Фундаментальное решение начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения четвертого порядка с негладкими коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2010, Том 12, Выпуск 1, С. 17-32

УДК 517.956

ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С НЕГЛАДКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

И. Г. Мамедов

В данной статье построено фундаментальное решение начально-краевых задач для псевдопарабо-

лического уравнения с доминирующей производной четвертого порядка с негладкими коэффициентами.

Ключевые слова: задача Гурса, начально-краевая задача, фундаментальные решения.

§ 1. Введение

К настоящему времени усилиями многих математиков теория дифференциальных уравнений с постоянными или достаточно гладкими коэффициентами развита достаточно хорошо (см., например, [1]).

В этих и других работах разработаны различные методы исследования вопросов корректной разрешимости начальных, начально-краевых задач, а также вопросов построения фундаментальных решений для таких уравнений.

В литературе существуют только отдельные работы, в которых исследованы вопросы построения фундаментальных решений для гиперболических уравнений с доминирующими производными (или псевдопараболических уравнений) с переменными коэффициентами. Работы D. Colton [2], М. Х. Шханукова и А. П. Солдатова [3], выполненные в этом направлении, показывают, что для некоторых классов таких уравнений с достаточно гладкими коэффициентами фундаментальное решение можно определить как аналог классической функции Римана. Однако, примененный в этих работах метод характеристик Римана является весьма ограниченным методом и, вообще говоря, не допускает обобщение даже на случай простых нелокальных задач, даже в случае уравнений с постоянными коэффициентами.

Особо нужно отметить, что в литературе до сих пор функцию Римана для различных классов уравнений удавалось построить только для случая достаточно гладких коэффициентов [4-8].

Имеется ряд работ, в которых введены аналоги функции Римана для некоторых специфических классов уравнений с переменными коэффициентами и доминирующи-

s~)4 /-^З

ми производными » 2а 2 и a a 2. В связи с этим отметим работы М. Х. Шханукова [9] и

Г" г~1 OX2Oy2 oxoy2 ^ ^11

В. А. Водаховой [10].

В работе R. Di. Vincenzo и A. Villani [11] понятие функции Римана было обобщено

оЗ

для уравнения с переменными коэффициентами и доминирующей производной QXQy2 .

© 2010 Мамедов И. Г.

Поэтому возникает весьма актуальный вопрос об исследовании вопросов корректной разрешимости и построении фундаментальных решений для начально-краевых задач, связных с гиперболическими уравнениями (или псевдопараболическими уравнениями) с доминирующими производными, вообще говоря, с негладкими переменными коэффициентами.

В связи с этим данная продемонстрированная работа посвящена исследованию начально-краевых задач нового типа для псевдопараболических уравнений с доминирующими смешанными производными, обладающими, вообще говоря, негладкими ^-коэффициентами (т. е. коэффициентами из пространств типа Ьр) и вопросами разработки метода построения их фундаментальных решений. Она изложена, в основном, применительно к псевдопараболическим уравнениям четвертого порядка с трехкратными характеристиками. При этом важным принципиальным моментом является то, что рассматриваемое уравнение обладает разрывными коэффициентами, которые удовлетворяют только некоторым условиям типа Р-интегрируемости и ограниченности, т. е. рассмотренный псевдопараболический дифференциальный оператор не имеет традиционного сопряженного оператора. Поэтому функция Римана для такого уравнения не может быть исследована классическим методом характеристик. В данной статье для исследований таких задач разработана методика, которая существенно использует современные методы теории функций и функционального анализа. При помощи этой методики для начально-краевых задач введено новое понятие сопряженной задачи. Такие сопряженные задачи, в отличие от сопряженных задач традиционного вида, определяемых посредством формально-сопряженных дифференциальных операторов, по определению имеют вид интегрального уравнения, и поэтому имеют смысл при достаточно слабых условиях на коэффициенты. При помощи такой сопряженной задачи введено понятие фундаментального решения и найдено интегральное представление для решений соответствующих начально-краевых задач.

§ 2. Постановка задачи

Рассмотрим уравнение

2 1

(^здп)(ж) = ^3^2п(ж) + аз;о(ж)^3п(ж) + ЕЕ а/ (ж)О*0п(ж)

г=0 /=о (2'1)

= ^зд(ж) € Ьр(С), ж = (Ж1,Ж2) € С,

при следующих условиях Гурса нового типа [12]:

Уо,ои = и(0, 0) = <£>о,о € й;

У10п = ^1п(0, 0) = ^1>о € й;

Р2,о« = 0^(0, 0) = <^>2,о € й;

< (Уз,оп)(ж1) = ^3п(ж1, 0) = ^з,о(ж1) € Ьр(С1); (2.2)

(Уо,ш)(Ж2) = ^2П(0,ж2) = ^о,1(ж2) € Ьр(£2);

(Р1дп)(ж2) = ^1^2П(0,ж2) = ^1,1(ж2) € Ьр(^);

,(^2,1П)(ж2) = ^2^2П(0,ж2) = ^2,1 (ж2) € Ьр(^),

где ^*,о, г = 0, 2, — заданные постоянные, а остальные являются заданными измеримыми функциями; О = дХ- (к = 1, 2) — оператор обобщенного дифференцирования в смысле Соболева. Кроме того, выше заданные а*,-/ (ж) — измеримые функции на

С = С х С2; С1 = (0, Л1), С2 = (0, Л2) и удовлетворяющие лишь следующим условиям: а*,о(ж) € Ьp(С), а*,1(ж) € Щ2 (С) г = 0, 2; аз,о (ж) € Ь^’Х2 (С).

При наложенных условиях решение и(ж) задачи (2.1), (2.2) естественно искать в пространстве Соболева

^р3,1)(С) = |п(ж) : Ои(ж) € Ьр(С), г = 0, 3, ^ =0,1| , 1 ^ р ^ то.

