Задача с операторами Сайго для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2017. Т. 21, № 3. С. 473-480

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) d http://doi.org/10.14498/vsgtu1556

УДК 517.956.326

Задача с операторами Сайго для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения

О. А. Репин

Самарский государственный экономический университет, Россия, 443090, Самара, ул. Советской Армии, 141.

Аннотация

Рассматривается вырождающееся гиперболическое уравнение

|y|mUxx - Uyy + a|y|m-1ux = 0.

В области, ограниченной характеристиками этого уравнения, исследована нелокальная задача, краевое условие которой содержит линейную комбинацию обобщенных операторов дробного интегро-дифференциро-вания с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре. Единственность решения нелокальной задачи доказана с помощью метода Трикоми, а вопрос о существовании решения эквивалентно сведен к разрешимости сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши.

Ключевые слова: краевая задача, операторы дробного интегро-диф-ференцирования, функция Гаусса, сингулярное интегральное уравнение.

Получение: 13 июля 2017 г. / Исправление: 19 августа 2017 г. / Принятие: 18 сентября 2017 г. / Публикация онлайн: 21 сентября 2017 г.

1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение

гпхх - Uyy + a|y| 2 1 Пх = 0, (1)

где т ^ 2, а = 0 — вещественная постоянная, причем |а| ^ т/2, в конечной области О, ограниченной характеристиками уравнения (1):

2 т +2 2 т +2

АС : х--у 2 =0, ВС : х +--у 2 =1,

т+2У т+2

, 2 . . т + 2 2 . . т + 2

АБ : х--(-у)=0, В Б : х +-(-у)= 1.

- т + 2 - т + 2 -

Краткое сообщение

3 ©® Контент публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.ru) Образец для цитирования

Репин О. А. Задача с операторами Сайго для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 3. С. 473-480. doi: 10.14498/vsgtu1556. Сведения об авторе

Олег Александрович Репин& http://orcid.org/0000-0003-1522-3955 доктор физико-математических наук, профессор; заведующий кафедрой; каф. математической статистики и эконометрики; e-mail: matstat@mail.ru

Введем обозначения О = 0 П (у > 0), 02 = 0 П (у < 0), / — интервал 0 < х < 1 прямой у = 0.

Уравнение (1), как отмечено в монографии М. М. Смирнова [1, с. 14], интересно тем, что известное условие М. Проттера [1, с. 13] для него не выполняется, но задача Коши поставлена корректно.

Для уравнения (1) изучим нелокальную краевую задачу со смещением (по терминологии А. М. Нахушева [2]).

Задача. Найти 'решение

И1(ж,у), (ж, у) е

уравнения (1) из класса C(Q) П C 1(Q1 UI) П C 1(Q2 UI) П C2(Q1 U Q2), удовлетворяющее краевым условиям

Ai(x)/0ajÄ и[в0г)(х)] + ^(ж)/"—'ß2'n2 u[e(1i)(x)] +

+ Cj (ж)и(ж, 0) + di(x)uy (ж, 0) = gj(x), i = 1,2, (2)

и условию сопряжения

lim uy(ж, y) = а(ж) lim uy(ж,у) + в(ж), (3)

где /0f'n и — операторы обобщенного дробного интегро-дифференциро-

вания с гипергеометрической функцией Гаусса F(a, b; c; z), введенные М. Сай-го [3], которые при действительных а, в, П, и ж > 0 имеют следующий вид:

ж—а—ß /• x , t

ж I ' —

f (ж - t)a—^(а + в, -п; а; 1 - -)/(t) dt, а> 0, 0ж

(1оТ'П/)(ж) = Г(а) ^ V ж

[ dln(/oa++n'ß—n'n—П/)(ж), а < 0, n = [-а] + 1;

f (1 - ж)-а—ß ^ - ж-

i (t - ж)а—1^а + в, -п; а; ")/(t)

Jx ^ 1 ж/

dt,

d \

{в частности

я Г(а) /т V 1 — ж/

(/?_вл/)(ж) = ^ () ^ а > 0,

(—^)га(/а_+п'в-п'п"п/)(ж), а < 0, п = [—а] + 1,

(/о°+°'П / )(ж) = / (ж), (/°_°'п / )(ж) = / (ж).

