CC BY
50
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2015. T. 19, № 1. С. 78—86
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1398 УДК 517.956.6
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
О. А. Репин.1,2, А. В. Тарасенко3,
1 Самарский государственный экономический университет,
Россия, 443090, Самара, ул. Советской Армии, 141.
2 Самарский государственный технический университет,
Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.
3 Самарский государственный архитектурно-строительный университет,
Россия, 443001, Самара, ул. Молодогвардейская, 194.
Аннотация
Для уравнения с частными производными смешанного типа (уравнение диффузии дробного порядка) в конечной области исследована нелокальная задача, краевое условие которой содержит линейную комбинацию обобщённых операторов дробного интегро-дифференцирования от значений решения на характеристиках со значениями решения и его производной на линии вырождения. Единственность решения задачи доказана с помощью модифицированного метода Трикоми, а существование решения эквивалентно редуцировано к вопросу разрешимости интегральных уравнений Фредгольма второго рода.
Ключевые слова: оператор дробного интегро-дифференцирования, краевая задача, интегральное уравнение Фредгольма второго рода.
doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1398
1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение
( uxx - D0+,yи = ° (у > 0, 0 < а < 1),
\ y2mUxx + yuyy + AUy = 0 (у < 0),
где DJ0+ y — частная дробная производная Римана—Лиувилля порядка а от функции п(х,у) по второй переменной [1, с. 341]:
(Do+,y u)(x,y)
д 1 fy u(x,t)dt
ду Г(1 - а) J0 (у - t)a
(0 < а < 1, у > 0),
© 2015 Самарский государственный технический университет.
Образец для цитирования
Репин О. А., Тарасенко А. В. Нелокальная задача для уравнения с частной производной дробного порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. T. 19, № 1. С. 78-86. doi: 10.14498/vsgtu1398.
Сведения об авторах
Олег Александрович Репин (д.ф.-м.н., проф.; matstat@mail.ru; автор, ведущий переписку), заведующий кафедрой, каф. математической статистики и эконометрики1; профессор, каф. прикладной математики и информатики2.
Анна Валерьевна Тарасенко (к.ф.-м.н., доц.; tarasenko.a.v@mail.ru), доцент, каф. высшей математики.
78
Нелокальная задача для уравнения с частной производной дробного порядка
m — натуральное число, Л = const, (1 — 2m)/2 ^ Л < 1 в конечной области Q, ограниченной отрезками AAo, BBo, AqBq прямых x = 0, x = 1, y = 1 соответственно и характеристиками уравнения (1) при у < 0:
AC : x
2 . .2m+1
------(—у) 2
2m + Г у>
0,
BC : x +
2 . . 2m+1
------(—у) 2
2m + Г y>
1
Пусть Q+ = Q П (y > 0), Q— = Q П (y < 0), J = AB — единичный интервал 0 < x < 1 прямой у = 0.
Задача .Найти решение u(x,y) уравнения (1) в области Q, удовлетворяющее краевым условиям
u(0, y) = <pi(y), u(1, y) = ^2(y), 0 < y < 1, (2)
a(x) (10ч+’в1,П1d(t)u[0o (t)]) (x) + b(x) (j^-’^2’42 w(t)u[0i(t)j) (x)+
+ c(x)u(x, 0) + d(x) lim (—y)Auy(x,y) = 7(x), x e J (3)
y_0—0
и условиям сопряжения
lim (y1-“u(x,y)) = lim u(x,y), x e J, (4)
y_0+0 y_0—0
y_lim+0[y1 “ (y1 “u(x,y^ y] = y_l|0-o(—y)Auy(x,У), x e J. (5)
Здесь ^j(y) (i = 1, 2), a(x), b(x), c(x), d(x), 7(x), d(x), w(x) —заданные функции, причем
a2(x) + b2(x) + c2(x) + d2(x) = 0, b(0) = 0, a(x), b(x), c(x), d(x), 7(x) e C 1(J) П C3(J),
y1-QVi(y), y1-“^2(y) e C(J), ^1(0) = ^2(0) = 0;
0o(x) и 01(x) — точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0) e J, с характеристиками AC и BC соответственно; (/0+3’4f)(x), (/07в’пf)(x) —обобщённые операторы дробного интегро-диффе-ренцирования с гипергеометрической функцией Гаусса F(a, b; c; z), введённые в работе [2] (см. также [1, с. 326, 327] [3, с. 14]) и имеющие при действительных а, в, П и x > 0 следующий вид:
f x—а—в /•х
(J0“+’nf)(x) = <
г(а) Уо
/ (x — t)a 1W^a + в, —П; а; 1-f (t) dt
0x
(а > 0),
(dx) "аа++”’в—”Л—n f (t))(x)
(a ^ 0, n = [—а] + 1);
79
Репин О. А., Тарасенко А. В.
