Формирование и исследование численных методов оптимизации, учитывающих высшие производные Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010

INI 1(&)И _Ёаа К

lkfl А 4-4 ^

k_i detA КікКп1_Т

ЕЛ» (К1--К_Км.-Кп ) _

lk

_Ё

k_1

_ A

У''\аі

nl

l«„,lВ, X — ЁAm~ _^Т— ^ЁЛтК _

IkVl '

k_1 detAj^ et detA t_1

detA

Am +Z4m К I®min

Таким образом, чтобы уменьшить произведение МП следует уменьшать єІ и увеличивать єґ , где ґ ФІ. Отсюда следует, что||Л||||5'г|| минимально тогда, когда все строки в матрице А равны по норме. В случае, когда матрица В не совпадает с матрицей А, рассуждения аналогичны.

Заключение.

Для увеличения скорости сходимости экстрагра-диентных методов [1 — 3] к исходной задаче линейного программирования рекомендуется применить преобразование 1) или 2), где каждая координата век-_ 1

тора є равна еі _ ц^ ц, и ||А;|| — норма строки с номером і. Для восстановления оптимального решения исход-

ной задачи к решению полученной задачи необходимо применить преобразование в'1.

Библиографический список

1. Корпелевич, Г.М. Экстраградиентный метод для отыскания седловых точек и других задач [Текст] / Г.М. Корпелевич // Экономика и математические методы. — 1976. — Т. 12. — № 4. — С. 747-756.

2. Зыкина, А.В. Обратная дополнительность в модели управления ресурсами [Текст] / А. В. Зыкина // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2008.-Т. 48. — № 11. — С. 1968— 1978.

3. Меленьчук, Н.В. Двухшаговый экстраградиентный метод для решения седловых задач [Текст] / Н. В. Меленьчук // Омский научный вестник. — 2009. — №3(83). — С. 33 — 36.

ЗАПОРОЖЕЦ Дмитрий Николаевич, аспирант кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления», младший научный сотрудник.

Адрес для переписки: e-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 27.05.2010 г.

© Д. Н. Запорожец

1

1

УДК 517 518 823 А. С. ОКИШЕВ

Омский государственный университет путей сообщения

ФОРМИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ, УЧИТЫВАЮЩИХ ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

Предложены и рассмотрены методы численного решения нелинейных уравнений при минимизации функции нескольких переменных, позволяющие учитывать высшие производные в неявной форме с помощью линейной комбинации первых производных. Получен двухступенчатый алгоритм для метода произвольного порядка, приведены формулы для точности и скорости сходимости. Результаты теоретических исследований подтверждены данными имитационного моделирования.

Ключевые слова: оптимизация функций, численные методы, порядок сходимости.

Введение

Во многих практических областях, связанных с цифровой обработкой сигналов, в системах фильтрации и автоматического управления приходится решать задачу поиска минимального значения функции нескольких переменных. Задачу безусловной минимизации скалярной действительной функции Р(х) можно записать в виде:

х = агд ех1т Р(х), (1)

где х*е RЛ — вектор оптимальных значений аргумента.

На практике для решения задачи обычно используют градиентные или квизиньютоновские методы. В методах первой группы при поиске экстремума используется информация о градиенте, а в методах второй группы — матрица вторых производных, модифицированная по некоторому правилу для повышения скорости

вычислений. Как правило, эти методы хорошо сходятся только для унимодальных функций вблизи точки минимума, поэтому они требуют задания начального приближения, достаточно близкого к истинному значению, что не всегда возможно.

Предлагается заменить численную оптимизацию методами решения систем нелинейных уравнений, т.к. значение минимизируемой функции чаще всего равно нулю или заранее известно и достаточно просто учитывается. В статье рассматривается метод, основанный на прямой интерполяции нелинейной функции полиномами Тейлора, позволяющий в неявной форме учитывать высшие производные, заменяя их линейной комбинацией первых производных.

Постановка задачи

Нахождение оптимального значения аргумента х*е RЛ заменим задачей определения корня уравнения

Р(х) = 0.