Здесь аг, вг, П (г = 1, 2) —заданные вещественные числа, в°г)(ж), в1г)(ж) — точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (ж, 0) е /, с характеристиками АС, А^ и ВС, В^ соответственно; Аг(ж), Вг(ж), Сг(ж), ¿г(ж), дг(ж), а(ж), в(ж) — заданные непрерывные функции, принадлежащие классу С 1(/) П С2(/), причем

А2(ж) + Вг2(ж) + С2(ж) + ¿2(ж) = 0, г = 1, 2.

Данная работа продолжает цикл исследований [4-6 и др.] краевых задач, в которых условия содержат операторы М. Сайго [3].

2. Единственность решения задачи (1)—(3).

Теорема 1. В области О не может существовать более одного решения задачи (1)—(3), если

а(х) = 1, в(х) = 0, а1 = в — 1, а2 = а — 1, (.)

в1 = в2 = 1 — а — в, П1 = П2 = 0, (4)

и выполняются условия

Е,(х) = Г(2 — а, — в,) (^) ^ (^ + хв)) + ^.(х) = 0.

(Ш)' > 0, (Ц)' < 0, §М > * . = 1,,

. , . „ , . т — 2а т + 2а

А,(1) = 0, В,(0)=0, а, = --—, в, =

2(т + 2) , 2(т + 2)

Доказательство. При выполнении условий (4) нетрудно получить соотношения между функциями т (х) и ^¿(х):

т (х) = —А1(х)(/о1+а1-в1 ^1)(х) — В1(х)(/11-а1-в1 ^1)(х) —

#1(х)

- Dl (x)vi(x) +

Ei (ж)'

Т (ж) = А2(ж)(/о1+а2-в2 V2)(x) + B2 (ж)(/1-а2-в2 V2)(x)-

- ^(Х)^2(Х) + ,

где /q+, If_ —операторы дробного интегрирования Римана—Лиувилля,

^ 3ü(x) = ^• 5(х) = И• • = 1.2,

Y2 = 2<2 - • во =

т(ж) = и(ж, 0), v1(x) = lim uy(ж,у), v2(x) = lim uy(ж,у).

y^0+ y^ö-

Далее, проводя аналогичные [7] рассуждения и вычисления, при дДж) = 0, i = 1, 2, получим

Ii = т(x)v1(x)dx ^ 0, /2J = т(x)v2(x)dx ^ 0. Уо ./о

Полученные неравенства позволяют сделать вывод, что Vj(x) = 0, i = 1, 2, и т(ж) = 0, а следовательно, и Ui(x, у) = 0, i = 1, 2, как решения задачи Коши с нулевыми данными. □

3. Существование решения задачи (1)—(3). Не нарушая общности, для упрощения изложения положим ^(ж) =0, г = 1, 2.

Полагая А.2(ж) = 0, на основании условия сопряжения (3) будем иметь

/¿Г 2_в2 ^2(ж) + ^(ж)/!-" 2_в2 ^2(ж) +

+ В4(ж)/°1+а1 _ в1 а(ж)^(ж) + В5(ж)/1-а1 _ в1 а(ж)^(ж) = / (ж), (5)

где

Я2(ж)=0, Вз (ж) = ^, В4 (ж) = , В5(ж) = ,

А2(ж) А2(ж) А2(ж)

/ (ж) = —^---— ^М /¿-« 1_в1 в (ж) — ЙМ _в2 в(ж).

Е1(ж)А2(ж) Е2(ж)А2(ж) А2(ж) °+ А2(ж) 1

Подействуем на обе части (5) оператором а2_в2:

+ 2_в2 В4 (ж)/0+а 1_в1 а(ж)^(ж) + + д0+а2_в2 ^(ж)/^ 1_в1 а(ж)^2(ж) = д0+а2_в2 / (ж). (6)

Исследуем разрешимость уравнения (6). Для этого преобразуем выражения, входящие в его левую часть. Здесь, как и в работе [8], справедливо равенство

^0-«2 _в2 ^(ж)/^а 2_в2 ^2 (ж) = ОС8(п(а2 + в2))Вз(ж)^2(ж) +

+ ^1п(п(а2 + в2)) К1(ж, + ^ К2(ж, ОЫО^) ,

где

Вз(*)й*

й Л

К1(ж,^) = йж У° (ж—¿)1 _ «2 _ в2 (£ — ¿) «2+^2 :