Норму в пространстве ^р3,1) (С) будем определять равенством

3 1

Нх)1кр(3,1)(С) = ^2^ ||-°і ^2п(х) і=0 ^=0

(3 1)

§ 3. Некоторые структурные свойства пространства Соболева '(С) и операторный вид начально-краевой задачи (2.1), (2.2)

Задачу (2.1), (2.2) мы будем исследовать методом операторных уравнений и при этом будем следовать схеме работы [13]. Предварительно задачу (2.1), (2.2) запишем в виде операторного уравнения

Уп = р, (3.1)

где V есть векторный оператор, определяемый посредством равенства

V = (У>,0, У1,0, У2,0, Уз,0, У),ьУ1,1 ,У2,1, Уз,1) : %(3>1)(С) ^ Е3,1),

а р есть заданный векторный элемент вида р = (р0,0, Р1,0,Р2,0,Р3,0,Р0,ъР1,ъР2,ъР3,1) из пространства

е;(3’1) = Я х Я х Я х £Р(С1) X Рр(С2) X Рр(С2) х Рр(С2) х £Р(С).

Заметим, что в пространстве Е(3,1) норму будем определять естественным образом при помощи равенства

1М1ерз,1) = ||р0,0ІІя + ІІр1,0ІІя + ІІр2,0ІІя + ||р3,0 Уьр(Сі) + ІІр0,1 ІІ£Р(С2)

+ |р1,1 |Ьр(С2) + Ир2,1ІІЬр(С2) + |Р3,1|ЬР(С) .

Прежде всего отметим, что интегральные представления функций из пространств типа ^р3,1) (С) (из соболевских пространств с доминирующими смешанными производными общего вида) изучены в работах Т. И. Аманова [14], С. М. Никольского [15], П. И. Ли-зоркина и С. М. Никольского [16], О. В. Бесова, В. П. Ильина и С. М. Никольского [17], А. Дж. Джабраилова [18], С. С. Ахиева [19], А. М. Наджафова [20], И. Г. Мамедова [21] и др. Но из них мы будем использовать интегральное представление из [22], по которому

(3 1)

любая функция и(ж) € ^р ’ (С) единственным образом представима в виде

Х1

ж2 1 [

и(ж) = (дб)(ж) = 6о,о + ж1&1,о + у Ь2,о + 2 (ж1 - Т1)2Ьз,о(т1) ЙТ1

о

Х2 Х2 2 Х2

+ ^ &од(т2) ^Т2 + ж^ 61,1 (Т2) ^Т2 + J 62,1^2) ^Т2 (3.2)

о о о

Х1 Х2

+ 2//(ж1 - Т1)263,1(Т1,Т2) ЙТ1 ^Т2

(3 1)

посредством единственного элемента 6 = (6о,о, 61,о, 62,о, 6з,о, 6о,1, 61,1,62,1,63,1) € Ер . При этом существуют положительные постоянные М° и М° такие, что

М ||6УЕ(3,1) < ||(д6)(ж)У^з,1)(с) < м21 ||6УЕ(3,1) V6 € Ерз,1). (3.3)

Очевидно, что оператор Q : Ер3,1) ^ ^р3,1)(С) является линейным ограниченным оператором. Неравенство (3.3) показывает, что оператор Q имеет также ограниченный обратный оператор, определенный на пространстве ^р3,1)(С). Следовательно, оператор Q есть гомеоморфизм между банаховыми пространствами Е(3,1) и ^р3,1)(С). Поэтому решение уравнения (3.1) эквивалентно решению уравнения

^6 = р. (3.4)

Уравнение (3.4) будем называть каноническим видом уравнения (3.1).

(3 1)

Кроме того, формула (3.2) показывает, что любая функция и(ж) € ^р ’ (С) имеет следы и(0, 0), 01и(0, 0), 02и(0, 0), 03и(ж1, 0), 02и(0,ж2), 0102и(0,ж2), 0202и(0,ж2),

(3 1)

и операции взятия этих следов непрерывны из ^р ’ (С) в й, й, й, Ьр(С1), Ьр(С2), Ьр(С2), Ьр(С2) соответственно. Далее, для этих следов справедливы также равенства: и(0,0) = 6о,о; Ап(0,0) = 61 ,о; О2и(0,0) = 62,о; 03и(ж1, 0) = 63,о(ж1); 02и(0,ж2) = 6о,1(ж2); 0102и(0,ж2) = 61,1 (ж2); 0202п(0,ж2) = 62,1 (ж2).

Задачу (2.1), (2.2) мы будем изучать при помощи интегрального представления (3.2)

(3 1) (3 1)

функций и(ж) € ^р ’ (С). Формула (3.2) показывает, что функция и(ж) € ^р ’ (С),

удовлетворяющая условиям (2.2), имеет вид:

и(ж) = 5о(ж)^УУ Ло(Т1,Т2; ж!^)^3^п(Т1,Т2) ЙТ1 ^Т2,

а

где

Х1

до (ж) = ро,о + ж1р1,о + ж1 р2,о + 1 У (ж1 - Т1)2р3,о(Т1) ^Т1

о

Х2 Х2 2 Х2

+ ^ род(Т2) ^Т2 + ж^ р1,1(Т2) ^Т2 + J р2д(Т2) ^Т2,

о о о

(ж1 - Т1 ) 2

йо(Т 1,Т2; ж1,ж2) = --------2]-----^(ж1 - Т1) ^(ж2 - Т2),

причем 0(я) является функцией Хевисайда на й, т. е. 0(я) = | 0' < 0,

Тогда после замены и = до + и, где

и(ж) = JJ До(Т1,Т2; ж1,ж2)0302и(Т1 ,Т2) ЙТ1 ^Т2,

а

уравнение (2.1) можно записать в виде

(^3,1й)(ж) = Т(ж), (3.5)

где Т = р3,1 - Рэддо. Очевидно, что производные функции и можно вычислить посредством равенств

Х1 Х2 Х1 Х2

01и(ж) ^ У J (ж1 - Т1)0302и(Т1, Т2) ЙТ1 ^Т2, О^ж) = У у"о302и(Т1,Т2) ЙТ1 ^Т2, о о о о

Х2 Х1 2

->3и(ж) [ п3п и(ж Т ) лТ п и(ж) [ (ж1 Т1) о3^

^(ж) = I ^3^2П(Ж1,Г2) ^Г2, ^2п(ж) ^ У— ^3^2П(Т1,Ж2) ^Т1,

00

Хі Х1

^1^2п(ж) ^ у"(Ж1 - Т1)^3^2П(Т1,Ж2) ЙГ1, ^2^2п(ж) = У ^3^п(т1,Ж2) ЙТ1,

оо 0302и(ж) = 0302и(ж).

