Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2014. № 1 (34). С. 37—47

УДК 517.956.326

ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ВНУТРИ ОБЛАСТИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

О. А. Репин.1,2, С. К. Кумыкова3

1 Самарский государственный экономический университет,

Россия, 443090, Самара, ул. Советской Армии, 141.

2 Самарский государственный технический университет,

Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

3 Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова Россия, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 173.

Для вырождающегося гиперболического уравнения в характеристической области (двуугольнике) исследована внутреннекраевая задача с операторами дробного интегро-дифференцирования (в смысле Римана—Лиувилля), в которой значения решения уравнения на характеристиках поточечно связаны со значением решения и производной от него на линии вырождения уравнения. Модифицированным методом Трикоми при ограничениях в виде неравенств на известные функции доказана теорема единственности. Вопрос существования решения задачи редуцирован к разрешимости сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши нормального типа.

Ключевые слова: задача Коши, задача со смещением, операторы дробного интегро-дифференцирования, сингулярное уравнение с ядром Коши, регуляризатор, гипергеометрическая функция Гаусса, гамма-функция Эйлера.

1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение

\y\mUxx - Uyy + a\y\m/2-1Ux = 0, (1)

где m = const > 2; a = 0 — действительная постоянная, \a\ ^ m/2 в конечной области Q, ограниченной характеристиками

AC : x -2

2

m + 2

(m+2)/2 = о

AD : x--(-y)(m+2)/2 = о,

m+2

BC : x + —^-y(m+2)/2 = 1, m+2

BD : x + -^(-y)(m+2)/2 = 1. m + 2v

Пусть Q1 = Q П (y > 0), Q2 = Q П (y < 0), I = AB — единичный интервал 0 < x < 1 прямой y = 0; (I0+/) (x), (If-/) (x), (Dg+/) (x), (Df_/) (x) — операторы дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана—Лиувил-ля [1, с. 42-43]; 00(x), 00(x) —точки пересечения характеристик уравнения

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1280 © 2014 Самарский государственный технический университет.

Образец цитирования: О. А. Репин, С. К. Кумыкова, “Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 1(34). С. 37-47. doi: 10.14498/vsgtu1280.

Сведения об авторах: Олег Александрович Репин (д.ф.-м.н., проф.), заведующий кафедрой, каф. математической статистики и эконометрики1; профессор, каф. прикладной математики и информатики2. Светлана Каншубиевна Кумыкова (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. теории функций и функционального анализа.

E-mail addresses: [email protected] (O.A. Repin, Corresponding author), [email protected] (S.K. Kumykova)

37

О. А. Репин, С. К. Кумыков а

(1), выходящих из точки (x, 0) £ I, с характеристиками AC, BC, AD, BD соответственно, i = 1, 2.

Задача. Найти решение u(x,y) уравнения (1) со свойствами

1) u(x, у) е C(Q) П C:(Qi U I) П C1 (Q2 U I) П C2(Qi и ^);

2) u(x, +0) = u(x, —0),x £ I;

lim uy(x,y) = p(x) lim uy(x,y) + A(x), x £ I;

y^+0 y^-0

3) Ai(x)Ip+ ^i(x)u[©0(x)| + Bi(x)Iq_wi(x)u[©1(x)] +

+Ci(x)uiy(x,0) + Di(x)ui(x, 0) = Yi(x), i = 1, 2, x £ I, где Ai(x), Bi(x), Ci(x), Di(x) Yi(x), di(x), wi(x), p(x), A(x) —заданные

функции такие, что

Ai2(x) + Bi2(x) + Ci2(x) + Di2(x) = 0, _

Ai(x),Bi(x),Ci(x),Di(x),Yi(x) £ C 1(I) П C3(I), p(x),A(x) £ C 1(I), pi, qi — действительные постоянные, причём 0 < pp qi < 1.

(2)

Отметим, что рассматриваемая задача относится к классу краевых задач со смещением [2] (по терминологии А. М. Нахушева).

2. Единственность решения задачи.

