О редукции задачи равномерной оценки выпуклого компакта шаром произвольной нормы к задаче выпуклого программирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Пусть существует набор последовательностей а[,а2.....о.к такой, что

а, - двухшаговый сдвиг или зеркальная по отношению к последовательности а,_! , 1 <i<k, где последовательность а! сопоставляетсяу-циклу Cs, а последовательность ак сопоставляется циклу Ст. Так как каждая последовательность a.i является либо двухшаговым сдвигом, либо зеркальной по отношению к последовательности а,_! , 1 < i < к, то _у-циклы, которым они сопоставляются, - изоморфны. Следовательно, Cs ~ Ст. Теорема доказана.

Получен алгоритм построения всех неизоморфных ^-циклов с п вер-, шинами (и>3), использующий алгоритм разбиения числа п на m частей (т -четно) и алгоритм генерации перестановок этих частей [3]. Аналогичная задача для цепей рассматривалась в [4].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Rival I. The diagram //Graphs and orders. 1985. P. 103 - 133.

2. Харари Ф., Палмер Э. Перечисления графов. M.: Мир, 1977.

3. Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988.

4. Емельянова О.В. Цепные упорядоченные множества - характери-зация и перечисления // Теоретические проблемы информатики и её приложений. 1998. Вып. 2. С. 33 -37.

УДК 519.853

И. В. Златорунская

О РЕДУКЦИИ ЗАДАЧИ РАВНОМЕРНОЙ ОЦЕНКИ ВЫПУКЛОГО КОМПАКТА ШАРОМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ НОРМЫ К ЗАДАЧЕ ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ1

Пусть D - заданный выпуклый компакт из конечномерного действительного пространства Rp, функция п(х) удовлетворяет на Rp аксиомам нормы, = supinf п(х-у) - уклонение множества А от множества В в

х&А У*в

норме n(j, h(A, В) = тах{р(Л, В), р(В, А)} - расстояние Хаусдорфа между множествами А и В из Rp в норме n(-), Bn{x,r) = е Rp \ п(х - у) < г] - шар в норме n(j с центром в точке х радиуса г. Тогда задачу о равномерной

' Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 98-01-00048.

оценке выпуклого компакта шаром нормы п(') в метрике Хаусдорфа, можно записать в виде

h(D, Bn(x,r))~* min . (1)

xeRp,r>0

Такая задача рассматривалась, видимо впервые, в работе М.С. Никольского и Д.Б. Силина [1] для случая, когда п(-) - евклидова норма.

Обозначим через R(x) = maxп(х-у) - функцию, выражающую радиус

y&D

шара наименьшего объема с центром в точке х, содержащего множество D, рА(х) = inf п(х-у) - функцию расстояния от точки х до множества А.

уеЛ

Введем функцию Р(х) = pD(x) - pQ(x), где Q = Rp \D.

Пользуясь неравенством треугольника можно легко доказать следующий факт.

ЛЕММА 1. Для шаров Bn(x,R) и Вп{х,г) при R > г справедливо выражение

p(Bn(x,R), Вп(х, r))-R — r. Пользуясь леммой 1 и известными фактами из выпуклого анализа [2, 3], нетрудно доказать следующие три факта.

ЛЕММА 2. Для уклонения компакта D от шара Вп(х,г) справедливо выражение

r>R(x), если 0<r<R(x).

{О, если I

ад-,,

р (Bn(x,r),D) =

ЛЕММА 3. Пусть xeD. Для уклонения шара Вп(х,г) от компакта D справедливо выражение

[О, если 0 < г < рп(зс), [r-PnOX если г>Pq(х). ЛЕММА 4. Пусть х £ D. Для уклонения шара Вп(х,г) от компакта D справедливо выражение

p(Bn(x,r),D) = r + pD{x). Пользуясь леммами 2, 3,4, можно доказать, что справедлива ЛЕММА 5. Имеет место равенство

1Шпй(Д Bn(x,r)) = h(D,Bn(x,r0)) = ~(R(x) +Р(х)), п о 2

где г0 =1(Д(х)-Р(х)).

Следствием леммы 5 является ТЕОРЕМА 1. Задача (1) эквивалентна задаче

Ф(х) = Я(х) + Р(х)^> min. (2)

«=ЯР

При этом, если пара (х0,г0) является решением задачи (1), то точка х0 является решением задачи (2), а г0 = ^(/?(х0) - Р(х0)). И наоборот, если точка х0 является решением задачи (2), то пара (х0,г0), где r0 = ^(R(x0) - Р(х0)), является решением задачи (1). Величина уклонения

компакта D от шара Вп(х0, г0) равна hü (D) = ~ (R(x0 ) + P(xQ)).

Пользуясь свойствами выпуклых функций [2, 3], можно доказать следующий факт.

ЛЕММА 6. Пусть функции v|/[(i) и \у2(0 определены и выпуклы соответственно на отрезках [а, Ь\ и [Ь, с], причем а<Ь<с и (¿>) = \|/2(6). Если существует а0 е (0,1) такое, что для функции

^ fViC). если te[a,b\ [vt/2(0. если/е [б, с]

выполняется неравенство

(С (а0а + (1 - а0 )с) > а„у/{а) + (1 - а„ )у/(с), то для точки Ь, представимой в виде

£ = ßa + (l-ß)c, ß е (0,1)

выполняется неравенство

V(6)>ßM/(a) + (l-ßMc). Отметим, что функции R(x) и р0(х) являются выпуклыми на Rp, а функция рп(х) - вогнутая на D.