Для ее решения обычно используют итерационные процедуры вычисления каждого последующего приближения хк+1 к точному решению х в виде рекуррентной формулы:

хк+1 = ф(хк) = хк - si,

(2)

где зк — вектор спуска, указывающий направление сдвига из точки

Построение последовательности продолжается до тех пор, пока не будет выполнено одно из условий:

ІК+1 - % ||£ е или | р (хм)-р (хк е

где є — заданная точность, 11 х 11 — норма вектора х.

Одним из подходов получения итерационной функции ф(хк) является использование прямой интерполяции, когда непрерывная и п раз дифференцируемая в окрестности точки хк функция Р(х) заменяется рядом Тейлора:

1

Р+ _ї. +Ахт • Р'1 + —Ахт • р2> - Ах+... +

.+-Ахт • р" • аХ"-1] + Я (Ах).

"!

(3)

Здесь Рк°Р(хк) е R1 — скалярное значение минимизируемой функции; Ах = хк+1 — хк — вектор разности приближений аргумента; т — символ транспонирования;

дГ (х) дГ (х) дГ (л

р (!) _

Эх1

дх1"

є Я -

п-мерный

вектор первых частных производных;

Г0) е 1 — (пхпм) — мерная матрица г-ых частных

производных; Г,0) при г = 1, п — значения элементов матриц производных в точке х=хк; Лп( Ах) — остаточный чле н ряда, для которого справедливо, что 11 Тп (А х) || = О ( А х ||п+1).

В многомерном представлении введены обозначения (Ах)2 ]е Япх1, которые рекуррентно определяются выражениями:

(Ах)2 =(Ах)®(Ах) ,(Ах)2 = (Ах)2 ®(Ах),...,

(Ах)2 = (Ах)21 ®(Ах),

где ® — операция кронекеровского тензорного произведения матриц.

Разложение можно записать более компактно в виде ряда:

1

Р*+1 _ рк + X77Ахт • • (Ахр + Я" (Ах). (4)

,_1 V.

Заменим в тензорных произведениях (Ах)[м] вектор Ах на некоторый вектор 8 и допустим, что все его элементы известны. Отбросив остаточный член ряда Лп(Ах), что допустимо при Ах®0, построим линейное относительно Ах приближение:

Р _ Р + 'к+1 ' кт

• Ах

(5)

Принимая Рк+1 = 0, хк+1= фп, получим выражение для итерационной функции:

V(х.)_х. -

тЛ+

(6)

Здесь под (.)+ понимается операция псевдообращения матриц размером (1хп), которую в общем виде можно определить как:

Рі— і-ЬІй элемент

(Рт)+_ р(^[||р||2 ]-1, II

матрицы Р. ‘ 1

Чтобы формула стала вычислительным алгоритмом, необходимо задать способ вычисления вектора 8. Предположим, что

8 к+1 _ хк+1 хк

Значение хм можно вычислить по любому известному алгоритму, например, по методу Ньютона:

тогда

Ъ+1 _ х - Рк -(Рк(1)Т )+ 8.+1 _-Рк '(Рк(1)Т)+,

(7)

и мы получим двухступенчатую реккурентную процедуру. Для (к+1)-ой итерации на первой ступени, используя предыдущее приближение хк, по формуле вычисляется разность 5к+1, а на второй ступени это значение подставляется в выражение и определяется следующее значение хк+г Итерационная процедура продолжается до достижения заданной точности.

Отметим, что в вычислительном алгоритме для повышения точности приближения можно учитывать вторую и высшие производные. Но при вычислении матрицы частных производных г-го порядка требуется определить значения пг элементов. Очевидно, что для задач большой размерности п преимущества более точных алгоритмов теряются за счет большого времени вычислений высших производных. Необходимо выбрать структуру и параметры вычислительного алгоритма, учитывающего значения высших производных, но не требующего их вычисления в явном виде.

Формирование вычислительного алгоритма

Непосредственное определение высших производных не требуется, если ввести следующую аппроксимацию:

Рк+1 _ рк +

т

Хар(1)(х. + •8к+1)

. І _1

• Ах

(8)

из которой получим выражение для итерационной функции:

й,т ( хк )_ хк - Рк

Хар(і)(х. + Рі •8к+1

тЛ+

(9)

Неизвестные значения параметров а, при заданном т могут быть вычислены путем сравнения соответствующих коэффициентов при разложении Р(1)(хк + Рі •8к+1) в многочлены Тейлора степени 2тс представлением при п = 2т.

