Уклонение выпуклой оболочки ограниченных множеств Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.982.252

Г. М. Иванов

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Уклонение выпуклой оболочки ограниченных множеств

Исследуется наибольшее уклонение выпуклой оболочки множества (УВО) от самого множества при условии, что множество содержится в единичном шаре. Для конечномерного пространства получена точная оценка сверху УВО в зависимости от размерности пространства. Приведена оценка сверху УВО через константу Липшица оператора метрического проектирования на гиперплоскость. Эта константа Липшица в свою очередь оценена сверху через модули гладкости и выпуклости пространства.

Ключевые слова: уклонение выпуклой оболочки, модуль опорной выпуклости.

1. Основные определения

Пусть Е - линейное нормированное пространство размерности больше 1 (возможно, бесконечномерное). Через (р, х) обозначим значение функционала р £ Е* на векторе х £ Е. Для вектора а £ Е и функционала р0 £ Е* через Вд(а) и B*R(р0) обозначим шары с радиусом R в пространствах Е, Е* соответственно:

BR(a) = {х £ Е : \\х - а\\ ^ R} , B*R(po) = [р £ Е* : ||р - ро|| ^ R} .

Через со А, дА, int А обозначим соответственно выпуклую оболочку, границу и внутренность множества А С Е, через р(х, А) - расстояние от точки х £ Е до множества А. Уклонением множества А С Е от множества В С Е называется величина

h+(A, В) = sup р(х, В).

хЕА

Заметим, что в ситуации В С А, которая имеет место ниже, уклонение h+(A, В) совпадает с расстоянием Хаусдорфа между множествами А и И Величина h+ (со D,D) называется •уклонением выпуклой оболочки (УВО) множества D С Е. УВО-модулем пространства Е назовем величину

(е = sup h+(co D,D).

DC®i(0)

Замечание 1.1. Непосредственно из определения следует, что для любого пространства Е справедливы неравенства 1 ^ С,е ^ 2.

Пространство упорядоченных наборов х = (х\,... ,хп) из п действительных чисел Xi с нормой ||ж|| = (|^i|p + ... + |жга|р)1/р обозначим через I™.

Определение 1.1. Модулем выпуклости нормированного пространства Е называется функция §е : (0, 2] ^ R, определяемая формулой

5е(е) = inf j1 - + У]{\ : х,у £ E, ||ж\ = \\у\\ = 1, \\х - у\\ > .

Нормированное пространство Е называется равномерно выпуклым, если §е(е) > 0 для любого е £ (0, 2].

Определение 1.2. Модулем гладкости нормированного пространства Е называется функция рЕ : [0, +го) ^ R, определяемая формулой

Ре(r)=sup |+ у]{\ + 2 у]{\ - 1: х,у £ E, ||ж\ = 1, \\у\\ = т|.

Нормированное пространство Е называется равномерно гладким, если

11ш ^ = 0.

т ^+0 Т

Далее будет часто использовано следствие теоремы Хана^Банаха ( [6] теорема 3.2): для любого вектора х из банахова пространства Е существует функциопал р Є дВ 1(0) такой, ЧТО {р, х) = ||х||.

Будем говорить, что функционал р Є Е* является двойственным функционалом к век-х Е х

к функционалу р, если {р,х) = ||р|| ■ ||х||. Заметим, что для рефлексивного банахова про-

Є Е*

Через (х) обозначим множество единичных функционалов, двойственных к вектору х.

Замечание 1.2. Любое равномерно выпуклое или равномерно гладкое банахово пространство рефлексивно [5].

Будем говорить, что вектор у Є Е квазиперпендикулярен вектору х Є Е, и гасать у^х, если существует функционал р Є Jl(х) такой, что {р,у) = 0.

2. Уклонение выпуклой оболочки множеств в конечномерных пространствах

Лемма 2.1. Если множество В1(О) \ ^ Вг(О1) не пусто, то оно линейно связно. Доказательство.