к <й_ [х Вз

^^) йж (ж — ¿)1_«2_в2 (£ — ¿)«2+А

кз(ж,о =

х

В4(ж)/°+а1 _в1 а(ж)^(ж) = / Кз (ж,{)^2({)й{ + а(ж)^(ж);

Jo

а(0

Г(а2 + в2)Г(1 — а1 — в1)

й [х ЗД)^ й [? ЗД)^

х

(ж — ¿)1 _«2 _Й2 (£ — £)«1+^1 (ж — ¿)1 _«2 _02 (£ — ¿)«1+в1 у

= 1sin(n(a2 + АО) (jfХ K4(x, e)v2(C)de + jf K5(x, +

+ COs(n(a2 + Ä)) a(x)B5(x)v2(x);

K ( С) = (С) А f B>(t)dt

K4(x,^)- dxJ0 (x _ t)i_a2_e2 (^ _ i)«1+e1 ,

d rç B5(t)dt

K5<x.«) = "«> dX i

^х Уо (х — 1 а2 в2 (^ — ¿)«1+вГ

Установим свойства ядер К,(х, 4), г = 1, 2,..., 5. Запишем К1(х,£) в виде

K'i<x-«=«« dX I

dX J0 (x _ t) 1 a2 в2 (£ _ i)«2+^2

d fç (Вз(£) _ Ba(t))di

дх ,/0 (х — ¿)1-«2-в2 (£ — ¿)«2+в2'

Очевидно, что гладкость ядра К1(х, 4) определяется гладкостью первого слагаемого правой части этого равенства. Поэтому ограничимся изучением свойств интеграла

'i<x-«>=*<«> dX X

dx J0 (x _ i)1-«2-^2 (£ _ t)«2+e2 Вз(£) d /£y_a2_Ä / £

F 1 _ a _ в2,1; 2 _ a _ Ä; - =

1 _ a2 _ в2 dx V x / V x/

\ 1_а2_в2 B3(C)

х/ х — 4

Аналогично исследуется ядро К2(х, 4). Таким образом, ядра К1(х, {) и К2(х, 4) допускают оценки

К1(х, о = о(1)(х — е)-1, К2(х, о = о(1)(е—х)-1,

где 0(1) означает ограниченную в I х I величину.

После несложных вычислений для остальных ядер получим оценки

Кз (х,е) = о(1)|х — е^-^жй-^)-1,

К4(х,е) = о(1)(е — х)(а2-а1 )+(в2-в1)-1, Кб(х, е) = о(1)(х — е)(а2-а1 )+(в2-в1)-1.

Таким образом, уравнение (6) принимает вид уравнения, которое исследовано в работе [9]:

А(хЫх)+ /1 К ^^ = ^ (х), (7)

Jо 4 — х

где

K(x,£) = Кб(ж,Ш - x),

Кб(х,£) и A(x) —известные функции, F(x) = Dl-а 2-в2 f (x).

Уравнение (7) при A(x) = 0 является сингулярным интегральным уравнением с ядром Коши, решение которого строится согласно общей теории интегральных уравнений [10]. Отсюда и из единственности искомого решения следует существование решения поставленной задачи. Конкурирующие интересы. У меня нет конкурирующих интересов. Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.

Финансирование. Исследование выполнялось без грантовой поддержки.

Библиографический список

1. Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Высш. шк., 1977.

2. Нахушев А. М. Задача со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006.

3. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric function // Math. Rep. College General Educ., Kyushu Univ., 1978. vol.11, no. 2. pp. 135-143.

4. Репин О. А., Кумыкова С. К. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа, порядок которого вырождается вдоль линии изменения типа // Изв. вузов. Матем., 2013. №8. С. 57-65.

5. Репин О. А., Кумыкова С. К. Внутреннекраевая задача с операторами Сайго для уравнения Геллерстедта// Дифференц. уравнения, 2013. Т. 49, №10. С. 1340-1349.

6. Репин О. А. Об одной краевой задаче с операторами Сайго для уравнения смешанного типа// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, №2. С. 271277. doi: 10.14498/vsgtu1540.

7. Репин О. А., Кумыкова С. К. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования произвольного порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. №4(25). С. 25-36. doi: 10.14498/vsgtu1014.

