Научная статья на тему 'Аппроксимативные свойства слабо выпуклых множеств в пространствах с несимметричной полунормой'

Аппроксимативные свойства слабо выпуклых множеств в пространствах с несимметричной полунормой Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
72
12
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
СИЛЬНАЯ И СЛАБАЯ ВЫПУКЛОСТЬ / МЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ / STRONG AND WEAK CONVEXITY / METRIC PROJECTION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Иванов Григорий Евгеньевич, Лопушански Мариана Сергеевна

Рассматриваются опорные условия сильной и слабой выпуклости относительно несимметричной полунормы. Получены теорема о диаметре эпсилон-проекции на множество, удовлетворяющее опорному условию слабой выпуклости, теорема о существовании и единственности проекции точки из чебышевского слоя такого множества, а также теорема о том, что для пары, состоящей из множеств, удовлетворяющих опорным условиям сильной и слабой выпуклости соответственно и находящихся достаточно близко друг к другу, существует и единственна пара ближайших (в смысле несимметричной полунормы) точек.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Approximate properties of weakly convex sets in spaces with nonsymmetric seminorm

We consider the support conditions of strong and weak convexity with respect to a nonsymmetric seminorm. We obtain the theorem about the diameter of the epsilon-projection onto a set which satisfies the support condition of weak convexity and the existence and uniqueness theorem for the projection of a point from the Chebyshev layer of such a set. We prove the theorem which states that for two sets which satisfy the support condition of strong and weak convexity correspondingly and are sufficiently close to each other there exists a pair of nearest (in the sense of the nonsymmetric seminorm) points.

Текст научной работы на тему «Аппроксимативные свойства слабо выпуклых множеств в пространствах с несимметричной полунормой»

УДК 517.982.252

Г. Е. Иванов, М. С. Лопушански

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Аппроксимативные свойства слабо выпуклых множеств в пространствах с несимметричной полунормой

Рассматриваются опорные условия сильной и слабой выпуклости относительно несимметричной полунормы. Получены теорема о диаметре эпсилон-проекции на множество, удовлетворяющее опорному условию слабой выпуклости, теорема о существовании и единственности проекции точки из чебышевского слоя такого множества, а также теорема о том, что для пары, состоящей из множеств, удовлетворяющих опорным условиям сильной и слабой выпуклости соответственно и находящихся достаточно близко друг к другу, существует и единственна пара ближайших (в смысле несимметричной полунормы) точек.

Ключевые слова: сильная и слабая выпуклость, метрическая проекция.

1. Введение

Хорошо известна важная роль выпуклого анализа при исследовании задач оптимизации и аппроксимации. В последнее время развивается параметрически выпуклый анализ, который в отличие от классического выпуклого анализа рассматривает выпуклость не только как качественное понятие, но и путем введения характеристик сильной и слабой выпуклости придает этому понятию количественный характер. Анализ количественных характеристик (параметров) выпуклости приводит к более детальному исследованию задач и позволяет применять данные методы не только к выпуклым, но и к невыпуклым (слабо выпуклым) объектам. Исследованию различных классов сильно и слабо выпуклых множеств посвящены работы [1], [2], [5], [7] - [9], в которых сильная и слабая выпуклость множества определяется через норму банахова пространства. В работе [3] показано, что методы параметрически выпуклого анализа можно развить и для так называемой несимметричной нормы, при этом роль шара играет несимметричный квазишар. В настоящей работе мы отказываемся не только от симметричности, но и от ограниченности квазишара, что позволяет применять развиваемые здесь методы к надграфикам функций, которые являются неограниченными множествами. Здесь под квазишаром понимается выпуклое замкнутое множество, для которого ноль является внутренней точкой, функция Минковского такого квазишара представляет собой несимметричную полунорму и используется в определениях опорных условий сильной и слабой выпуклости.

2. Определения и обозначения

Пусть Е - банахово пространств о. Через int X, дХ и X будем обозначать соответственно внутренность, границу и замыкание множества X С Е. Значения функционала р £ Е* на векторе х £ Е будем обозначать (р,х).

Определение 2.1. Суммой Минковского множеств X С Е и Y С Е называется множество

X + Y = {х + у\х £ X, у £ Y} .

Определение 2.2. Диаметром множества X С Е называется величина

diam X = sup \\х — у\\.

х,у£Х

Определение 2.3. Шаром радиуса d ^ 0 с центром в точке а £ Е называется множество

Bd{a) = {х £ Е : ||ж - а\\ < d}.

Определение 2.4. Квазишаром М в банаховом пространстве Е называется выпуклое замкнутое множество М С Е, для которого 0 £ int М.