Заменяя первые производные в многочленами Тейлора, получим:

а | р№ + рр2’>8 + — р(3)8'2 + +—----рі2'^2'”-1

ЧК. + °к+1+ 2.р °к+1+... + (2т-р -+1

...+а (+—АЧ* +рр^81+... +7—т--8кг]

2! (2т-1)!

•Ах.

Раскрывая скобки, группируя по производным и сравнивая с коэффициентами при соответствующих производных в разложении при п = 2т, по-

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010

22

лучим систему из 2т нелинейных уравнений для

неизвестных коэффициентов а, р,:

Va = l; YaP1 = —, j = І,

tl ‘ tl j + І

2,..., 2m-І

(10)

Для вычисления разности <5І+1, как и ранее, можно использовать метод Ньютона, тогда двухступенчатая рекуррентная процедура для алгоритма формируется так же, как и для алгоритма .

Оценка точности

Точности аппроксимаций и можно оценить по величине остаточного члена:

Rin = F(x) - Fin(x),

(11)

где Fl п(х)—линейная относительно Ах аппроксимация функции F(x) многочленом Тейлора n-го порядка.

Предположим, что вектор Сможет изменяться в пределах —х<5< х, т.е. выполняется условие 8=h ■ х, h| £ 1. Оценим точность приближения , разложив его в многочлен Маклорена второго порядка:

F1,2 (h Х) = F0 + F0(l)x + 1 XTF{0%X .

Точное представление функции F(x) можно записать в виде ряда:

F (x ) = Fo + Fo{l) + Rl (x) І

(12)

F (x) = Fo + FoF'x + 2xTFo x + R2 (x) . (13)

Вычитая формулу (13) из (12) и умножая на n, получим:

V • Fo{2) • x = r[ Rl (x) - R2 (x )] .

Полученное выражение прибавим и вычтем из правой части формулы :

F (x ) =

Fo + Fow x + - rxT F0{2+x

+ Rl (x)- lrxT Fo{2)x

F (x ) = Fi,2 F,x) + Rl (x)-r[ Rl (x)- R2 (x )] .

(14)

Погрешность аппроксимации второго порядка находим по формуле (11):

^,2 (х ) = F (х)- Р1Л ( х) = ^ (х )( -п) + п^ (х).

Аналогично для приближения третьего порядка имеем: і і

^,3 (п х) = ^ + F0(I)x + 2ПхТF0(2)x + ~^п 2х1р0(3)х[21.

Точное выражение для функции Р(х) запишем в виде ряда:

F (х) = Fo + Fo(I)x + I хТ^(2)х + I хТ^(3)хИ + ^ (х). (15)

Вычитая формулу (15) из (13) и умножая на п2, получим:

ЗуГ2^®*121 =Г2 [R2 (x )-R3 (x )] .

(16)

Сумму выражений (14) и (16) прибавим и вычтем из правой части формулы (12):

F (x) =

Fo + Flx+22rxTFo;2'x+3rxT

hR, (x)-r[R,(x)- R2 (x)]-

-r2 [R2 (x)- Rf (x)].

Тогда погрешность приближения третьего порядка будет равна:

2

Кхз (ц,х ) = р (х)- р1>3 (пх ) = (1 -п)£п"1к,(х ) + п2 К3(х).

г=1

Очевидно, что в общем случае при учете п слагаемых ряда Тейлора получим:

К1,« (п х ) = (1 -п)Еп"1к,(х )+п”-1 К, (х).

г=1

Так как аппроксимация ряда Тейлора линейной комбинацией первых производных (8) строится исходя из условий равенства коэффициентов при производных высших порядков, то порядок точности зависит от количества условий, накладываемых на коэффициенты а и р^ в системе уравнений (10). В общем случае при произвольном значении т погрешность аппроксимации при выполнении всех 2т уравнений будет иметь вид:

П,2т (, х) = К1,2т (, х) + О ( х^ ) ,

2т-1

К1,2т (п, х) = (1 - П ) Е П'Р ( х)+ П2т-1 К2т (х) .

г=1

Анализ сходимости

Оценим скорость сходимости двухступенчатого вычислительного алгоритма (6), полученного путем линеаризации ряда Тейлора относительно Ах и содержащего высшие производные в явном виде. Таким образом, мы сможем оценить показатели двухступенчатых алгоритмов, основанных на прямой интерполяции и использующих на первой ступени метод Ньютона. В свою очередь, аппроксимация является (8) приближением к ряду (5), поэтому следует ожидать, что ее показатели сходимости будут аналогичными.

Для второго порядка рекуррентная процедура(6) имеет вид:

хк+1 = хк -Рк • ([+ 0,5^+Л(2)]")+. (17)

Перепишем выражение (17) в виде: хк+1 -х* = хк -х* -()+ Ft()[+ 0,55кг+12)]+, хк+1 - х* = хк - х* + 8к+1 ()+ 0,55кТ+Л(2) ]+ . (18)

Разложим функцию Р(х) в ряд в окрестности точки х*:

F (х*)=Fk+р(1)т (х*- хк)+0,5 (х - хк ) Р2) (х*- х),

где е заключено между х* и хк.

Так как F ( ) = 0, умножив обе части равенства на (1)т) , получим выражение:

0 = Ft ()+-( - х*) + А, (19)

где А = 0,5(хк - х*)ТFX2) (хк - х*)((1)т)+.

Сравнивая формулы (7) и (9), получим, что

5к+1 = - ( хк - х* - А).

Подставим полученное выражение в равенство (18):

хк+1-х* = хк-х* -(хк- х - А)((1)Т)))т - 0,5(хк-х* - А)ТР2

и приведем его к общему знаменателю:

или

Рис. 1. Зависимость погрешности е&+, от числа итераций: 1-метод Ньютона; 2-метод второго порядка; 3-метод третьего порядка

х^ - Я = -0

[-0,5( х -х* - А)т Р2) (х -х)+

+ А (р/1)т )р«т - 0,5 (хк - х* - А)Т р2> ]+,

[>(1)т + о(х - х* )] • [о, 5 (х - х* )т [>/2) - р 2) ] (х - х* ) + +0,25(х -х*)Тр(2)(х -х*)р 2)( х -х')(р1)Т)+] ■

Для норм векторов и матриц справедливо:

Я+1-х =

0,5| • х+1- х *2 +0,25||і2 • І2 • І1)) ґ і х+1- х*3

І1 +О: - X* )|

Допустим, что все элементы итерационной последовательности (хА| принадлежат отрезку [а, Ь], где а, ЬеКЛ. Введем обозначения:

т = тш IР(1-|(х) М, = тах|Р(2)(х)| М3 = тах|Р(3)(х)||

1 *е[а,б]11 '"''II , 2 *е[а,б]11 'ЛЬ 3 *е[а,б]11 К '|Г

Учитывая, что ||р$2)_-Р(2)||< М3 \\% - хк ||< М3||хк - х*||, получим

\хк+ - х <-

рк(1) + О (х - х*)

(20)

1 ( 2М3 и2

2| 1 + ~Г III хк+1 - х

2 ^ т, т, 1 11

(21)

х+1- х =

“(х - х* )Т ^2) (х - х*- А) +6(х - х*)Т ^2) (х - х*- А)21 + А(^1)т)

хК)Т+О(х -х*)];

Х+1 -х' = 2(х -х*)Т[2 --р/2)](х -х*)+■

1+4(х - х* )Т ^^<2) (х - х* )-Р/2) (х - х*)х х(і<1)т) + -х )Т-р/3)(х-х’)[21+ О(х-х*)4 х

х[_р/1)т + О (х - х* )] .

Применим норму вектора и матриц |х+1 - х’|| =

1II ^<2)- ІЦ х+1 - хЦ2 + ( 4-| №\.\ + 6 ] |і<3)|)|| х+-х)

||р1)+ о(х - х* )|| и с учетом введенных ранее обозначений получим:

. (22)

В работе [1] показано, что для выражения, стоящего в знаменателе неравенства (20), выполняется р(1) + О(хк - х*) | > 0,5щ ,следовательно,

Метод третьего порядка также имеет кубическую скорость сходимости. По сравнению с формулой для второго порядка (21) в константе сходимости увеличивается доля третьей производной в 1,33 раза, но не скорость сходимости. Таким образом, методы на основе прямой интерполяции, учитывающие высшие производные, обладают третьим порядком сходимости, что на порядок выше, чем у классических градиентных методов.

