CC BY
9
Владикавказский математический журнал 2015, Том 17, Выпуск 4, С. 59-66
УДК 517.956
О НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ТРАКТОВКЕ ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ГУРСА ДЛЯ ОДНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
И. Г. Мамедов
В данной статье выявлен гомеоморфизм между определенными парами банаховых пространств при исследовании четырехмерной задачи Гурса для одного дифференциального уравнения со старшей частной производной шестого порядка Б Б Б П2 и(х) с разрывными коэффициентами (^-коэффициентами) путем сведения этой задачи к эквивалентному интегральному уравнению.
Ключевые слова: гиперболическое уравнение, четырехмерная задача Гурса, уравнения с разрывными коэффициентами.
К настоящему времени усилиями многих математиков исследовались разнообразные классы трехмерных, четырехмерных, а также многомерных локальных и нелокальных начально-краевых задач для уравнений со старшей частной производной, см., например, [1-9]. Это связано с их появлением в различных задачах прикладного характера [10].
(1)
1. Постановка задачи
В работе обосновывается корректность четырехмерной задачи Гурса с неклассическими условиями для одного гиперболического уравнения.
Рассмотрим уравнение
(Vi;i;2;2u)(x) = DiDDfDf u(x) + ai,o,2,2(x)DiD|D|n(x) + 00,1,2,2 (x)D2DfD| u(x) + ai,i,i,2(x)DiD2 D3D|u(x) + ai,i,2,i(x)DiD2 Dj^ u(x) + S ,г2,гзм (x)Di1 D22D33D44u(x) = ^i,i,2,2(x) G Lp(G),
¿1 +«2+i3+«4<5, ¿e=0,i, £=i,2; ¿n =0,2, n=3,4
здесь u(x) = u(xi ,x2,x3 , x4) — искомая функция, определенная на G; ai ai1 ,i2,i3,i4(г^^^^^^^имые функции на G = Gi x G2 x G3 x G4, где G^ = (0, h^), £ = 1,2,3,4; </?1,1,2,2(ж) — заданная измеримая функция на G; D^ = ^ — оператор обобщенного дифференцирования в смысле С. Л. Соболева.
Уравнение (1) является гиперболическим уравнением, которое обладает четырьмя действительными характеристиками xi = const Ж2 = const Ж3 = const Ж4 = const, первая и вторая, из которых простая, а третая и четвертая — двухкратные. Поэтому уравнение (1) в некотором смысле можно рассматривать также как псевдопараболическое
П1 ,¿2 ,¿3 ,¿4
© 2015 Мамедов И. Г.
уравнение [11, 12]. Уравнения подобного вида возникают при описании многих процессов, происходящих в природе и технике. Подобные ситуации имеют место при изучении процессов распространения тепла [13], влагопереноса в почвогрунтах [14], фильтрации жидкости в пористых средах [15], в задачах математической биологии [16], а также в теории оптимальных процессов [17].
В этой работе уравнение (1) исследовано в общем случае, когда коэффициенты «п ,г2)®3)®4 (ж) являются негладкими функциями, удовлетворяющими лишь следующим условиям:
«0,0,13,14 (ж) е Ь(С), ®0,0,2,^4 (х) е ЬХ™,Х4 («),
«1,0,2,14(ж) е ¿Х1,'гХ'2с'Х3Ж4 «0,1,гз,2 (х) £ Ь™^4 (С),
а1,Мз,2(ж) е Ь™3^4(С),
(ж) е ¿С1
,"2 ,"4
(С), «0,Мз,г4(ж) е
Х2,Х3,Х4 (С)
а0А*з,2(ж) е Ьр™,Х4(С),
«^(ж) е Ь™^4(С),
«0,0,2,2(ж) е ЬХ™,Х4 (С),
«0,1,2,2(ж) е ¿р™,"4(С),
«1,1,13,14(ж) е ¿С1
2, 3, 4
(С),
«0,1,2,14 (ж) е ¿Р^Др"4
«1,1,2,14(ж) е Ь^Х2™(С),
«1,0,2,2(ж) е ЬС¿;Р'2с¿:'С¿:4 (С),
где ¿з =0,1 ¿4 = 0,1.