Будем предполагать, что О = О1, иначе доказываемое утверждение тривиально. Обозначим точку пересечения луча О1О с границей шара В1 (О) через Р. Из неравенства треугольника следует, ЧТО если множество ®1 ( 0)\int Вг (О1) не пусто, то оно содержит точку Р. Покажем, что множество дВч(О) \ ^ Вг(О1) линейно связно, откуда следует утверждение леммы. Для этого докажем, что в двумерном случае любая точка множества д®1(О) \ ^ Вг(О1) Р.

точки А1, В1 такие, что они лежат то одну сторону от прямой ОО1, принадлежат окружностям дВг(О1), д®1(О), и та дуге А1В1 окружности д®1(О) найдется точка С1 такая, что \\С1О1\\ > г. Из точки О проведем лучи, параллельные лучам О1А1,О1В1 соответственно, пусть они пересекают единичную окружность дВ1 (О) в точках А, В соответственно. Из подобия шаров ®1(О), Вг(О1) следует, что А1В1 \| АВ. Из того, что точки А, В, А1, В1 лежат по одну сторону от прямой ОО1 и О А ПО1А1 = 0, ОВ ПО1В1 = 0, и выпуклости единичного шара, следует, что отрезки АВ, А1В1 лежат на одной прямой, откуда ЦС1О1Ц = г. Противоречие. I

Теорема 2.1. Пусть Еп - линейное нормированное пространство размерности п ^ 2. Тогда, (еп ^ 2^1. Причем равенство достигается при Еп = I

Доказательство.

Обозначим гп = 2^ 1.

Докажем неравенство. Предположим противное.

Существует банахово пространство Еп размерности п ^ 2, множество О С В1(0) С Еп и точка О1 е со О такая, ч то ВГп (О1) ПО = 0. Но раз О1 е со О, то

О1 е со(В1(0)\int ВГп(О1)). Множество В = В1(0)\ ^ ВГп(О1) по лемме 2.1 связно, зна-

О1

комбинация не более чем п точек из множества В. Обозначим их А1,...Ак, к ^ п, они образуют (к — 1)-мерный симплекс А, точка О1 = а^1 + ... + а^А^ лежит в его относительной внутренности (а > 0,а.1 + ... + ак = 1). Пусть С1 - пересечение луча А^О1 с противоположной гранью симплекса А, т.е. О1 = а[А[ + (1 — а[)С. Тогда

||0іАг|| = (1 - аі)ЦСіАі||.

Так как CiAi С А С B^0), то WAiCi|| ^ 2. Поэтомv гп ^ ||01Лг| ^ 2(1 — ai). Следовательно, ai ^ 1 — ^2 ^ »г, а значит) ai + ■ ■ ■ + ak ^ ^ ^ 1. Противоречие.

Покажем, что равенство достигается.

Рассмотрим пространство h (п). Пусть Ai = ei £ B1(0), где {ei}™=1 - стандартный базис в 11, В = ^ (А1 + ... + Ап) £ со[А_1,..., Ап}. Но расстояние от точки В до произвольной точки множества ^^но ЦА^В || = 2I

Из теоремы 1 и неравенства (е ^ 1 следует, что УВО-модуль любого двумерного нормированного пространства равен 1. Легко видеть, что УВО-модуль пространства I1 равен 2.

Заметим, что в теореме фактически доказано, что если dim Е = п, то любой симплекс размерности к < п, содержащийся в единичном шаре, накрывается шаром радиуса 2^+1 с центром в центре тяжести симплекса. Отсюда и из теоремы Хелли получаем следующее.

Следствие 2.1. Пусть множества Р и Q - сечения единичного п-мерного шара, двумя

к,

Р, 0. Q

вается множеством 2 ^+1 Р.

3. Оценка УВО-модуля в произвольных банаховых пространствах

Введем следующую величину, характеризующую пространство:

Хе = sup sup ||ж — (р, х)уЦ.

x,yedBi(0) peJi (у)

Заметим, что если у £ дB1(0), р £ J1(y), то вектор (х — (р,х)у) является метрической проекцией вектора х па гиперплоскость Нр = [х £ Е : (р,х) = 0}. Поэтому

Р р

Хе = supy€^Bi(o) suppeji(x) Хе, гДе Хе ~ эт° половина диаметра проекции едИНИЧНОГО шара на гиперплоскость Нр. Отсюда вытекает следующее замечание.

