CC BY
14
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2017. Т. 21, № 1. С. 94—111 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d http
УДК 517.956
К условиям разрешимости задачи Гурса в квадратурах для двумерной системы высокого порядка*
Е. А. Созонтова
Елабужский институт (филиал) Казанского (Приволжского) федерального университета, Россия, 423600, Елабуга, ул. Казанская, 89.
Аннотация
Рассматривается задача Гурса для двумерной системы дифференциальных уравнений высокого порядка. Целью исследования является отыскание достаточных условий разрешимости рассматриваемой задачи в квадратурах. Предлагается способ отыскания решения указанной задачи в явном виде, основанный на факторизации уравнений системы. В результате исходная задача редуцируется к пяти более простым задачам: четырем задачам Гурса для уравнения и задаче Гурса для гиперболической системы второго порядка. Окончательный результат в терминах коэффициентов исходной системы формулируется в двух теоремах.
Ключевые слова: система дифференциальных уравнений, задача Гурса, разрешимость в квадратурах.
Получение: 6 марта 2016 г. / Исправление: 18 ноября 2016 г. / Принятие: 9 декабря 2016 г. / Публикация онлайн: 16 апреля 2017 г.
://doi.org/10.14498/vsgtu1479
Введение. В работах [2-18], [19, гл. 3], [20, гл. 1, 3] с различных точек зрения изучалось уравнение
r s
u(r,s) + Е Е a(t,3)u{i,j) = m
i=0j=0 (1) i+j<r+s
где
_ di+j u (i,j) dxidyj
Научная статья
3 ©® Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования
Созонтова Е. А. К условиям разрешимости задачи Гурса в квадратурах для двумерной системы высокого порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 1. С. 94-111. doi: 10.14498/vsgtu1479. Сведения об авторе
Елена Александровна Созонтова ft http://orcid.org/0000-0003-4315-0669 ассистент; каф. математического анализа, алгебры и геометрии; e-mail: sozontova- [email protected]
*Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного автором на 69 научной конференции «Герценовские чтения - 2016» (Россия, Санкт-Петербург, 11-15 апреля 2016).
В частности, в [7-9], [19, гл. 3], [20, гл. 1] для уравнения (1) при определенных г и в были исследованы варианты задачи Гурса: доказана однозначная разрешимость этой задачи, а для некоторых отдельных случаев получены достаточные условия разрешимости задачи Гурса в явном виде [19, гл. 3], [20, гл. 3]. В работах [13-17] на основе редукции к задаче Гурса изучены различные краевые задачи для уравнения (1).
Целью нашего исследования является выделение случаев разрешимости задачи Гурса в квадратурах для двумерной системы уравнений п-ного порядка:
г в
ик(т,8) + (а^И!^) + а^щ] = ¡к, к = 1,2, г > 1, в > 1, (2)
i=0 ]=0 г+]<г+в
дг+] ик (г ')
где Ик(г,]) = ~о~То~,], акг , ¡к являются функциями переменных х и у, причем
е С(г])(В), ¡к е С(°,о)(В), к,1 = 1,2, В = {хо < х < X!, уо < у < у!}.
1. Вспомогательные результаты. Рассмотрим сначала в области В систему (2) при г = п — 1, в = 1, т. е. систему вида
п—! !
Ик(п-1,1) + ^2 ^ (ак^ицц) + а^щ] = ¡к, к = 1,2, п > 2 (3) г=о ]=о
г+] <п
(результаты исследования системы (3) необходимы нам для исследования (2) при произвольных г и в).
Задача 1. В области В найти регулярное 'решение системы (3), удовлетворяющее условиям
ик(о,°)(х,у°)= фк°(х), ик(р,°)(х°,у) = р кр(у), к = 1,2, р = 0,п — 2. (4)
Предполагается, что ркр е С!(Х), фк° е Сп-!(У) (X, У —стороны характеристического прямоугольника В при х = х°, у = у° соответственно), и выполняются условия согласования
(кр(уо) = Ф(о(х°), к = 1, 2, р = 0, п — 2.
Теорема 1. Пусть коэффициенты системы (3) удовлетворяют условиям
СП-2 дхп-2-г (а ы , ) — а к/ - 0,
яп—2—г , ,
Сг д_(>—2,°) _ (п_ 2)а(п—!,°)\ + (5)
Сп—2я„п-2-г \ак1 (п 2)ак1х )+ К >
Йп—!—г , . , Сп ! гд_(п(п— !,°Л >,°) - 0
+ппСп—2 дхп—!—г Как1 )— ак1 - 0,
к, I = 1, 2, г = 0,п — 3, Нц = 0, если г = 0 и Нц = 1 в остальных случаях. Тогда система (3) представима в виде
д
м-2
дх
те-2
«^(1,1) + Е Е (вЙ^^) + ^(г.))) = /к, к = 1 2, (6)
п о—п '
где
г=0 .7=0 г+.<2
в (1,0) = «(га—1,0)
= ,
в£Д) = «Г^, (7)
вк0,0) = 4Г2,0) — (п — 2)41-1,0), М = 1,2.
Доказательство. Перепишем (3) в виде
га— 1 1
ик(га—1,1) + Е ЕЙ!^!^) + «И^г^Н г=га—2 7=0 г+.<га
га—3 2 га—3 2
+ ЕЕ акг,0)и1(»,0) + ЕЕ аЫ,1)и1(г,1) = , к = 1, 2.