При этом важным принципиальным моментом является то, что рассматриваемое уравнение обладает разрывными коэффициентами, которые удовлетворяют только некоторым условиям типа р-интегрируемости и ограниченности, т. е. рассмотренный псевдопараболический дифференциальный оператор не имеет традиционного сопряженного оператора.
При этих условиях решение и(ж) уравнения (1) будем искать в пространстве С. Л. Соболева
%(1,1,2,2)(С) = |п(ж) : Я11 ^22^33^44и(ж) е ЬР(С), = 0,1, £ = 1, 2; гп = 0,1, 2, п = 3, 4},
где 1 ^ р ^ то. Норму в анизотропном пространстве ^р1,1,2,2)(С) будем определять равенством
Кж)11
w,
(1,1,2,2) (С) =
£ И1 ^22^зз^44и(ж)
1ьр(С) •
¿=1,2 П=3,4
Для уравнения (1) условия Гурса классического вида можно задать в виде и(ж1 ,ж2,жз,ж4)|Х1=0 = ^ 1(ж2,жз,ж4); п(ж1,ж2,жз,ж4)|Х2=0 = ^2(ж1 ,жз,ж4);
"2=0
и(ж1 ,ж2 ,жз,ж4)1
дх 4
жз=о " аЖз
и(х1,х2,хз,х4)\Х4=0 = ^5(жьж2,жз); ^ъ^з,^)
Х4=0
= ^4(ж1,ж2,ж4); = ^6(ж1,ж2,жз),
(2)
(ж2,жз,ж4), ^2(ж1 ,жз,ж4), (ж1,ж2,ж4), ^4(ж1 ,ж2,ж4), (ж1,ж2,жз), ^6(ж1,ж2,жз) -заданные измеримые функции на С. Очевидно, что в случае условий (2) функции г = 1, 2, 3,4, 5, 6, кроме условий
F 1(ж2,жз,ж4) е ^р(1,2,2)(С2 X Сз X С4), ^2(ж1,жз,ж4) е %(1,2,2)(С X Сз X С4),
^з(ж1 ,ж2,ж4) е ^р(1,1,2)(С1 X С2 X С4), ^4(ж1, ж2, ж4) е ^^(С! X С X £4), ^5(ж1 ,ж2,жз) е ^р(1,1,2)(С1 X С2 X Сз), ^6(ж1 ,ж2,жз) е Жр,1,2^ X С2 X Сз),
хз=0
должны удовлетворять также следующим условиям:
' ^1 (0, ж3, ж4) = F2 (0, ж3, ж4); F1 (ж2,0, ж4) = ^3 (0, ж2, ж4);
(ж1,жз, 0) = F 6(ж1, 0,жз);
F 1(ж2,жз,0) = F5(0,ж2,жз); Fж13(ж2,0,ж4) = F4(0,ж2,ж4);
Fж14 (ж2,жз, 0) = F 6(0,ж2 ,жз);
F2(ж1,жз, 0) = F5(ж1, 0, жз); F2(ж1, 0,ж4) = F3(жl, 0,ж4);
F23 (ж1,0,ж4 ) = F 4(ж1, 0,ж4);
F3 (ж1, ж2, 0) = F5 (ж1, ж2, 0); F34 (ж1, ж2, 0) = F6 (ж1, ж2, 0);
F,44 (ж1, ж2, 0) = F,63 (ж1, ж2, 0),
(3)
которые являются условиями согласования.