Теперь доминирующую производную рассмотрим как неизвестную функцию, иначе говоря, произведем замену П02и(ж) = 6(ж). Тогда уравнение (2.1) можно записать в виде:

Х1 Х2

(Ж6)(ж) = 6(ж 1, ж2) + У Уао,о(ж 1,ж2)Ло(Т1,Т2; ж 1,ж2) оо

Х1 Х2

х6(Т1,Т2) ЙТ1 ^Т2 + J У (ж1 - Т1) а1,о(жьж2) 6(Т1,Т2) ЙТ1 ^Т2 оо

Х1 Х2 Х2

+ J У а2,о (ж1,ж2) 6(Т1,Т2) ^Т1^Т2 + J а3,о(ж1 ,ж2) 6(ж1 ,Т2) ^Т2 (3.6)

0 0 0

+

Хі Х1

Г (ж1 — Т1)2 [

1 -а0д(Ж1,Ж2) Ь(Т1,Ж2) ЙТ1 + (Ж1 — Т1) а1,1(Ж1,Ж2) Ь(Т1,Ж2) ЙТ1

У 2!

00

Х1

+ J а2,1(Ж1,Ж2) Ь(т1,ж2) гіт1 = Т(ж), ж = (ж1 , ж2) Є С.

0

Оператор N уравнения (3.6) линеен. Используя условия, наложенные на коэффициенты а^-, можно доказать, что этот оператор является ограниченным оператором из £Р(С) в £Р(С), 1 ^ р ^ то.

Определение 3.1. Если задача (2.1), (2.2) для любого

р = (р0,0, Р1,0, Р2,0,Р3,0, Р0,1, Р1,1, Р2,1, Р3,1) Є еР3,1)

(3 1)

имеет единственное решение и £ Жр ’ ЧО) такое, что ||и|| (э,1),„ч ^ М1 (М^эд) , то бу-

(0) Ер

дем говорить, что оператор V = (Ро;о, ^1;о, ^,о, ^3,о, ^од, У1;1, У2д, ^3д) задачи (2.1), (2.2) (или уравнения (3.1)) является гомеоморфизмом из Жр3,1)(О) на £р3,1) или задача (2.1),

(2.2) везде корректно разрешима. Здесь М1 — постоянное, не зависящее от р.

Очевидно, что если оператор V задачи (2.1), (2.2) является гомеоморфизмом из Жр3,1)(О) на £р3,1), то существует ограниченный обратный оператор

V-1 : Е3’1) ^ Жр(3>1)(О).

Оператор N является вольтерровым оператором относительно точки (0, 0). Это означает, что если функции 61, 62 £ ^р(О) в области О(Х1,Х2) = (0, Ж1) х (0, Ж2) удовлетворяют условию 61 (Т1, Т2) = 62(^1, Г2), то выполняется также условие (N61 )(Т1, Т2) = (N62X71, Т2) почти для всех (т1, Т2) £ С(Х1Х2), где (Ж1,Ж2) £ О — произвольная точка.

Используя вольтерровость оператора N, при помощи, например, метода последовательных приближений можно доказать, что уравнение (3.6) для любой правой части Т(ж) £ Рр(О) имеет единственное решение 6 £ Рр(О), где 1 ^ р ^ то, и это решение удовлетворяет условию ||6||£ ^ М2||Т||£р(С), где М2 — постоянное, не зависящее от Т.

Далее, очевидно, что если р3д £ Рр(О), то Т £ Рр(О). Кроме того, если 6 £ Рр(О) есть решение уравнения (3.6), то решение задачи (2.1), (2.2) можно найти при помощи равенства

Х1 Х2

и(ж) = до (ж) + У У 6(г1,Т2)йо(т1,Т2; Ж1,Ж2) ^71 ^72.

оо

Поэтому справедлива

(3 1)

Теорема 3.1. Оператор V задачи (2.1), (2.2) есть гомеоморфизм из Жр ’ (О) на

Е(3>1)

§ 4. Построение сопряженного оператора

Пусть

/ = (/о,о,/1,о,/2,о,/3,о(Ж1),/од(Ж2),/1д(Ж2),/2д(Ж2),/3д(Ж1,Ж2)) £ £$3,1) = К х К х К х (О1) х (О2) х (О2) х (О2) х (О),

____р

р-

делению имеем:

где д = р—у — некоторый линейный ограниченный функционал на Е(3,1). Тогда по опре-еем:

/^и) = JJ /3,1 (Ж1, Ж2)(^^’1 и)(Ж1, Ж2) ^О + /о,о(^о,ои)+ До^ои)

о

+/2,о(V2)оU) + J /з,о(Жl)(Vз!оU)(Жl) ЙО1 ^ У /о,1 (Ж2)(Мо,1и)(Ж2) ^2 (41)

01 02

+ 1 /1д(Ж2)№,1 и)(Ж2) ^О2 + ! /2,1 (Ж2)(^2Ди)(Ж2) <^2.

Учитывая здесь выражения операторов V;,;/, имеем:

/^и) = JJ /3,1 (ж1 , Ж2) | ^и(ж) + а3,о(Ж)^3и(Ж)

о ^

21

+ а;,/(ж)^1 ^2и(ЖП^О + /о,ои(0, 0) + /1,оАи(0,0)

;=о /=о )

+/2,о^2и(0, 0) + J /3,о(Ж1)^3и(Ж1, 0) ЙО1 + J /од(Ж2)^2и(0,Ж2) ^О2

01 02

+ J /1,1(Ж2)^1^2и(0,Ж2) ^О2 + J /2,1(Ж2)^2^2и(0,Ж2) ЙО2.