(1 — x)
(AAn f)(x) =
—а—в /*1
Г(а)
d у dxJ
j (t — x)a lF(a + в, — n;a-,1-—xf(t)
dt
— A n,n—П/(t))(x)
(a > 0),
)
(a ^ 0, n = [—a] + 1),
в частности
(AA f)(x) = / (X), A-0’4 f )(x) = f (x).
А. Н. Кочубей [4] назвал уравнение (1) при у > 0 уравнением диффузии дробного порядка.
При у < 0 уравнение (1) является моделью гиперболических уравнений второго порядка, тип и порядок которых вырождаются на одном и том же (n — 1)-мерном континууме [5, с. 274].
Будем искать решение поставленной задачи в классе дважды дифференцируемых в области П функций u(x, у), таких, что
у1 au(x,y) е C(П+), u(x, у) е C(П-),
У1 -«(у1 - «uy)y е C(П+ U {(x, у) : 0 < x < 1, у = 0}), Uxx е C(П+ и П ), uyy е C(П ).
2. Единственность решения задачи. Пусть существует решение исследуемой задачи. Введём следующие обозначения:
lim у au(x^)= n(x), lim u(x,y) = T2(x),
y^0+0 y^-0-0
lim,у1 a(у1 "uA^^y = V1 (x), lim (—y)ЛUy(x,y) = V2(x),
i-«(у1-«
y^0+0 " y^0-0
T1(x) = T2(x) = T (x), V1(x) = V2(x) = V (x).
Теорема 1.В области П не может существовать более одного решения задачи (1)-(5), если 0 < a < 1, (1 — 2m)/2 < Л < 1 и если
и либо
либо
a1 = a2 = в — 1,
в1 = в2 = 1 — 2в, П1 = П2 = 0, £(x) = w(x) = 1,
(6)
(7)
в1 = в2 = 0, П1 = П2 = 1 — 2в, 5(x) = x2e 1, w(x) = (1 — x)2e 1, (8)
и выполнении условий
Mx) = k0«(x) + b(x) — гГ(2в> d(x) = 0 Vx е I, k0 = —^, (9)
^ 0, -c(x) ^ 0 Vx е I (10) ^(x)
a(1) b(0) ^ 0, ^ 0, 'a(x)' / < 0, ■b(x)'
^(1) ^ , ^(0) ^ , L^(x)J L^(x)J
80
Нелокальная задача для уравнения с частной производной дробного порядка
или
ai = (12 = -в, (11)
и либо
в1 = в2 = о, П1 = П2 = 2в - 1, 6(ж) = w(x) = 1, (12)
либо
в1 = в2 = 2в - 1, П1 = П2 = 0, £(x) = x2e-1, w(x) = (1 - x)2e-1, (13) и выполнении условий
E(x) = k1(a(x) + b(x)) + c(x) = 0 Vx G I, (14)
d(x)
a(1) + b(0) > 0, a(x) / < 0, ■b(x) '
E(1) ' E(0) " 0 VE (x) VE (x) -1
^ 0,
E(x)
^ 0 Vx G J, (15)
где
, Г(2в) , Г(1 - 2в) f2m + 1
k1 = , k2 = -
Г(в)
2Г(1 - в)! 4
(2m^), в =
2m - 1 + 2A 1
2(2m + 1) , <в< 2'
Доказательство. Известно [6,7], что функциональное соотношение между т(x) и v(x), принесённое из параболической области Q+ на линию у = 0, имеет вид
v(x)
1
Г(1 + а)
т " (x)
(16)
Рассмотрим интеграл
J *
I т(x)v(x)dx. 0
Подставим v(x) из (16) в J*. Учитывая, что т(0) = ^1 (0) получим
J*
1
Г(1 + а)
1
[^(x)]2^ ^ 0.