2. Четырехмерная задача Гурса в неклассической трактовке и ее обоснование
Наличие условий согласования (3) в постановке задачи (1), (2) означает, что условиями (2) задана также некоторая излишняя информация о решении этой задачи. Поэтому возникает вопрос о нахождении краевых условий, которые не содержат излишней информации о решении и не требуют выполнения некоторых дополнительных условий типа согласования. В связи с этим рассмотрим следующие неклассические граничные условия:
Уо;о^4и = ^33 ^44и(0, 0, 0, 0) = ^0,0,^3,¿4 е Ж, г^ = 0,1, V = 3,4;
(^1,0,^4и)(ж1) = ^44и(жь 0, 0, 0) = ^1,0,13,¿4(ж1) е ¿Р(С1), ^ = 0,1, V = 3,4;
(ЧМ3,*4и)(ж2) = ^2^33^44и(0,ж2, 0, 0) = ¥>0,М3,»4(ж2) е ), ¿V = 0,1, V = 3,4; (И),0>2,»4и)(жз) = ^2^44и(0,0, жз, 0) = ^0,0,2^4(жз) е ¿р(Сз), ¿4 =0,1;
(^0;0,г3,2«)(ж4) = ^33^|и(0, 0, 0,ж4) = ^0,0,г3,2(ж4) е ^(б^), ¿3 = 0, 1;
(, 1 ,¿3,¿4и)(жЬж2) = ^44и(жЬж2, 0, 0)
= ^1,1,13,¿4(ж1,ж2) е х ^2), ¿V =0,1, V = 3,4;
(V.,0,2,14и)(ж1 ,жз) = А и(ж1, 0, жз, 0) = ^1,0,2^4 (ж1 ,жз) е х Сз),
(У1,0^3,2и)(ж1 ,ж4) = ^33^|и(ж1, 0, 0,ж4) = ^1,0^3,2(ж1, ж4) е X £4),
(^0,1,2^4и)(ж2,жз) = ^2и(0,ж2, жз, 0) = ^>0,1,2^ (ж2, жз) е Ьр(^2 X Сз), (^0,М3,2и)(ж2,ж4) = ^2^33^|и(0,ж2, 0, ж4) = ^>0,М3,2(ж2, ж4) е ¿р(^2 X £4),
¿4 = 0, 1 ¿з = 0,1 ¿4 = 0,1 ¿з = 0,1
(^0,0,2,2«)(жз ,ж4) = 0, жз , ж4) = ^0,0,2,2(жз,ж4) е ¿р(Сз X £4);
(^1,1,2^4и)(ж1 ,ж2,жз) = АВД2^4и(ж1 ,ж2, жз, 0)
= ^1,1,2^4 (ж1,ж2,жз) е ¿р(С1 X С2 X Сз), ¿4 = 0,1;
(^1,1,гз,2П)(Ж1 ,Ж2, Ж4) = и(Ж1,Ж2, 0, Ж4)
= ^1,М3,2(Ж1,Ж2,Ж4) £ X £ X £4), «3 = 0,1;
(И),1,2,2и)(Ж2,Ж3, Ж4) = ^2^|^|п(0,Ж2, Ж3,Ж4) = ¥0,1,2,2(Ж2, Ж3, Ж4) £ ¿^2 X £3 X £4);
(^1,0,2,2«)(Ж1 ,Ж3 ,Ж4) = , 0, Ж3, Ж4)
= ¥1,0,2,2 (Ж1, Ж3, Ж4) £ X £3 X £4).
Если функция и £ является решением четырехмерной задачи Гурса
классического вида (1), (2), то она является также решением задачи (1), (4) для ¥г1 ,г2,г3,г4 с условиями
<£>0д0,0 = Р1 (0, 0, 0) = Р2(0, 0, 0) = Р3(0, 0, 0) = Р5(0, 0, 0);