02 02

(3 1)

Используя интегральное представление (3.2) функций и £ ' )(О), из (4.2) получим:

(4.2)

/^и) = УУ /3,1 (Ж1 ,Ж2К ^3^2и(Ж1,Ж2) + ао,о(Ж1,Ж2)

0

и(0, 0) + ж1^1и(0, 0)

2 Х1 Х2 Х2

+ Ж1 ^и(0, 0) + 2У(Ж1 - Т1)2^3и(г1, 0) ^Т1 + J ^2и(0, Т2) ^Т2 + Ж1 У А^2и(0,Т2) ^72

Х2

2

Х1 Х2

+11 I ^2^2и(0,Г2) ^Т2 + 2/ I (Ж1 - Т1)2^3^2и(т1,Г2) <ЙТ1<ЙТ2

оо

3

+ а1,о(ж1, Ж2)

Аи(0, 0)

Х1 Х2 Х2

+Ж1^и(0, 0) ^ У (Ж1 - Т1)^3и(г1, 0) ^71 + J ^1^2и(0,Т2) ^Т2 + Ж^ ^2^2и(0,Т2) ^Т"2

Х1 Х2

+ ао,1(ж1, Ж2)

^2и(0, Ж2) + Ж1^1^2и(0, Ж2) ^1^2и(0,Ж2)

+ J У(Ж1 - Т1)^3^2и(т1,Г2) ^Т1^Т2 оо

Х1

Ж21 2 1 2 3 + у ^2^2и(0, Ж2) + 2 (Ж1 - Т1)2^3^2и(г1, Ж2) ЙТ1 + а1д(Ж1,Ж2)

о

Х1

+Ж1 ^2^2и(0,Ж2) ^ У(Ж1 - Т1)^3^2и(т1,Ж2) ЙТ1 + а2,о(Ж1,Ж2)

о

Х1 Х2 Х1 Х2

+ J ^3и(т1, 0) ^Т1 + У ^2^2и(0,Г2) ^Т2 + J У ^3^2и(г1, Т2) ^Т1^Т2

оо

Л(0, 0)

+ а2,1(ж1, Ж2)

Х1

^2^2и(0,Ж2) + У ^3^2и(г1, Ж2) ЙТ1 о

Х2

+ J ^3^2и(Ж1,Г2) ^Т2

+ а3,о(ж1, Ж2)

^'3и(ж1,0)

ЙО + /о,ои(0,0) + /1,о^1и(0,0) + До^и^,0)

+ У /3,о(Ж1)^3и(Ж1, 0) ЙО1 + J /о,1 (Ж2)^2и(0, Ж2) ^2 + J /1,1 (ж2)А^и(0, Ж2) ^О2 01 02 02

+ У /2,1 (Ж2)^2^2и(0,Ж2) ^2.

Поменяв здесь порядок интегрирования в нужных местах и произведя некоторые группировки, имеем:

/ ^и) =

J /3,1 (ж1,Ж2)ао,о(ж1,Ж2) ^О + /о,о и(0, 0) + J^ /3,1 (жьж2)(Ж1ао,о(ж1,Ж2)

0

0

+а1,о(ж1,Ж2П ^О + /1 ,о

Аи(0,0) +

JI /3,1(Ж1,Ж2)^у ао,о(ж1,Ж2) + Ж1 а1,о(ж1,Ж2)

+а2,о(ж1,Ж2^ ^О + /2,о /11 /12

0

Г /1 /2

Д2и(0, 0) +

01

(ад - Ж1)2

■ао,о(ад, Ж2)/3,1 (ад, Ж2) йад^Ж2

Х1 о

/1 /2

+ J J(а1 - Ж1 )а1,о(а1,Ж2)/3,1(а1,Ж2) ^а1^Ж2 + J Уа2,о(а1 ,Ж2)/3,1 (ад,Ж2) ^а1^Ж2

Х1 о

Х1 о

/2

^ У а3,о(Ж1,Ж2)/3д(Ж1,Ж2) ЙЖ2/3,о(Ж1)

^3*и(ж1,0) ^О1

+

02

г /1 /2

о Х2

1 ао,о(ж1, а:2)/3д(ж1, а2) ^Ж1^а2

^1 2 Ж2

+ уао,1(Ж1,Ж2)/3,1(Ж1,Ж2) ЙЖ1 + /о,1(Ж2)

^2и(0, ж2) ^О2

/1 /2

02

/1 /2

+ 11 / ^ао,о(ж1,а2)/3,1(ж1 ,«2) Йж^а

о Х2

/1

+ ж1а1,о(ж1,а2)/3,1(ж1,а2) ^ж^а + аод(ж1,ж2)/3д(ж1,ж2) ЙЖ1

2

о Х2

^1^2и(0, ж2) ^О2

^У Ж1а1,1(Ж1,Ж2)/3,1(Ж1,Ж2) ЙЖ1 + /1,1 (Ж2) о

Г /1 /2 2

+ 11 / ^ао,о(ж1,«2)/3,1(ж1 ,«2) Йж^а 02 ^ о Х2

2 /1 /2

+ У У ж1а1,о(ж1, «2)/3,1(ж1, «2) ^Ж1^а2 + J J а2,о(ж1, а2)/3,1 (ж1,а2) ЙЖ1 Йа Х2 о Х2

/1 2 /1

у ао,1(Ж1 ,Ж2)/3,1 (Ж1,Ж2) ЙЖ1 +У Ж1а1,1(Ж1,Ж2)/3,1(Ж1 ,Ж2) ЙЖ1

/1 /2

о Х2

/1

^У а2,1(Ж1,Ж2)/3,1(Ж1,Ж2)ЙЖ1 + /2,1 (Ж2)

^^2и(0, ж2) ^О2

г /1 /2

+

(«1 - Ж1)2

ао,о(ад, «2)/3,1 («1, а^) (1а1(1а2

2

Ж

2

/1 /2

+ УУ(а - Ж1)а1,о(а1,а2)/3д(а!, а)

Ж1 Х2

/2

+ У У а2,о(«1, «2)/3,1(а1, «2) Йа Йа + J а3,о(ж1, а2)/3д(ж1,0:2) Йа

/1 /2

Х1 Х2

Х2

/1 2 /1

+ I (а1 2 Ж1) аод(аъЖ2)/3,1(аъЖ2) Йа + У («1 - Ж1 )а1д(аьЖ2)/3д(аьЖ2) Йа

/1

+ У а2д(аьЖ2)/3д(аьЖ2) Й«1 + /3,1(ж1,Ж2)

Х1

^3^2и(ж1,ж2) ЙО.