Теорема. В области Q не может существовать более одного решения задачи, если

Ax) = 1, A(x) = 0, pi = p2 = a, qi = q2 = в, (3)

d1(x) = d2(x) = xa+e-i, w1(x) = w2(x) = (1 — x)a+e-i; ( )

Ei(x)

Г(а + в)

Г(в)

(1 — x)1-aAi(x) + Г(а+в) x1-e Bi(x) + r(a)

+ x1-e (1 — x)1-aDi(x) = 0,

i = 1,2, x £ I

(4)

и выполняются неравенства

- Aj(x) -E1(x) - A2(x) ^2(x)(

(1 — x) x)

a 1 < 0, rB1(x) r1_e 1

^(x) J

a 1> 0, rB2(x) l_01

E2 (x) J

C1 (x)

> 0 1V x

> 0, E1(x)x

< 0 C2(x) x1_e

< 0, E2(x)x

1-e(1 — x)1-a < 0, (5) (1 — x)1-a > 0, x £ I,

либо

p(x) > 0, A(x) =0, p1 = p2 = 1 — в, q1 = q2 = 1 — a, d(x) = w(x) = 1;

Ei(x)

Г(2 — a — в) fm + 2\ Г(1 — a) V 4 J , Г(2 — a — + Г(1 — в)

2/(m+2)

(1 — x)e Ai(x)+ в) f m + 2 \2/(m+2)

i“Bi(i) +

+ xa(1 — x)e Ci(x) = 0, i

1,2, x £ I (7)

38

Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения

и выполняются неравенства

Мх) (1 - х)в < 0, BM *“ < 0, DM *«(! _ xf < 0,

Ei(x) A2(x)

Ei(x)

E2 (x)

(1 _ x)e > 0, xa > 0,

E2(x) ’

Ei(x) Di(x)

E2 (x)

xa(1 _ x)e > 0, x G I, (9)

либо

Pi = a, P2 = 1 _ в, qi = в, 92 = 1 _ a, S(x) = w(x) = 1; (10)

выполняются условия (4), (5) в области Qi, а в области Q2 справедливы условия (7), (9), где

m _ 2 a 2(m + 2),

в

m + 2 a 2(m + 2) ’

Доказательство. Переходя к доказательству единственности решения задачи, положим

т(x) = u(x, 0), vi(x) = lim uy(x,y), v2(x) = lim uy(x,y).

y^0+0 y^0-0

Пусть выполняются условия (3), (4) теоремы.

Используя формулу решения задачи Коши для уравнения (1) в областях Qi, Q2 [3, с. 13-14] и удовлетворяя краевым условиям 3), получим соотношения между т(x) и Vi(x), принесённые на I из Qi и Q2 соответственно:

т (x) = Ai(x)I0i+a-e Vi(x) + B i(x)Ii-a-e Vi(x) + C i(x)vi(x) + Yi(x), (11)

где

Ai(x)

Г(2 _ a _ в) fm + 2\2/(m+2) Ai(x) (. )i-a

Г(1 _ a) \ 4 ) Ei(x) (1 x) ,

Г(2 _ a _ в) f m + 2 \2/(m+2) Bi(x) ^ в

Bi(x) Г(1 _ в) V 4 )

Ei(x)

C i(x) = _

Ei (x)

- / \ Yi(x) i-

Yi(x) = Ei(i)x

CiM xi-e (1 _ x)i-“

e(1 _ x)i-a

i = 1,2.

После преобразований, аналогичных [4,5], получим, что

т (x)vi(x)dx = 0.

1

0

Затем нетрудно доказать равенство vi(x) = 0 (см., например, [4]). Тогда из (11) при yi(x) = 0 имеем т(x) = 0. Следовательно, ui(x,y) = 0 как решения задачи Коши с нулевыми данными в областях Qi, Q2, что и завершает

39

О. А. Репин, С. К. Кумыков а

доказательство единственности решения исследуемой задачи для уравнения (1).

Если выполняются условия (6), (7) теоремы, то соотношения между т(x) и Vi(x) имеют вид

Vi(x) = Ai(x)D0+a вт(x) + Bi(x)D{_a вт(x) + Di(x)r(x) + Ei(x), (12)

где

Ai(x)

D i(x)

Г(а + в) Ai(x)

Г(в) Ei(x)

Di(x) Ei(x)

xa(l - x)

(1

в

x)e, Bi(x) =

Yi(x)

Ei(x) =

Ei(x)

Г(а + в) Bi(x)

" Г(а) A(x) ,

xa(l - x)e, i = l, 2.

В силу принципа экстремума для гиперболических уравнений положительный максимум (отрицательный минимум) функции u(x,y) в Qi, Q2 достигается на I. Пусть положительный максимум функции u(x, у) достигается в точке (x0, 0) £ I.