¥>0,0,1,0 = Р4(0, 0, 0) = Рж23 (0, 0, 0) = Р13 (0, 0, 0); ¥>0,0,0,1 = Р6(0, 0, 0) = Р1 (0, 0, 0) = Рж34 (0, 0, 0); ¥0,0,1,1 = РХ3 (0, 0, 0) = Рж44 (0, 0, 0); ¥1,0,0,0 (Ж1) = Р^ (Ж1,0, 0) = Р31 (Ж1,0, 0) = Р^ (Ж1,0, 0); ¥1,0,1,0 (Ж1) = Рж21 Х3 (Ж1,0, 0) = Рж41 (Ж1,0, 0) = Рж51 Х3 (Ж1,0, 0); ¥1,0,0,1 (Ж1) = Рж21 Х4 (Ж1,0, 0) = Р31Х4 (Ж1,0, 0) = Р^ (Ж1,0, 0);
¥1,0,1,1 (ж1) = р21Х3Х4 (ж1 , 0, 0) = РЖ41Х4 (Ж1, 0, 0);
¥0,1,0,0(Ж2) = Р12 (Ж2,0, 0) = Р32 (0,Ж2, 0) = Р5 (0,Ж2, 0); ¥0,1,1,0(Ж2) = Р^х 3 (Ж2, 0, 0) = РЖ52Х 3 (0,Ж2, 0) = Р^ (0,Ж2, 0); ¥0,1,0,1 (Ж2) = Р^ (Ж2,0,0) = Р32Х4 (0,Ж2,0) = Р®2 (0,Ж2,0);
¥0,1,1,1 (ж2) = ^2x3x4 (ж2 , 0, 0) = РХ2Х3 (0,Ж2, 0);
¥0,0,2,0 (Ж3) = РЖ13Х3 (0,Ж3, 0) = Р23Х3 (0, Ж3, 0) = РЖ53Х3 (0,0, Ж3 ); ¥0,0,2,1 (ж3) = ^3x3x4 (0,Ж3, 0) = РХ23Х3Х4 (0,Ж3, 0) = Рх63Х3 (0, 0, Ж3 );
¥0,0,0,2 (ж4) = ^4x4 (0, 0,Ж4) = ^4x4 (0, 0,Ж4) = ^4x4 (0, 0,Ж4); ¥0,0,1,2 (ж4) = ^3x4x4 (0, 0,Ж4) = ^3x4x4 (0, 0,Ж4) = Р^4X4 (0, 0,Ж4); ¥1,1,0,0 (Ж1,Ж2) = Р^ x2 (Ж1,Ж2, 0) = Р|1 x2 (Ж1,Ж2,0);
¥1,1,1,0 (ж1 , Ж2) = ^1x2x3 (ж1 , Ж2, 0) = ^1x2 (ж1 , Ж2, 0); ¥1,1,0,1 (ж1 , Ж2) = ^1x2x4 (ж1 , Ж2, 0) = ^1x2 (ж1 , Ж2, 0);
¥1,1,1,1 (ж1 , Ж2) = ^1x2X4 (ж1 , Ж2, 0) = РХ1X2X3 (ж1 , Ж2, 0);
¥1,0,2,0 (Ж1,Ж3 ) = Рх^зxз (Ж1,Ж3, 0) = Рв51 xзxз (Ж1, 0,Ж3); ¥1,0,2,1 (Ж1,Ж3) = ^1x3x3x4 (ж1 ,Ж3, 0) = ^1x3x3 (Ж1,0,Ж3); ¥1,0,0,2 (ж1 , Ж4 ) = ^1x4x4 (ж1, 0,Ж4 ) = РХ1X4X4 (ж1 , 0,Ж4); ¥1,0,1,2 (ж1 , Ж4) = ^1x3x4x4 (ж1 , 0,Ж4 ) = ^1X4X4 (Ж1, 0,Ж4 ); ¥0,1,2,0(Ж2,Ж3) = Рx12Xзxз (Ж2,Ж3, 0) = Рx52xзxз (0,Ж2,Ж3);
^0,1,2,1 (ж2,жз) = Х3Х3Х4 (ж2, жз, 0) = ^62Ж3Ж3 (0, ж2, жз);
¥0,1,0,2(ж2 , ж4 ) = ^2x4x4 (ж2, 0,ж4 ) = Х4Х4 (0, ж2 ,ж4);
2 4 4 2 4 2 4 4
^0,1,1,2 (ж2, ж4) = ^2 Х3Х4Х4 (ж2, 0,ж4) = ^2x4x4 (0, ж2, ж4 ); ¥0,0,2,2 (ж3, ж4) = ^3x3x4x4 (0,ж3 , ж4) = ^3 xзX4X4 (0,ж3,ж4);
^1,1,2,0(ж1,ж2,жз) = FX'1 x2x3x3 (ж1 ,ж2, жз) ^1,1,2,1 (ж1,ж2,жз) = FXi1 x2x3x3 (ж1 ,ж2, жз)
¥1,1,0,2 (ж1, ж2, ж4) = ^ X2X4X4 (ж1, ж2, ж4) ¥1,1,1,2 (ж1, ж2, ж4) = ^X2X4X4 (ж1, ж2, ж4)
¥0,1,2,2^2,жз,ж4) = Fx12xзxзX4X4 (ж2,жз,ж4);
X2XзXзX4X4 V
¥1,0,2,2(ж1 ,ж3, ж4) = FX1x3x3x4x4 (ж1, ж3, ж4)•