8. Кумыкова С. К. Краевая задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения, 1980. Т. 16, №1. С. 93-104.

9. Репин О. А., Кумыкова С. К. Об одной задаче с обобщёнными операторами дробного дифференцирования для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения// Дифференц. уравнения, 2017. Т. 53, №8. С. 1074-1082. doi: 10.1134/ S037406411708009X.

10. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. М.: Наука, 1968. 511 с.

Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki

[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2017, vol. 21, no. 3, pp. 473-480

d http://doi.org/10.14498/vsgtu1556

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print)

MSC: 35M12

The problem with Saigo operators for a hyperbolic equation that degenerates inside the domain

O. A. Repin

Samara State Economic University,

141, Sovetskoy Armii st., Samara, 443090, Russian Federation.

Abstract

A nonlocal problem is investigated for a degenerate hyperbolic equation

|y|muxx - Uyy + a|y| mm-1ux = 0

in a domain bounded by the characteristics of this equation. The boundary condition for this problem contains a linear combination of generalized fractional integro-differentiation operators with a hypergeometric Gauss function in the kernel. The uniqueness of the solution is proved using the Tricomi method. The existence of a solution is equivalent to the solvability of a singular integral equation with a Cauchy kernel.

Keywords: boundary-value problem, fractional integro-differentiation operators, Gauss function, singular integral equation.

Received: 13th July, 2017 / Revised: 19th August, 2017 / Accepted: 18th September, 2017 / First online: 21st September, 2017

Competing interests. I have no competing interests.

Author's Responsibilities. I take full responsibility for submitting the final manuscript in print. I approved the final version of the manuscript. Funding. The research has not had any funding.

References

1. Smirnov M. M. Vyrozhdaiushchiesia giperbolicheskie uravneniia [Degenerate hyperbolic equations]. Minsk, Vyssh. shk., 1977 (In Russian).

2. Nakhushev A. M. Zadacha so smeshcheniem dlia uravnenii v chastnykh proizvodnykh [Problems with Displacement for Partial Differential Equation]. Moscow, Nauka, 2006 (In Russian).

Short Communication

3 ©® The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Please cite this article in press as:

Repin O. A. The problem with Saigo operators for a hyperbolic equation that degenerates inside the domain, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2017, vol. 21, no. 3, pp. 473-480. doi: 10.14498/vsgtu1556 (In Russian). Author's Details:

Oleg A. Repin & http://orcid.org/0000-0003-1522-3955

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of Department; Dept. of Mathematical Statistics and Econometrics; e-mail: matstat@mail.ru

3. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric function, Math. Rep. College General Educ., Kyushu Univ., 1978, vol.11, no. 2, pp. 135-143.

4. Repin O. A., Kumykova S. K. A nonlocal problem for a mixed-type equation whose order degenerates along the line of change of type, Russian Math. (Iz. VUZ), 2013, vol. 57, no. 8, pp. 49-56. doi: 10.3103/S1066369X13080069.

5. Repin O. A., Kumykova S. K. Interior-boundary value problem with Saigo operators for the gellerstedt equation, Differ. Equ., 2013, vol.49, no. 10, pp. 1307-1316. doi: 10.1134/ S0012266113100121.

6. Repin O. A. On a boundary-value problem with Saigo operators for a mixed-type equation, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2017, vol. 21, no. 2, pp. 271-277 (In Russian). doi: 10.14498/vsgtu1540.

7. Repin O. A., Kumykova S. K. Nonlocal problem for a equation of mixed type of third order with generalized operators of fractional integro-differentiation of arbitrary order, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2011, no.4(25), pp. 25-36 (In Russian). doi: 10.14498/vsgtu1014.

8. Kumykova S. K. A boundary value problem with shift for a hyperbolic equation that is degenerate inside the domain, Differ. Uravn., 1980, vol. 16, no. 1, pp. 93-104 (In Russian).

9. Repin O. A., Kumykova S. K. Problem with generalized fractional differentiation operators for a hyperbolic equation degenerating in the interior of the domain, Differ. Equ., 2017, vol.53, no. 8, pp. 1045-1053. doi: 10.1134/S0012266117080092.

10. Muskhelishvili N. I. Singular integral equations. Boundary problems of function theory and their application to mathematical physics. New York, Dover Publ., Inc., 1992, 447 pp.