О приближении непрерывного многозначного отображения постоянным многозначным отображением с шаровыми образами Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. И. Дудов, А. Б. Коноплев

УДК 519.85

О ПРИБЛИЖЕНИИ НЕПРЕРЫВНОГО МНОГ ОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСТОЯННЫМ МНОГОЗНАЧНЫМ ОТОБРАЖЕНИЕМ С ШАРОВЫМИ ОБРАЗАМИ

1. В работе [1] непрерывное многозначное отображение (м.о.) с выпуклыми компактными образами приближалось постоянным м.о. с выпуклыми образами. В этой статье мы также рассмотрим задачу, когда для приближения м.о. используется постоянное м.о., но с образами в виде шара некоторой нормы.

Пусть непрерывное на отрезке [0,1] м.о. F{t) имеет выпуклые компактные образы из Rp, п(х) - некоторая норма, действующая на Rr, Вп(х,г) = {>■ е Rp :п(х-у)<г} - шар в этой норме с центром в точке х и радиусом г, = max{supinf«(а-¿0,supinfn{a-b)) -расстояние

аеАЬеВ

Хаусдорфа между множествами А и В из Rp. Рассмотрим задачу

ф(х,г) = шах h(F(t), Вп(х, г))—> min (1)

'е[0,1] г>о

о наилучшем равномерном на отрезке [0,1] приближении м.о. F(-) постоянным м.о. с образами в виде Вп(х,г).

Далее используем обозначения: qf(x) - субдифференциал выпуклой функции /(•) в точке х,

Q(t) = Rp\F(t), R(t,x) = max n(v-x),

vef(l)

P(t,x) = min w(v-x)- min n(v-x), R(x) = max R(t,x), P(x) = max P(t. x).

veF(t) veQ(r) ie[0,l] ie[0,l]

Кроме того, для выпуклого компакта A cz Rp определим функции

RÀ(x) = maxn(x-y), рА(х) = ттп(х-у), РА(х) = рА(х) - рп (х),

уеА уеА А

QA = Rp\А.

Свойства введенных функций изучались в [2] - [4]. Отметим, что функции R(t,x) и P(t,x) являются выпуклыми по х на Rp при любом фиксированном t е [0,1] [2, 3], а следовательно, являются выпуклыми по х на Rp и функции R(x) и Р(х).

2. Существование решения задачи (1), как и в [1], следует из непрерывности м.о. F(') и компактности его образов. Сформулируем и докажем критерий решения задачи (1).

ТЕОРЕМА. 1. Для того чтобы пара (х*,г*) являлась решением задачи (1), необходимо и достаточно, чтобы

Ор едк(х*) + дР(х*), (2)

r,= R(x*)-P(x*)

2 ( Доказательство. Как показано в [4J, для выпуклого компакта А справедлива формула

h(A, Вп(х, г)) = max{RA(x) - г, РА(х) + г}. Поэтому из определения функций R(t, х) и P(t, х) следует

ср(х, г) = max max{ R(t,x) - г. P(t,x) + г} = max{ R(x) - r,P(x) + r}. (4) <e[0,lj

Поскольку функции R(x) и P(x) являются выпуклыми на Rp, то из (4) следует, что функция ф(х,г) является выпуклой по совокупности переменных (х,г) на Rp х R+. Ее субдифференциал, как это следует из субдифференциального исчисления для выпуклых функций [5], можно записать в виде

(dR(x), -1), если R(x) -г> Р(х) + г,

оф(х,г) = j(дР(х), 1), если R(x)-г< Р(х) + г, (5)

co{(ôR(x),-\),{dP(x),l)}, если R(x) - г = Р(х) + г. Здесь со{А,В} - выпуклая оболочка объединения множеств А и В. В соответствии с известным фактом выпуклого анализа [5, с. 129], для того чтобы пара (х*,г*) была точкой минимума функции ф(х,г) на RpxR+, необходимо и достаточно выполнения включения

Оредц> (xV*). (6)

Из формулы (5) следует, что включение (6) реализуемо тогда и только тогда, когда выполняются соотношения (2), (3). Что и требовалось доказать. 3. Рассмотрим случай м.о., имеющего вид

F(t) = (\-t)A + tB, (7)

где А и В - некоторые выпуклые компакты из Rp.

ТЕОРЕМА 2. Для м.о. F(t) вида (7) справедливы формулы

Л(х) = тах{Л.Дх), RB(x)), (8)

Р{х)=тах{РА(х),Рв(х)). (9)

Доказательство. Легко видеть, что

R(x) = max max п(х - v) = max n(v - x) -

/e[0,l)vE(l-/),4 + iß veco{<4,3}

= max{max n(v - x),max n(v - x)} = ma\{RA(x), PB(x)}.

veA veß

Чтобы доказать формулу (9), рассмотрим два случая.