Легко доказать, что верно и обратное. Иначе говоря, если функция и е является решением задачи (1), (4), то она является также решением задачи (1), (2), для следующих функций F¿, I = 1, 2, 3,4, 5, 6:
11 1 1 3:2 F 1(ж2,жз,ж4) = ж33 ж44 ¥0,0^4 + ж33ж^ ¥0,Мз^4 (6)
¿3 =0 ¿4 =0 ¿3=0 ¿4=0 0
1x3 1x4
+ ^2 ж44 У (жз - Ы ¥0,0,2^4 (Ы +^2 ж33 У (ж4 - Ы ¥0,0^3,2^4) ^4
¿4=0 0 ¿3 =0 0
1 X2 xз xз X4
+ ^ ж44^ У (жз - Ы ¥0,1,2^ (6,6 ) У (жз - £з )(ж4 - Ы ¥0,0,2,2 (6,Ы ^4
¿4=0 0 0 0 0
X2 X4
+ ж33
/ /(ж4 - ы ¥0,1 ,¿3,2 , 6 ) ^2 ^4 ¿з=0 0 0
X4
У (жз - ^з)(ж4 - ы ¥0,1,2,2(^2 ,£з,&) ^
¿з=0 0 0
X2 xз X4
+ 000
11 1 1 XI
F2(ж1,жз,ж4) = ^2 ^2 ж33ж44 ¥0,0^з,¿4 + ^2 ^2 ж33 ж44 / ¥1,0,гз,¿4 (Ы
¿3=0 ¿4=0 ¿3 =0 ¿4 =0
1x3 1x4
0
+ Е ж44 У (жз - Ы ¥0,0,2^4 (Ы +^2 ж33 У (ж4 - Ы ¥0,0^3,2(6)
¿4=0 0 ¿3 =0 0
xl xз xз X4
+ ^2 ж44 У У (жз - Ы ¥1,0,2^4 (6,6 ) ¿6 ¿6 + У У (жз - 6 )(ж4 - 6) ¥0,0,2,2 (6,6) ¿6 ¿6 ¿4=0 0 0 0 0
1 Xl X4
+ ж33
/ / (ж4 - 6) ¥1,0^3 ,2 (6, 6 ) ^6 ^6
¿з=0 0 0
Xl xз X4
^^У У (жз - Ы(ж4 - 6) ¥1,0,2,2(6 ,6,6) ¿6 ¿6 ¿6; 000
Р3 (ж1,ж2 ,ж4 ) = м0(ж1,ж2,ж4), Р 4(ж1 ,ж2 ,ж4 ) = М1 (ж1,ж2 ,ж4 ),
где
X! X!
Мк (Ж1 ,Ж2, Ж4) = ¥0,0,к,0 + Ж4 ¥0,0,к,1 + J ¥1,0,^,0(^1) ЙТ1 + Ж^ ¥1,0,^,1(^1) ЙТ1
00
X2 X2 X4
+ У ¥0,1,^,0(^2) ^Т2 + Ж^ ¥0,1,^,1(^2) ^Т2 ^ У (Ж4 - Т4) ¥0,0,к,2(Т4) ^Т4
0 0 0
X1 X2 X1 X2
+ J ! ¥1,1,м(Г1,Г2) ^Т2 + Ж4 У J ¥1, 1 ,к, 1 (^1, Т2) ¿Т1 ^Т2 0 0 0 0
X2 X4 X1 X4
+ //(Ж4 - ^4) ¥0,1,к,2 (Т2,Т4) ^Т2 ^Т4 + J У^4 - Г4) ¥1,0,к,2 (^1, Г4) ¿Т1 0 0 0 0
X1 X2 X4
/(Ж4 - Т4) ¥1,1,к,2(т1,Т2,Т4) ЙТ1 ^Т2 <^4, к = 0, 1; 000
Р5(Ж1,Ж2,Ж3) = ¿0(Ж1, Ж2, Ж3), Р6(Ж1 ,Ж2, Ж3) = ¿1 (Ж1, Ж2, Ж3),
где
X1 X1
¿к(ж1 ,Ж2 ,Ж3) = ¥0,0,0,к + Ж3 ¥0,0,1,к ^У ¥1,0,0,к (П1) + ж^ ¥1,0,1^ (П1)
00
X2 X2 Xз
+ J ¥0,1,0,к(П2) + Ж3 J ¥0,1,1,к (П2) + У (Ж3 - П3)¥0,0,2,к (П3)
0 0 0
X1 X2 X1 X2
+ У У ¥1,1,0,к (П1,П2) + Ж^ У ¥1,1,1,к (П1 ,П2) 0 0 0 0
X2 xз X1 xз
+ У У (Ж3 - П3) ¥0,1,2,к (П2,П3) ^У У (Ж3 - П3) ¥1,0,2,к (П1,П3)
0 0 0 0
X1 X2 xз
У У У (Ж3 - П3) ¥1,1,2,к(П1,П2,П3) ¿П3, к = 0,1.
