Трёхмерная интегро-многоточечная краевая задача для нагруженных вольтерро-гиперболических интегро-дифференциальных уравнений типа Бианки Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальные уравнения

УДК 517.956.3

ТРЁХМЕРНАЯ ИНТЕГРО-МНОГОТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НАГРУЖЕННЫХ ВОЛЬТЕРРО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА БИАНКИ

И. Г. Мамедов

Институт Кибернетики им. А. И. Гусейнова НАН Азербайджана,

AZ1141, Азербайджан, Баку, ул. Б. Вахабзаде,, 9.

E-mail:: [email protected]

Рассматривается комбинированная трёхмерная нелокальная краевая задача с интегро-многоточечными краевыми условиями для нагруженного вольтерро-ги-перболического интегро-дифференциального уравнения типа Бианки. При этом принципиально важным моментом является то, что рассматриваемое уравнение обладает разрывными коэффициентами, которые удовлетворяют только некоторым условиям типа Р-интегрируемости и ограниченности, и поэтому 'рассмотренный гиперболический дифференциальный оператор не имеет традиционного сопряжённого оператора. В частности, например, функция Римана задачи Гурса для. такого уравнения не может быть построена классическим методом характеристик.

Ключевые слова: трёхмерная нелокальная краевая задача, нагруженные инте-гро-дифференциальные уравнения, гиперболическое уравнение, уравнения с разрывными коэффициентами.

Постановка задачи. Рассмотрим нагруженное вольтерро-гиперболическое ннтегро-дифференцнальное уравнение типа Бианки

(Vi,i,iu)(x) = DiD2D3u(x) + (V" 1,1,1 и){х) = ZhiA(x), (1)

где х = (х\,х2,хз) € G = G\ х(?2 х Gs, Gg = (0, h^), £ = 1,2,3, а нагруженный интегро-дифференциальный оператор V 1,1,1 имеет следующий вид:

1,1,1 и) (х) = ^2 ailM,iAx)DlD2D%iu{x) +

*1+*2+*3<3,

г€е{0,1},

£=1,2,3

Ет ГХт , \

/ I Bi т (ж, Ti, Tfn) DiDm (м(ж) I xi=Tt jdTid,Tm

In In V Xrn=T„J

l<m

Ильгар Гурбат оглы Мамедов (к.ф.-м.н., доц.), ведущий научный сотрудник.

при следующих нелокальных условиях

И),о,о и = и( О,0,0) + V" о,о,о^ — ^0,0,0;

(^1до«)(ж1) = Аи(ж 1,0,0) + (^1)0,ои)(ж1) = ^1)0,о(ж1);

(И),1,ои)(ж2) = £>2«(0, ж2,0) + (Уод,о«)(ж2) = ^о,1,о(ж2);

(И)Д1«)(ж3) = £>з«(0,0, ж3) + (Уо,о,1и){х3) = ^о, о, 1(ж3); (2)

(^1,1,ои)(ж1,ж2) = 1>1-02и(ж1,ж2,0) + (^1д)0и)(ж1,ж2) = ^1д)0(ж1,ж2);

(И)дди)(ж2,ж3) = £>2-03«(0,ж2,ж3) + (_^одди)(ж2,ж3) = ^0дд(ж2,ж3); (^1Д1«)(ж1,ж3) = £>1-03«(ж1,0,ж3) + (^1)0ди)(ж1,ж3) = ^1,од (ж1, ж3);

где = д/дх^ — оператор обобщённого дифференцирования в смысле

С. Л. Соболева, V 11,12,г3и = -^11,12,13^ ^ -^11,12,13^1 ^^1^2^35 линейные

ограниченные интегральные и многоточечные операторы соответственно, определяемые следующим образом (г^ € {0,1}, £ = 1, 2, 3, *£ < 3):

3 (

N0,0,0 = V / А'одо (Т?) ^«(ж)

ху=о

«-1 ^

(^1,0,0«)(Ж1) = / / N1,0,0 (Ж1, т2, г3) ААзАзи (жь г2, г3) с1т2с1тз]

JJG2xGз

(N0,1,ои) (ж2) = // Ко>1>о(т1,Х2,тз)010203и(т1,Х2,тз)с1т1с1тз-,

J JG1xG3

(Щ,о,1и) (ж3) = // Ко>о>1(т1,т2,хз)01020зи(т1,т2,хз)с1т1с1т2-,

■) ■)а1хС2

(^1,1,0и) (жь ж2) = / #1,1,о (жь ж2, г3) ААзАзи (жь ж2, т3) с?т3;

JG3

(N0,1,1и) (ж2,ж3) = / Кодд (г1,ж2,ж3)-01-02-0зи(т1,ж2,ж3)сгг1;

JG1

(N1,0,1 и) (жь ж3) = / N1,0,1 (Ж1, т2, ж3) ААзАзи (жь г2, ж3) сгг2;