Таким образом, выражение /^и) приведено к виду

/ (У и) = (шо,о / )и(0,0) + (^1,о/)£> 1и(0,0) + (^2,о/)^2и(0,0)

+ У (^3,о/)(Ж1^3и(Ж1, 0) ^О1 ^У(^о,1/)(Ж2)^2и(0,Ж2) ^2

02

01

+ У^1д/)(Ж2)^1 ^2и(0, Ж2) ЙО2 ^ У (^2,1/)(Ж2)^2^2и(0,Ж2) ЙО2

02 02

+ Ц (^3д/)(Ж1,Ж2)^3^2и(Ж1,Ж2) ^О = (V*/)(и),

(4.3)

0

где

^о,о/ = JJ /3,1(Ж1,Ж2)ао,о(Ж1,Ж2) ^О + /о,о;

0

^1,о/ = JJ /3,1(Ж1,Ж2) [ж1ао,о(ж1,ж2) + а1,о(ж1,Ж2)] <ЙО + /1,о;

0

1ао,о(ж1, Ж2) + Ж1а1,о (ж1, Ж2) + а2,о(ж1, Ж2)

^2,о/ = УУ /3,1 (Ж1, Ж2)

0

(Ш3,о/)(Ж1) = J J 2^1У ао,о(а1 ,Ж2)/3,1 (аьЖ2) Йа ^Ж2

+ /2,о;

(«1 - Ж1 )2

Х1 о

/1 /2

+ У У(«1 - Ж1)а1,о(«1 ,Ж2)/3,1 («1,Ж2) ^а1^Ж2

Х1 о

/2

+ У У а2,о(а1,Ж2)/3д(аъЖ2) ^а1^Ж2 + J а3,о(ж1,Ж2)/3,1(ж1,Ж2) ^Ж2 + /3,о(ж1);

/1 /2

Х1 о

/1 /2

(Шо,1/)(Ж2) = / ао,о(ж1 ,«2)/3, 1 (Ж1,а2) ^Ж1^а2

/1

о Х2

(4.4)

Ж

+ / у ао,1(ж1,Ж2)/3,1 (Ж1,Ж2) ЙЖ1 + /о,1 (Ж2);

2

/1 /2 2 Ж2

(шм/)(ж2) = J J уао,о(Ж1,а2)/3,1(Ж1,«2)

о Х2

/1 /2

+ У J ж1а1,о(ж1, а)/3,1 (ж1,а2) ^Ж1^а2

о Х2

/1 2 /1

+ /I1 ао,1(Ж1,Ж2)/3,1(Ж1 ,Ж2) ЙЖ1 ^ У Ж1а1,1 (Ж1,Ж2)/3,1(Ж1,Ж2) ЙЖ1 + /1,1 (Ж2);

2 оо

/1 /2 2 Ж2

(Ш2,1/)(Ж2) = J J уао,о(Ж1,а2)/3,1(Ж1,«2)

о Х2

/1 /2

+ У У ж1а1,о(ж1, а)/3,1 (ж1,а2) ^Ж1^а2

о Х2

/1 /2 /1 2

+ У У а2,о(ж1,а2)/3,1(ж1,а2)йж1Йа2 + J уао,1(ж1,ж2)/3,1(ж1,ж2) ЙЖ1

о Х2 о

/1 /1

+ У Ж1а1,1(Ж1,Ж2)/3,1(Ж1,Ж2)ЙЖ1 + J а2д(Ж1,Ж2)/3,1(ЖьЖ2) ЙЖ1 + /2,1 (Ж2);

оо /1 /2

(Ш3,1/)(Ж1,Ж2) = J У а1 2 Ж1 ао,о(аьа2)/3д(а1 ,а)

Х1 Х2

/1 /2 /1 /2

+ УУ («1 - Ж1)а1,о(«1, а )/3,1 (а1, «2) + J J а2,о(а, а2)/3д(аь «2)

Х1 Х2 Х1 Х2

/2 /1 2

+ { а3,о(ж1,а2)/3,1(ж1,а2) Йа + У “ аод(а1,Ж2)/3д(а1,Ж2) Йа

Х2 Х1

/1 /1

+ У (а - Ж1)а1,1 (а1,Ж2)/3,1(«1,Ж2) Йод + J а2д(а1,Ж2)/3д(а1,Ж2) Йод + /3,1(ж1,Ж2).

Х1 Х1

Используя равенство (4.3), т. е. равенство /^и) = (V*/)и, а также общий вид линейных ограниченных функционалов на жР>3,1)(О), получим, что оператор V имеет сопряженный оператор вида

V* = (шо,о,^1,о,^2,о,^3,о,^о,1,^1,1,^2,1,^3,1) : Е(3,1) ^ Е(3,1),

где операторы Ш;,/, г = 0, 3, ^ = 0,1, определяются посредством равенств (4.4).