г=0 г=1 г=0 г=1
Применяя тождества (5), получим
га—1 1
ик(га—1,1) + Е Е(акг1 «1(^,7) + «Й ^г,.)) +
г=га—2 7=0 г+.<га
га—3 2 дга—2—г
+ ЕЕ И—2(«Г,0) — (п—2)«£г—1,0))+
а
|_ 2 дхга—2—г
г=0 г=1
дга—1—г
+ Н С га—1—г _д_(«(га—1,0))
+ Н11Сга—2 дхга— 1—г 1«Ы ^
и1(г,0) +
+ЕЕ сга—2дХ^ («кга—2,1))икг,1) = /к, к = l, 2. (8)
га 3 2
г=0 г=1
Используя формулу Лейбница, преобразуем слагаемые в (8):
га2
= дга 2«к(1,1) «к(га—1,1) = дХга—2 '
га-3 2 дга-2-г
г=0 г=1
ЕЕ(Сга—2 дхга—2—г («Ы 2,0) — (п — 2)«Ы* ^Ь(*,0) = 2 дга 2 ( )
Е дХ^ («Й—2,0) — (П — ^«Ш1,0))«1(0,0)—
1=1
2
Е(аИ —2,о) — (п — 2)аШ!,0))и1(п—2,°у, (9)
ак
3 2 л д'п—!—г 2 л д)п—2
ЕЕ^2!—г дхп—!—г Кг)и/(г,°) = Е дх^—2 КГ )и/(!,°) —
г=° /=! /=!
22
Е, оЛ (п-!,°) ^ (п-!,о)
(п — 2)аЫх )и/(п-2,°) — ак )и/(п-!,°);
п~3 у^ дп-2-г
ЕЕСп-2 дхп-2-г (акп-2,!0и/(г,!) =
г=о г=!
° _
дхп-2
2 п- 2 2
хп-2
Ед ( (п-2,!)\ (п-2,!)
дхп-2 «I 0и/(°,!) — Е ак Ч(п-2,!).
Подставляя теперь (9) в (8), получаем (6) с коэффициентами (7). Теорема доказана. □
Таким образом, задача 1 редуцируется к трем задачам:
дп-2-Шк = „ дхп-2 = ¡к,
дР—к (x0, у) = д(к,р+! . ^ ^ ^ /Сд-р д] (!,р+г
дхР = ду р дх^-Р ду] (10)
у г=° ]=о д=° у у 7
г+]<2
дГРвЙ!!д]). к = 1,2, р = 011—3.
р дх^-Р ду] / ! !
ик(!,!) + ЕЕ (вк1])и!(г,]) + ^^(г,])) = Шк, (11)
г=о ]=о г+]<2
ик(°,°)(х°,у) = (ко (У), ик(°,°)(х,у°) = фк°(x), (12)
(к°(у°) = фк°(х°), к = 1, 2. ()
Задачи (10), (11)-(12) следует решать последовательно начиная с первой из них. Функции — (к = 1, 2) из (10) вычисляются непосредственным интегрированием уравнений, при этом у выступает в качестве параметра. Условия, обеспечивающие возможность разрешимости задачи (11)-(12) в квадратурах, получены в [21] (формулы (3)-(5) в [21]). Учитывая (7), запишем эти условия через коэффициенты системы (3):
а!п-2Д) = 0, а2п-!,о) = 0. (13)
аЙ-^ - 0, а2Г2Д) - 0,
а(!ГД) + аГ!,о)аГ2Д) — (аГ^ — (п — 2^^ - 0, (14)
а2пХ-!,о) + а2п-!,о)а2п-2,!) — — (п — 2^!,о)) - 0, I = 1,2.
12
1) «(га—1,0) _ «(га—2,1) _ (, «(га—2,1)) + «(га—1,0)„(га—2,1) =
1) «22ж «11« (1п «12 )ху + «21
2) «21—1,0) — 0;
3) «(га—1,0) «(га—2,1) (1_ «(га—2,1)) =0
3) «22х — «11« — (1П «12 )ху — 0
— 0;
«(га-2,1) « «11« — «22ж
11«
(га-1,0)
+ (1п «
(га-2,1)
12
(га-1,0) (га-2,1)
21
12
— С0(х)П0(у) = 0;
4) 2 [
(га-2,1) (га-1,0)
«
22ж
+ (1п «
(га-2,1)
12
(га-1,0) (га-2,1)
21
12
«
11«
«
22ж
+(1п «12 , ))х«— 6(х)т(у) =0;
5)
(га-1,0) (га-2,1)
22ж
«
11«
— (1п «
12
(га—2,1)) = 12 )х« —
(га-1,0) (га-2,1)
«
21
12
— ^2(х)П2(у) = 0;
6) т ^ 1,0) — (1п «и 2,1))х«] — «Пу 2,1) —
— ^«11— , ) «22— , ) + (1п «12 , ) —
— (Ш — 1)(«2га 1,0)«(1^ 2,1) — a(l'í-2,1));
7) ^ =
24 (хК (у)
(2 — ш)[вк (х)+ ^ (у)]2'
(х) + ¿к (у)] (т — 2)4 (х)^ (у) = 0, к = 1,2.
(15)
1)
(га-2,1)
12
— 0;
2) «(га—2,1) _ «(га—1,0) _ (1п «(га—1,0)) + «
2) «11« «22ж (1п «21 )х« + «21
3)
(га-1,0) (га-2,1)
«
12
— 0;
«(га-1,0) « ««
(га—2,1) + (1п «(га—1,0)) =0 22ж «11« + (1п «12 )х« —
«
(га-1,0) (га-2,1)
21
«
12
— & (х)П0(у) = 0;
4)
(га-2,1) (га-1,0)
«
22ж
— (1п «
(га—1,0)) =
21
(га-1,0) (га-2,1)
«
21
5) 2[«;
(га-1,0) (га-2,1)
22ж
«
11«
+ (1п «
(га-1,0)
12
2,1) — 6(*Му) = 0;
) ] = «(га—1,0^(га—2,1) )ж«] — «
21
12
(га-1,0) (га-2,1)
22ж
«
11«
+(1п «21 1,0))х« — ^2(х)П2(у) = 0;
6) ma2'2-1,0) — «Й«2,10 + (1п
(га-1,0)
21
— ^«пу2^ — (1п «211,0))*«) — «^г®1,0) —
— (т —1)(«21 ^«Й 2,1) — «2^1,0));
7) ^ =
24 (х)4 (у)
(2 — т)[вк (х)+ ¿к (у)]2'
[вк(х) + 4(у)](т — 2)4(х)4(у) = 0, к = 1, 2.