■)С2

^0 ДОи = ^2 (Гги(х^, ж|,г), ж^) •

г=1 га г 2

г=1 ^=1

га г 2

(Ь0Д,0«)(ж2) = ^ ^Л^}(ж2)^ 1и(ж1 , Ж2, Жз ) г=1 ^ = 1

гг г 2

(^о,оди)(ж3) = ^

г=1 ^=1

г 2

(Ь1,1,ои)(Х1,Х2) = ^2 XX (Х1,х2)0{ 1032 1и(х 1,Ж2,4 ) 1=1 '-j=1

г 2

(Ьо,1,1и)(х2,х3) = ^2 XX(х2,хз)02 10{ 1и(х\\х2,хз)

г=1 ^=1

га г 2

(Ь1,0,1И)(Ж1,Ж3) = X X7*(ЖЬЖз)Д1 1£)з ^(ЖьЖ^^Жз)

г=1 '-j=1

Выше коэффициенты уравнения считаются заданными измеримыми функциями на О, удовлетворяющими лишь следующим условиям:

ао,о,о(ж) € ЬР(С)-, а1До(ж) € ЬХ^ХЗ(СУ, а0,1,о(ж) € ^,™(С9;

ао,о,1(ж) € а1)1)0(ж) € ££&2£3(С); аодДж) €

а1,о,1(ж) € Ьх£х%3{0).

Кроме этого, предполагается, что

К1(х]Ч)еЬхр£(СхС^

£ = 1,2,3;

-В|,т (ж; ть тт) € Ьр1д\’д т (С х Сг х Ст), I < т;

^о?о,о Ы € А? (^?), С = 1,2,3; К1Д0 (жь т2, г3) € Ьхр^’ТЗ(СУ

Ко, 1,о (ть ж2, т3) € Ь2р,дТз (С)] К0, од (ть т2, ж3) € Ь^,Хз(С)]

Кг,г,о (жьж2,гз) € ^'Тз{СУ К0,м (п,ж2,ж3) €

#1,0,1 (Ж1,г2,ж3) е Ьр^’хз(С)] щ = р + д, т = (т1,т2,т3) € С;

<Тг € К] р^\Х\) € Ьоо(С1); А^(ж2) € Ьоо(С2);

$\хз) € Ьоо(Сз); г?гш(жьж 2) € Ьоо(С1 х С2),

^\х2,хз) е Ьоо(С2 х Сз), 7р)(ж1,ж3) € Ьоо(С1 х С3);

.0')/

^ гп го — заданные измеримые функции; ж^ = (ж^, ж^, ж^)

фиксирован-

г1 ,г2,г3

ные точки из С, где г = 1,2,... , гг.

При вышеналоженных условиях решение и(ж) задачи (1), (2) естественно искать в пространстве С. Л. Соболева:

иДМД)(С) = |и(я.) : В\Юг2Ю13и(х) € £Р(С), % € {0,1}; £ = 1,2,з} , где 1 ^ р ^ сю. Норму в пространстве будем определять равен-

ством

1 1

“НиДМ.1) (п\

(С)

Е Е Е

ЬР{С)-

Іl=0 І2=0 is=0

Уравнение (1) является трёхмерным уравнением Бианки с интегральным возмущением. Различные аспекты краевых задач для уравнений Бианки исследованы в работах [1-6 и др].

Известно [3, 4, 6], что если К^(х;т^) = В^т (ж; Т1, тт) = 0, то функция Римана V = К (х\, ж2, Жз, /?1, /32, Рз) задачи Гурса для уравнения

1 1 1

(У1,1,1-и)(ж) = £>1£>2-С)зи(ж) + Е Е £-.ь, )гз(ж)^1£)^£)|3и(ж) = 0 (3)

г1=0 г2=0 iз=0 П+г2+гз<3

определяется как решение следующего интегрального уравнения:

гх з

у{х) - / аід)0 (жі,ж2,тз) V (жі,ж2,т3) гіг3-Нз

ґХ і

- / «0,1,1 (ті, Ж2, Жз) V (ті, Ж2, Ж3) С?Гі —

Ні

ГХ 2

- / «1,0,1 (жі,г2,жз)г;(жі,г2,жз)сгг2+

П2

ГХ 2 /"^3

+ / / «1,0,0 (жі,г2,г3) V (жі,г2,г3) гіт2сггз+

•/А Пз

РХІ РХЗ

+ / / «0,1,0 (ті, ж2,г3) V (ті,ж2,т3) сггісггз+

•//Зі ^ (ІЗ

ГХі ГХ2

+ / / «0,0,1 (ті,Т2,Ж3) V (ті,Г2,Ж3) ІІТІІІТ2 —

Ні Н2

Из (4), в частности, следует, что если сцьг2,гз(ж) = 0, *1 + г2 + *з < 3, €

{0,1}, £ = 1,2,3, то функция Римана Е (ж1, ж2, жз, Д, /32, /Зз) = 1. Нетрудно видеть, что при условиях йгьг2,г3(ж) € Сг1+г2+гз (С) запись (4) легче всего получить, отправляясь от сопряжённого с (3) уравнения:

(Пд,!^) (Ж) =

+ Е Е Е(-1)(П+г2+г3)+1^11^22^33 К.^зОФО*)) = 0-

г1=0 г2=0 гз=0 П+г2+гз<3

Таким образом, в этих работах функция Римана определяется как решение интегрального уравнения (4). Это более естественно, чем классический способ введения функции Римана. Дело в том, что в этом случае для определения функции Римана нет необходимости налагать жёсткие условия гладкости на коэффициенты уравнения (3).

Уравнения со старшей производной _01_02_0зи(ж) используются при моделировании процессов вибрации [7, с. 63] и играют существенную роль в теориях аппроксимации и отображений [7, с. 109]. В частности, при отсутствии операторов в краевых условиях (2) эту задачу можно рассматри-

вать как трёхмерную нелокальную задачу с интегральными условиями, и,

И

наоборот, в случае = 0 задача (1), (2) принимает вид трёхмерной

нелокальной задачи с многоточечными краевыми условиями типа Бицадзе— Самарского и Самарского—Ионкина. В этом смысле задачу (1), (2) можно рассматривать как трёхмерную комбинированную нелокальную краевую задачу, т. е. трёхмерную интегро-многоточечную краевую задачу. Особо нужно отметить, что разнообразные нелокальные задачи для различных классов дифференциальных уравнений исследованы в работах [8-16 и др.]

Задачу (1), (2) мы будем исследовать методом теории операторных уравнений. Запишем её в операторной форме:

то будем говорить, что оператор V задачи (1), (2) (или уравнения (5)) задаёт

разрешима. Здесь М — постоянная величина, не зависящая от 2.

Очевидно, что если оператор V задачи (1), (2) задаёт гомеоморфизм из

В современной теории дифференциальных уравнений особое значение имеет вопрос о выявлении классов задач, операторы которых осуществляют гомеоморфизм между определенными парами банаховых пространств. Такие гомеоморфизмы выявлены в работах Ю.М. Березанского и Я. А. Ройтбер-га [17], Н.В. Житарашу [18], С. С. Ахиева [19], И. Г. Мамедова [20] и др. для некоторых классов дифференциальных уравнений с частными производными.

Уи = г,

(5)

где V — векторный оператор, определяемый следующим образом:

а Z — заданный векторный элемент вида

я — (-^1,1,1) ^0,0,0, ^1,0,0, ^0,1,0, ^0,0,1, -^1,1,0) ^0,1,1, ^1,0,і)

из пространства-Ер1’1’1'* = ^Р(С) хКхЬр{С\) хЬр{С2) хЬр{Сз) хЬр{С\ х С2)х

х Ьр{02 х Оз) х Ьр{0\ х Оз).

В пространстве норму будем определять естественным образом:

- ІІ^ІДЛьр{С) + ІІ^ОДОІІд + ІІ^ІДОІІ^^) + 11-^0,1,о||Ьр(с2) +

+ ||^0Ді|І£р(Сз) + 11^1,1,0 II Ьр(С1хС2) + 11^0,1,1 ІІЬр(С2хСз) + ІІ^ІАІІІЬ^СіхСз) ‘

Определение. Если задача (1), (2) для любого Z € имеет единственное решение и € такое, что

гомеоморфизм из на Ер1’1’1"1 или задача (1), (2) везде корректно

на то существует ограниченный обратный оператор

Задача (1), (2), т. е. операторное уравнение (5), исследуется при помощи интегральных представлений специального вида для функций и € .

Для функций и € ЭДр1,1,1^ (С) можно найти различные интегральные представления. Функцию и € ЭДр1,1’1^ (С) можно представить, например, в виде

СХ\ ГХ2

и(х) = и (0,0,0) + / В\и (т1,0,0) (1т\ + / В2и (0,72,0) (1т2+

Jo Jo

/•ЖЗ ГХ1 ГХ2

+ / В3и (0,0, 73) (1тз + / / £>1£)2И(Г1,Г2,0)^Г1^Г2+

Jo Jo Jo

Г^2 /*а?3 /*#1

+ / / В2Взи(0,т2,тз) (1т2(1тз + / / £>1£>зи(т1,0,тз)сгт1сгтз+

7о ./о ./о ./о

/*а?1 /*яз

+ / / / АА>А^(т1,т2,т3) ^с^тз (6)