0
т(1)
^2(0) = 0,
(17)
Далее на основании результатов работы [8] выпишем функциональное соотношение между т (x) и v(x), принесённое на J из гиперболической части Q- смешанной области Q в двух случаях.
Первый случай. Пусть выполняются условия (6)-(10) теоремы 1. Тогда
v(x) = A1(x)(D0+2eт)(x) + B1(x)(D1-2eт)(x) + (x) - ц^^ф) Y(x),
(18)
где (D0+2ef)(x) и (D1-2ef)(x) — операторы дробного дифференцирования Римана—Лиувилля [1, с. 44];
A1(x)=й! •B1(x)
b(x) ^(x) ’
C (x)
r(e)c(x) r(2e)^(x).
81
Репин О. А., Тарасенко А. В.
Второй случай. Пусть выполняются условия (11)—(15) теоремы 1. Тогда
т (ж) = ai(x)(/01+2e v)(x) + bi(x)(/11I2e v)(x) + ci(x)v (x) + Yi(x), (19)
где (/0+2вf)(x) и (11-2вf)(x) —дробные интегралы Римана—Лиувилля [1, с. 42];
a1(x)
k2
a(x) E(x)1
bi(x)
k2
b(x) E(x),
ci(x)
d(x) E(x),
Y(x) kiE(x)'
В работе [8] с учетом функционального соотношения (18) или (19) доказано, что I* ^ 0. А тогда, учитывая (17), имеем I* = 0.
Далее схема доказательства тождества u(x,y) = 0 аналогична [8,9]. □
Теорема 2.В области Q не может существовать более одного решения задачи (1)-(5), если 0 < а < 1, А = (1 — 2m)/2 (в = 0),
Ei(x) = 2d(x) — a(x) — b(x) = 0 Vx £ I,
f b(x) — a(x) V Ei(x)
< 0,
c(x)
Ei(x)
< 0
Vx £ I.
Доказательство теоремы 2 непосредственно следует из равенства I* = 0 с учётом соотношения [10]
v(x) = A2(x)T(x) + B2(x)t (x) + Y2(x), (20)
где
A2(x)
b(x) — a(x) Ei(x)
B2(x)
2c(x) 2y (x)
MY • 72 (x) = MY.
3. Существование решения задачи. Интегрируя (16) дважды от 0 до x и
учитывая условия (2), получим
т (x) = Г(1 + а)
X
0
(x — e)v (e)de
x
1
0
(1 — e)v (e)de
(21)
Рассмотрим вначале случай (1 — 2m)/2 < А < 1. Исключив v(x) из (18) и (21), будем иметь
Г(1 + а)
г?
т (t)dt
T(x) + 1W Н (1 — e)[Ai(e)del (e — t)i-2e
r(e)Y (e)
Bi(e) de I? (t — e)i-2e +r(2e)Ci(e)т(e) ме)
r(1+a) ifX(x — фюde т(t)dt
de-
Г(2в)
de do (e — t)i-2e
—Bi(e)de / ^+Г(2в)с(е)т(е)—»] 4
82
Нелокальная задача для уравнения с частной производной дробного порядка
Проинтегрировав в полученном выражении двойные интегралы по частям, а затем поменяв порядок интегрирования, получим
т(x) + / K(x,t)r(t)dt = f(x), (22)
J 0
где
K (x, t)
Ki(x, t), t ^ x, K2(x, t), t ^ x,
Ki(x,t)
Г(1 + a)
-------— x
Г(2в)
X
t
[(i - e)Ai(oi/de
(e - t)i-2e
+ f1 [(i - e)Bi(e)]; de + ^ [(i - e)Bi(e)]; de
Jx (e - t)i-2e +/o (t - e)i-2e
+
+r(i+a) + Г(2в)
Г [(x - e)Ai(e)]gde
' (e - t)i-2e +
[f [(x - e)Bi(e)]^ de
fo (t - e)i-2e
+
+ Г(1 + a)e(x - 1)ci(e);
^ , ч Г(1 + a)
K2(x,t) = —x
Г(2в)
^ [(1 - e)Ai(e )]'de
(e - t)i-2e
[(1 - e)Bi (e)]'de
_ e)i-2e
[(1 - e)Bi (e)]'de
/o (t - e)i-2e Jx (t - e)
r(1 + a) rx [(x - e)Bi(e)]£de
+
f(x) =
+ Г(2в) Jo Г(в )Г(1 + a)
(t - e)i-2e
Г(2в)
x/i (1 - e)Y(e) de -
- e)i-2e
+ r(1 + a)x(1 - e)ci(e); Г (x - e)Y(e)
/0
Me)
Me)
de
В силу сделанных предположений относительно гладкости известных функций можно заключить, что
K(x,t) е C(I х I) n C3(I х I), f(x) е Ci(I) n C3(I).
