж) (г + ] < 4, г = 0,1,2,3, ] = 0,1) являются, вообще говоря, негладкими функциями. При этом мы будем использовать одну формулу интегрирования по частям неклассического типа. Для вывода этой формулы будем использовать интегральное представление (3.1) функции и £ ^р(3,1)(С), которое выражено посредством «начально-краевых операторов» Уо,о, VI,о, Р2,о, Рэ,о, Род, Р1д, У2д, а также доминирующей производной ^3^2. Формулу (3.1) запишем в виде

и(ж1 ,ж2 ) = (Р и)(ж1 ,ж2 ) + (Рзи)(ж1,ж2), (4.2)

где

(4.3)

ж2 1 г

(Р1и)(х1,х2) = Ро)0и + ЖіРі)0П+ уР2,0и + - (жі - Ті)2(Рз)0п)(гі) (ІТі

о

Х2 Х2 2 Х2

+ 'і(УоЛи)(т2)(Іт2 + Хі 'і(УіЛи)(т2)(Іт2 + |у- 'і(У2Ли)(т2) (ІТ2 о о о

и

(Р2и)(жі ,ж2) ^ УУ Ро(ті ,Т2; жі,ж2)^3^2 и(Ті,Т2) ^Ті^Т2. (4.4)

о

Операторы Р1 : Шр(3,1)(С) ^ Шр(3,1)(С) и Р2 : Шр3,1)(С) ^ Шр3,1)(С) являются линейными ограниченными операторами. Кроме того, очевидно, что

Кег Р2 = { и(ж) Є Шр(3’1) (С)/^3 ^2 и (ж) = 0} .

Поэтому Кег Р2 = Іт Р1, где

( ж2

ІтРі = < и(ж) Є И/р(зд)(С)/п(ж) = £о,о + Жі£і,о + у£2,0

Х1 Х2 Х2 2 Х2

+ \ + J £од (т2) (іт2 + Х\ J £ід(г2)сгг2 + у J £2д(г2)гіг2|.

о о о о

Теперь рассмотрим выражение

((^3ди)(ж), /(ж)) гіж,

о

где и(ж) Є Шр(3,1)(С) и / Є (С).

Очевидно, что по формуле (4.2) имеет место

((У3ди)(ж),/(ж)) гіж

о

„ „ (4.5)

II ((^3,1 Ріи)(ж),/(ж)) гіж +11 ((Рэд Р^и)(ж), /(ж)) гіж. оо

С другой стороны, как это очевидно из (3.4), имеет место й(ж) = (Р2и)(ж). Поэтому из (4.5) получим

Л ((^з,ш)(ж),/(ж)) ^ж = Ц (^дР и)(ж),/(ж)) ^ж + Л ((ЖЬ)(ж),/(ж)) ^ж, (4.6)

со с

где N — оператор, определяемый равенством (3.5), и 6(ж) = ^3^2п(ж). Оператор N : £Р(С) ^ £Р(С) имеет сопряженный оператор N * : (С) ^ Ьч (С), который опреде-

ляется равенством (3.6). Поэтому из (4.6) выводим

Л ((Рздп)(ж),/(ж)) <йж = Л ((Уз,іРіи)(ж),/(ж)) <йж + JJ (Ь(ж), (N*/)(ж)) йж. (4.7)

со с

Таким образом, из (4.7) имеем

Л((Рздп)(ж),/(ж)) <йж = Л((Р3дРіи)(ж), /(ж)) <йж сс

+ УУ (^3^2и(ж), (N*/)(ж)) гіж (Vи(ж) Є ^Р3’1)(С), /(ж) Є (С)).

(4.8)

/ЛТ* Л™ (VI п,( т,тл(3,1) /.^,4 /- Г / ^'■'4 Ч

О

Итак, доказана следующая

(3 1)

Теорема 4.1. Пусть и £ (С) и / £ (С) — произвольные функции. Тогда

справедлива формула (4.8).

Формула (4.8) связывает дифференциальный оператор Рзд с интегральным оператором N*. Первое слагаемое в правой части этой формулы связано лишь некоторыми краевыми значениями функции и, которые определяются однозначно со значениями операторов Р0,о, VI,0, Р2,о, Р3,0, Род, Р1д и Р2д на функции и(ж). Если известно, что

Ро,0 и = £0,0, Р1,ои = £1,0, Р2,ои = £2,0, (Р3,ои)(ж1)= £з,о(ж1),

(Р0ди)(ж2) = £0,1 (ж2), (Р1,1и)(ж2) = £1,1 (ж2), (Р2ди)(ж2) = £2,1 (ж2),

то имеет место

Х1

ж^ 1 Г

(Р\ и) (ж) = с/о (ж) = £0,0 + Ж1£1,о + у£2,0 + 2 / (Ж1 - п)2£з,о('Г1) сЬд

о

Х2 Х2 2 Х2

+ J £од(т2)сгТ2 + Ж1 J £1д(г2)сгг2 + |у- J £2,1 (т2) ЙГ2. о о о

Формулы (4.8) можно рассматривать как неклассическую формулу интегрирования по частям. В этой формуле, в отличие от классических формул интегрирования по частям, второе слагаемое в правой части сгруппировано относительно старшей доминирующей производной.

