CC BY
20
2. оператор E — Hk (x) имеет ограниченный обратный;
3. функция фk(x, •) G L2(Yt) и является (единственным в L2(yt)) решением уравнения
фk (x) = Hk (x)^k (x) + gk (x).
Основное уравнение, содержащееся в пункте 3 теоремы 1, является ключевым звеном конструктивной процедуры решения обратной задачи: по его решению может быть построен искомый потенциал [2].
Замечание. Фактически задание функции Вейля Mk(А) позволяет определить потенциал на «своем» ребре ek. Для простоты изложения мы считаем заданными все функции Вейля Mk (А ),k = 1,p, что позволяет свести задачу 1 к решению таких «локальных» задач. В действительности такая постановка задачи является переопределенной: для однозначного восстановления потенциала достаточно знать, например, Mk (А), k = 1,p — l. При этом непосредственно восстанавливаются qk(x),k = 1,p — 1, а затем, используя описанную в [2] процедуру пересчета, ставится и решается обратная задача для ребра ep.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и ННС (проекты 07-01-00003 и 07-01-92000-ННС-й).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Hryniv R.O., Mykytyuk Ya.V. Inverse spectral problems for Sturm - Liouville operators with singular potentials // Inverse Problems. 2003. Vol. 19. P. 665-683.
2. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит, 2007.
УДК 519.853
А.Б. Коноплев
О СВЕДЕНИИ ЗАДАЧИ ПРИБЛИЖЕНИЯ АФФИННОГО
МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ПОСТОЯННЫМИ МНОГОЗНАЧНЫМИ ОТОБРАЖЕНИЯМИ С ШАРОВЫМИ ОБРАЗАМИ К ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
В работе [1] рассматривалась задача о равномерном в метрике Хаусдорфа приближении аффинного многозначного отображения (м.о.) постоянными м.о. с образами виде шара некоторой нормы. Здесь будет рассмотрен случай ее сведения к задаче линейного программирования.
Пусть на отрезке [0,1] задано аффинное м.о. F(•) следующего вида:
F(t) = (1 - t)A + tB, (1)
где t Е [0,1], а A, B - выпуклые компакты из Rp. Будем предполагать также, что B С A.
Пусть n(x) - некоторая норма на Rp, n*(x) = max < v, x > — полярная к
n(v)< 1
ней норма, Bn(x,r) = {y Е Rp : n(x — y) < r} — шар в норме n(x) с центром в точке x и радиусом r. Обозначим через ^(A,B) расстояние Хаусдорфа между множествами A и B из Rp в норме n(-). Рассмотрим задачу
^(x,r) = max ^(F(t), Bn(x, r)) —> min (2)
t E[0,1] 7 xERP,r>0
наилучшего равномерного на отрезке [0,1] приближения м.о. F(•) постоянными м.о. с образами в виде шаров Bn(x,r).
Для выпуклого компакта A С Rp и множества Qa = Rp\A определим функции
R(x, A) = max n(x — y), p(x, A) = min n(x — y), P(x, A) = p(x, A) — p(x, Qa).
Отметим, что они являются выпуклыми, конечными на Rp и липшицевы-ми с константой 1 относительно нормы n(-) [2,3]. Множество точек проекции точки x на множество A определяется соотношением Qp(x,A) = {y Е Е A : n(x — y) = p(x, A)}.
В работе [1] показано, что для м.о. вида (1) задача (2) эквивалентна следующей задаче выпуклого программирования
Ф^) = R(x,A) + P(x, B) ^ min . (3)
Множество ее решений обозначим через X(A, B). Теорема 1. Справедливо следующее соотношение:
X(A, B) П B = 0.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда найдется хотя бы одна точка х0 такая, что х0 Е X(А, В), х0 Е В и показать, что проекция этой точки на множество В тоже будет решением задачи.