(16)
Здесь , € С1 (к = 0, 2); , , т € С2 (к = 1, 2); а1, равны соответственно левым частям тождеств 1), 2) рассматриваемой совокупности.
Каждого из тождеств 1), 2) и наборов 3)-5) из (15), (16) достаточно для разрешимости в квадратурах задачи (11)-(12). Формулами же 6), 7) следует пользоваться совместно: при выполнении набора 6) задача (11)-(12) разрешима в квадратурах, когда левая часть хотя бы одного из соотношений 1), 2) имеет вид Стк, указанный в 7).
Аналогом теоремы 1 из [21] является
Теорема 2. Если наряду с выполнением условий (5), (14), первого неравенства (13) (второго неравенства (13)) или удовлетворяется одно из условий 1), 2) совокупности (15) (совокупности (16)), или существуют такие функции т, {к, Пк (к = 0, 2), Зк, ¿к (к = 1, 2) указанных выше классов, что для совокупности (15) (совокупности (16)) либо выполнена одна из трех групп соотношений 3)-5), либо вместе с условием 6) имеет место представление 7) для одной из двух функций ст2, то задача 1 разрешима в квадратурах.
Рассмотрим теперь в области Б систему (2) при г = 1,5 = п — 1: ! п- ! ( )
ик(!,п-!) + Е Е (ак^и!(г,]) + ак^^г,])) = /к, к = 1,2, п > 2. (17) г=о 7=° г+7 <п
Задача 2. В области Б найти регулярное 'решение системы (17), удовлетворяющее условиям
ик(°,°)(х°,у) = Рко(у), ик(°,р)(х,у°) = ^кр(х), к = 1,2, р = 0,п — 2.
Предполагается, что ^кр € С!(К), рк° € Сп-!(Х) и выполняются условия согласования
^кр(хо) = рко(у°), к = 1,2, р = 0, п — 2.
Теорема 3. Пусть коэффициенты системы (17) удовлетворяют условиям
Яп-2-7 . . .
С 7 д_1 (а(!,п-2)\ а(!,7) = 0
Сп-2 дуп-2-г 1ак1 ) ак1 - 0,
Яп—2—7 , ,
7-2 ду-22--7 (ако^ ) — (п — З^акоу-1'>)+ (18)
+ , Сп-!-7 дп-!-7 (а(°,п-!)) а(°,7) _ 0 +Я!2Сп-2 дуп-!-7 1ак1 ак1 - 0,
к,1 = 1, 2, ] = 0,п — 3, Л,!2 = 0, если ] =0, и Л,!2 = 1 в остальных случаях. Тогда система (17) представима в виде
(Щ-2) (ик(!,!) + Е ЕС (вк!7)и!(г,7) + в^^))) = /к, к = 1, 2,
п- 2
г=о 7=о г+7<2
где
о(1,0) _ _(1,п-2) д(о,1) _ „(0,п-1)
вкг _ акг , вкг _ "кг , вк0,0) _ "к0,П-2) - (п - 2}ак0уП-1), м _1,2.
Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теоремы 1. Аналогами условий (13)—(16) соответственно являются
(0,п-1)
12
_0,
(1,п-2)
21
_0.
(19)
(1,п-2) _
12
— 0, а
(0,п-1) _
21
— 0,
(0,п-1) + а(1,п-2)а(0,п-1) /(0,п-2) (п 2)а(0,п—1)>
11у + а11 а1г - 1а1г - (п - 2)а1гу У
(1,п-2) + а (1,п 2) а (0,та 1) _ / (0,п-2) _ ( 2) (0,п-1)^
21х + а2г а22 1а2г (п 2)а2гу )
— 0, — 0, 1 _ 1,2.
(20)
1) а22ж а(0,п-1) а11у - (1п аЙ,п -1))
2) а(1,п-2) -а21 — 0;
3) а22ж а(0,п-1) а11у - (1п аЙ,га_ -1))
а(0,п-1) а11у а(1,п-2) а22ж +(1п аЙ,п" -1))
4) 2[аЙ,Г1) (1,п-а22ж 2) + (1п аЦ п-1))
а11у а(1,п-2) а22ж +(1п аЙ,п" -1))
5) а22ж а (0,п-1) а11у - (1п аЙ,п" -1))
(1,п-2) (0,п-1) _
21
а
12
— 0;
(1,п-2) (0,п-1) _
21
12
— &(х)п0(у) _ 0;
) 1 = а(1,п-2)„(0,п-1) — а21
12
)ху— ^1(х)П1(у) _ 0;
_ (1,п-2) (0,п-1) _
а
21
12
— ^2(х)П2(у) _ 0;
6) Н^Х 2) - (1п а12,П 1))ху] - "Й,? 1) —
= та
11у
а
22ж
+ (1п а
12
— (т - 1)(а21,п 2)ай,п 1) - аi0(,y? 1));
7) ^ _
24(У)
(2 - т)[вк(х) + ¿к(у)]2' [«к(х) + ¿к(У)](т - 2)4(х^(у) _ 0, к _ 1, 2.
(21)
1) "Г ^ — 0;
2) а(1,га-2) + а(0,п-1) (1п а(1,п-2)) + ап-2) ю^-1) = 0;
2) -а22х + а11у - (1п а21 )ху + а21 а12 — 0;
3) 4Г2) - "ЙТ" +(1паЙ,п-2))ху— 0,
-а21,п-2)а1(2,п-1) — С0(х)П0(у) _ 0;
4)
а
(0,п-1) 11у
— а.