Заметим, что квазишар М является шаром относительно некоторой нормы, эквивалентной исходной норме пространства Е, тогда и только тогда, когда он ограничен относительно исходной нормы Е и симметричен, т.е. — М = М.

Определение 2.5. Функцией Минковского квазишара М называется функция ßM : Е ^ [0; такая, что

ßM(x) = inf {t> 0 | х £ tM} V ж £ E.

Определение 2.6. Функция ß : Е ^ R называется несимметричной полунормой, если она положительно однородна:

ß(Xx) = Xß(x) V х £ Е V X ^ 0

и субаддитивна:

ß(x + у) ^ ß(x) + ß(y) V х,у £ Е.

Замечание 2.1. Известно, что функция ß : Е ^ [0, является несимметричной полунормой тогда и только тогда, когда она является функцией Минковского некоторого квазишара.

Определение 2.7. Пусть М С Е - квазишар. М -щсстоянием от множества X С Е до множества Y С Е называется величина

qm (X,Y ) = inf ßM (х — у).

х£Х, y£Y

В частности, М-расстояние от точки х £ Е до множества Y С Е определяется формулой

QM(х, Y) = inf ßM(х — у).

y&Y

Замечание 2.2. Непосредственно из определений следует, что

qm (x,Y) = inf {t> 0 | ж £ Y + tM } = inf{t> 0 | Y р|(ж — tM) = 0} .

Определение 2.8. Пусть M С Е - квазишар. М-проекцией точки х £ Е на множество Y С Е называется множество

Рм (x,Y ) = Y П(® — Qm (x,Y )М). Также при е > 0 определим е-М-проекцию точки х £ Е на множество Y С Е:

P£M(х, Y) = Y р| (ж — (ßM(X, Y) + е)М^.

Определение 2.9. Будем говорить, что множество X С Е удовлетворяет опорному условию сильной выпуклости относительно квазишара М С Е, если

X — ж С М--У — * V у £ Е \ X V х £ Рм(у,Х).

qm (У,Х)

Определение 2.10. Будем говорить, что множество Y С Е удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости относительно квазишара М С Е, если

Y р| [у + Уу) — int М^ = 0 V х £ Е \ Y V у £ Рм (x,Y).

Рис. 1. Опорное условие сильной выпуклости

Рис. 2. Опорное условие слабой выпуклости

Замечание 2.3. Если х € Е\У, у € Рм(х, У), то 0 = х — у € дм(х, У)М и, следовательно, дм(х, У) > 0. Таким образом, в определениях 2.9 и 2.10 знаменатели не обращаются в

ноль.

Определение 2.11. Множество X С Е называется параболичным, если для любого вектора Ь € Е множество (Ь + ^X) \ X ограничено.

Определение 2.12. Множество X С Е называется ограниченно равномерно выпуклым,

если

5х(е) > 0 V (1> 0 V £ > 0,

где

4(e)=sup^ S е 0,-

{' е (0. §]|*(^)

С X V х.у е X n Bd(0): Уж - у\\ > е

} ■

(1)

3. Вспомогательные результаты

Лемма 3.1. Пусть М С Е - квазиилар, У С Е. Тогда (г) дм (xi.Y) - дм (x2,Y) < рм (х\ - х2) V xi.x2 е Е\

(И) для любого вектора, х е Е такого, что дм(х.У) > 0, справедливо соотношение

X е У + QM(х.у)int М■

Если дополнительно для числа а > 0 выполнено включение Ва (0) С М (такое а существует, т.к. 0 е int М), то

(Ш) функция дм (•.У) удовлетворяет условию Ли птица на Е с констан той 1 и (w) для любых положительных чисел £i, и векторов xi,x2 е Е таких, что \\xi — х2\\ < справедливо вклю чение Рм (xi.Y) С PF^+2e'1 (х2,У).

Доказательство. Утверждение (г) следует го определения М-расстояния и субаддитивности функции Минковского. Если Ва(0) С М, то рм(х) ^ ^ для любого вектора

х е Е.

Докажем утверждение (И). Предположим противное: существует точка х е (х — дм (х.У) int М) П У. Тогда ) е int М. Следовательно, существует число

t е (0,дм (х.У)) такое, что е М. Поэтому х е У + tM и дм (х.У) < t < дм (х.У). Противоречие.

Применяя утверждение (г), получаем утверждение (ш).

Докажем утверждение (iv). Так как ±(х2 — х{) е £2Ва(0) С Е2М, то справедливо неравенство шах{^м(х2 — х\).^м(xi — х2)} ^ е2. Отсюда и го утверждения (г) следует, что

£м(ж1,У) ^ дм(x2,Y) + Поэтому для любого вектора у £ РЦ) справедливы неравенства ßM (х2 - у) ^ ^2 + ßM (xi - у) ^ £2 + вм (xi,Y) + ei ^ дм (х2, Y) + £i + 2^2-Следовательно, у £ PM+2(ж2

Лемма 3.2. Любое замкнутое выпуклое множество Y С Е удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости относительно любого квазишара, М С Е.

Доказательство. Пусть заданы точки х0 £ Е \ Y и yo £ Рм(xo,Y). Обозначим ßo = дм(xo,Y), zo = Так как у0 £ Рм(x0,Y), то хо - уо £ доМ, т.е. zo £ М.

Согласно лемме 3.1 (и) имеем х0 £ Y + д0 int М. Следовательно, Y П (х0 — д0 int М) = 0. В силу теоремы об отделимости существует функционал р £ Е* такой, что

Следовательно,

(р, у) < (р, хо) - до(p,z) V у £ Y V z £ int М.

(р, У) < (Р, хо) - до(р, zo) = (р, Уо) V у £ Y, (2)

(Р, Уо) < (р, хо) - до(р, z) V z £ int М,

то есть

{р, z) < (р, Zo) V z £ int М. (3)

Складывая неравенства (2) и (3), получаем

(р,у + z) < (р,уо + zo) V у £ Y V z £ int М.

Поэтому yo + zo £ Y + int M, а значит, Y П (yo + ) — int М^ = 0. Используя опре-

Для любого множества Y С Е определим

1м(Y) = sup дм(x,Y),

хеЕ

Sm(Y) = {х £ Е : 0 < дм(х, Y) < 7м(Г)},

Тм(Y) = {х £ Е : множество Рм(х, Y) одноэлементно}.

В работе [4] рассматривается более сильное условие параболичности. Однако доказательство теоремы 1.2 работы [4] остается справедливым, если условие параболичности понимать в смысле определения 2.11. Таким образом, справедливо следующее предложение.

Предложение 3.1. Пусть в банаховом пространстве Е квазишар М параболичен и ограниченно равномерно выпукл, множество Y С Е замкнуто. Тогда множество Тм(Y) всюду плотно в Sm(У), т.е. Sm(Y) С Тм(Y).

Лемма 3.3. Пусть в банаховом пространстве Е квазишар М параболичен и ограниченно равномерно выпукл. Пусть множество Y С Е замкнуто и удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости относительно квазишара, RM. Пусть Jm(Y) > 0. Тогда, Jm(Y) ^ R.

Доказательство. Так как sup дм(х, Y) = jm(Y) > 0 т0 найдется точка хо £ Е такая,

хеЕ

что дм(хо,У) > 0. Зафиксируем точку уо £ Y. Тогда дм(уо,У) = 0. Поскольку согласно лемме 3.1 (ш) функция дм(■, Y) непрерывна, то на отрезке [хо,Уо] найдется точка Х\ такая, что 0 = дм(ya,Y) < дм(x\,Y) < дм(хо,У) ^ 7м(Y). Следовательно, х\ £ Sm(Y). Согласно предложению 3.1 и в силу замкнутости У существует точка х £ Тм(Y) \ Y. Следовательно, найдется у £ Рм (х, Y). Обознач ая b = у+R ex(XxY)' в СИЛУ определения 2.10

имеем YП (Ь — R int М) = 0. Следовательно, дм(b,Y) ^ К Поэтому (Y) ^ дм(b,Y) ^ R. □

Далее нам понадобится следующий аналог леммы 2.1 работы [4], доказательство которого аналогично доказательству леммы 2.1 из [4].

Предложение 3.2. Пусть множество М С Е выпукло и параболично, пусть 0 < А1 < А2, х1,х2 С Е. Тогда множество (А1М + х\) \ (А2М + х2) ограничено.

Лемма 3.4. Пусть квазишар М С Е, векторы х,у € Е и число (> 0 удовлетворяют неравенствам 0 < ||х|| ^ ( ■ цм(х), 0 < ||у|| ^ ( ■ цм(у)- Тогда

min{ßM (x),ßM (У)} xd -d--

x

ßM (x) ßM (у)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

^ ßM(x) + ßM(y) - ßM(x + y), (4)

где величина §М(■) определена формулой (1). Доказательство. Обозначим

а = Ь=—^, с= , 5 = бМ (||а -ЬЦ).