ТЕОРЕМА 2. Функция Р(х) является выпуклой конечной на Rp. Доказательство. Предположим, что функция Р(х) не является выпуклой на Rp, т. е. найдутся точки х, , х2 и число а0 е (0,1) такие, что

Р( сс0х, + (1 - а0 )х2 ) > а 0Р(х,) + (1 - а0 )Р(х2). (3)

Как следует из выпуклости R(x), вогнутости рп(х), а также определения функции Р(х), достаточно рассмотреть случаи, когда

1) хг е int£>, х2 <£ D,

2) х,,х2 г D, но \x\,x2\r^D* 0. Остальные случаи тривиальны.

а) Пусть е intD и х2 £ D, х0 е [х,,х2] и является граничной точкой множества D. В соответствии с выпуклостью R(x) и вогнутостью рп(х), функция Р(х) выпукла на отрезках [xj, х0 ] и [х0, х2 ]. По лемме 6 из неравенства (3) для точки х0 = ßx, + (1 - ß)x2, где ß е (0,1), имеем

P(Xo)>ßP(xI) + (l-ß№2). (4)

ß Ita ~~ *o II

Так как-= j—-то из (4) получаем

ß-1 Fi-*o|

P(X0)-P(XI)^P(X2)-P(X0)

l*o-*il b-*ol Из выпуклости функции P(x) на отрезках [jc, , jc0 ] и [jc0 , x2 ] для

g = (x2 -*i)/|*2 || следуют неравенства

P\x0,g) ^ limor'^Xo + ag) - P(x0)]<P{*2)~n*°\

aio F2-*o||

i-w-^y-y. (6)

Fi _xo||

Из (5) и (6) получаем

P\x0,g)<-P\x0,-g). (7)

Покажем, что на самом деле выполняется

P\x0,g)>-P\x0-g). (8)

Действительно, поскольку х0- граничная точка выпуклого множества D, то в соответствии с известным фактом из выпуклого анализа [2] существует опорная гиперплоскость л, содержащая точку х0, которая отсекает множество D в одно из полупространств. Тогда из определения функции Р(х), свойств опорной гиперплоскости и выбора точек х, и х2 следует, что при достаточно малых а > О

Р* (*о + = Рж (*о ~ Pixо + ag) = р о (х0 + ag) > р„ (х0 + ag),

Pix о - ag) = -PnOo - ^ ~РЛхо ~ agl Рл(*о) = = Отсюда нетрудно получить P\x0,g) > pTc(x0,g), P'ix0,-g) > -p\(x0,-g), p nix0,g) = рл(х0,-g). (9) Из (9) следует (8).

Полученное противоречие (7) с (8) говорит о том, что Р(х) выпукла на отрезке [х,, х2 ] в рассматриваемом случае.

б) Пусть теперь х,, х2 g D, но [х,, х2 ] n D Ф 0. Для непрерывной функции Р(х) существует точка х0 е [х,, х2 ] n int D, в которой

Р(х0)= min P(x)<0<min{P(x,),P(x2)}. (10)

xe[xi,x2\

Как было показано в пункте а), функция Р(х) выпуклая на отрезках [х,,х0] и [х0,х2]. Из предположения (4) по лемме 6 для точки х0 = ßxj + (1 - ß)x2, где ß е (0,1), следует неравенство Р(х0) > ßP(x,) + (1 - ß)P(x2 ), которое противоречит (10). Теорема доказана.

Отметим, что функция Ф(х), как сумма двух выпуклых функций, является выпуклой на Яр. Таким образом мы свели задачу (1) к задаче минимизации выпуклой функции Ф(х) на всем пространстве Яр.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Никольский М.С., Силин Д.Б. О наилучшем приближении выпуклого компакта элементами аддиала // Тр. Мат. ин - та им. В.А. Стеклова. 1995. Т. 211. С. 338-354.

2. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

3. Демьянов В.Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981.

УДК 519.95

И. П. Мангушева

УСЛОВИЯ ВЗАИМНОЙ ОДНОЗНАЧНОСТИ ОБОБЩЕННОГО АВТОМАТНОГО КОДИРОВАНИЯ

1. Постановка задачи. Рассматривается метод, в котором в качестве преобразователя, осуществляющего кодирование слов в алфавите X в слова в алфавите У используется конечный детерминированный автомат (КДА) [1,2, 3].

Пусть А=(Б, X, У, 8, Я) - КДА Мили, где 5", X, У- множества состояний, входных и выходных символов соответственно, /,..., зг}, Х={х/,..., х„}, У={у!,..., ущ}, 8:БхХ-^, Я:БхХ-^У- отображения. Работа КДА описывается системой канонических уравнений:

у«)=ят, Х(ф,

8Ш, Х(ф,

¿(%>=5Ь /=1,2,3,..., где 5] - начальное состояние, 5(У, х(г), у(0 - состояние, входной и выходной символы соответственно на очередном такте г работы автомата. Каждому входному слову х^х^.лс^КДА ставит в соответствие выходное слово

У¡\У]г '"У 1 согласно расширенным функциям переходов 8 и выходов Я: