CC BY
12
Доказательство следует из леммы 5 и изометрической эквивалентности
F(x) = F(a) + F'(a)(x-a) на компакте Ка = а + pOf, для каждого целого а такого, что р tie делит разность а- в, при всех i-\,t.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука, 1964.
УДК 519 853.3
С. И. Дудов, А. С. Дулова ОБ ОТДЕЛИМОСТИ СИЛЬНО ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ
1. Понятие сильно выпуклого множества было впервые введено в [1]. Определение. Множество D a R' называется г -сильно выпуклым, если оно может быть представлено в виде пересечения евклидовых шаров радиуса г>(), то есть
D = П В(х,г),
хе А
где B(x,r) = е Rp :|х-.у| - '' } _ евклидов шар с центром в точке х и радиусом г, I • || - евклидова норма, А - множество центров шаров.
В работах Е.С. Половинкина (см., напр. [2]} и других математиков основные факты из выпуклого анализа получили соответствующее усиление в формулировках на случай сильно выпуклых множеств.
Как известно, важное свойство замкнутых выпуклых множеств заключается в том, что они могут быть представлены в виде пересечения опорных к ним полупространств. Для сильно выпуклых множеств этот факт усиливается следующим образом.
ТЕОРЕМА А [2]. Выпуклый компакт D являе.ся r-сильно выпуклым тогда и только тогда, когда
/>= П B(Xg-rg,r), (1)
WH
где для каждого ge Rr, || g || = 1 вектор xg e D таков, что
<x ,g>=max<x,g> (2)
k xeD
Здесь <y> - скалярное произведение.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1).
2. Цель данной статьи - получить свойства отделимости сильно выпуклых множеств в форме сравнимой с классическими формулировками.
ТЕОРЕМА 1. Пусть D - г-сильно выпуклое множество и точка х0 £ D. Тогда-существует вектор g„e Rp, | g | = 1 такой, что
II II2 2
x - x() + p + 2rp
<x-x0,g0> -------, VxeD, (3)
2(r + p)
где p = min x0 ~y j|.
yeD ' '
Доказательство. Пусть точка y0&D такова, что j|x0-Уо|| = Р-Известно [3, гл.1], что гиперплоскость л = {х :< х->'0,g0 >= 0}, где
So = (Уо _д:о) хо ' > является опорной к множеству D в его граничной
точке уо, причём
>0,\/х£О. (4)
Из (4) следует, что для gt = —g0 выполняется <Уо>gi > = max < х, gt >
хе D
В соответствии с (2) последнее означает, что у0 = х и, таким образом, из теоремы А следует Dez В(у0 -rg\,r). Это означает, что
p-z0i
где z0 = у0 - rgt. Очевидно, что
<7-, V хе£>, (5)
jzo-*o|| = P + r. IIX-Zof =1х_хо||2 +l|zo-*o|j2-2<*-*o>zo-*o >■ (6)
Используя (5), (6), для любого xeD получаем
<x-x0,g0 > = - < х - x0,z0 - х0 > —-(||x-x0f +
р + г 2(г + р)
^11 ||2 II ||2Ч J!*-*o||2 +(Р + '")2 ~Г2
. П
2(р + г)
Нетрудно видеть, что эта теорема является усиленным аналогом известной теоремы отделимости для выпуклого множества. Из теоремы 1 предельным переходом легко получить соответствующий аналог теоремы об опорной гиперплоскости.
ТЕОРЕМА 2. Пусть - г-сильно выпуклое множество и хо - его граничная точка. Тогда существует векторg(,eRp, | £0| = 1такой, что
II - II2
<х~х0,80> > Н-З«., УхеО. (7)
2 г
Теперь приведём соответствующий аналог теоремы о разделяющей гиперплоскости.
ТЕОРЕМА 3. Пусть 1)\ - г,-сильно выпуклое множество, D± -г2-сильно выпуклое множество и D\f]D2=0. Тогда существует вектор g0sRp, ||яо|| = 1 такой, что
lU-yf +р2 +2p(r, +r?) w
<x-y,g0> -i-— , У х е Du у е D2, (8)
2(р + >\+г2)
где р = min jjx —,у||.
хе D| ,уе Di
Доказательство. Множество D={x - y:x&D\, yeD2), как показано в [2], является {г\ +>"2)_сильно выпуклым и оpiD. Осталось применить теорему 1. □
3. Положительность правых частей неравенств (3), (7) и (8) составляет суть усиления классических фактов отделимости. Это может иметь соответствующие приложения. Приведём пример конкретного приложения теоремы 2.
Известно [4], что точка х как центр евклидова шара наименьшего радиуса, содержащего компакт D, то есть решение задачи
i^A'^maxljx-j;!—> min , (9)
yzD xeRp
обладает свойством
х* ecoQ(x"), ß(x*) = (ze D: ß(x') = | x*-zjj }. (10)
Поэтому, если I) выпуклый компакт, то х еД. Вот как усиливается этот факт для случая сильно выпуклого множества.
ТЕОРЕМА 4. Если D - r-сильно выпуклое множество, а точка х является решением задачи (9), то
В(х',г-л/г* - R2(x*) <=. D. (11)
Доказательство. Поскольку x'eD, то либо х - граничная точка для множества D, либо - внутренняя. Предположение о том, что точка х является граничной, после применения теоремы 2 ведёт к противоречию с (10).
Пусть х' - внутренняя точка множества Dar- максимальное значение радиуса шара с центром в точке х , содержащегося в D:
B(x',r')cD, г' <г. (12)
Обозначим через у0 граничную точку множества D такую, что | у0 - х*|| = г , то есть шар В(х ,г ) касается в ней с границей D.
Применяя теорему 2 к сильно выпуклому множеству D и его граничной точке уо, получаем
v xeD. (13)
2 r
Гиперплоскость tz={x:<x - _yo„£?o>=0} является одновременно опорной для D и евклидова шара В(х ,г ) в точке у0. Следовательно, она определяется единственным образом и её нормалью является вектор
go =1Т~»—^Ti • Учитывая, что_уо= r'g0 и Q(x*)a D, из (13) получаем
Г -Щ
<z-x*,g0 > +r' >(j|z-x*|| +r* +2r' <z-x',g0>)/2r
или
(l-^)<z-**,g0> Vze№*). (14)
r 2 r
Для того чтобы (14) не противоречило (10), надо, чтобы
2 * + I л о *
R (х ) + г i -2г г < 0. Отсюда следует, что г* > г - д/г" - R" (х ), а это в соответствии с (12) даёт ( 11 ). О
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Pits ' A. Accessible sets in control theory // Int. Cont. on Diff. Eqs., Academic Press. 1975. P. 646-650.
2. Половинкин E. С Сильно выпуклый анализ // Мат. сб. 1996. Т. 187, № 2. С. 102-130.
3. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука.
1981.
4. Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел. М.: Фазис, 2002
УДК 519.583
А. С. Дулова
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ВНЕШНЕЙ ОЦЕНКИ КОМПАКТА ШАРОМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ НОРМЫ
1. Пусть D - компакт из конечномерного действительного пространства Rp, а функция п(х) удовлетворяет аксиомам нормы. Задачу о построении шара нормы п(-) минимального радиуса, содержащего компакт D, можно записать в виде
R(x) = шах п(х - у) -> min , (1)
yeD xeRP
Рассмотрим вопрос об устойчивости решения задачи (1) относительно погрешности задания компакта D.
Пусть £>о - погрешность задания компакта D компактом Д., а именно