Итак, пусть хо Е X(А, В), хо Е В. Возьмем любую точку г0 Е ^р(х0, В). Тогда Р(х0,В) = р(х0,В) = п(х0 — г0), Р(г0,В) = 0 и, следовательно,
R(xo,A)+n(xo—zo) = R(xo,A)+P(xo,B) = Ф(хо) < Ф^) = R(zo, A). С другой стороны, в силу липшицевости функции R(x, A) выполняется неравенство R(zo, A) — R(xo,A) < n(xo — zo). Отсюда получаем R(zo,A) — R(xo,A) = = n(xo — zo), а тогда Ф(^) = Ф(z0), то есть zo G X(A, B). Теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что для получения хотя бы одного решения задачи (3) достаточно найти минимум функции Ф(х) на компакте B. Эта задача с учетом того, что для x G B функция P(x, B) = — p(x, Qß), сводится к следующей задаче:
Ф(х) = R(x,A) — p(x, Qß) ^ min . (4)
xGß
Предположим, что компакт B является многогранником, заданным в виде
B = {y G Rp :<Bi,y> +Ьг > 0, i = l"m}, (5)
где Bi G Rp, b G R1, i = T~m.
Пусть единичный шар в норме n(^) также является многогранником следующего вида:
Bn(0p, l) = {y G Rp :< Cj,y > +Cj > 0, j = Ü}, (6)
где Cj G Rp, Cj G R1, Cj > 0, j = ТД
В работе [4] получены формулы, конкретизирующие вид функций R(x, A) и p(x, Qß) для рассматриваемого случая.
R(x,A) = max{< (Cj,x > +Cj}, p(x, Qß) = min {< Bi,x > +bi}, (7)
j=1,1 i=1,m
где Cj = —Cj/cj, Cj = max < Cj,y >, Bi = Bi/n*(Bi), bi = bi/n*(Bi).
yG—A
Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям из [5], докажем, что справедлива следующая
Теорема 2. Если B и Bn(0p, l) заданы в виде (5), (6) соответственно, то задача (4) эквивалентна задаче линейного программирования следующего вида:
!z = x(p+1) ^ min,
x(p+1)— < Cj — Bi,x > —Cj + bi > 0, i = T~m, j = T7T, (8)
x G B.
При этом, если пара (x*, z*) - решение задачи (8), то x* - решение задачи (4). И наоборот, если x* - решение задачи (4), то пара (x*, z*), где z* = = R(x*, A) — p(x*, Qß) является решением задачи (8).
Доказательство. Заметим, что задачу (4) с учетом (7) можно записать в виде
max {< Cj — Д, x > +cj — b} ^ min . (9)
i=1,mj=1,1
Пусть пара (x*,x*(p+1)) является решением задачи (8), тогда z* = x*(p+1) = mx_{< Cj — Bi, x* > +cj — Ьг} >
j=1,m,j=1,1
> min max {< Cj — Bj, x > +cj — b} = L. (10)
i=1,mj=1,1
С другой стороны, для точки x' - решения задачи (9) выполняются неравенства < Cj — Bi, x' > +Cj — b < L, i = 1, m, j = 1, l, то есть пара (x', L) удовлетворяет условиям (8). Следовательно, z* как наименьшее значение x(p+1), при котором выполняется (8), удовлетворяет неравенству z* < L. С учетом неравенства (10) имеем z* = L. Теперь отсюда и из (10) получаем, что x* — решение задачи (4).
Пусть теперь x' - решение задачи (9). Тогда
max {< Cj — Bj, x' > +Cj — bi} =
i=1,m,j=1,1
= min max_{< Cj — Bj, x > +cj — bj} = L.
i=1,m,j=1,1
Тогда получаем, что
L > max_ {< Cj — Bj, x' > +cj — bj},
i=1,mj=1,1
то есть пара (x', L) удовлетворяет условиям (8). Поэтому для z* - минимального значения x(p+1), при котором выполняется (8), имеем z* < L. С другой стороны, выполняется условие (10). И следовательно, z* = L, то есть пара (x',L) — решение задачи (8). Поскольку L — это минимальное значение целевой функции в задаче (9), то L = z* = R(x*,A) — p(x*, ). Теорема доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дудов С.И., Коноплев А.Б. О приближении непрерывного многозначного отображения постоянным многозначным отображением с шаровыми образами / / Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 41-43.
2. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.
3. Дудов С.И. Субдифференцируемость и супердифференцируемость функции расстояния // Мат. заметки. 1997. Т. 61, вып. 4. С. 530-542.
4. Дудов С.И., Златорунская И.В. О приближенной равномерной оценке выпуклого компакта шаром произвольной нормы // ЖВМиМФ. 2005. Т. 45, № 3. С. 416-428.
5. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. М.: Наука, 1964.