Цм(х), цм(у), 2 , м(| И)

Так как а,Ь € М П В^(0), то ||с|| ^ Используя равенство (1), получаем включение В&(с) С М. Поэтому с (1 + 4) € М и, следовательно, цм(с) ^ —Ц-. Поскольку

ö = öM(II a — Щ) ^ ^2^ ^ d, то справедливо неравенство

ßM(с) ^ 1 — 2d' (5)

Обозначим ßi = ßM (x), ß2 = ßM (у)- Без потери общности можно считать, что ß2 ^ ßi.

ßM

что ßM (a) = 1:

ßM (x+y) = ßM ((ßi — ß2)a+ß2(a+b)) ^ (ßi —ß2) ■ ßM (a)+ß2 ■ßM (a+b) = ßi — ß2+2ß2 ■ ßM (c). Используя оценку (5), получаем

ß2

ßM(x + y) ^ ßi + ß2--j- = ßi + ß2 — j minjßi, ß2}.

Лемма 3.5. Пусть в банаховом пространстве Е заданы, ограниченно равномерно выпуклый квазишар М и ог^ниченные последовательности {xk}, {у к} т,акие, что

lim sup ßM (xk) ^ ßi, lim sup ßM (Ук) ^ ß2, liminfßM (xk + Ук) ^ ßi +ß2,

к^-те к^те к^те

где ßi > 0 и ß2 > 0. Тогда,

Xk Ук lim — — — =0.

к^те ßi ß2

Доказательство. Поскольку в силу субаддитивности функции Минковского ßM^к + Ук) ^ ßM^к) + ßM(Ук) Ук е N, то в силу условий леммы получаем, что существуют следующие пределы:

lim ßM ^к) = ßi, lim ßM (у к) = ß2, lim ßM ^к + Ук) = ßi + ß2. (6)

к^те к^-те к^те

Без потери общности будем считать, что ßM ^к) ^ ßM (Ук) ^ для любых к е N. Тогда в силу ограниченности последовательностей {xк} и {у к} выражение

d = sup maxi -^L, -ÄL 1

keN IßM ^к) ßM (ук)J

(

конечно. Применяя лемму 3.4, получаем, что

Хк Ук

min{ßbß2} ,d 2d 0 м

ßM (Хк ) ßM (у к )

^ ßM(Хк) + ßM(Ук) - ßM(Хк + Ук) ^ 0 (к ^ х>).

Отсюда в силу ограниченной равномерной выпуклости множества М имеем

Хк к

lim

ßM (Хк) ßM (Ук)

0.

Используя ограниченность последовательностей {Хк}, {ук} и соотношения (6), получаем требуемое утверждение. □

4. Основные результаты

Теорема 4.1. (О диаметре е-проекции). Пусть в банаховом пространстве Е квазишар М параболичен и ограниченно равномерно выпукл. Пусть множество Y С Е замкнуто и удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости относительно квазишара RM. Пусть заданы, число г € (0, R), вектор Ъ € Е, последовательность еекторов {Хк} С Ь — гМ такая, что lim qm(Хк,Y) = q0 € (0, R — г), и бесконечно малая последовательность

{ к}

lim diam PM (Хк, Y) = 0.

Доказательство. Обозначим

£о = 1 min{ qo,R — г — qo}. (7)

8

Без потери общности будем считать, что

£к ^ , | Qm (Хк, Y) — Qo| ^ £о У к € N.

В силу леммы 3.3 справедливо неравенство R ^ jm(Y). Тогда для любого к € N справедливы неравенства 0 < q0 — е0 ^ qm (Хк ,Y) ^ q0 + е0 < R ^ jm (Y), а значит, и включения Хк € Sm(Y). Поскольку М - квазишар, то существует число а > 0 такое, что Ва(0) С М. Поэтому согласно предложению 3.1 для любого к € N существует вектор гк € Ва£к(Хк) П Тм(Y). № пункта (ггг) леммы 3.1 следуют неравенства

| QM(гк, Y) — qm(Хк, Y)| < £к У к € N, (8)

а из пункта (iv) этой же леммы получаем включения

рм (Хк, Y) С P3Mk (гк, Y) У к € N. (9)

В силу включений (9) для завершения доказательства достаточно показать, что

lim diam PM[k(^,Y) = 0. (10)

Так как R — е0 < R ^ jm(Y), то найдется вектор Ъ1 € Е такой, что R — е0 < qm(b1, Y). Согласно лемме 3.1(г i) имеем b1 € Y + qm (b1,Y) int М. Поэтому 61 € Y + (R — е0)М, а значит,

Y СЕ &1 — (R — ео)М^. (11)

Если у € P'Mk (гк, Y), то

У € гк — (Qm(гк, Y) + 3£к^М С Хк — (qo + 5е^М С Хк — (qo + 6е^М С b — (r + Qo +6^)М.