+
000
Итак, четырехмерные задачи Гурса классического вида (1), (2) и вида (1), (4) в общем случае эквивалентны. Однако четырехмерная задача Гурса (1), (4) по постановке более естественна, чем задача (1), (2). Это связано с тем, что в постановке задачи (1), (4) на правые части краевых условий никаких дополнительных условий типа согласования не требуется. Поэтому задачу (1), (4) можно рассматривать как задачу Гурса с неклассическими условиями.
Таким образом, доказана
Теорема 1. Задачи Гурса вида (1) (2) и неклассического вида (1) (4) эквивалентны.
Задачу (1), (4) можно исследовать, следуя схеме рассуждений работы [24], методом операторных уравнений. В результате убеждаемся в справедливости утверждения, аналогичного теореме из [24, с. 63].
Отметим, что применяя методику, приводимую в статье [25], можно получить интегральное представление решения задачи (1), (4) с использованием фундаментального решения. А в работах [18-21] исследовались краевые задачи в неклассических трактовках. В этих работах для исследования таких задач развита методика, которая аналогично методу предложенному С. С. Ахиевым [22, 23] и существенно использует современные методы теории функций и функционального анализа. В данной статье она изложена, в основном, применительно к четырехмерным гиперболическим уравнениям шестого порядка с разрывными коэффициентами.
3. Выводы
Постановка задачи (1), (4) обладает рядом преимуществ:
1) в этой постановке не требуется никаких дополнительных условий согласования;
2) такая постановка порождает гомеоморфизм между двумя определенными банаховыми пространствами;
3) эту задачу можно рассматривать как задачу сформулированную по следам в пространстве С. Л. Соболева WPM'2'2(G);
4) в этой постановке рассматриваемое уравнение является обобщением многих модельных уравнений некоторых процессов (например, уравнения влагопереноса, уравнения теплопроводности, уравнения Адлера, уравнения Буссинеска — Лява, уравнения Манжерона, трехмерного телеграфного уравнения и т. д.).
Автор выражает глубокую благодарность рецензенту за ценные замечания.
Литература
1. Жегалов В. И., Севастьянов В. А. Задача Гурса в четырехмерном пространстве // Диф. уравнения.—1996.—Т. 32, № 10—С. 1429-1430.
2. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными.—Казань: Казанское мат. общество, 2001.—226 с.
3. Миронов А. Н. К задаче Коши в четырехмерном пространстве // Диф. уравнения.—2004.—Т. 40, № 6.-С. 844-847.
4. Миронов А. Н. К методу Римана решения одной смешанной задачи // Вести. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки.—2007.—№ 2(15).—С. 27-32.
5. Кощеева О. А. О построении функции Римана для уравнения Бианки в n-мерном пространстве // Изв. вузов. Математика.—2008.—№ 9.—С. 40-46.
6. Уткина Е. А. Об одной краевой задаче со смещениями в четырехмерном пространстве // Изв. вузов. Математика.—2009.—№ 4,—С. 50-55.
7. Миронов А. Н. О построении функции Римана для одного уравнения со старшей частной производной пятого порядка // Диф. уравнения.—2010.—Т. 46, № 2.—С. 266-272.