42

1, Пусть точка х такова, что Р(х) > 0. В этом случае

Р(х) = max{pF(i)(x)-pn(0(x))= шах рт(х).

А поскольку

Pf(t\(x) = min n(x-v)= min n(x - (1 - t)a - tb) <

1 vs FO) ' aeAMB

< min {(1-/)и(х-а) + tn{x — b)} = (1 -t)xmx\n(x -a) + t minn{x -b) =

aeA,beB asA beB

= (1 -/)Рл(*) + Фв(*)> то, с учетом того, что рF(0)(х) = рА(х), р(х) = рв(х), получаем

Р(х)= maxpFW(x) = max{p/4(x),pß(x)}. (10)

2. Пусть теперь Р(х) < 0. Этот случай возможен, только если х е А п В * 0 и, следовательно,

Р(х) = max{-pn(0(x)}. (11)

Очевидно, что Аг\В a F(t) при всех t е [0,1], поэтому Q(í) с С1Апв • Следовательно, учитывая также Q^nß = u fifl, имеем

Pn(oW - PnAnB О) = min{Pn^ W>Pns (*)}>

откуда вытекает неравенство

max{ -pn(()(x)} < max{-pn (x),-pn (х)} . (12)

/е[0,1] ' л а

С другой стороны, max {-pn(0(х)} > max{-pn(0)(х), - pfJ{,}(х)} = max{-pn^ (х), - pns (х)}.( 13)

Таким образом, из (11) - (13) получаем

Р(х) = max{-pn^ (х),-рПл (х)}. (14)

Из формул (10) и (14) для этих рассмотренных случаев теперь легко следует (9). Что и требовалось доказать. Из теорем 1, 2 вытекает

СЛЕДСТВИЕ. Для м.о. F(t) вида (7) задача (1) эквивалентна задаче

maxlß^x), Äs(x)) + max{P4(x), Рв(х))-> min .

xeR"

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Никольский М. С. Об аппроксимации непрерывного многозначного отображения постоянным многозначным отображением // Вестник МГУ. Сер. 15. Вычисл. математика и кибернетика. 1990. № 1. С. 76 - 80.

2. Минченко Л. И., Борисенко О. Ф., Грицай С. П. Многозначный анализ и возмущенные задачи нелинейного программирования. Минск: Навука i тэхнжа, 1993.

43

3. Konotиев А. Б. Формула субдифференциала одной негладкой функции // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 13-й Capar, зимней шк. Саратов, 27 янв. - 3 февр. 2006 г. Саратов: ООО Изд-во «Научная книга», 2006. С. 93 - 94.

4. Дудов С. И., Златорунская И. В. Равномерная оценка выпуклого компакта шаром произвольной нормы // Мат. сб. 2000. № 10. С. 13 - 38.

5. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

УДК 519.853

А. С. Дудова

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАССТОЯНИЯ ДО СТРОГО И СИЛЬНО ВЫПУКЛОГО МНОЖЕСТВА

Под функцией расстояния до замкнутого множества D a Rp в норме «(■), действующей на Rp, понимается

РоМ = min«(x - у).

y<=D

Известно [1 — 3], что если D является выпуклым множеством, то функция pD(x) является выпуклой на Rp, а функция рп(х), где

Q = Rp \ D, является вогнутой на D. В данной статье укажем на некоторые свойства функции расстояния до строго выпуклого множества [2] и функции расстояния до r-сильно выпуклого множества [4], то есть множества, представимого в виде пересечения евклидовых шаров радиуса г.

ТЕОРЕМА 1. Если D является строго выпуклым множеством, то функция рп(х) является строго квазивыпуклой на D, то есть

PnCax, + (l-a)x2)>min{pn(x,),pn(x2)}, Vx,,x2 eD, ае(0,1).

Доказательство. Известно [3], что для любых x¡,x2 из Rp

|Рп(*1>-РП(*2)Ии(*1 -*2>- (О

Пусть далее, для определенности, точки х,,х2 из D таковы, что Pn(-*i) — Рп(*г) • Если только рп(х2)< Рп(х,) + п{х{ - х2), то можно показать выполнение строгого неравенства

рп(ах, +(l-a)x2)>apn(x1) + (l-a)pn(x2), Va е (0,1), из которого вытекает неравенство pn(ax, + (1 - a)x2) > amin{pn(x,),pn(x2)} + (1 - a)min{pfl(x,),pn(x2)} =

= min{pQ(x1),pn(x2)}.

Ввиду (1), альтернативным случаем является выполнение равенства Pq(*2) = P£j(xi) + w(xi ~хг)> используя которое, с учетом вогнутости функции рп{х) на D, получаем