Замечание 3.1. Хе — это минимальная константа Липшица метрической проекции при проектировании на гиперплоскость.

Оцепим УВО-модуль пространства Е через величину хе.

Лемма 3.1. Пусть 01 £ co(B1(0)\int Br(01)), пусть единичный функционал р двойственен к вектору 001. Тогда в гиперплоскости Нр = [х £ Е : (р,х) = (р,01)} найдется точка х такая, что х £ B1(0)\ int Br (01).

Доказательство.

Обозначим В = B1 (0)\int Br(01). Так как 01 £ со В, то существуют точки А1, ■ ■ ■ , Ап £ В и набор положительных коэффициентов Х1,..., Хп (А1 + ... + \п = 1) такие, что

°1 = А1^1 + ... + АпАп. (1)

Пусть Н+ = [У £ Е : (р, у) ^ (р, 01). Из леммы 2 следует связность множества В. Отсюда и непустоты множества В\Н+ следует, что если доказываемое утверждение неверно, то В П Н+ = 0. Тогда (р, Ai) < (р, 01) и из формулы (1) следует, что

(р,01) = А1(р,А1) + ... + Ап(р,Ап) < (р, 01).

Противоречие. I Лемма 3.2.

(Е < sup inf sup ||ж — уЦ. (2)

y€Bi(0) P^Ji(V) xefBi(0):(p,x-y)=0

Доказательство.

множество D С ®1(0) такое, что h+(coD,D) ^ (е — £. Следовательно, найдется точка

01 £ coD : p(01,D) ^ (е — 2е. Обозначим г = р(01, D). Тогда D С B1(0) \ int Br (01). Следовательно, 01 £ co[B1(0) \ int Br(01)]. Обозначим у = 01, пусть р £ J1(y). По лемме 3.1 существует вектор х £ B1(0) \ intBr(01) : (р,х — у) = 0. При этом г ^ ||ж — уЦ. Следовательно, (е ^ Ц% — уЦ + 2е. Устремляя е к нулю, получаем доказываемое неравен-I

Нетрудно понять, что

Хе = sup sup ||ж — уЦ.

yeBi(0),peJi(y) xe&i(0):(p,x-y)=0

Тогда из леммы 3.2 следует утверждение.

Теорема 3.1. (е ^ Хе.

Следствие 3.1. Для гильбертова пространства Н справедливо равенство (н = 1.

Вся оставшаяся часть работы посвящена оценке величины хе. В этом параграфе приведем достаточно неточную оценку, следующую из работ В.И. Бердышева. Согласно статье [4], обозначим

h- = inf ||ж — уЦ; h+ = sup ||ж — уЦ,

где инфимум (супремум) берется по всем единичным векторам у, х : упх. В этой же статье приведена оценка на величину h— :

11

h-

І0 І - 5е (1)

0

£ + 2 5е (* ) = 1.

Оценим величину к+. Пусть векторы х,у такие, что ||х|| = ||у|| = т1г\\х — ту\\ = 1. Тогда II— у\\ = т£тек \\х + т(—у)\\ = 1. Значит, \\х + у\\ ^ к— ^ ^ , откуда

& 10 ^ — Ое ( 2) ”

6е(||х — у\\) ^ 1 — ^ 1 — 2^ ^ 1 — 2(1— * (!)). Получаем, что

h+ =supII* - ^1 І «-І (І - І s~-‘ (І - 2 (І - L (2))) •

Но можно действовать и другим способом:

2 Wx -yW І І - (||ж + уУ) І І - 5е ^ І І - Se ^і __ ^(і) ^

(3)

т.е.

(1 - 6е (£))І ^ - Se (;

h+ = sup Wx - vW І 2 [ 1 - ^e ( — ) ) І 2 [ 1 - Se ( і __ ^( і) ) ) . №

Лемма 3.3. В любом пространстве верны неравенства

(е ^Хе < к+. (5)

Доказательство.