Пользуясь тем, что дробные производные D0l+a_eт(x), D\_a_eт(x) в точке положительного максимума строго положительны (в точке отрицательного минимума строго отрицательны) [2, с. 82-83], получаем при выполнении условий (8), (9) vi(x0) > 0, v2(x0) < 0.

Это противоречит условию сопряжения 2) при ^(x) > 0, A(x) = 0, откуда и следует справедливость теоремы единственности решения рассматриваемой задачи для уравнения (1). □

3. Существование решения задачи. Доказательство существования решения задачи проведём для трёх случаев.

Случай 1. Пусть в областях Qi и Q2 выполняются условия (3) и

C2(x)Ei(x) - Ci(x)E2(x) = 0.

Полагая vi(x) = v2(x) = v(x) и удовлетворяя (11), требованию сопряжения 2), получим

A(x)I0+“ вv(x) + B(x)l\_a вv(x) = F(x), (13)

где

A(x) = Ai(x) - A2(x), B(x) = Bi(x) - B2(x), F(x) = Y2(x) - Yi(x).

Здесь m> 2, 0 < а, в < l, a + в = m/(m + 2).

Разделим обе части (13) на A(x) = 0, а затем к обеим частям получившегося соотношения применим оператор Do+ .

В результате будем иметь

v (x) + Di+a _ в M (x)iy a _ в

v (x) = Di+a _ в

F (x) A(x)

(14)

где M(x) = B(x)/A(x).

40

Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения

Используя методику и результаты работы [6], а также монографии [7, с. 81-89], можно записать

h(x) = D01—а—в M (x)/1il“-p v (x)

1—а—в

в виде

rx г 1

Ii(x) =cos[n(a + e)]M(x)v(x) + W K1(x,£)v(£)d£ + W K2(x,£)v(£)d£,

0x

где

1 sin[n(a + в)]

Г(а + в )Г(1 — a — в) п ,

K1(x i) = - I'?_________M(t)dt_________

K1(X,?) dx J0 (x — t)1—a—в (£ — t)a+e ,

K ( A) = d_ fx__________M (t)dt________

2(x,i) dx J0 (x — t)1—a—e(£ — t)a+e'

Исследуем поведение ядер K1(x,{) и K2(x,£). Имеем d dt

1(x,i) = (0dxJ0 (x — t)1—a—e(£ — t)a+e —

d [M (£) — M (t)]dt

dx J0 (x — t)1—a—e(£ — t)a+e'

Гладкость ядра K1(x,{) определяется гладкостью первого интеграла

dt

/2<x,«) = MЮdt l

dx J0 (x — t)1—a—e (£ — t)a+e

it [(4)1—8F(1 — a — в.1;2 — a — в; X,

1 - a - в dx x x

i )1—a—в M (£) x/

x — i’

где F(a, b; c; z) — гипергеометрическая функция Гаусса [1, с. 31]. Аналогично

d fx

K2<x-i> = M(i>dx I

dt

dx J0 (x — t)1—a—e(i — t)a+e

_d r [M(i) — M(t)]dt

dx J0 (x — t)1—a—e(i — t)a+e,

/s(x-i)=M (i) dx l

dt

dx J0 (x — t)1—a—e (i — t)a+e

x

41

О. А. Репин, С. К. Кумыков а

M({) d г/ж\“+? ( п л л n x

_ oresxK?) F(“+в-1;1+а+в; {Л

Тогда уравнение (14) примет вид

A* (x)v (x)+ Г K *(x’{)v ({)d{ _ f * (x),

J 0 { - x

{\i-«-e МШ.

x) {—x'

(15)

где

A*(x) K*(x,{) =

1 + cos[n(a + в )]M (x),

^K\(x, {)(x — {), { < x,

^K2(x,{)({ — x), { ^ x,

F * (x)

d1-а—в F(x)

0+ A(x)

Из установленных свойств ядер Ki(x, {) и K2(x,{) заключаем, что ядро K*(x,{) дважды непрерывно дифференцируемо в квадрате 0 < x, { < 1 при { _ x и допускает оценку

K *(x,{) = 0(1)({ — x)—1,

где 0(1) означает ограниченную в I х I величину.

В силу условий (2) и свойств дробных производных можно заключить, что F*(x) е C 1(I).

Таким образом, уравнение (15) при A*(x) _ 0 есть сингулярное интегральное уравнение [8, с. 157] с ядром Коши.