Для нахождения интегрального представления решения задачи Гурса (2.1), (2.2) будем использовать формулы интегрирования по частям неклассического типа (4.8).

(3 1)

Предположим, что и (ж) £ (С) является решением задачи (2.1), (2.2). Тогда,

используя формулу (4.8), имеем

Л (£3,1 (ж),/(ж)) ^ж = Л ((Р3,1 Р1 и)(ж),/(ж)) ^ж + Л (^3^2и(ж), (Ж*/)(ж)) ^ж. (4.9)

О О О

Для каждой фиксированной точки (ж1 , Ж2) € С рассмотрим уравнение

(Ж7)(Т1 ,Т2) = Ло(т1,Г2; Ж1 ,Ж2), (Т1,Т2) € С, (4.10)

где функция До(т1,Т2;ж1 ,ж2) определяется равенством (3.3). Уравнение (4.10) можно рассматривать как частный случай сопряженного уравнения (3.7). Поэтому уравнение (4.10) имеет следующий раскрытый вид:

Ь.2

(Ж1 - Тг)2

" ' 'Ч\, Х'2 ^ , Х'2 ]

/(тьт2) + I ! Ж1 2,Т1 ао?о(ЖьЖ2)/(ЖьЖ2)^1^2

Т1 Т2

^1 /12 ^1 Ь.2

+ I/(Ж1 — Т1Ко(Ж1,Ж2)7(Ж1,Ж2) ЙЖ1 ^Ж2 + J ^ а2,о(Ж1,Ж2)7(Ж1, Ж2) ЙЖ1 ^Ж2

Т1 Т2 Т1 Т2

/»2 ь,1 2 (4 11)

+ I а3}0(т1,х2)/{т1,х2)(1х2 + I ^-^p^-ao,l(xl,T2)f(x1,T2)dxl

Т2 Т1

/11 Ь-1

^ у"(Ж1 — Т1)аМ(Ж1 ,Т2)7(Ж1,Т2) ЙЖ1 + ^ а2,1(Ж1,Т2)7(Ж1,Т2) ЙЖ1 (Ж1 — Т1)2

П Т1

)2

■6»(Ж1 -Г1)6,(ж2 -Т2), (Т1,г2)ес.

2!

Определение 4.1. Если уравнение (4.11) для любой заданной точки (ж1;ж2) € С имеет хотя бы одно решение 7 (Ж1,Ж2) = 7 (Т1,Т2; ж1 ,ж2) € Ьд (С), то это решение назовем обобщенной функцией Римана задачи Гурса (2.1), (2.2).

Теорема 4.2. Пусть функция 7 (т1, Т2; Ж1, Ж2) является обобщенной функцией Римана задачи Гурса (2.1), (2.2). Тогда любое решение этой задачи имеет следующий вид

и(ж) = 50(ж) + (<£зд(Т1 ,Т2) — (Рз,Ш)(Т1,Т2),7(Т1 ,Т2; Ж1, Ж2)) ^Т1^Т2,

(4.12)

(Ж1,Ж2) € С,

где функция 50 (ж) определяется равенством (3.2).

(3 1)

< Пусть функция и(ж) € (С) есть решение задачи Гурса (2.1), (2.2). Тогда

равенство (4.9) имеет вид

JJ (<£3,1(Т1,Т2)7(Т1,Т2; Ж1,Ж2)) ^Т1^Т2

о

= Ц ((^3,150)(Т1,Т2),7 (Т1,Т2; Ж1 ,Ж2 )) ^Т1^Т2 (4.13)

о

+ JJ (^3^2П(Т1 ,Т2),Ло(Т1 ,Т2; Ж1,Ж2)) ЙТ1 ^Т2,

о

где (ж1 ,ж2 ) € (5 рассматривается как параметриальная точка.

(3 1)

Используя интегральное представление (3.1) функций и(ж) £ Wp ’ (G), имеем из (4.13) следующую формулу

(<£з, 1 (Т1, Т2), f (Т1, Т2; Ж1, Ж2)) dTidT2

G

((V3, 1go)(T1,T2),f (Т1,Т2; Ж1,Ж2^ dT1dT2 + u(x) - go(x),

G

что и показывает справедливость формулы (4.12). >

Отметим, что из теоремы 3.2 следует, что сопряженное уравнение (3.7) для любого заданного ф £ Lq (G) имеет единственное решение f £ Lq (G). Это, в частности, означает, что уравнение (4.11) для любой точки (ж1 ,Ж2) £ G имеет единственное решение f (T1,T2) = f (T1,T2; Ж1,Ж2) £ Lq(G).