7о

посредством следов и(0, 0, 0), В\и (х\, 0, 0) , В2и (0, жг, 0), £>з« (0, 0, Жз) , В1В211 (ж1, Ж2, 0) , В2В311 (0, Ж2, жз) , В\Взи (ж1, 0, жз) и старшей производной В\В2Взи(х 1,Ж2,Жз). Существуют также представления других видов, позволяющих выразить функцию и(ж) посредством некоторых следов и частных производных. Однако мы будем ставить такой вопрос: нельзя ли для функций и € И^р1’1’1^^) найти представление, которое позволило бы определить функцию и(ж) однозначно по значениям (Рки) некоторых заданных операторов Рк, к = 1, 2,... , т, на этой функции и(х)1 Если, например, функцию и € Шр1,1,1\о) можно было бы восстановить однозначно по значениям Уг1,12,гзи операторов Т^1,г2,г3 на этой функции, то нахождение решения задачи (1), (2) не представляло бы особой трудности. Однако нахождение подобного представления равносильно построению обратного оператора для оператора

V этой задачи.

Если же У’г1,г2,г3и = т0 задача (1), (2) примет вид

(^дд-иХж) = В1В2Взи(х), (7)

У0,0,ои = и( 0,0,0);

(У1,о,ои) (Ж1) = Вхи (жь 0,0)

(И),1,0и) (ж2) = В2и (0, ж2,0)

(И),о,1и) (ж3) = В3и (0,0, ж3)

(VI,1,0и) (жь ж2) = В\В2и (жь ж2,0);

(И),1,1«) (®2, ж3) = В2В3и (0, ж2, ж3);

(^1,0,1 и) (жь ж3) = ВгВ3и (жь 0, ж3)

и её можно рассматривать как задачу Гурса нового типа [21, с. 17]. Такая постановка задачи обладает рядом преимуществ:

- во-первых, в этой постановке не требуется никаких дополнительных условий согласования;

- во-вторых, именно такая постановка порождает гомеоморфизм между

двумя банаховыми пространствами (С) и Ер1’1’1^]

- в третьих, эту задачу можно рассматривать как задачу, сформулированную по следам в пространстве С. Л. Соболева (С).

Учитывая здесь выражения операторов и используя интегральное

представления (6) функций и(х) € (С), решение и(х) начально-кра-

евой задачи (7), (8) можно найти посредством операторов в явном

виде:

РХ\ ГХ2

и{х) = У0,0,0и + / (^1,0,0и) (п) (1тх + / (И),1,0и) (т2) (1т2 +

Jo

ГХЗ ГХ1 ГХ2

+ / (Уо,о,1и) (т3) <1т3 + / / (У1,1,о«)(тът2)сгт1сгт2+

7о ./о ./о

Г^2 /*^3 /*^1 /*^3

+ / / (У0>1>1и)(т2,тз)(1т2(1тз+ / (^1,0,1«) (Т1,гз)сгг1сггз+

7о 7о 7о 7о

/*^1 ГХ 3

+ / / / (Ум,Iм) (П,Г2,Тз)(1т1(1т2(1тз.

Jo Jо Jo

Если же Л^г1;г2)г3и = = 0, то условия (2) примут локальный вид,

который можно рассматривать как условия Гурса нового типа. Но в этом случае задача (1), (2) имеет нелокальный характер, поскольку хорошо известно, что к числу нелокальных задач относятся также задачи, связанные с уравнениями «нелокального характера», например, нагруженными или инте-гро-дифференциальными уравнениями, если даже краевые условия для них являются локальными [22].

Для простоты изложения задачу (1), (2) мы будем изучать как возмущенную задачу для задачи Гурса (7), (8).

Определим оператор в векторном виде следующим образом:

V = (У,1,ъ Й)Д0) VI до, ^о,1,о, Й)Д1, ^1,1,0, Й),1,ъ ^1,од) :

Теорема. Пусть оператор V : —> Ер1’1’1^, 1 ^ р ^ оо, по норме

достаточно мал, а в случае р = оо имеет сопряжённый действующий в -Е^1’1’1). Тогда задача (1), (2) везде корректно 'разрешима.

Доказательство. Формула (6) показывает, что каждую функцию и € ЦГ^1Л)(С) можно отождествлять с элементом

Ь = (.01.02Ози{х), и(0, 0, 0), В\и(х1, 0, 0), £>2«(0, х2, 0), .0з«(0, 0, жз),

0>1-02и(ж1, ж2,0), -02-Оз-и(0, ж2, ж3), 0>1-03и(ж1,0, ж3)) =

= (&1,1,1(ж), &0Д0, &1До(Ж1), Ьо,1,о(Ж2), &о,од (жз),

&1,1,о(Ж1, ж2), Ьо,1,1(х2,х3), Ь1,од(ж1, Жз))

из Ер1,1,1^ т. е.