Условие

[A*(x)]2 + n2[K *(x)]2 _ 0

гарантирует существование регуляризатора, приводящего уравнение (15) к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Отсюда и из единственности искомого решения следует существование решения исследуемой задачи.

Случай 2. Пусть в областях Q и Q выполняются требования (6), (7). Тогда на основании условия сопряжения 2) и соотношений (12) имеем

Dl—а—в т (x) + N (x)Dl—а—в т (x) + P (x)t (x) = Q(x),

где

N (i)= frW — p(x№W, p(i)

x41(x) — ^(x)A2(x)

Q(x) _ ^(x)72(x) + A(x)^- 7i(x) x41(x) — ^(x)A2(x) ’

_ D 1(x) — ^(x)F>2(x) x41(x) — ^(x)A2(x) ’

x41(x) — ^(x)A2(x) _ 0.

Действуя на обе части оператором l0+а в и используя результаты [4, с. 98-103], после преобразований получим

A *(x)t(x) +

Г1 K *(x,{)T({)d{ 0 { — x

F *(x),

42

Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения

где

A *(x) = 1 + п ctg[n(a + e)]N(x), F *(x) = /01_н“ eQ(x),

sin[n(a + в)]

п

K *(x,0 = <

+-

[K5(x,0 - K3(x,0](x - e) +

1—p (0(x - e)1-a-e

Г(1 - a - в)

sin[n(a + e)][K6(x,e) - K4(x,0№ - x)

п

при x ^ {, при x < £,

N '(t)dt

K3(x,e) I (x - t)a+e(e -1)1-»-^

K4(x e)= fX N'm

K4(x,e) J0 (x - t)a+e(С - ^-*-в ,

d e?

K=(x-e)=TxL

N (t)dt

K6 Ш) = dx l

dx J0 (x - t)a+e(e - t)1-a-e’ d fx N (t)dt

dx J0 (x - t)a+e(e - t)1-a-e'

Теперь достаточно повторить аргументацию доказательства существования решения задачи первого случая.

Случай 3. Пусть в области О выполняется условие (3), а в области О2 — условие (10). Краткости ради положим C1(x) = 0, д(x) = 1, A(x) = 0.

Учитывая условия сопряжения 2), соотношение (11) при i = 1 и соотношение (12) при i = 2, получим уравнение

т(x) - A1(x)/01^a-eA2(x)D^-a-eт(x) - A1 (x)l0,-a-eB2(x)D\-a-eT(x)-- B1(x)Iha-eA2(x)DlQ+a-eT(x) - B1 (x)Iha-eB2(x)D\--a-eт(x)-- A1(x)ll+a-eD2(x)t(x) - B1 (x)llza-13D2(x)t(x) =

= A1(x)l0+a-e 72 (x) + B1(x)I1-a-e 72 (x) + 71 (x). (16)

Преобразуем уравнение (16). Рассмотрим вначале второе слагаемое (без учёта внешнего коэффициента -A1(x)):

In(x) = l0+a-e £2 (x)D1-a-e т (x).

Вычисления, проведённые для второго случая, дают возможность записать I11(x) в виде

In(x) = п ctg[n(a + в)]-^2 (x)t (x)+ sin[n(a + в)]

+

п

[K7(x,e) - K8(x,e)]T (e)de+

■J 0

+ —ri[Kg(x,e)-K10(x,e)]T(e)de,

П .lx

43

О. А. Репин, С. К. Кумыков а

где ядра K7(x, £), ..., Кю(ж, {) имеют такой же вид, что и ядра K3(x, £), ..., K6(x,£), только функцию N(t) надо заменить функцией B2(t).

Рассмотрим

I12(x) = l]+a в,42(x)Dq+“ вт(x) =

sin[n(a + в)] fx A2(t)dt d Г* т(£)d£

П Jo (x — t)a+e dt J0 (t — £)1-a-P ■

В силу равенства

d fx A2 (t)dt f

13 x dx Jo (x — t)a+e Jo

т(£)d£

dx J0 (x — t)a+e J0 (t — £)1-a-e

A2(t)dt d fl т(£)d£ + fx A2(t)dt fl т(£)d£

J0 (x — t)a+e dt J0 (t — £)1-a-e J0 (x — t)a+e J0 (t — £)1-a-e

имеем (после перемены порядка интегрирования)

Ы.Х) = sin[n(a + в)] fxКп(*Х)т(Ж,

п Jo

где

K11(*,n = Ш [

A2(t)dt

A2(t)dt

dx J^ (x — t)a+e(t — £)1-a-e Д (x — t)a+e(t — £)1-a-d'

Очевидно, что поведение ядра Kn(x,£) аналогично поведению в смысле гладкости интегралов

x

x

= '?2<x)Ш l (x — t)a+ed =

d

= A2(x)-— B(a + в, 1 — a — в) = 0, dx

и

lH\x) = A2(x)B (1 + в, 1 — a — в),

где B(a,b) —бета-функция [1, с. 31].