Таким образом, доказана следующая теорема

Теорема 4.3. Задача Гурса (2.1), (2.2) имеет единственную обобщенную функцию

(3 1)

Римана f (t1,t2;ж1,ж2). При этом единственное решение u(x) £ Wp ’ (G) этой задачи можно найти посредством обобщенной функции Римана по формуле (4.12).

Литература

1. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии.—М.: Высшая школа, 1995.—301 с.

2. Солдатов А. П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // Докл. АН СССР.—1987.—Т. 297, № 3.—С. 547-552.

3. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопара-болического уравнения влагопереноса // Диф. уравнения.—1982.—Т. 18, № 2.—С. 280-285.

4. Rundell W., Stecher M. The uniqueness class for the Cauchy problem for pseudoparabolic equation // Proc. Amer. Math. Soc.—1979.—Vol. 76, № 2.—P. 253-257.

5. Карсанова Ж. Т., Нахушева Ф. М. Об одной нелокальной краевой задаче для псевдопараболиче-ского уравнения третьего порядка // Владикавк. мат. журн.—2002.—Т. 4, вып. 2.—С. 31-37.

6. Напсо А. Ф. Задача с внутренными условиями для псевдопараболического уравнения // Владикавк. мат. журн.—2001.—Т. 3, вып. 4.—С. 36-39.

7. Напсо А. Ф., Канчукоев В. З. Нелокальная задача с внутренним условием для нагруженного псевдопараболического уравнения // Владикавк. мат. журн.—2002.—Т. 4, вып. 2.—С. 44-49.

8. Мамедов И. Г. Условия оптимальности некоторых процессов, описываемых псевдопараболическим уравнением при нелокальных краевых условиях // Математическое и компьютерное моделирование. Сер. физ.-мат. науки.—Каменец-Подольск: Каменец-Подольский нац. ун-т.—2008.—C. 133141.

9. Жегалов В. И. Трехмерный аналог задачи Гурса // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа.—Новосибирск: ИМ СО РАН, 1990.—С. 94-98.

10. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка // Изв. вузов. Математика.—1999.—№ 10.—С. 73-76.

11. Мамедов И. Г. Фундаментальное решение задачи Коши, связанной с псевдопараболическим уравнением четвертого порядка // Журн. вычислительной математики и математической физики.— 2009.—T. 49, № 1.—С. 99-110.

12. Мамедов И. Г. Фундаментальное решение начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения четвертого порядка с негладкими коэффициентами // Владикавк. мат. журн.—2010.— Т. 12, вып. 1.—С. 17-32.

13. Березанский Ю. М., Ройтберг Я. А. Теорема о гомеоморфизмах и функция Грина для общих эллиптических граничных задач // Украинский мат. журн.—1967.—Т. 19, № 5.—С. 3-32.

14. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения.—М.: Мир, 1971.— 372 с.

15. Корзюк В. И. Граничная задача для уравнения Манжерона третьего порядка // Диф. уравнения.—1997.—Т. 33, № 12.—С. 1683-1690.

1В. Ахиев С. С. Фундаментальные решения некоторых локальных и нелокальных краевых задач и их представления // Докл. АН СССР.—198З.—Т. 271, № 2.—С. 265-269.

17. Житарашу Н. В. Теорема о полном наборе изоморфизмов в L2-теории модельных начальных параболических краевых задач // Мат. исследования.—Кишинев, 1986.—№ 88.—С. 40-59.

18. Mamedov I. G. The local boundary value problem for an integro-differential equation // Proceedings of IMM of NAS of Azerbaijan.—2002.—Vol. 17.—P. 96-101.

19. Мамедов И. Г. Задача Гурса нового типа для нагруженных вольтерро-гиперболических интегро-дифференциальных векторных уравнений четвертого порядка с негладкими матричными коэффициентами // Изв. НАН Азербайджана.—2006.—Т. 26, № 2.—C. 74-79.

Статья поступила 18 февраля 2011 г.

ИлЬГАР ГУРБАТ Оглы МАМЕДОВ Институт Кибернетики НАН Азербайджана, ведущий научный сотрудник

АЗЕРБАЙДЖАН, AZ 1141, Баку, ул. Ф. Агаева, 9 E-mail: [email protected]

A NON-CLASSICAL FORMULA FOR INTEGRATION BY PARTS RELATED TO GOURSAT PROBLEM FOR A PSEUDOPARABOLIC EQUATION Mamedov I. G.

A formula for integration by parts of non-classical type is derived and an application to Goursat problem for the pseudoparabolic equation with non-smooth coefficients and with dominated derivatives of fourth order is find.

Key words: Goursat problem, differential equations with non-smooth coefficients, generalized Riemann function, integral representation of solution.