Поэтому сопряженное уравнение

(4.5)

можно записать в виде эквивалентной системы следующих интегро-алгебраических уравнений:

Шо,о/ = JJ /3,1(Ж1,Ж2)ао,о(Ж1,Ж2) ^О + /о,о = ^о,о;

0

Ш1,о/ = JJ /3,1 (Ж1 ,Ж2) [ж1ао,о(ж1 ,Ж2) + а1,о(ж1,Ж2)] ^О + /1,о = ^1,о;

0

Ш2,о/ = /3,1 (Ж1, Ж2)

Ж2

тт ао,о(ж1 ,Ж2) + Ж1а1,о (ж1,Ж2) + а2,о(ж1,Ж2)

2

0

/1 /2 2

ЙО + /2,о = ^2,о;

Я(^1 — Ж1 )2

-----2-----ао,о(а1, Ж2)/3,1(«1,Ж2) <йа1<йж2

Х1 о

/1 /2 /1 /2

+ J j(а.1 - Ж1) а1,о(а1, Ж2)/3,1 (ад,Ж2) Йод ^Ж2 + J J а2,о(а1,Ж2)/3д(аъЖ2) ^а^Ж2

Х1 о Х1 о

/2

^ У а3,о(Ж1,Ж2)/3,1(Ж1,Ж2) ЙЖ2 + /3,о(Ж1) = ^3,о(Ж1);

/1 /2 2 Ж2

(шо,1/)(ж2) = J J у ао,о(ж1,а2)/3,1(ж1,«2)

о Х2

^1 2

/ж2

у ао,1(Ж1,Ж2)/3, 1 (Ж1,Ж2) ЙЖ1 + /о, 1 (Ж2) = ^о,1(Ж2);

о

/1 /2 2 /1 /2

(Ш1,1/)(Ж2) = J J уао,о(Ж1,а2)/3,1(Ж1,«2) йж^а + J У ж1а1,о(жь а:2)/3д(жъ 0:2) йж^а о Х2 о Х2

/1 2 /1

у ао,1(Ж1,Ж2 )/3,1 (Ж1,Ж2) ЙЖ1 +У Ж1а1,1(Ж1,Ж2)/3,1(Ж1,Ж2) ЙЖ1 + /1,1 (Ж2 )= ^1,1 (Ж2);

/1 /2 2 Ж2

(Ш2,1/)(Ж2) = J У у ао,о(ж1,а2)/3,1(ж1,«2) ЙЖ1 ^а2

о Х2

/1 /2 /1 /2

+ У У ж1а1,о(ж1, «2)/3,1(ж1, «2) ЙЖ1 + J J а2,о(ж1, а)/3,1 (ж1,а2) ЙЖ1 Йа

о Х2 о Х2

/1 2 /1

у ао,1(Ж1,Ж2 )/3,1 (Ж1,Ж2) ЙЖ1 + J Ж1а1,1(Ж1,Ж2)/3,1(Ж1,Ж2) ЙЖ1

оо

/1

^У а2,1(Ж1,Ж2)/3,1(Ж1,Ж2) ЙЖ1 + /2,1 (Ж2) = ^2д(Ж2);

/11 /12 2

(Ш3,1/)(Ж1,Ж2) = J J (а1 2Х1) ао,о(а1,а2)/з,1(а1,а2) 1а1 ^<02

Х1 Х2

/1 /2 /1 /2

+ УУ(а — ж1)а1,о(а1, а2)/зд(аь «2) 1а 1а2 + J ^ а2,о(а1, а2)/зд(а1, а2) 1а11а2

Х1 Х2 Х1 Х2

/2 /1 2

+ J яз,о(жь а2)/з,1 (х1, «2)1^2 ^ ^ ( 1 2—~ао,1(^1, Х2)/з,1(^1, Ж2) 1а1

Х2 Х1

/1

+ У(^1 — Х1 )а1д( ск1,Ж2)/з}1( «1,^2) 1 а 1

Х1

+ У а2д(а1 ,Х2)/з,1 (а1,Х2) 1а1 + /з,1 (жьЖ2) = ^зд(жьЖ2),

Х1

/1

Х1

где ^ = (^о,о,^1,о,^2,о,^з,о(Ж1),^о,1 (Х2),^1,1 (ж2),^2Д (Ж2),^зд (жьЖ2)) Е — заданный, а / = (/о,о,/1,о,/2,о,/з,о(х1),/о,1(х2),/1,1(х2),/2,1(х2),/з,1(х1,х2^ Е — иско-

мый элемент.

Последнее уравнение системы (4.6) является самостоятельным двумерным интегральным уравнением. Очевидно, что оператор Шзд этого уравнения является вольтер-ровым относительно точки (^1,^2). Используя это, а также условия, наложенные на коэффициенты а^- (Ж1,Ж2), можно доказать, что это уравнение для любой правой части ^з,1 Е Д(С) имеет единственное решение /з,1 Е Д(С). Очевидно, что если известно решение /з, 1 последнего уравнения системы (4.6), то остальные компоненты решения

/ = (/о,о, /1 ,о, /2,о, /з,о(Ж1), /о, 1 (Ж2),/1,1(Ж2),/2,1(Ж2),/з,1 (Ж1,Ж2)) Е Е(з,1)

можно вычислить посредством остальных равенств системы (4.6) при помощи решения /з,1 Е (С) последнего уравнения этой системы.

Следует отметить также, что оператор ^зд : (С) ^ (С) можно рассматривать

как сопряженный оператор для оператора N : £Р(С) ^ ^Р(С) эквивалентного интегрального уравнения (3.6). Иначе говоря, для всех 1 ^ р ^ то справедливо тождество

/ / (^)(Ж1,Ж2)/зд(Ж1,Ж2) 1Ж1 1Ж2 = &(Жъ Ж2)(^зд/зд)(Ж1, Ж2) 1Ж1 1Ж2,

с С (4.7)

6 Е £Р(С), /з,1 Е Д(С),

где ^зд/зд = Шз,1 /.

Тождество (4.7) показывает, что если 1 ^ р < то, то N * = Шзд; если же 1 < р ^ то, то ш*1 = N. Поэтому для всех 1 ^ р ^ то либо уравнение (3.6) является сопряженным уравнением для последнего уравнения системы (4.6), либо имеет место обратное утверждение. Это показывает, что уравнение (3.6) и последнее уравнение системы (4.6) являются «связанными» уравнениями. Поэтому из теоремы 3.1 следует, что справедлива следующая теорема.

Теорема 4.1. Оператор ^зд : (С) ^ (С) есть гомеоморфизм.