Рассмотрим

hs(x,0 = l1_a вA2(x)D0+a вт(x) =

sin[n(a + в)] f1 A2(t)dt d f* т(£)d£

п Jx (t — x)a+e dt J0 (t — £)1-a-e ■

Проводя необходимые вычисления, получим

hs(x,0

sin[n(a + в)] п

x

I Кы&УУ (£)d£ + o

1

K13(x,£y (£)d£

x

1

44

Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения

где

d Г1

*”<*■« = s I

A2(t)dt

(t - x)a+e(t - {)1-«-e f1 A2(t)dt

+

A2 (1)

(t - x)a+e(t - C)1-a-e (1 - x)a+e(1 - C)1-a-e ’

K“ (x-«> = dX 1

A2(t)dt

dx J^ (t - x)a+e(t - C)1-a-e f1 A2(t)dt

+

A2 (1)

lt (t - x)a+e(t - {)1-«-e (1 - x)a+e(1 - {)1-«-e

Гладкость K12(x,C) и K13(x,C) будет определяться соответственно гладкостью

/16(x,C) = -J-

dt

1 — C 5 a+e 1

d

dx Jx (t - x)a+e (t - C)1-a-e V1 - x) C - x’

dt (1 - C\“+в 1

d1

l17(x,C) dx (t - x)a+e(t - C)1-a-e V1 - x) C - x"

Преобразуем интеграл

l1s(x,C) = 1\-а~-в B2(x)D{-a-e т (x) =

sin[n(a + в)] f1 B2(t)dt d f1 т(C)dC

Jx (t - x)a+e dtJt (C - t)1-a-e

1

n

sin[n(a + в)]

n

K14 (x, C)t (C)dC,

x

где

d ft

^> = dx J

B2 (t)dt

+

B?2 (t)dt

dx Jx (t - x)a+e(C - t)1-a-e Jx (t - x)a+e(C - t)1-a-e'

Гладкость ядра K14(x,C) будет определяться гладкостью

d f t /19 = T-

dt

d

= — B(1 - a - в, a + в) = 0.

dx Jx (t - x)a+e (C - t)1-a-e dx

Следовательно, ядро K14(x,C) особенностей не имеет и его гладкость будут определять функции B2 (x) и B2 (x).

Теперь уравнению (16) можно придать вид

)<(x)t(x) + Г K,,(x,C)x(C)dC = F,(x), (17)

J 0 C - x

1

t

45

О. А. Репин, С. К. Кумыков а

где

K **(x,0 = {

ц,(х) = 1 — Ai(x) ■ B2(x)nctg[n(a + в)] sin[n(a + в)]

п

(Kii(x, C)A(x) — K7(x, C) — Kg(x, C) —

(x — 0 при x ^ C,

—Bi (x)K2(x,0) — Al(x)D2(^

Sin[n(a + в- Bi(x) (Kis(x, C) — Ki4(x, 0) —

п

Г(1 — a — в)-I

,C) — Ki4(x.

Bi(x)D 2(C)

(C — x) при C ^ x,

Г(1 — a — в)-I

Fi (x) = Ai(x)/0i+“-e72(x) + Bi(x)/i-“-e72(x) + 7i(x). Условие нормальной разрешимости уравнения (17) имеет вид

^2(x) + n2[K **(x, x)]2 = 0.

Проведённые вычисления дают возможность провести далее доказательство существования решения задачи аналогично первому случаю, что затруднений не вызывает.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ/ REFERENCES

1. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Минск: Наука и техника, 1987. 688 с. [S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Maritchev, Integraly i proizvodnyye drobnogo poryadka i nekotoryye ikh prilozheniya [Integrals and Derivatives of the Fractional Order and Some of their Applications], Minsk, Nauka i Tekhnika, 1987, 688 pp. (In Russian)]

2. А. М. Нахушев, Задачи со смещением для уравнений в частных производных, М.: Наука, 2006. 287 с. [A. M. Nakhushev, Zadachi so smeshcheniyem dlya uravnenii v chastnykh proizvodnykh [Problems with shifts for partial differential equations], Moscow, Nauka, 2006, 287 pp. (In Russian)]

3. М. М. Смирнов, Вырождающиеся гиперболические уравнения, Минск: Высшая школа, 1977. 158 с. [M. M. Smirnov, Vyrozhdayushchiyesya giperbolicheskiye uravneniya [Degenerate Hyperbolic Equations], Minsk, Vysshaya Shkola, 1977, 158 pp.]