Численный пример

Проведем исследования показателей сходимости методов второго и третьего порядка при минимизации двумерной тестовой функции:

и метод второго порядка имеет кубическую скорость сходимости.

Оценим, как изменится скорость сходимости для метода третьего порядка:

Р(1) +Р(2)+1Р (3)<5 И 1 к 2 1 6 1

После стандартных преобразований получим:

І (х) = 1 -

8ІП (Iх2 + х2 )

+ х22

где х1, х2 — элементы вектора х. Экстремальное значение х = [0 0]т, начальное приближение х0 = [—1 1]т.

Путем решения системы уравнений (10) в программном пакете компьютерной алгебры Мар1е 12 получены следующие значения параметров: при т = 2:

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

23

Зависимость времени вычислений от точности

Точность Число итераций к методов Время вычислений методов 1, мс

Ньютона т = 2 т =3 Ньютона т = 2 т =3

10’2 4 3 3 0,289 0,592 0,712

10'4 7 5 5 0,506 0,987 1,187

10'6 10 7 7 0,723 1,382 1,662

• 108 14 9 9 1,012 1,777 2,137

10 ю 17 11 11 1,229 2,171 2,611

а, = 0,5; а2 = 0,5; Р, = 0,7887; Р2 = 0,2113; при/л = 3:

а, = 0,2778; а2 = 0,4444; а3 = 0,2778; р, = 0,8873; Р2 = 0,5; Р3 = 0,1127.

С помощью пакета МаНаЬ 7.0 была составлена программа имитационного моделирования, позволяющая сравнить время вычислений, скорости и области сходимости метода Ньютона и алгоритмов полиномиальной аппроксимации при т = 2 и т = 3.

Графики зависимости погрешности ек+1 от числа выполненных итераций приведены на рис. 1. Видно, что графики для двухступенчатых вычислительных алгоритмов при т = 2 и т = 3 практически совпадают, т.е. порядки сходимости равны. В то же время при сравнении с методом Ньютона соотношение количества итераций, требуемых для достижения необходимой точности е4+1 = {10‘4; 10'6; 10"8; 10'10}, постоянно и равно соответственно я~1%~1/11к’//2'Таккакизве“ стно [2], что метод Ньютона имеет второй порядок сходимости, можно сделать вывод о кубической сходимости алгоритмов (9), что подтверждает правильность полученных формул (21) и (22).

Зависимости времени вычислений от заданной точности приведены в табл. 1. При т = 2 алгоритму для выполнения одной итерации требуется в 2,7 раза больше машинного времени, при т — 3 — в 3,3 раза больше, чем методу Ньютона, но количество итераций для этих алгоритмов меньше в 1,5 раза.

Для сравнительного анализа областей сходимости задавались диапазоны изменения каждой переменной: х, = [ — 10; 10], х2 = [ — 10; 10] и шаг координатной сетки Ах, = Дх2 = 0,1. Виды областей сходимости для метода Ньютона и двухступенчатого метода при т = 2 приведены на рис. 2 а, б. Установлено, что при равных заданных условиях метод Ньютона сходится в 86% точек, метод второго порядка — в 96%, третьего порядка — в 99% точек. Таким образом, учет высших производных увеличивает область сходимости по сравнению с градиентными методами.

Заключение

Предложены итерационные алгоритмы оптимизации, основанные на методах решения нелинейных уравнений, которые позволяют учитывать высшие производные в разложении функции в ряд Тейлора с помощью линейной комбинации ее первых производных. Доказано, что полученные алгоритмы обладают кубической скоростью сходимости, что на порядок больше, чем у метода Ньютона. Правильность теоретических исследований подтверждена данными имитационного моделирования.

Предложенные алгоритмы используются в качестве замены градиентных и квазиньютоновских методов при решении задач проектирования оптимальных цифровых БИХ-фильтров высоких порядков, входящих в состав устройств передачи информации и цифровой обработки сигналов. Возможно

применение алгоритмов в области идентификации, автоматического управления и других областях, где необходимо решать задачи минимизации функции нескольких переменных.

Библиографический список

1. Когут, А.Т. Полиномиальная аппроксимация в некоторых задачах оптимизации и управления: монография / А.Т. Когут. — Омск: Омский гос. ун-т путей сообщения, 2003. — 244 с.

УДК 519.95

2. Вержбицкий, В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): учеб. пособие для вузов / В.М. Вержбицкий. — М.: Высш. шк., 2000. — 266 с.

ОКИШЕВ Андрей Сергеевич, аспирант кафедры «Радиотехнические и управляющие системы». Адрес для переписки: е-шаП: [email protected]

Статья поступила в редакцию 31.03.2010 г.

© А. С. Окишев

Н. В. МЕЛЕНЬЧУК А. В. ЗЫКИНА

Омский государственный технический университет

ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА СО СВЯЗАННЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ В МОДЕЛИ ДЕФИЦИТА РЕСУРСОВ____________________________________

В работе предлагается и обосновывается сходимость двухшагового экстраградиентного метода решения вариационных неравенств со связанными ограничениями. Предложенный метод является эффективным инструментом для решения сложных прикладных задач, возникающих в социально-экономических системах. В качестве примера рассмотрена модель планирования производства, в которой внешняя рыночная стоимость ресурсов совпадает с внутренними объективно обусловленными оценками ресурсов.

Ключевые слова: вариационное неравенство, экстраградиентный метод, оптимизация, сходимость.

Введение

Современные экономические модели, как правило, содержат связанные ограничения, возникающие для задач, у которых наряду с внутренними параметрами имеются внешние параметры, выражающие влияние управляющих воздействий внешней среды на процесс принятия решений. При классическом подходе к теории двойственности решение двойственной задачи вместе с решением прямой задачи определяется для каждого фиксированного набора внешних параметров. В этом случае затруднено определение равновесия между внутренними объективно обусловленными оценками и внешними управляющими воздействиями. В статье предложено решение этой проблемы — использование вариационных неравенств со связанными ограничениями как наиболее общей формы записи для таких задач. Структура полученных математических конструкций принципиально отличается от классических конструкций двойственности для задач оптимизации, поэтому эффективное использование таких задач требует разработки новых методов для нахождения решений этих задач.

Рассмотрим задачу выпуклого программирования (ВП)

тт {/О0) | ..., /т{х)< Ьт, хеХ }, (1)

где выпуклое множество ХсЛЛ, /0, /1,...,/т- Х®К — выпуклые функции.

Общепринятая экономическая интерпретация задачи ВП — это модель производства, в которой требуется выбрать интенсивности х=(х1, .,хп) работы предприятия такие, чтобы обеспечить выпуск про-

дукции в соответствии с технологическим процессом Р(х)=(/’1(х),. ,/т(х)) из ограниченных запасов ресурсов Ь = ( Ь1Ьт) с минимальными издержками/0(х).

В соответствии с классической теорией двойственности каждому виду ресурса ге(1,...,т} соответствует внутренняя объективно обусловленная оценка и>0, ге {1,...,т}, по Л.В. Канторовичу (множители Лагранжа), причем более дефицитные ресурсы имеют большие оценки, и наоборот, ресурсы, имеющиеся в избытке, получают нулевые оценки. Очевидно, что если объемы ресурсов, (компоненты в векторе Ь) неограниченно увеличивать, то их дефицитность будет уменьшаться, соответственно, будут уменьшаться объективно обусловленные оценки и = (и1,.,ит), и издержки предприятия/0(х) по выпуску продукции. Но неограниченный объем ресурсов в реальности не существует, поскольку ресурсы — это либо продукция некоторого другого производства, либо сырье, существующее в ограниченном количестве. Следовательно, чем больше расходуется ресурсов для производства, тем больше спрос на эти ресурсы и тем больше их рыночная стоимость. В связи с этим возникает проблема согласования дефицитности ресурсов с их внешней рыночной стоимостью. Решение этой проблемы приводит к различным равновесным конструкциям, таким, как задачи о вычислении неподвижных точек, обратные задачи оптимизации и др. [1]. В предлагаемой статье рассмотрим обобщение таких постановок.

Постановка задачи

Существенным недостатком модели экономической системы (1) является неизменность самой системы по отношению к внешним управляющим воздействиям в течение заданного периода времени.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