(1--2) - (1па21,п-2))ху —
22ж
_ (!,«,-2) (0,п-1) _
а
21
12
— С1(х)П1(У) = 0;
5) 2 [|
(!,«,-2) (0,п-1)
'22ж
а
11у
+ (1п а
(1,п-2)ч 1 _ (1,п-2) (0,п-1)
(22)
12
)жу_
а
21
12
(1,п-2) (0,п-1)
22ж
а
11у
+ (1п а.
(!,«,-2) ч _
21
)ху — ^2(х)П2(У) = 0;
6)
ша.
(1,п-2) (0,п-1)
22ж
а
11у
ша
+ (1п а.
(0,п-1) 11у
(1,п-2)) = )ху —
21
— (1п а
(1,п-2)
21
^у) а
(1,п-2) _
22ж —
— (Ш — 1) ( а '
21
12
а
(1,п-2)>
22ж
7) ^ =
24 (х)4 (у)
(2 — Ш)[вк (х) + ^ (у)]2' к(х) + ¿к(у)](ш — 2)4(х)^(у) = 0, к = 1, 2.
Таким образом, справедлива
Теорема 4. Пусть при выполнении условий (18), (20), первого неравенства (19) (второго неравенства (19)) или удовлетворяется одно из условий 1), 2) совокупности (21) (совокупности (22)), или существуют такие функции ш, , Пк (к = 0,2), , ¿к (к = 1,2), что для совокупности (21) (совокупности (22)) либо выполнена одна из трех групп соотношений 3)-5), либо вместе с условием 6) имеет место представление 7) для одной из двух функций . Тогда задача 2 разрешима в квадратурах.
2. Условия разрешимости основной задачи в квадратурах. Перейдем теперь к отысканию условий разрешимости задачи Гурса в квадратурах для системы (2) при произвольных г и 5.
Задача 3. В области Б найти регулярное 'решение системы (2), удовлетворяющее условиям
ик(р,0)(х0,у) = ик(0,т)(х,У0) =
к = 1,2, р = 0,г — 1, ш = 0,8 — 1. Здесь С1 (X) (р = Т~Г=Т), е С 1(Г) (ш = М=Т), ^ е С5(Х), е Сг (К) и выполняются условия согласования
№р(У0) = фк0)(х0), фкт(х0) = ^к'04)(У0), к = 1, 2, р = 0, г — 1, ш = 0, 8 — 1.
-(т)
Теорема 5. Пусть коэффициенты системы (2) удовлетворяют условиям
д5-1-7
С^-1 ду*-1-7
а(^ 1) — М5 — 1)аыу^
а
(¿,7) -
— 0,
г = 0, г Л j = 0, j = 1,8 — 2 Л г = г;
Сд
1
(а£в)) + С5-1
ду
д5-1-7 ^(¿,5-1)
ду
5-1-7
^г
— (5 — 1)аЙ°)
г = 0,г — 1 Л j = 1,8 — 2;
—акг,7)—0,
(23)
к,1 _ 1, 2, Л,21 _ 0, если г _ г и Л,21 _ 1 в остальных случаях. Тогда система (2) представима в виде
д 1 / г 1 \ (^-г) («к(г,1) + ЕЕМ^'Ч^+вкг27Чг,7)) _ к _1,2, (24)
У ^ г=07=0 '
г+7<г+1
где
(25)
в(г,0) _ (г,«-1) о(г,1) _ (г,«)
вкг _ акг , вкг _ акг ,
вкг,0) _ акГ-1) - (« - 1)ак^, к, 1 _ 1,2, г _ 0,7-1.
Доказательство. Перепишем (2) в виде
г 2 «-2 2
ик(г,«) + Е Е акгг,0) иг(г,0) + Е Е аы7)иг(г,7) + г=0 г=1 .7=1 г=1
+ Е «С Е акг,7)иг(г,7) + ЕС ЕТ ЕТ ак;,7)иг(г,7) _ /к, к _ 1,2. (26)
г=07=1 г=1 г=0 7=8-1 г=1
г+7<г+«
Применяя (23), (25) и формулу Лейбница, преобразуем слагаемые в (26):
_ д«-1ик(г,1); ик(г,«) _ ду«-1 ;
Г 2 г 2 03-^(^,0)
ЕЕакгг,0)иг(г,0) _ ЕЕ ду«-к1 иг(г,0); г=0 г=1 г=0 г=1 у
«-2 2 «-2 2 д«-1-7 в(Г,0)
ду«-1-7
ЕЕа1Г',)иг(г.) _ ЕЕ7 ду«-1-к7 иг(г,7) _
7=1г=1 7=1г=1
д«-1 , ч 2 д«-1в(г,0)
д ^(г,0). N д Ркг
2
Е дЬ-Т (вк!,0)иг(г,0)) - Е дуЛ иг(г,0) - Е ^иг(г,«-1); (27)
г=1 у г=1 у г=1
г—1 «-2 2
Е Е Е аы7)иг(г.) _
г=0 7=1 г=1
Г-1 «-2 2 (г,1) о«— 1— 7 о(г,0)
_ V «ТУ" д« 7) + с д« 1 7вк/ ) \ .