Следствие 4.1. Система (4.6) для любой ф £ е(3,1) имеет единственное решение / £ Е(3,1) и при этом ||/1| „(3,1) ^ М||ф||„(з,1), где М — положительная постоянная, не

д „д „д

зависящая от ф.

(5.1)

§ 5. Построение фундаментального решения

Теперь возьмем произвольную точку (Ж1,Ж2) £ С и рассмотрим систему

^0,0/ = 1

^1,о/ = XI,

х2

^2,о/ = -у,

(шз,о/)(сщ) = (-1-2а1) 9(ж1 - оц), «1 £ (0, Л1),

(шо,1 /)(<*2) = 9(ж2 - а2), а 2 £ (0,^2),

(^1,1 /)(а2) = Ж1^(Ж2 - а2), а 2 £ (0, Л^),

-2

(^2,1 /)(а2) = 9(ж2 - а2), а 2 £ (0, ^2),

Х^з,1 /)(а1, а2) = (-1-2а1) 9(ж1 - а1) 9(ж2 - а2), (а1, а2) £ С,

которая является частным случаем системы (4.6).

Определение 5.1. Если для каждой заданной точки (Ж1,Ж2) £ С система (5.1) имеет хотя бы одно решение /(Ж1 ,Ж2) = (/о,0(Ж1, Ж2), /1,0(Ж1, Ж2), /2,0(Ж1, Ж2), /з,0( а 1; Ж1,Ж2),

/о,1(а2;Ж1,Ж2),/1,1(а2;Ж1,Ж2),/2,1(а2;Ж1,Ж2), /3,1 (а1,а2;ЖЬЖ2)) £ Е(3,1), то это решение будем называть фундаментальным (9-фундаментальным) решением задачи (2.1), (2.2).

Последнюю компоненту /3, 1 (а1, а2; Ж1, Ж2) можно рассматривать как новую функцию Римана для задачи Гурса. Можно показать, что если коэффициенты а*,- (ж1 , Ж2) обладают непрерывными производными ^^2а*,-(Ж1,Ж2) вобласти С, то /3,1 (а1, а2;Ж1,Ж2) на самом деле есть функция Римана задачи Гурса в классическом смысле.

Теорема 5.1. Задача (2.1), (2.2) имеет единственное 9-фундаментальное решение

(3 1)

/(ж1 , Ж2). При этом решение и £ Шр ’ (С) задачи (2.1), (2.2) может быть представлено посредством 9-фундаментального решения в виде

«1 «2

+ У р3,о( а 1/3,0(а1; Ж1,Ж2) + J род(а2)/од(а2; Ж1,Ж2) ^а2

и(Ж1,Ж2) = р0,о/о,о(Ж! ,Ж2) + р1,0/1,о(Ж1,Ж2) + р2,оДо (Ж1 ,Ж2)

«1 «2

Род ( а 2 )/о,1 ( о о

«2 «2 (5.2)

+ р1д(а2)/1,1 (а2; Ж1,Ж2) ^а2 + р2д( а2/2,1 (а2; Ж1,Ж2) ^а2

о о

+ // ^3,1 ( а 1, а2)/3,1(а1, а2; Ж1 ,Ж2) ^С.

о

< Существование единственного 9-фундаментального решения следует из следствия 4.1. Для доказательства справедливости представления (5.2) будем сравнивать

(3 1) (3 1)

правые части тождеств (4.1) и (4.3) на решениях и £ Шр ’ (С) и / £ задачи (2.1),

(2.2) и системы (5.1). Тогда получим:

р0,о/о,о(Ж!,Ж2) + р1,оДо (Ж1,Ж2) + р2,оДо (жЬЖ2)

«1 «2

+ У р3,о(а1 )/3,о(а1; Ж1,Ж2) + У ■од^/од^; Ж1,Ж2) ^

*1; ж1 , Ж2) «а1 + J р0,1(а2)/0,И оо «2 «2

■ , (а )/,Ц

о о

«2 «2

+ У р1д(а2)/1,1(а2; Ж1,Ж2) ^ + У ■ 2д(а2)/2,1(а2; Ж1,Ж2) ^

+ У/ а2)/3д(аь а2; Ж1,Ж2) ^ ^а2 = и(0,0) + ж^ и(0,0) + ^и(0,0)

о (5.3)

«1 (ж _ а )2 «2

+ —^~2—1— 9(ж1 - а1)^3и(а1,0) ^а2 + 9(ж2 - а2)^2и(0,а2) ^а2

о о

«2 «2 2

+ У Ж19(Ж2 - а2)^1^2и(0, а2) ^а2 + J у 9(ж2 - а2)^2^и(0, а2) ^ оо

«1 «2

/г ( 2

—^-2—1— 9(ж1 - а1)^3^2и(а1, а2) ^а2^а2.

оо

(3 1)

Интегральное представление (3.2) функций и £ Шр , )(С) показывает, что правая часть формулы (5.3) совпадает со значением и(ж1,ж2) решения и(а1, а2) в точке (Ж1,Ж2). Этим справедливость представления (5.2) доказана. >

Пример. Пусть а*,0(ж2,ж2) = а*,2 (ж1,ж2) = 0, г = 0,2; а3,0(ж) = 0. В этом случае из (5.1) 9-фундаментальное решение задачи (2.1), (2.2) находится в виде

Ж2

/о,о(Ж1 ,Ж2) = 1; /1,о(Ж1,Ж2 )= Ж2 ; /2,о(Ж2,Ж2 ) = у;

/3,0(а2;Ж2,Ж2) = (Ж2 2а2) 9(ж1 - а2), а2 £ (0,^);

/о,1(а2; Ж2,Ж2) = 9(ж2 - а2), а2 £ (0, Л2);

/1,1 (а2; Ж1,Ж2) = Ж29(ж2 - а2), а2 £ (0, Л2);

Ж2

/2,1 (а2; Ж2,Ж2) = у 9(ж2 - а2), а2 £ (0, Л2);

(Ж2 — а2 )2

/3,1 (а2, а2; Ж2,Ж2) =----- -----9(ж1 - а2) 9(ж2 - а2), (а2, а2) £ С.