t
i
x
0
Таким образом, уравнение (22) есть уравнение Фредгольма второго рода относительно т (x), безусловная разрешимость которого в требуемом классе функций следует из единственности решения задачи.
При выполнении условий (11)-(15) теоремы 1, используя функциональные соотношения (19) и (21), существование решения задачи (1)—(5) также сведем к разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.
Пусть теперь Л = (1 - 2m)/2, в = 0.
Исключив v(x) из соотношений (20) и (21), после несложных вычислений придём к уравнению
т(x) + f K3(x,e)r(e)de = f(x), 0
(23)
83
Репин О. А., Тарасенко А. В.
где
Кз(х,^)
Ki(x,i), i ^ х,
Кб(х,£), i ^ х,
K4(x, i) = Г(1 + а)[(х - 1)(A2(i) + iA2(i)) + i(1 - x)B2(i)], K5(x, i) = Г(1 + а)х[(1 - i)(A2(i) + B2(i)) - A(i)],
F (x) = Г(1 + a)
X
0
(x - i)Y2(i)di
х
1
0
(1 - i)Y2(i)di .
В силу сделанных ранее предположений относительно гладкости известных функций можно заключить, что K3(x,i) £ C(I х I) П C3(I х I), F(х) £ C1 (I) П C3(I).
Следовательно, уравнение (23) есть уравнение Фредгольма второго рода относительно т (х), безусловная разрешимость которого в требуемом классе функций следует из единственности решения задачи (1)—(5).
ORCID
Олег Александрович Репин: http://orcid.org/0000-0003-1522-3955 Анна Валерьевна Тарасенко: http://orcid.org/0000-0002-0487-8262
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
2. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric function // Math. Rep. Coll. Gen. Educ., Kyushu Univ., 1978. vol. 11, no. 2. pp. 135-143.
3. Репин О. А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Саратов, 1992. 164 с.
4. Кочубей А. Н. Диффузия дробного порядка// Диффер. уравн., 1990. Т. 26, №4. С. 660670.
5. Бицадзе А. Н. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.
6. Геккиева С. Х. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной // Известия КБНЦ РАН, 2001. №2(7). С. 78-80.
7. Килбас А. А., Репин О. А. О разрешимости краевой задачи для уравнения смешанного типа с частной дробной производной Римана—Лиувилля// Диффер. уравн., 2010. Т. 46, №10. С. 1453-1460.
8. Репин О. А., Кумыкова С. К. Нелокальная задача с дробными производными для уравнения смешанного типа// Изв. вузов. Матем., 2014. №8. С. 79-85.
9. Репин О. А., Кумыкова С. К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Диффер. уравн., 2012. Т. 48, №8. С. 11401149.
10. Репин О. А., Кумыкова С. К. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа, порядок которого вырождается вдоль линии изменения типа // Изв. вузов. Матем., 2013. №8. С. 57-65.
Поступила в редакцию 05/XI/2014; в окончательном варианте — 11/I/2015; принята в печать — 25/II/2015.