4. С. К. Кумыкова, “Краевая задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения”// Дифференц. уравнения, 1980. Т. 16, №1. С. 93104; S. K. Kumykova, “Boundary-value problem with translation for a hyperbolic equation degenerate in the interior of a region”, Differ. Equations, 1980, vol. 16, no. 1, pp. 68-76.

5. О. А. Репин, С. К. Кумыкова, “Нелокальная задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования произвольного порядка”// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. №4(25). С. 25-36. doi: 10.14498/vsgtu1014. [O. A. Repin, S. K. Kumykova, “Nonlocal problem for a equation of mixed type of third order with generalized operators of fractional integro-differentiation of arbitrary order”, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2011, no. 4(25), pp. 25-36. (In Russian)].

6. С. К. Кумыкова, Ф. Б. Нахушева, “Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области” // Дифференц. уравнения, 1978. Т. 14, № 1. С. 50-65; S. K. Kumykova, F. B. Nakhusheva, “A boundary-value problem for a hyperbolic equation degenerate in the interior of a region”, Differ. Equations, 1978, vol. 14, no. 1, pp. 3546.

46

Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения

7. О. А. Репин, Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов, Самара: Саратов. гос. ун-т, Самарский филиал, 1992. 164 с. [O. A. Repin, Krayevyye zadachi so smeshcheniyem dlya uravneniy giperbolicheskogo i smeshannogo tipov [Boundary value problems with shift for equations of hyperbolic and mixed type], Samara, Saratov State Univ., Samara Branch, 1992, 164 pp. (In Russian)]

8. Н. И. Мусхелишвили, Сингулярные интегральные уравнения, М.: Наука, 1968. 512 с. [N. I. Muskhelishvili, Singulyarnyye integral'nyye uravneniya [Singular Integral Equations], Moscow, Nauka, 1968, 512 pp. (In Russian)]

Поступила в редакцию 04/XII/2013; в окончательном варианте — 11/II/2014; принята в печать — 26/II/2014.

MSC: 35L80; 35L20, 35C15

A BOUNDARY-VALUE PROBLEM WITH SHIFT FOR A HYPERBOLIC EQUATION DEGENERATE IN THE INTERIOR OF A REGION

O. A. Repin1,2, S. K. Kumykova3

1 Samara State Economic University,

141, Sovetskoy Armii st., Samara, 443090, Russian Federation.

2 Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation.

3 Kabardino-Balkarian State University,

173, Chernyshevskogo st., Nalchik, 360004, Russian Federation.

For a degenerate hyperbolic equation in characteristic region (lune) a boundary-value problem with operators of fractional integro-differentiation is studied. The solution of this equation on the characteristics is related point-to-point to the solution and its derivative on the degeneration line. The uniqueness theorem is proved by the modified Tricomi method with inequality-type constraints on the known functions. Question of the problem solution's existence is reduced to the solvability of a singular integral equation with Cauchy kernel of the normal type.

Keywords: Cauchy problem, boundary-value problem with shift, fractional integro-differentiation operators, singular equation with Cauchy kernel, regularizer, Gauss hypergeometric function, Euler gamma function.

Received 04/XII/2013;

received in revised form 11/II/2014;

accepted 26/II/2014.

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1280 © 2014 Samara State Technical University.

Citation: O. A. Repin, S. K. Kumykova , “A Boundary-value Problem with Shift for a Hyperbolic Equation Degenerate in the Interior of a Region”, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2014, no. 1 (34), pp. 37-47. doi: 10.14498/vsgtu1280. (In Russian)

Authors Details: Oleg A. Repin (Dr. Phys. & Math. Sci.), Head of Dept., Dept. of Mathematical Statistics and Econometrics1; Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science2. Svetlana K. Kumykova (Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Function Theory.

E-mail addresses: [email protected] (O.A. Repin, Corresponding author), [email protected] (S.K. Kumykova)

47