Об устойчивости решения задачи внешней оценки компакта шаром произвольной нормы Текст научной статьи по специальности «Математика»

v xeD. (13)

2 r

Гиперплоскость tz={x:<x - _yo„£?o>=0} является одновременно опорной для D и евклидова шара В(х ,г ) в точке у0. Следовательно, она определяется единственным образом и её нормалью является вектор

go =1Т~»—^Ti • Учитывая, что_уо= r'g0 и Q(x")cz D, из (13) получаем

Г -Щ

<z-x*,g0 > +r' >(j|z-x*|| +r* + 2r' <z-x',g0>)/2r

или

(l-^)<z-**,g0> Vze№*). (14)

r 2 r

Для того чтобы (14) не противоречило (10), надо, чтобы

2 * + I л о *

R (х ) + г i -2г г < 0. Отсюда следует, что г* > г - д/г" - R" (х ), а это в соответствии с (12) даёт ( 11 ). О

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Pits ' A. Accessible sets in control theory // Int. Cont. on Diff. Eqs., Academic Press. 1975. P. 646-650.

2. Половинкин E. С Сильно выпуклый анализ // Мат. сб. 1996. Т. 187, № 2. С. 102-130.

3. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука.

1981.

4. Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел. М.: Фазис, 2002

УДК 519.583

А. С. Дулова

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ВНЕШНЕЙ ОЦЕНКИ КОМПАКТА ШАРОМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ НОРМЫ

1. Пусть D - компакт из конечномерного действительного пространства Rp, а функция п(х) удовлетворяет аксиомам нормы. Задачу о построении шара нормы п(-) минимального радиуса, содержащего компакт D, можно записать в виде

R(x) = шах п(х - у) -> min , (1)

yeD xeRP

Рассмотрим вопрос об устойчивости решения задачи (1) относительно погрешности задания компакта D.

Пусть £>о - погрешность задания компакта D компактом Д., а именно

h(D,De) = max« sup inf n(x-y), sup inf n(x-y)><z. (2)

KD yeOE IeD J

Обозначим через X(D) = {у e Rp : R(y) = min !?(*)} множество pe-

{ xeR11 J

шений задачи (1), а через X(De) - множество решений соответствующей задачи

Re(x) = maхп(х-у)~* min . (3)

yeD, ' x<=Rp

2. Приведем используемые при доказательстве основных результатов вспомогательные понятия и факты.

Определение 1 [2]. Множество AczRp называется r-сильно выпуклым, если оно представлено в виде пересечения евклидовых шаров радиуса г.

Определение 2. Будем говорить, что норма и(-) является г-сильно квазивыпуклой, если её единичный шар является r-сильно выпуклым множеством.

Непосредственно из определений 1 и 2 следует

ЛЕММА 1. Если п() - г-сильно квазивыпуклая норма, то множество Ge = Ix е Rp : R(x) < является гЛ(хЕ)-сильно выпуклым.

Используя необходимые и достаточные условия решения задачи (1) (см. [2]) и задачи вложения шара нормы п(-) наибольшего радиуса в заданный выпуклый компакт [3] можно доказать, что справедлива

ЛЕММА 2. Точка х eX(D) является центром шара нормы «(■) наибольшего радиуса, вложенного в множество С',:, причём радиус этого шара равен R(xe) - R(x ).

С помощью понятия /--сильно выпуклой оболочки множества [1] нетрудно доказать, что имеет место

ЛЕММА 3. Если А -r-сильно выпуклое множество и радиус наибольшего евклидова шара, вложенного в А, не превосходит е, то max I я-Ь||< 2л/е(2г-е).

a,be А

3. Теперь сформулируем и докажем основные результаты.

ТЕОРЕМА 1. Имеет место неравенство

1 min R(x)~ min Rz(x)

1x6^ xeRp

<e. (4)

Доказательство. Пусть x e X(D). Из определения функции R{x) и (2) вытекает, что компакт D,. содержится в шаре нормы «(•) с центром в точке х и радиусом R(x )+е. Следовательно, для хЕе X(De) выполняется неравенство

Re(xe) < R(x*) + e. (5)

Аналогично получаем

R(**) <Rs(xe) + 6. (6)

А в целом из (5), (6) имеем (4). Н

ТЕОРЕМА 2. Если л(-) - г- сильно квазивыпуклая норма, то решения задач (1) и (3) единственны, то ecTbvV(D)={x }, X{D^)={xz} и при этом

|| хЕ - х* || < 2Л/8Е (2rR(xE ) - 6g ), (7)

где ¿>e = min{2c£, r-R(xs)}, а с>0 - константа, для которой

||х||<си(х), V х 6 Rp. (8)

Доказательство. Нетрудно видеть, что сильная квазивыпуклость нормы л(-) даёт строгую квазивыпуклость функций R(-) и R._('), что обеспечивает единственность решения задач (1) и (3).

Теперь оценим величину R(xc) — R(x ). Зафиксируем произвольную точку хе Rp, и пусть точкаyxeD такова, что R{x)=n(x-yx). Из (2) следует, что найдётся точка у\ е DE такая, что п(ух -у\)<ь. Тогда имеем

п(х -ух) = п(х-yl+ уех -ух)< п(х -\/x) + s<RE(х) + в Аналогично получаем неравенство R(xc)> R(x)+e. Таким образом имеем |Я(х)-ЯДх)|<£, V хе R". (9)

Поскольку выполняется неравенство

R(xe ) - R(x*) < I R(xe) - Re (xE ) I +1 Re (xe ) - R(x*) |, то, используя теорему 1 и формулу (9), получаем

R(xe)-R(x')<2e. (10)

Из леммы 2 следует, что ввиду оценки (10) радиус наибольшего шара в норме п(-), вложенного в множество GE , не превосходит 2е. Поэтому, учитывая (8), радиус евклидова шара, вложенного в Ge, не более 2се.

С другой стороны, поскольку в силу леммы 1 множество Gc является гЛ(хЕ)-сильно выпуклым, радиус евклидова шара, вложенного в него, не более чем rR(xc). В итоге получаем, что радиус евклидова шара, вложенного в Сг£, не превосходит величины 6Е = min{ 2ce,rR(xe) }. Учитывая, что точки хе , х е Ge , нам для получения (7) осталось воспользоваться леммой 3. □

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Половинкин Е. С. Сильно выпуклый анализ // Мат. сб. 1996. Т. 187, № 2. С. 102- 130.

2. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

396 с.

3. Дудов С. И. Внутренняя оценка выпуклого множества телом нормы // ЖВМ и МФ. 1996. Т. 36, №5, С. 153 - 159.