ГХ1 ГХ2

и{х) = (<ЭЬ)(ж) = бодо + / Ь\аа(т\)с1т\ -\- / Ъ0>1>0{т2)(1т2+

.)о .)о

ГХз РХ\ ГХ2

+ / Ьо,од(тз)сггз + / / Ь1,1,о(т1,г2)сгг1сгг2+

7о Jo Jo

гх2 гхз гхі гхз

+ / / Ь0>і>і(т2,тз)(1т2(1тз + / / Ьі,о,і(ті,тз)сгтісгтз+

7о 7о 7о 7о

/*^1 РХ2 у^з

+ / / / Ьі>і>і(ті,т2,тз)(іті(іт2(ітз.

Jo Jо Jo

При этом существуют положительные постоянные и м2° такие, что МЇ’ЦбЦ^мд) < ||(дь)(ж)||ж(ідд)(с) < мОЦбЦ^дд) V Ь Є Е^1\ (9)

Очевидно, что оператор <5 : Ер1’1’1^ —>■ является линейным огра-

ниченным оператором. Неравенство (9) показывает, что оператор <5 имеет также ограниченный обратный оператор, определённый на пространстве

Шр1,1,1\о). Следовательно, оператор <5 задает гомеоморфизм между банаховыми пространствами Ер1,1,1^ и Поэтому решение уравнения (5)

эквивалентно решению уравнения

удъ = г. (10)

Уравнение (10) будем называть каноническим видом уравнения (5). Тогда задача (1), (2) эквивалентна каноническому операторному уравнению

удъ = ъ + удъ = г, (п)

где 2 = (^1,1,1, -^одо, ^і,о,о, -^одд ^о,о,1, -^1,1,0) -^одд, ^і,о,і) Є Е^’1,1\ V = = (^1,1,1, И),0,0) ^1,0,0, ^0,1,0, И),од, ^1,1,0, И),1,1, ^1,0,і)-

Далее пусть / = (/ідд(ж), /о,о,о, /ідо(жі), /о,і,о(ж2), /о,о,і(жз), /ід,о(жі, ж2),

/о,і,і(ж2, Жз), /і,о,і(жі, Жз)) Є ^1,1Д) = Ед(С) хМхід(Сі) х Ьд(С2) х Ьд(С3) х х ЬЯ(Сі х С2) х Ьд(С2 х Сз) х ЬЯ(С\ х Сз) — линейный ограниченный функционал на Ер1’1’1^, где 1/р + 1/д = 1. Так как V имеет сопряжённый оператор V* = (^ідд, ш0д0, ^ід0, ш0дд ш0ді, ^ідд ш0дд, Ші;0д), действующий в Ед , то для всех и Є И/р (&) справедливо тождество

/ (Уи) = /одо (У0,о,ои) + / /і,о,о(жі)(^і)0ди) (ж і) сіх і ~Ь

JG^

+ / /од,о(ж2) (^од,о«) {Х2)(1х2 + / /о,ОД (ж3) (^0,0,1«) (жз)сгжз+

•/С2 •/ С3

+ // /і,і,о(жі,Ж2) (Уід,о«) (жі,Ж2)гіЖіС?Ж2+

■) ■)с1хс2

+ // /о,1,1 (ж2, Жз) (Уодди) (ж2,ж3) (1х2(1хз +

■] -]с2у.съ

+ // /і,0д(жі,Ж3) (^1Д1«) (Ж1,Ж3)(МЖ3 +

J оОл хС?з

+ / /1 /і,1,і(ж) (Уідди) {х)(1х =

= (^0,0,0/) /о,о,о + / (^1,0,0/) (жО (жь 0,0) с!х1 +

+ / (^0,1,0/) (ж2) А>-и(0,ж2,0) г1х2 + / Код/) (ж3)£>3-и (0,0, ж3) с?ж3+

•/ с3

+ // (^1Д)0/) (Ж1,Ж2)-С,1-С,2-и(Ж1,Ж2,0) (1х\(1х2 +

+ / / Кдд/) (ж2, ж3)£>2.Оз« (о, ж2, ж3) йх2йх3+

■) .)с2хСз

+ // (й71Д1/)(ж1,ж3)АА3и(ж1,0,ж3)сгж1сгж3+

J о С?1 хС?я

+ ^ (о71дд/) (ж)А^2А3и(ж)сгж = (У*/)(«), (12)