Зафиксируем векторы у, у2 на единичной сфере. Рассмотрим двумерное сечение Е2 исходного пространства Е плоскостью у О у2. Возьмем на единичной окружности в пространстве Е2 х

.

Проведем прямые 1—, 1+, параллельные I, проходящие через точки —у, у соответственно. Ясно, что 1—, 1+ являются опорными прямыми к единичному кругу В ПЛОСКОСТИ Е2. Значит, прямая 1Х \\ I, проходящая через х, пересекает отрезок [—у;у\. Обозначим [—у;у\ П 1Х = г. Тогда | | г — х|| и есть длина метрической проекции вектора х на Нр. Но для любой точки

z0 Є [-у;у] верно неравенство \\z0 - х\\ І max[|\х + ; I

I I x - У111 І h+. Откуда и следует

4. Модуль опорной выпуклости

Пусть | | у\\ = 11 х\\ = 1; у^х, г > G. Если существует такое число ,0, что \\х + гу - @х\\ І 1, то положим Ле(х,у, г) = inf [ЛІ \\х + гу - Лж|| = 1|. Если такого @ не существует, положим Ле(х,у, г) = +го. Заметим, что из центральной симметричности шара следует, что величины Ле (х,у, г), Ле (ж, -у, г) либо обе конечны, либо равны +го. Обозначим

Л-(ж, у, г) = min[Xe(х, у, г), ЛЕ(х, -у, г)}; Л+(ж, у, г) = max[XE(х, у, г), ЛЕ(х, -у, г)}.

Определение 4.1. Назовем модулями локальной опорной выпуклости функции Л± Е x (G, +го) ^ R, задаваемые соотношениями

Л-(ж, г) = inf Л-(ж, у, t); Л+(ж, г) = sup Л+ (ж, у, t),

где х Є Е, ||ж|| = 1, г > G, а супремум (инфимум) берется по всем таким наборам (у, t), что | | у \ \ = 1, упх, G Іі І г и Л+(ж, у, t) < +го.

Ясно, что выполняются неравенства Л~-(х, г) І Л+(ж, г) и Л~-(х, г) І 1.

Определение 4.2. Назовем модулями m-опорной и р-опорной выпуклости, функции Л~-(г), Л+(г), задаваемые соотношениями

Л-(г) = inf Л-(ж, £);Л+(г) = supX+(ж, t),

где супремум (инфимум) берется по всем наборам (ж, t), что \ \ ж|| = 1, G ІіІги Л+(ж, t) < +го.

Приведем некоторые оценки на Л-(г), Л+(г).

Є (G, 2]

5-111 - 2) І 1 - 21 - ІЛ+(г).

(6)

Доказательство.

Первое неравенство в цепочке (6) следует из неравенства хе ^ 2. Зафиксируем произвольную точку Хо на единичной сфере. Зафиксируем в гиперплоскости Нх, опорной к единичному шару в точке Хо, точку Хі такую, что ЦХ0Х1Ц = г. Обозначим луч ОХ0 + аХ0Х1; а ^ 0 как I. Пусть 1]_, 12 - прямые, параллельные вектору ОХо, ПрИЧЄМ І2 - опорная к единичному шару Е2 в точке У2 и /2 П / = Х2, а прямая Іі

Х1

в точках А, В. Пусть Уі = ОУ2 П АВ. Из определения А+М и центральной симметричности шара следует, что 11 АВ| | ^ 2(1-А+(г)). Ясно, что | | У1У2|| ^ 5е(|\АВ\|), откуда

5е(2(1 -А+(г))) < 5е(||АВ||) <| Используя теорему Фалеса, получаем

WOYi У ||XoX2||

I I X0X2II

------- І 1---—.

\ \ XoX2у Хе

(7)

Из неравенств (7), (8) получаем

5е(2(1 — ХЕ(г))) < 1 — —,

Хе

откуда следует неравенство (6).И

Лемма 4.2. Для любого х € [0; 2] верны следующие неравенства:

6е(х) < ХЕ (х) ; (9)

'х4

.2,

5е(х) < Х—(х). (10)

Доказательство.

Пусть на единичной сфере выбраны точки А, В так, что ||АВ|| = х. Рассмотрим сечение исходного пространства двумерной плоскостью Е2 = АО В. В плоскости Е2 на единичной окружности найдется такая точка У2, что через нее можно провести опорную прямую 12, параллельную АВ, и ОУ2 П АВ = У\. Пусть точки А2,В2 принадлежат проекциям точек А, В соответственно на прямую /2, причем отрезки У1У2,АА^ и ВВ2 параллельны и равны (как параллельные отрезки, заключенные между параллельными прямыми). Понятно, что 5е(х) < 11У1У2|| . Не ограничивая общности, считаем, что ЦУ2А2Ц < Х,. Тогда I | ВДН = 11 АА2 | | < ХЕ(I|^2А2||) < ХЕ(Х). Так как ЦУ2А2Ц < ЦГ2В2Ц И ||АА2|| = ||ВЗВ2|I, то | | ВВ2|| < Х-(Г2,||Г2В2||) < Х—(У2, ||А2В211) = Х—(У2,х). Переходя к инфимуму, получим неравенство (10). ■

Лемма 4.3. Пусть Х—(г) < ж. Обозначим Х- = Х— (г). Верно неравенство

Х- < (1 — Х—)ре( 1—х^) < РЕ (г). (11)

Доказательство.

Зафиксируем точки х,у € 9В1(0), упх. Пусть Х1 = Х—(х,у, г). Тогда верны следующие неравенства:

| | х — Х1х + гу|| ^ 1; ||х — Х1х — гу|| ^ 1.

2(1 — Х1)

1

<

х +

гу

1-Л-,

+

1 — Х1 2

Используя определение модуля гладкости, получаем, что

Г—Х1 <-(1—Х1),

1 — Х1

(11). Второе неравенство в формуле (11) следует из выпуклости модуля гладкости. Лемма 4.4. Пусть х,у € Е, х = 0, р € J1(х). Тогда,

IIх + УН < 11х11 + (Р, У) +2 11х11ре^. (12)

Доказательство.

Из определения модуля гладкости следует, что

1 (|х + y|| , |х — .,, , — 1 < , „„„

домножая неравенство на 2 ||х|| и преобразуя, получим следующую цепочку неравенств:

1|х + VII < 2 ||х|| — ||х — VII +2 ||х|| РЕ^М) <

< 2 ||х|| + (р,у — х) + 2 Нх\\p^= ||х|| + (р, у) + 2 Нх\\p^. ■

Лемма 4.5. Пусть Х = ХЕ(г) < 1. Тогда

Е

Х < 2(1 — х)Ре ^ 1 — х) .

Доказательство.

Пусть р € (0, Х) и пусть существуют векторы х,у € Е и функционал р € 11 (х) = .11 (х — рх), удовлетворяющие соотношениям ||х|| = |х — ру! = 1, ||х — у! < г, (р, у) = 1. Тогда в силу леммы 4.4 имеем

1 = ^ — рх\\ < ||х — рх\\ + (р,у — х) + 2(1 — р)ре(^ 1—"^) =1 — р + 2(1 — Р)РЕ ^ 1—~р) .

■

Теорема 4.1. Верны следующие неравенства:

Хе <-------------------------------------------------}, , ; (14)

1 _де

ХЕ ^ 1 - А- (1 - А-(1)) ■ (15)

Доказательство.