По формуле (5.2) в этом случае решение задачи (2.1), (2.2) можно найти в явном виде

2 hi

, ч X [ (xi — ai)2 п. . ,

u(xi, X2) = ^0,0 + ^i,0Xi + <£2,0 у + p3,o(ai)-----2-^(Ж1 — ai) dai

o

h2 h2

+ J ^o,i (a2) d(x2 — a2) da2 + J ^i,i(a2)xi 0(x2 — a2) da2 00

h2

f x2 f f (xi — ai)2

+ ^2,i(a2)y 0(x2 — a2) da2 + ^3,i(ai,a2)-^-^(xi — ai) 0(x,2 — (*2) daida2-

0 G

При конструировании приведенной выше схемы построения ^-фундаментальных решений краевых задач важную роль сыграл тот факт, что уравнение и краевые условия рассматривались нами в связанном виде, как различные компоненты одного операторного уравнения. Такой подход к краевым задачам открывает прямой путь к современным методам функционального анализа и является особенно удобным применительно к вопросам, связанным с рассмотрением сопряженных задач. В рамках такого подхода вопросы представления решения, а также разрешимости самой задачи и ее сопряженной системы оказываются тесно связанными, что позволяет получить более окончательные результаты в этом направлении. Более того, именно такой подход позволяет выявить также некоторые пути постановки корректных краевых задач в пространствах Wp3,i)(G).

Литература

1. Юрчук Н. И., Барановская С. Н., Яшкин В. И. О классических и ослабленных классических решениях гиперболических уравнений // Тез. докл. междунар. конф., посвященной 75-летию чл.-корр. РАН проф. Л. Д. Кудрявцева.—Москва, 1998.—С. 71.

2. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // J. Diff. equat.—1972.—Vol. 12, № 3.— P. 559-565.

3. Шхануков М. Х., Солдатов А. П. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // Докл. АН СССР.—1987.—Т. 297, № 3.—C. 547-552.

4. Жегалов В. И. Трехмерный аналог задачи Гурса // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа.—Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1990.—C. 94-98.

5. Лернер М. Е. О качественных свойствах функции Римана // Дифференц. уравнения.—1991.—T. 27, № 12.—C. 2106-2119.

6. Троицкая С. Д. О первой краевой задаче для гиперболического уравнения на плоскости // Мат. заметки.—1999.—T. 65, № 2.—C. 294-306.

7. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка // Изв. вузов.—1999.—T. 10.—C. 73-76.

8. Midodashvili B. Generalized Goursat problem for a spatial fourth order hyperbolic equation with dominated low terms // Proc. of A. Razmadze Math. Institute.—2005.—Vol. 138.—P. 43-54.

9. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения.—1982.— Т. 18, № 4.—C. 689-699.

10. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопара-болического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения.—1982.—Т. 18, № 2.—C. 280-285.

11. Vincenzo R. Di., Villani A. Sopra in problema ai limiti per un’equatione lineare del terzo ordine di tipo iperbolico // Esistenza, unicita e rappresentazione della solutione. Mathematice.—1977.—Vol. 32, № 2.—P. 211-238.

12. Мамедов И. Г. О новой постановке задачи Гурса для одного нагруженного вольтерро-гипербо-лического интегро-дифференциального уравнения четвертого порядка // Тез. докл. межд. кон-ференц. по математике и механике, посвященной 50-летию со дня рождения чл.-корр. НАНА, профессора И. Т. Мамедова.—Баку, 2005.—C. 123.

13. Mamedov I. G. Generalization of multipoint boundary-value problems of Bitsadze — Samarski and Samarski — Ionkin type for fourth order loaded hyperbolic integro-differential equation and their operator generalization // Proceedings of IMM of NAS of Azerbaijan.—2005.—Vol. 23.—P. 77-84.

14. Аманов Т. И. Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной.—Алма-Ата: Наука, 1976.—171 c.

15. Никольский C. M. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.—M.: Наука, 1969.—455 c.

16. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Классификация дифференцируемых функций на основе пространств с доминирующей производной // Труды МИ АН СССР.—1965.—T. 77.—C. 143-167.

17. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения.—M.: Наука, 1975.—480 c.

18. Джабраилов А. Дж. О некоторых функциональных пространствах. Прямые и обратные теоремы вложения // Докл. АН СССР.—1964.—^ 159.—C. 254-257.

19. Ахиев С. С. Об общем виде линейных ограниченных функционалов в одном функциональном пространстве типа С. Л. Соболева // Докл. АН. Азерб. ССР.—1976.—T. 35, № 6.—C. 3-7.

20. Наджафов А. М. Об интегральных представлениях функций из пространств с доминирующей смешанной производной // Вестник БГУ. Cер. физ.-мат. наук.—2005.—T. 3.—C. 31-39.

21. Мамедов И. Г. Об одном разложении для непрерывной функции многих переменных // Вестник БГУ. Cер. физ.-мат. наук.—1999.—T. 3.—C. 144-152.

22. Мамедов И. Г. Задача Гурса нового типа для нагруженных вольтерро-гиперболических интегро-дифференциальных векторных уравнений четвертого порядка с негладкими матричными коэффициентами // Изв. НАН Азербайджана. Cер. ФТМН.—2006.—T. 26, № 2.—C. 74-79.

Статья поступила 23 декабря 2008 г.

ИлЬГАР ГУРБАТ Оглы МАМЕДОВ Институт Кибернетики НАН Азербайджана, вед. науч. сотр.

АЗЕРБАЙДЖАН, AZ 1141, Баку, ул. Ф. Агаева, 9 E-mail: [email protected]

FUNDAMENTAL SOLUTION OF INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR FOURTH-ORDER PSEUDOPARABOLIC EQUATIONS WITH NONSMOOTH COEFFICIENTS Mamedov I. G.

In this paper the fundamental solution of initial-boundary value problem for pseudoparabolic equations with dominated derivatives of fourth order with nonsmooth coefficients is constructed.

Key words: Goursat problem, boundary value problem, fundamental solutions.