с

Л ^ 77.(1,1,1) ^ тт^(1,1,1) ^^,4

ИЗ которого следует, ЧТО ДЛЯ всех / е Д, ии£ И/р (и; имеет место

соотношение

/ (Ум) = (/о,о,о + ^одо/) «(О,0,0)+

+ / (/1До(Ж1) + Кд0/) (Ж1)) Аи(Ж1,0,0) сгж1 +

■)сг

+ / (/од,о(ж2) + (шод,о/) (ж2)).02«(0,ж2,0) с?ж2+

^с2

+ / (/0,0д(ж3) + Код/) (ж3)).D3«(0,0,Ж3)dж3 +

./Gз

Юз

+ 11 (/1,1,0 (Ж1, ж2) + Кд;0/) (жь ж2)) £>1_02« (жь ж2,0) (1х1(1х2 +

7 7с1хс2

+ / / (/о,1,1 (ж2, ж3) + (шодд/) (ж2, ж3)) 1}2£>3-и (О, ж2, ж3) (1х2(1хз+

7 7с2хс з

+ / / (/1,0,1 (Ж1, ж3) + Код/) (жь ж3)) £>1Аси (жь0, Ж3) (^1^ +

J JG1xGз

+ ууу (/1,1,1(ж) + Км/) (ж)) ^ДзД^ж^ж = (У*/) (и)- (13)

Из (13) следует, что и оператор У имеет сопряжённый У*, который действует в пространстве Ед1,1,1^. Более того,

^*/ = (/1,1,1(ж) + Кдд/)(ж), /о,0,0 + К,о,о/), /1,0,0(ж 1) + Кдо/Ж, /о,1,о(ж2) + (шод,о/)(ж2), /о,од(ж3) + Код/Ж, /1,1,о(жь Ж2) + (Ш1Д;0/)(Ж1, ж2), /одд(ж2, ж3) + Кдд/)(ж2,ж3), ДодК ж3) + Код/)(жь ж3)) = / + У*/-

Поэтому сопряжённое уравнение V* / = ф можно записать в виде

V*/= / + ¥*/= ф, (14)

где 0 = 001,1,1, "00,0,0, -01,0,0,00,1,0,00,0,1,01,1,0,00,1,1,01,од) — заданный элемент

-,-,(1,1,1)

ИЗ Eg .

Используя тождество (12), можно показать, что в случае 1 ^ р < оо оператор V является сопряжённым для VQ, а при 1 < р ^ оо оператор VQ является сопряжённым для V . Поэтому во всех случаях ||VQ|| = \\V ||. Очевидно, что если / € Ед1’1’1^ —решение уравнения (14), то

11/114МД)^Г1|Ч1/114МД)+Г7|1е(МД)- (15)

Выбирая А = ||F*|| < 1, из (15) получим

\\f\\Ea, 1Д) < M*\\V*f\\E(i,i,i), М* = const.

При этом же условии, используя (11), можно показать, что

И^И^адд) ^МЦ^Ц^дд), М = const. (16)

Из неравенства (16) следует, что оператор V задачи (1), (2) (или уравнения (11)) задаёт гомеоморфизм из Wp1,1,1\G) на E^’1,1\g), т. е. задача (1), (2) везде корректно разрешима. □

В задаче (1), (2) имеется большой произвол в выборе оператора V. Поэтому задачу (1), (2) можно использовать в качества источника для получения новых классов корректно поставленных нелокальных краевых задач.

Продемонстрированная нелокальная краевая задача (1), (2) как комбинированная задача играет агентную роль между задачами с интегральными и многоточечными краевыми условиями. Хорошо известно, что подобные нелокальные условия возникают, например, при изучении вопросов управления различными агроэкосистемами и моделирования некоторых физических и биологических процессов и явлений [22-27]. С этой точки зрения эта задача представляет не только теоретический, но и большой практический интерес.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Bateman Н. Logarithmic Solutions of Bianchi’s Equation// Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 1933. Vol. 19, no. 9. Pp. 852-854.

2. Фаге М. К. Задача Коши для уравнения Бианки// Матем. сб., 1958. Т. 45(87), №3. С. 281-322. [Fage М. К. The Cauchy problem for Bianchi’s equation // Mat. Sb. (N.S.), 1958. Vol. 45(87), no. 3. Pp. 281-322].

3. Жегалов В. И. Трёхмерный аналог задачи Гурса/ В сб.: Неклассич. уравнения и уравнения смешан, типа. Новосибирск: Ин-т матем. СО АН СССР, 1990. С. 94-98. [Zhegalov V. I. A three-dimensional analogue of the Goursat problem / In: Nonclassical equations and equations of mixed type. Novosibirsk: Akad. Nauk SSSR Sibirsk. Otdel., Inst. Mat., 1990. Pp. 94-98].

4. Жегалов В. И. О трёхмерной функции Римана // Сиб. матем. журн., 1997. Т. 38, №5. С. 1074-1079; англ. пер.: Zhegalov V. I. On the three-dimensional riemann function // Siberian Math. J., 1997. Vol. 38, no. 5. Pp. 929-934.