Зафиксируем точку Хо на единичной сфере. Пусть прямая I — опорная к сфере в точке Хо, а прямая касается сферы в точке Y2 и такая, что 12 || ОХ^ (2 П I = Х2, причем ||^2Х21| ^ 1. На отрезке Х0Х2 отметим точку Xi такую, что ЦХ0Х1Ц = 1, и проведем через нее прямую li || ОХо. Точку пересечения п рямой li и отрез ка О Y2 обозначим Yi, а точки пересечения прямой li с единичной сферой А и В, причем А £ Х^1. В доказательстве леммы 4 показано, что

1|Х0Х2|| = ---гг1--гг ■ (16)

1 0 21 1 — || YiY2|| V ;

Заметим, что НХ^Н = 1, откуда ||АВ|| ^ 1 — А—(1). Применяя рассуждения из леммы 4.2, получаем, что |YiY2| ^ А- (1 — А-(1)) и |YiY2| ^ А++ ^ A-(i) j ■ Откуда и следует утверждение теоремы. ■

Замечание 4.1. Оценка (14) в случае гильбертова пространства является точной. Выражение, стоящее в правой части в неравенстве (14), не превосходит 2.

Гипотеза. Оценка, (14) тонна для пространства Lp, р £ (1;+го).

5. Следствия

Подставляя различные полученные оценки на модули опорной выпуклости, нетрудно получить серию оценок на величину хе. Например, подставляя в неравенство (15) оценки (10), (11) на величину Х—, получаем следующее утверждение.

Е

Се ^ Хе ^ z-----------7Z-----7 ттуГ,

1 — РЕ (1 — ОЕ(1))

что позволяет оценить УВО-модуль пространства через модули равномерной выпуклости и гладкости.

Замечание 5.1. Оценка (17) не точная, но отражает связь модуля выпуклости гладкости и УВО-модуля пространства. Так, в случае гильбертова пространства выражение, стоящее в правой части неравенства (17), приблизительно равно |, хотя в этом случае (е = Хе = 1.

Согласно работе [7] множество А С Х называется проксимально гладким с константой R, если функция расстояния х ^ р(х, А) непрерывно дифференцируема на множестве U(R, А) = {х £ Х : 0 < р(х, А) < R}.

В работе [2] показано, что в равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховом Х

R А С Х U( R, А)

следующий результат.

А

Х R

содержится в шаре радиуса г < Тогда, А стягиваемо.

Доказательство.

Заметим, что поскольку множество со А выпукло и ограничено, то оно стягиваемо, то есть существует точка Х0 £ со А и непрерывная функция F : [0,1] х со А ^ со А такие, что F(0,х) = х, F(1,х) = Х0 для любого х £ со А. Из определения УВО-модуля следует, со А R А А

R

[2] отображение метрического проектирования к : со А ^ А однозначно и непрерывно. Поэтому отображение F : [0,1] х А ^ А, заданное формулой F(t,х) = k(F(t,х)) при всех t £ [0,1], х £ А, является стягиванием множества А. ■

Выражаю огромную признательность моему научному руководителю Г.Е. Иванову за тяжелую работу по корректировке этой работы и ценные замечания.

Литература

1. Ива,нов Г.Е. Слабо выпуклые множества и функции: теория и приложения. - М.: Физматлит, 2006.

2. Балашов М.В., Ива,нов Г.Е. Слабо выпуклые и проксимально гладкие множества в банаховых пространствах // Известия РАН. Серия математическая. - 2009. - Т. 73, № 3. - С. 23-66.

3. Гурарий В.И. О равномерно выпуклых и равномерно гладких банаховых пространствах // Теория функций, функциональный анализ и их приложения: респ. науч. сб. / Харьковский государственный университет им. А.М. Горького. — Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, 1965. — Вып. 1. — С. 205-211.

4. Бердышев В.И. Связь между неравенством Джексона и одной геометрической задачей // Математические заметки. - 1968. - Т. 3, Л*8 3. - С. 327-338.

5. Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. - Киев: Вища школа, 1980.

6. Гудин У. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1975.

7. Clarke F. Н., Stern R. J., WohnskiP.R. Proximal Smoothness and Lower-С2 Property// J. Convex Anal. - 1995. - V. 2, N 1-2. - P. 117-144.

8. Fenchel W. Uber Krilmmung and Windung geshlossener Raumkurven // Math. Ann. 1929. - V. 101. - P. 589-593.