г=0 7=1 г=1 у у
г 1 2 д«-1 г 1 2 д«-1
_ ЕЕ ^^ (^Чг,!)) + ЕЕ ^^ (вЫ,0)иг(г,0))-
г=0 г=1 у г=0 г=1 у
— ЕЕ^^ и1(м) + (5 — 1)вЫу1)-иг(г,«-1)) —
¿=0 г=1
ЕЕ( дуЛ и(¿,0) + ЙГи(М-1));
г 5 2 г-1 2
Е Е Еакгг,7)иг(г,7) = ЕЕ+
¿=07=«-1г=1 ¿=0 г=1
+ Е Е(вк;,0) + (5 — 1)в£у1))иг(г,5-1) + вкГ,0Ч(г,-1). ¿=0 г=1
Подставляя (27) в (26), получаем (24) с коэффициентами (25). Теорема доказана. □
Аналогичным образом доказывается теорема
Теорема 6. Пусть коэффициенты системы (2) удовлетворяют условиям
СГ-1 ^^^^ — Ыг — 1)а1:Х°) — а^ — 0,
j = 0,8 Л г = 0, г = 1,г — 2 Л j = в;
(28)
Са(г7) + С дГ 1 " (а(г-1,Л (г 1)а(г,7)) а(*7) = 0 Сг-1 дХг-» ак1 + Сг-1 джг-1-г — (г — 1)ак1^ — — 0,
г = 1,г — 2 Л j = 0,8 — 1;
к,1 = 1, 2, Л,22 = 0, если j = я и Л,22 = 1 в остальных случаях. Тогда система (2) представима в виде
(дх-Г-Т) (ик(М) + ЕЕ ЕЕ (вк17)и1(г,7) + ^Цг^) = Л, к = 1, 2, ^ ¿=0 7=0 ' ¿+7<«+1
где
вк0,7) = акГ-1,7) — (г — 1)'а7 М = 1, 27 ; = 0,7—1.
о(0,в) = а(--М) в(1,7) = а(-,7) = ак/ ' = акг
Пусть теперь для системы (2) выполнены условия теоремы 5, т. е. имеют место тождества (23). Тогда задача 3 оказывается редуцированной к трем задачам:
д« 1^к _ ду«-1 _ /к, др-Шк(х, у0) _ дг^к,Р+1
+
дур дхг (29)
+ ^ V V (С д-р д9-Рвкг1,7) дг^1,Р+7 + с д-р д?-рвк!7) дг^2,р+7 ч ( ) V дуд-р дхг р дуд-р дхг У,
г=0 7=0 д=0 у у
г+7<г+1
к _ 1, 2, р _ 0,8 - 2.
ик(г,1) + ЕЕ(вкг1,7)и1(г,7) + вк27)и2(г,7)) _ «к, г=0 7=0 г+7<г+1
ик(0,0) (х0, у) _ ^к0 (у), ик(0,0) у0) _ ^к0 (х), ^к0(у0) _ ^к0(х0), к _ 1, 2.
(30)
Задачи (29), (30) следует решать последовательно начиная с первой из них. Функции «к (к _ 1,2) из (29) вычисляются непосредственным интегрированием уравнений, при этом х выступает в качестве параметра. Задача (30) аналогична задаче (3)—(4). Как известно из п. 1, условия, обеспечивающие разрешимость этой задачи в квадратурах, определяются неравенствами (13), тождествами (5), (14) и соотношениями (15), (16). Учитывая (25), запишем указанные условия через коэффициенты системы (2) (для этого в указанных
формулах акгг,7) необходимо заменить соответственно на вкг7) и затем воспользоваться формулами (25)):
(г-1,«)
12
_0,
(г,«-1)
21
_0.
(31)
д
г-1-г
г1
дх
г 1 г
а
(г-1,«))
кг
а
(г,«) _
кг
— 0;
д_ дх'
г-1- г
[акг-1,«-1) - (« - 1)ак;-1,5) - (г - 1)акГ1)] +
+л.исг'-г (4Г - (а
г
кг
- («- 1)акгу°)
г _ 0, г - 2, к _ 1,2, 1 _ 1,2.
(г,«-1) _
12
0,
(г— 1,«) _
21
0,
(г-1,«) (г,«-1) (г—1,«)
1гу
+ а
11
-(а£-1,«-1) - (« - ^Й:1^ - (г - 1)а1Г1))
0,
(г,«- 1) , (г,«-1) (г — 1,«)
чгж
+ а.
2г
22
- ("2г-м-1) - («- ыг-м) - (г - 1)а2тхТ-1))
1 _ 1, 2.
0,
0,
(32)
с
1) а(г,5—1) _ а(г—1,«) _ (1п а(г—1,«)) + аС',в — 1)а('—1,в) = 0-
-V а22ж а11у (1п а12 /ху + а21 — П-
(г—МЬ
12
2)
а.
(г,«—1) _
21
— П-
3) а(г,«—1) а(г—М (1п а(г—1,«)) =П
3) а22х - а11у - (1п а12 )ху — 0
(г—1,«) _ ^(г,«—1) П1у
а
22ж
+ (1п а
(г—М)
12
(г,«-1) (г—1,«) _
21
а
12
— Со (х)По(У) = 0-
4) 2[а(11- 1,в) - а(г,«—1)
(г—1,8Ь 1 = ,1(г,«—1)а(г—М)
<11у
22ж + (1п а12 , )ху] — а21 а12
- а22Х-1) + (1п а(12-1,5))ху — ^1(х)П1(У) = 0
(34)
5) а22Х 1) - а1Г1— 1,в) - (1п а12 1,5))ху — а2Г1« 1)а12 1,в) — С2(х)П2(У) = 0-
6) Ц^Х 1) - (1п а12 1,5))ху.
7) ^ =
12 (г—1,«) — та11у )
24(х)4(у)
а
(г-1,«) _ 11у —
а
(г,«-1) 22ж
+ (1п а
(г-1,«)^ _ 12
— (т — 1) (а
21
12
а
11у
(2 — т)[^ (х) + ¿к (у)]2' [«к(х) + ¿к(у)](т — 2)4(х)^(у) = 0, к = 1, 2.
1) а'
(г—1,«) _
0-
2)
а
12
(г—1,«) (г,«—1)
11у
а
22ж
— (1п а2'1« 1))ху + а.
(г,«—1) (г—1,«) _
21
а
12
— 0-
3) а.
(г,«—1) (г—1,«)
22ж
а
11у
+ (1п а.
(г,«—1)л _
21
)ху — 0,
а
(г,«—1) (г—1,«) _
21
12
— Со(х)По(У) = 0-
4) а
(г—1,«) (г,«—1)
11у _ "
а
22ж
— (1п а.
(г,«— 1) Л _ (г,«—1) (г—1,«) _
21
)ху — а
21
12
— С1(х)П1(у) = 0-
5) 2[а.
а
(г,«—1) _ а(г—1,«)
22ж а11у
(г,«—1) (г—1,«) 22ж — а11у
+ (1п а.
(г,«—1) \ 1 _ (г,«—1) (г— 1,«)
21
] — а
21
12
— а\Л„ ' ' + (1па21
(г,«—1))ху — С2(Х)П2(У) = 0-
(35)
6) та22Х 1) — а1г1у1,8) + (1п а.
ужу
(г,«—1)ч, _ 21
)жу —
— m(a(lгlyм) — (1п а2г1« 1))ху) — а2г2,х2 1) —
— (т — 1)(.
(г,«—1) (г—1,«)
21
а
12
а
(г,8—1)> 22ж )
7) ^ =
24 (у)
(2 — т)[вк (х)+ 4 (у)]2' [«к(х) + ¿к(у)](т — 2)4(ж)*к(у) = 0, к = 1, 2.
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 7. Пусть выполняются условия (23), (32), (33), первое неравенство (31) (второе неравенство (31)) и для совокупности (34) (совокупности (35)) или удовлетворяется одно из условий 1), 2), или существуют такие функции т, , Пк (к = 0, 2), , ¿к (к = 1, 2), что либо выполнена одна из трех групп соотношений 3)-5), либо вместе с условием 6) имеет
место представление 7) для одной из двух функций . Тогда задача 3
разрешима в квадратурах.
Пусть теперь для системы (2) выполнены условия теоремы 6. Нетрудно проверить, что в этом случае получим те же условия (34)—(35). При этом должны выполняться неравенства (31), тождества (28), (33) и
с7 д« 1 7 (а(г,«-1)) _ а(г,7) = С«-1 ду«-1-7 (акг ) акг —
С7-1 ду-7 [акг-1,«-1) - (г - 1)акгХ«-1) - (« - 1)акг-1,в)] +
«-1 ду«— 1—7 1-акг - (' - 1)акгх - (8 - 1)акгу ] + (36)
+hl2C7—7дуТ7-(акг-1,«)) - (акг-1,7) - (г - 1)акгх7)) — 0, 2 _0,8 - 2, к _ 1, 2, 1 _ 1, 2.
Итак, справедлива
Теорема 8. Если выполняются условия (28), (33), (36), первое неравенство (31) (второе неравенство (31)) и для совокупности (34) (совокупности (35)) или удовлетворяется одно из условий 1), 2), или существуют такие функции т, {к, Пк (к _ 0, 2), 8,, ¿к (к _ 1, 2), что либо выполнена одна из трех групп соотношений 3)-5), либо вместе с условием 6) имеет место представление 7) для одной из двух функций ст2, то задача 3 разрешима в квадратурах.
3. Пример. Приведем конкретный пример системы, иллюстрирующий изложенный выше теоретический материал.
Пример. В области В найти решение системы
+ а1 + а2иху + а3 ^хх + а4^ху + а5 +
+аб"% + а/^х + аз^у + ад и + аш V _ /1, (37)
^жжу + + Ь2Иху + Ьз-Ухж + Мху + &5Мж+ ( )
+ЬбИу + Мх + Ьв^у + ЬдИ + Ью^ _ /2,
удовлетворяющее условиям
и(х0,у)_ <Му), и(х,у0)_ ^1(х),
^(х0,у)_ ^ч(у), ^(х,у0)_ ^2(х),
Их(х0,у)_ Х1(у), ^(х0,у)_ Х2(у), (38)
^1(у0) _ (х0), ^2(у0) _ ^2(х0),
Х1(у0) _ ^ (xо), Х2(у0) _ ^2(xо),
где ^1, ^2, Х1, Х2 е С 1(Х), ^1, ^2 е С2(У).
Данная задача является частным случаем задачи 3 при г _ 2, 8 _ 1. Найдем такие функции а^ (г _ 1, 6), чтобы первое уравнение (37) имело вид
(дх) (иху + а1Их + а2Иу + аз^ж + а4^у + а5и + ав-и) _ /1. (39)
Произведя указанные в (39) действия, убеждаемся, что совпадение (371) с (39) имеет место, если выполняются тождества
- Й6 = 0, a4x - as = 0, — — a9 = 0, a7x — йэжж — aio = 0,
(40)
и при этом
а1 = а1, а2 = а2, а3 = а3, а4 = а4, а5 = а5 — а1ж, од = а7 — а3ж. (41) Аналогично получаем, что если имеют место тождества
(42)
b2x — Ьб = 0, b4x — bs = 0, — bix® — bg = 0, b7x — Ьэжж — bio = 0,
то второе уравнение (38) представимо в виде
(дж) ("Vxy + eiUx + в2"% + вэ^х + + в5и + вб^) = /2,
где
в1 = bi, в2 = b2, вэ = Ьэ, в4 = b4, в5 = b5 — bix, вб = Ь7 — Ьэж. (43)
Соотношения (41), (43) могут быть получены непосредственно из (25), а условия (40), (42)-из (23).
Таким образом, рассматриваемую задачу можно редуцировать к трем задачам:
wix = /i,
wi(xo, y) = Xiy + aixi + a^iy + ОДХ2 + a^y + ОДР1 + од ^2, W2x = /2,
W2(xo, y) = X2y + вШ + в2^1у + вэХ2 + в4^2у + в5^1 + вб^2,
Uxy + aiUx + a2 Uy + од-Ux + a4Vy + оди + од-и = wi, Vxy + в^х + в2"% + вэ Vx + в4Vy + в5и + вб^ = W2,
(44)
(45)
(46)
и(хо,у)= (у), и(жо,у)= ^2(у),
«(ж,уо)= ф1(ж), ^(ж,уо)= ф2(х), (47)
^1(уо) = ф1(жо), ^2(уо) = ф2(хо).
Задачи (44), (45), (46)-(47) следует решать последовательно начиная с первой из них. Функции -Ш1, -Ш2 вычисляются непосредственным интегрированием, причем у рассматривается как параметр. Таким образом, остается решить задачу (46)-(47), которая аналогична задаче (30). Как известно из п. 2, условия разрешимости этой задачи в квадратурах определяются неравенствами (31), тождествами (32), (33) и соотношениями (34)-(35). В качестве примера запишем через коэффициенты системы (38) (используя (41), (43)) набор условий, отвечающий соотношениям (5) из (34):
a4 = 0, аэ = 0,
a2y + aia2 — a5 + aix = 0, a4y + aia4 — a7 + аэх = 0,
b2 = 0, 2bix + bib4 — b5 = 0, 2Ьэх + ЬэЬ4 — b7 = 0,
(48)
Ьэх — a2y — (ln a4)xy = a4bi = 6(ж)п2(у) = 0.
Таким образом, при выполнении тождеств (40), (42) и условий (48) рассматриваемая задача разрешима в квадратурах.
Конкурирующие интересы. Я заявляю, что не имею конкурирующих интересов.
Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление
окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною
одобрена.
Финансирование. Исследование не имело спонсорской поддержки.
Библиографический список
1. Созонтова Е. А. Об условиях разрешимости задачи Гурса в квадратурах для системы уравнений n-го порядка / Материалы LXIX научной конференции «Герценовские чтения - 2016». СПб., 2016. С. 104-106.
2. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // Journal of Differential Equations, 1972. vol.12, no. 3. pp. 559-565. doi: 10.1016/0022-0396(72)90025-3.
3. Rundell W. The uniqueness class for the Cauchy problem for pseudoparabolic equations// Proc. Amer. Math. Soc, 1979. vol.76, no. 2. pp. 253-257. doi: 10.1090/ s0002-9939-1979-0537083-3.
4. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения, 1982. Т. 18, №2. С. 280-285.
5. Солдатов А. П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // Докл. РАН, 1987. Т. 297, №3. С. 547-552.
6. Джохадзе О. М. Задача типа Дарбу для уравнения третьего порядка с доминирующими младшими членами // Дифференц. уравнения, 1996. Т. 32, №4. С. 523-535.
7. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения, 1982. Т. 18, №4. С. 689-699.
8. Мамедов И. Г. Формула интегрирования по частям неклассического типа при исследовании задачи Гурса для одного псевдопараболического уравнения // Владикавк. ма-тем. журн., 2011. Т. 13, №4. С. 40-51.
9. Utkina E. A. Characteristic boundary value problem for a fourth-order equation with a pseudoparabolic operator and with shifted arguments of the unknown function // Differ. Equ., 2015. vol.51, no. 3. pp. 426-429. doi: 10.1134/s0012266115030143.
10. Mamedov I. G. On a Problem with Conditions on All Boundary for a Pseudoparabolic Equation// American Journal of Operational Research, 2013. vol.13, no. 2. pp. 51-56. doi: 10.5923/j.ajor.20130302.04.
11. Бештоков М. Х. Априорные оценки решения нелокальных краевых задач для псевдопараболического уравнения// Владикавк. матем. журн., 2013. Т. 15, №3. С. 19-36.
12. Бештоков М. Х. Метод Римана для решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. №4(33). С. 15-24. doi: 10.14498/vsgtu1238.
13. Напсо А. Ф. Задача с внутренними условиями для псевдопараболического уравнения // Владикавк. матем. журн., 2001. Т. 3, №4. С. 36-39.
14. Карсанова Ж. Т., Нахушева Ф. М. Об одной нелокальной краевой задаче для псевдопараболического уравнения третьего порядка// Владикавк. матем. журн., 2002. Т. 4, № 2. С. 31-37.
15. Уткина Е. А. О задачах со смещениями в граничных условиях для двух уравнений с частными производными / Физико-математические науки / Учён. зап. Казан. гос. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки, Т. 148. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 2006. С. 76-82.
16. Уткина Е. А. Об уравнениях третьего порядка с псевдопараболическим оператором и смещением аргументов искомой функции// Изв. вузов. Матем., 2015. №5. С. 62-68.
17. Сопуев А., Аркабаев Н. К. Задачи сопряжения для линейных псевдопараболических уравнений третьего порядка// Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех., 2013. № 1(21). С. 16-23.
18. Миронов А. Н., Миронова Л. Б. Об инвариантах Лапласа для одного уравнения четвертого порядка с двумя независимыми переменными// Изв. вузов. Матем., 2014. №10. С. 27-34.
19. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казанское математическое общество, 2001. 226 с.
20. Жегалов В. И., Миронов А. Н., Уткина Е. А. Уравнения с доминирующей частной производной. Казань: Казанский ун-т, 2014. 385 с.
21. Созонтова Е. А. Об условиях разрешимости задачи Гурса в квадратурах для гиперболической системы второго порядка / Материалы XII молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2015». Казань, 2015. С. 140-143.
Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki
[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2017, vol. 21, no. 1, pp. 94-111
MSC: 35K70
A conditions of solvability of the Goursat problem in quadratures for the two-dimensional system of high order*
E. A. Sozontova
Elabuga Branch of Kazan (Volga Region) Federal University, 89, Kazanskaya st., Elabuga, 423600, Russian Federation.
Abstract
In this paper we consider the Goursat problem for the two-dimensional system of high order. The purpose is to find sufficient conditions of solvability of the considered problem in quadratures. The method of finding solutions of these problems in explicit calculation based on factorization of equations is devised. As a result the initial problem is reduced to 5 simpler problems: to four Goursat problems for equation and the Goursat problem for hyperbolic system of the second order. The final result in terms of the coefficients of the original system is formulated in two theorems.