5. Джохадзе О. М. О трёхмерной обобщенной задаче Гурса для уравнения третьего порядка и связанные с ней общие двумерные интегральные уравнения Вольтерры первого рода// Диффер. уравнения, 2006. Т. 42, №3. С. 385-394; англ. пер.: Dzhokhadze О. М. On the three-dimensional generalized Goursat problem for a third-order equation, and related general two-dimensional Volterra integral equations of the first kind// Differ. Equ., 2006. Vol. 42, no. 3. Pp. 412-421.

6. Уткина E. А. Задача со смещениями для трёхмерного уравнения Бианки // Диффер. уравнения, 2010. Т. 46, №4. С. 535-539; англ. пер.: Utkina Е. A. A problem with shifts for the three-dimensional Bianchi equation// Differ. Equ., 2010. Vol. 46, no. 4. Pp. 538-542.

7. Бондаренко Б. А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных. Ташкент: Фан, 1987. 147 с. [Bondarenko В. А. Basis systems of polynomial and quasipolynomial solutions of partial differential equations. Tashkent: Fan, 1987. 147 pp.]

8. Солдатов А. П., Шхануков М. X. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // ДАН СССР, 1987. Т. 297, №3. С. 547-552; англ. пер.: Soldatov А. P., Shkhanukov М. Kh. Boundary value problems with A. A. Samarskii’s general nonlocal condition for higher-order pseudoparabolic equations// Soviet Math. Dokl., 1988. Vol. 36, no. 3. Pp. 507-511.

9. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с. [Nakhushev А. М. Problems with shifts for partial differential equations. Moscow: Nauka, 2006. 287 pp.]

10. Репин О. А. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2005. №34. С. 5-9. [Repin О. A. A nonlocal problem for a mixed-type equation with a singular coefficient // Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2005. no. 34. Pp. 5-9].

11. Репин О. А., Кумыкова С. К. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования произвольного порядка// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. №4(25). С. 25-36. [Repin О. A., Kumykova S. К. Nonlocal problem for a equation of mixed type of third order with generalized operators of fractional integro-differentiation of arbitrary order// Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2011. no. 4(25). Pp. 25-36].

12. Пулъкина Л. С. О разрешимости в Ь2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения, 2000. Т. 36, №2. С. 279-280; англ. пер.: Pul’kina L. S. On the solvability in L2 of a nonlocal problem with integral conditions for a hyperbolic equation // Differ. Equ., 2000. Vol. 36, no. 2. Pp. 316-318.

13. Огородников E.H., Яшагин H. С. Постановка и решение задач типа Коши для дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными Римана-Лиувилля// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2010. №1(20). С. 24-36. [Ogorodnikov Е. N., Yashagin N. S. Setting and Solving of the Cauchy type problems for the Second Order Differential Equations with Riemann-Liouville Fractional Derivatives // Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2010. no. 1(20). Pp. 24-36].

14. Арланова E. Ю. О задаче для уравнения смешанного типа с операторами М. Сай-го// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. №3(24). С. 157-161. [Arlanova Е. Y. On the problem for mixed type equation with M. Saigo operators // Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2011. no. 3(24). Pp. 157-161].

15. Данилкина О. Ю. Об одной нелокальной задаче для уравнения теплопроводности с интегральным условием // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2007. Т. 1(14). С. 5-9. [Danilkina О. Yu. On one nonlocal problem for the heat equation with an integral condition// Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2007. no. 1(14). Pp. 5-9].

16. Тарасенко А. В. Краевая задача для нагруженного уравнения смешанного парабологиперболического типа в прямоугольной области // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2010. Т. 5(21). С. 263-267. [Tarasenko А. V. The Boundary Value Problem for the Loaded Equation of Mixed Parabolic-Hyperbolic Type in Rectangular Area// Vestn. Samar. Cos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2010. no. 5(21). Pp. 263-267].

17. Березанский Ю. М., Ройтберг Я. А. Теорема о гомеоморфизмах и функция Грина для общих эллиптических граничных задач// Укр. мат. ж., 1967. Т. 19, №5. С. 3-32. [Berezanskiy Yu. М., Roytberg Ya. A. A theorem on homeomorphisms and Green’s function for general elliptic boundary problems // Ukrain. Mat. Z., 1967. Vol. 19, no. 5. Pp. 3-32].

18. Житарашу H. В. Теорема о полном наборе изоморфизмов в Ьг-теории модельных начальных параболических краевых задач / В сб.: Мат. исслед. Вып. 88. Кишинёв, 1986. С. 40-59. [Zhitarashu N. V. A theorem on the complete set of isomorphisms in the L2-theory of model initial parabolic boundary value problems / In: Mat. Issled. No. 88. Kishinyov, 1986. Pp. 40-59].

19. Axuee С. С. Фундаментальные решения некоторых локальных и нелокальных краевых задач и их представления// ДАН СССР, 1983. Т. 271, №2. С. 265-269. [Akhiev S. S. Fundamental solutions of some local and nonlocal boundary value problems and their representations// Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1983. Vol. 271, no. 2. Pp. 265-269].

20. Мамедов И. Г. Об одной задаче Гурса в пространстве Соболева // Изв. вузов. Матем., 2011. №2. С. 54-64; англ. пер.: Mamedov I. С. One Goursat problem in a Sobolev space// Russian Math. (Iz. VUZ), 2011. Vol. 55, no. 2. Pp. 46-55.

21. Мамедов И. Г. Локальные и нелокальные краевые задачи для гиперболических уравнений с чисто смешанными производными третьего порядка с негладкими коэффициентами, 2000. 65 с. (Деп. в АзНИИНТИ, № 2669-Аз) [Mamedov I. С. Local and nonlocal boundary value problems for hyperbolic equations with purely mixed derivatives of third-order with non-smooth coefficients, 2000. 65 pp. (Deposited at AzNIINTI, № 2669-Az)]

22. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 с. [Nakhushev А. М. Equations of Mathematical Biology: Vyssh. Shk., 1995. 301 pp.]

23. Мамедов И. Г. Задача оптимального управления в процессах, описываемых нелокальной задачей с нагружениями для гиперболического интегро-дифференциального уравнения// Изв. НАН Азерб. (сер. физ.-техн. и матем. наук), 2004. Т. 24, №2. С. 74-79. [Mamedov I. С. The optimal control problem in the processes described by the non-local problem with loadings for hyperbolic integro-differential equation // Izv. NAN Azerb. (Ser. Fiz.-Tekhn. Matem. Nauk), 2004. Vol. 24, no. 2. Pp. 74-79].

24. Mamedov I. C. Generalization of multipoint boundary-value problems of Bitsadze-Samarski and Samarski-Ionkin type for fourth order loaded hyperbolic integro-differential equations and their operator generalization// Proc. Inst. Math. Mech. Natl. Acad. Sci. Azerb., 2005. Vol. 23. Pp. 77-84.

25. Mamedov I. C. Three-dimensional nonlocal boundary-value problem with integral conditions for loaded Volterra-hyperbolic integro-differential equations // Proc. Inst. Math. Mech. Natl. Acad. Sci. Azerb., 2006. Vol. 24. Pp. 153-162.

26. Мамедов И. Г. Смешанная задача с нелокальными краевыми условиями типа Бицадзе-Самарского и Самарского-Ионкина, возникающая при моделировании фильтрации жидкости в трещиноватых средах// Изв. НАН Азерб. (сер. физ.-техн. и матем. наук), 2006. Т. XXVI, №3. С. 32-37. [Mamedov I. С. A mixed problem with nonlocal boundary conditions of Bitsadze-Samarskiy and Samarskiy-Ionkin types that arises in modeling the filtration of a fluid in fractured media// Izv. NAN Azerb. (Ser. Fiz.-Tekhn. Matem. Nauk), 2006. Vol. 26, no. 3. Pp. 32-37].

27. Мамедов И. Г. Исследование задачи с интегро-многоточечными краевыми условиями для обобщенного уравнения влагопереноса// Изв. НАН Азерб. (сер. физ.-техн. и матем. наук), 2007. Т. 27, №2-3. С. 121-126. [Mamedov I. G. The study of the problem with integro-multipoint boundary conditions for the generalized equation of moisture transfer // Izv. NAN Azerb. (Ser. Fiz.-Tekhn. Matem. Nauk), 2007. Vol. 27, no. 2-3. Pp. 121-126].

Поступила в редакцию 05/VI/2011; в окончательном варианте — 27/11/2012.

MSC: 35L35; 35S15, 35L25, 47G30

THREE-DIMENSIONAL INTEGRO-MULTIPOINT BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR LOADED VOLTERRA-HYPERBOLIC INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS OF BIANCHI TYPE

I. G. Mamedov

A. I. Huseynov Institute of Cybernetics of NAS of Azerbaijan,

9, B. Vakhabzade str., Baku, AZ1141, Azerbaijan.

E-mail:: [email protected]

In this paper the combined three-dimensional non-local boundary value problem with integro-multipoint conditions for loaded volterra-hyperbolic integro-differential equation of Bianchi type is explored. The matter of principle is the fact, that the considered equation has discontinuous coefficients which satisfy only some conditions of P-integrability type and bounded,ness, i.e. the considered hyperbolic differential operator has no traditional conjugate operator. In particular, for example, Riemann function under Goursat conditions for such equation cannot be constructed by classical method of characteristics.

Key words: three-dimensional non-local boundary problem, loaded integro-differential equations, hyperbolic equation, equations with discontinuous coefficients.

Original article submitted 05/VI/2011; revision submitted 27/11/2012.

Ilgar G. Mamedov (Ph.D. (Phys. & Math.)), Leading Research Scientist.