8. Джохадзе О. М. О трехмерной обобщенной задаче Гурса для уравнения третьего порядка и связанные с ней общие двумерные интегральные уравнения Вольтерры первого рода // Диф. уравнения.—2006.—Т. 42, № З.-С. 385-394.
9. Midodashvili В. Generalized Goursat problem for a spatial fourth order hyperbolic equation with dominated low terms // Proceedings of A. Razmadze Math. Institute.—2005.—Vol. 138.—P. 43-54.
10. Верезин А. В., Воронцов А. С., Марков M. В., Плющенков В. Д. О выводе и решении уравнений Максвелла в задачах с заданным волновым фронтом // Мат. моделирование.—2006.—Т. 18, № 4.— С. 43-60.
11. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка // Изв. вузов. Математика.—1999.—№ 10.—С. 73-76.
12. Мамедов И. Г. Фундаментальное решение задачи Коши, связанной с псевдопараболическим уравнением четвертого порядка // Журн. вычислительной математики и мат. физики.—2009.—Т. 49, № 1.-С. 99-110.
13. Кожанов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Адлера // Диф. уравнения.—2004.—Т. 40, № 6.—С. 763-764.
14. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Диф. уравнения.—1982.—Т. 18, №2.—С. 280-285.
15. Шхануков М. X. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Диф. уравнения.—1982.—Т. 18, № 4.-С. 689-699.
16. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии.—М.: Высшая школа, 1995.—304 с.
17. Мамедов И. Г. Условия оптимальности некоторых процессов, описываемых псевдопараболическим уравнением при нелокальных краевых условиях // Мат. и компьютерное моделирование. Сер. физ.-мат. науки.—2008.—Вып. 1.—С. 133-141.
18. Чернов А. В. О тотальном сохранении глобальной разрешимости задачи Гурса для управляемого полулинейного псевдопараболического уравнения // Владикавк. мат. журн.— 2014.—Т. 16, вып. 3.—С. 55-63.
19. Мамедов И. Г. Формула интегрирования по частям неклассического типа при исследовании задачи Гурса для одного псевдопараболического уравнения // Владикавк. мат. журн.—2011.—Т. 13, вып. 4.—С. 40—51.
20. Мамедов И. Г. Нелокальная комбинированная задача типа Бицадзе — Самарского и Самарского — Ионкина для системы псевдопараболических уравнений // Владикавк. мат. журн.—2014.—Т. 16, вып. 1.—С. 30—41.
21. Мамедов И. Г. О неклассической трактовке задачи Дирихле для одного псевдопараболического уравнения четвертого порядка // Диф. уравнения.—2014.—Т. 50, № 3.—С. 417-420.
22. Ахиев С. С. Фундаментальные решения некоторых локальных и нелокальных краевых задач и их представления // Докл. АН СССР.-1983.-Т. 271, № 2.-С. 265-269.
23. Ахиев С. С. Функция Римана уравнения с доминирующей смешанной производной произвольного порядка // Докл. АН СССР.-1985.-Т. 283, № 5.-С. 783-787.
24. Мамедов И. Г. Об одной задаче Гурса в пространстве Соболева // Изв. вузов. Математика.— 2011—№ 2.-С. 54-64.
25. Мамедов И. Г. Фундаментальное решение начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения четвертого порядка с негладкими коэффициентами // Владикавк. мат. журн.—2010.— Т. 12, вып. 1.-С. 17-32.
Статья поступила 12 декабря 2013 г.
Мамедов Ильгар Гурбат оглы
Институт Систем Управления НАН Азербайджана,
ведущий научный сотрудник
Азербайджан, AZ 1141, Баку, Б. Вагабзаде, 9
E-mail: ilgar-maimadovOrambler.ru
ON A NONCLASSICAL INTERPRETATION OF THE FOUR-DIMENSIONAL GOURSAT PROBLEM FOR ONE HYBERBOLIC EQUATION
Mamedov I. G.
A homeomorphism between certain pairs of Banach space is revealed in the study of the four-dimensional Goursat problem for one differential equation with leading partial derivative of the sixth order DiD2-DiD| with discontinuous coefficients (Lp-coefficients) by reducing this problem to an equivalent integral equation.
Key words: hyperbolic equation, the four-dimensional Goursat problem, equations with discontinuous coefficients.