Keywords: system of differential equations, Goursat problem, solvability in quadratures.
Received: 6th March, 2016 / Revised: 18th November, 2016 / Accepted: 9th December, 2016 / First online: 16th April, 2017
Competing interests. I declare I have no competing interests.
Author's Responsibilities. I take full responsibility for submitting the final manuscript in print. I approved the final version of the manuscript. Funding. The research has not had any sponsorship.
References
1. Sozontova E. A. A conditions of solvability of the Goursat problem in quadratures for the two-dimensional system of n-th order, In: "Herzen readings - 2016". Materials of the Scientific Conference. St. Petersburg, 2016, pp. 104-106 (In Russian).
2. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable, Journal of Differential Equations, 1972, vol.12, no. 3, pp. 559-565. doi: 10.1016/0022-0396(72)90025-3.
Research Article
3 ©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this article in press as:
S o z o n t o v a E. A. A conditions of solvability of the Goursat problem in quadratures for the two-dimensional system of high order, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2017, vol. 21, no. 1, pp. 94-111. doi: 10.14498/vsgtu1479 (In Russian). Author's Details:
Elena A. Sozontova A http://orcid.org/0000-0003-4315-0669 Assistant; Dept. of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry; e-mail: sozontova- [email protected]
*This paper is an extended version of the paper [1], presented at the scientific conference "Herzen readings - 2016" (11-15 April, 2016, St. Petersburg, Russian Federation).
3. Rundell W. The uniqueness class for the Cauchy problem for pseudoparabolic equations, Proc. Amer. Math. Soc, 1979, vol.76, no. 2, pp. 253-257. doi: 10.1090/ s0002-9939-1979-0537083-3.
4. Vodakhova V. A. A boundary value problem with non-local A. M. Nakhushev condition for a certain pseudoparabolic moisture transfer equation, Differ. Uravn., 1982, vol.18, no. 2, pp. 280-285 (In Russian).
5. Soldatov A. P. An analogue of the Cauchy type integral for elliptic systems, Sov. Math., Dokl., 1987, vol.34, pp. 167-170.
6. Dzhokhadze O. M. A Darboux-type problem for a third-order equation with dominating lowest terms, Differ. Equ., 1996, vol.32, no. 4, pp. 524-537.
7. Shkhanukov M. Kh. On some boundary value problems for an equation of third order arising from simulation of filtration of a fluid in porous media, Differ. Uravn., 1982, vol. 18, no. 4, pp. 689-699 (In Russian).
8. Mamedov I. G. A non-classical formula for integration by parts related to Goursat problem for a pseudoparabolic equation, Vladikavkaz. Mat. Zh., 2011, vol.13, no. 4, pp. 40-51 (In Russian).
9. Utkina E. A. Characteristic boundary value problem for a fourth-order equation with a pseudoparabolic operator and with shifted arguments of the unknown function, Differ. Equ. , 2015, vol.51, no. 3, pp. 426-429. doi: 10.1134/s0012266115030143.
10. Mamedov I. G. On a Problem with Conditions on All Boundary for a Pseudoparabolic Equation, American Journal of Operational Research, 2013, vol. 13, no. 2, pp. 51-56. doi: 10.5923/j.ajor.20130302.04.
11. Beshtokov M. H. A priori estimates of the solutions of nonlocal boundary value problems for a pseudo-parabolic equation, Vladikavkaz. Mat. Zh., 2013, vol.15, no. 3, pp. 19-36 (In Russian).
12. Beshtokov M. H. Riemann method for solving non-local boundary value problems for the third order pseudoparabolic equations, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2013, no. 4(33), pp. 15-24 (In Russian). doi: 10.14498/vsgtu1238.
13. Napso A. F. A problem with interior conditions for a pseudoparabolic equation, Vladikavkaz. Mat. Zh., 2001, vol.3, no. 4, pp. 36-39 (In Russian).
14. Karsanova Zh. T., Nakhusheva F. M. On a nonlocal boundary value problem for a third-order pseudoparabolic equation, Vladikavkaz. Mat. Zh., 2002, vol.4, no. 2, pp. 31-37 (In Russian).
15. Utkina E. A. On problems with displacement in boundary conditions for two partial differential equations, In: Physics and mathematics, Kazan. Gos. Univ. Uchen. Zap. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 148. Kazan, Kazan University, 2006, pp. 76-82 (In Russian).
16. Utkina E. A. On a third order equations with pseudoparabolic operator and with shift of arguments of sought-for function, Russian Math. (Iz. VUZ), 2015, vol. 59, no. 5, pp. 52-57. doi: 10.3103/S1066369X15050072.
17. Sopuev A., Arkabaev N. K. Interface problems for linear pseudo-parabolic equations of the third order, Vestn. Tomsk. Gos. Univ. Mat. Mekh., 2013, no. 1(21), pp. 16-23 (In Russian).
18. Mironov A. N., Mironova L. B. Laplace invariants for a fourth-order equation with two independent variables, Russian Math. (Iz. VUZ), 2014, vol.58, no. 10, pp. 22-28. doi: 10. 3103/S1066369X14100041.
19. Zhegalov V. I., Mironov A. N. Differentsial'nye uravneniia so starshimi chastnymi proizvod-nymi [Differential equations with leading partial derivatives]. Kazan, Kazan mathematical society, 2001, 226 pp. (In Russian)
20. Zhegalov V. I., Mironov A. N., Utkina E. A. Uravneniia s dominiruiushchei chastnoi proizvodnoi [Equations with dominated partial derivative]. Kazan, Kazan University, 2014, 385 pp. (In Russian)
21. Sozontova E. A. On the conditions of solvability of the Goursat problem in quadratures for hyperbolic system of the second order, In: "Lobachev Readings - 2015". Materials of the XII Youth Scientific School-Conference. Kazan, 2015, pp. 140-143 (In Russian).