84
Нелокальная задача для уравнения с частной производной дробного порядка
Vestn. Samar. Gos. Techn. Un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki
[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 1, pp. 78—86
ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1398
MSC: 35M12
NONLOCAL PROBLEM FOR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF FRACTIONAL ORDER
O. A. Repin1,2, A. V. Tarasenko3
1 Samara State Economic University,
141, Sovetskoy Armii st., Samara, 443090, Russian Federation.
2 Samara State Technical University,
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation.
3 Samara State University of Architecture and Civil Engineering,
194, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443001, Russian Federation.
Abstract
A nonlocal problem is investigated for the partial differential equation (diffusion equation of fractional order) in a finite domain. The boundary condition contains a linear combination of generalized operators of fractional integro-differentiation used on the solution in the characteristics and the solution and its derivative in the degenerating line. The uniqueness of the solution is proved by a modified Tricomi method. The existence of the solution is equivalently reduced to the question of the solvability of Fredholm integral equations of the second kind.
Keywords: operator of fractional integro-differentiation, boundary value problem, Fredholm integral equation of the second kind.
doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1398 ORCID
Oleg A. Repin: http://orcid.org/0000-0003-1522-3955 Anna V. Tarasenko: http://orcid.org/0000-0002-0487-8262
REFERENCES
1. Samko St. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Fractional integrals and derivatives: theory and applications. New York, NY, Gordon and Breach, 1993, xxxvi+976 pp.
2. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric function, Math. Rep. Coll. Gen. Educ., Kyushu Univ., 1978, vol. 11, no. 2, pp. 135-143.
© 2015 Samara State Technical University.
How to cite Reference
Repin O. A., Tarasenko A. V. Nonlocal problem for partial differential equations of fractional order, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 1, pp. 78-86. doi: 10.14498/vsgtu1398. (In Russian)
Authors Details
Oleg A. Repin (Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; matstat@mail.ru; Corresponding Author), Head of Department, Dept. of Mathematical Statistics and Econometrics1; Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science2.
Anna V. Tarasenko (Cand. Phys. & Math. Sci.; tarasenko.a.v@mail.ru), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics.
85
Репин О. А., ТарасенкоА. В.
3. Repin O. A. Kraevye zadachi so smeshcheniem dlia uravnenii giperbolicheskogo i smeshannogo tipov [Boundary value problems with shift for equations of hyperbolic and mixed type]. Saratov, 1992, 164 pp. (In Russian)
4. Kochubei A. N. Fractional-order diffusion, Differ. Equ., 1990, vol. 26, no. 4, pp. 485-492.
5. Bitsadze A. N. Nekotorye klassy uravnenii v chastnykh proizvodnykh [Some Classes of Partial Differential Equations]. Moscow, Nauka, 1981, 448 pp. (In Russian)
6. Gekkieva S. Kh. An analog of the Tricomi problem for a mixed type equation with a partial fractional derivative, Izvestiya Kabardino-Balkarskaya Nauchnoogo Tsentra RAN, 2001, no. 2(7), pp. 78-80 (In Russian).
7. Kilbas A. A., Repin O. A. Solvability of a boundary value problem for a mixed-type equation with a partial Riemann-Liouville fractional derivative, Differ. Equ., 2010, vol. 46, no. 10, pp. 1457-1464. doi: 10.1134/S0012266110100095.
8. Repin O. A., Kumykova S. K. A nonlocal problem with fractional derivatives for the mixed type equation, Russian Math. (Iz. VUZ), 2014, vol. 58, no. 8, pp. 65-70. doi: 10.3103/ S1066369X14080088.
9. Repin O. A., Kumykova S. K. On a boundary value problem with shift for an equation of mixed type in an unbounded domain, Differ. Equ., 2012, vol. 48, no. 8, pp. 1127-1136. doi: 10.1134/S0012266112080083.
10. Repin O. A., Kumykova S. K. A nonlocal problem for a mixed-type equation whose order degenerates along the line of change of type, Russian Math. (Iz. VUZ), 2013, vol. 57, no. 8, pp. 49-56. doi:10.3103/S1066369X13080069.
Received 05/XI/2014;
received in revised form 11/I/2015;
accepted 25/II/2015.
86