Поэтому согласно включению (11) имеем

Р

м

(zk, у) С (ъ - (V + до + 6ео) м) \ (h - (R - £о)М).

Поскольку из равенства (7) следует неравенство г+д0+6е0 < R—то в силу предложения 3.2 получаем неравенство

sup sup \\у\\ < (12)

keN У€рмк Y)

Так как дм (zk ,У) < д0 + 3е0, то Zk £ У + (д0 + 3е0)М. Отсюда и из включения (11) следует, что Zk £ (bi — (R — д0 — 3e0)M^j. Таким образом, учитывая включения Zk £ Xk — £0М С b — (г + е0)М, получаем

Zk £ (b — (г + £0)М) \ (bi — (R — д0 — 3£0)м) .

Учитывая неравенство г + е0 < R — д0 — 3е0 и еще раз применяя предложение 3.2, получаем неравенство

sup \\Zk II < + ГО. keN

Так как Zk £ Тм (У ), то для люб ого к £ N существует точка yk £ Рм (zk ,У )• В силу определения 2.10 имеем

(ak - R int М) П Y = 0 V к £ N,

(14)

где

ak = Vk +

Zk - Vk

ßRM (Zk - yk)

= yk + R

Zk - yk ßM (Zk - yk)

(15)

Рис. 3

Зафиксируем произвольную последовательность {y'k} такую, что

у'к £ Р3^(Zk,Y) V к £ N. м

Поскольку yk £ Рм (zk ,Y), то ßM (zk - yk) = QM (zk ,У), и, учитывая соотношения (8) и lim дм (xk ,Y) = до, получаем

k—^^o

lim ^м(zk - yk) = Оо. (17) k

Из соотношения (14) следует, что дм(ak,У) ^ R- Поэтому

ßM (ak - yk) ^ R V к £ N.

(18)

Используя соотношения (8), (16), получаем

lim sup ^м (zk - y'k) < lim дм (zk ,Y) = до.

k—^-oo k—TO

(19)

Поскольку согласно соотношению (15) справедливы равенства ßм(ak—Zk) = R—ßм(zk—Ук), то в силу (17) имеем

lim ßм(ak - Zk) = R - go. (20)

k

3ek

Из соотношений (12), (13), (15), (16), (17) получаем ограниченность последовательностей {}, {Ук} {у'к} и {ак}• Отсюда и из соотношений (18) - (20) в силу леммы 3.5 приходим к равенству

•V 1 .'

0. (21)

lim

ак - zk zk - у'к

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

R — 0 0

Так как в силу (15) справедливы равенства ук) = z ) > т0 согласно соотноше-

нию (17) имеем lim — Zk~0Ук = 0. Отсюда и из равенства (21) следует соотношение

lim \\ук — Ук|| = 0,

к^гх,

которое в силу произвольности последовательности {у'к}, удовлетворяющей соотношению (16), дает требуемое равенство (10). □

Теорема 4.2 (о чебышевском слое). Пусть в банаховом пространстве Е квазишар М параболичен и ограниченно равномерно выпукл. Пусть множество Y С Е замкнуто и удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости относительно квазишара RM. Пусть задана, точка х € Е такая, что 0 < дм(x,Y) < R. Тогда, множество Рм(x,Y) одноэлементно.

Доказательство. Фиксируем последовательность положительных чисел {е к}, монотонно сходящуюся к нулю. В силу теоремы 4.1 справедливо соотношение diam РМ (х, Y) ^ 0 щи к ^ <х. Отсюда из замкнутости и вложенности множеств РМ (x,Y) получаем, что множество Р| РМ (x,Y) одноэлементно. Замечая, что

кеп

Рм(x,Y)= P| РМ (x,Y), получаем доказываемое утверждение. □

кеп

Замечание 4.1. В условиях теоремы 4.2 множество {х € Е| 0 < дм(х, Y) < R} назы-

Y

М

Е

М параболичен и ограниченно равномерно выпукл. Пусть множество X С Е выпукло, замкнуто и удовлетворяет опорному условию сильной выпуклости относительно квазишара, —гМ, а множество Y С Е замкнуто и удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости относительно квазишара RM, где 0 < г < R. Пусть 0 < дм(X, Y) < R — г.

Тогда, min ßм (х — у) достигается в единственной па,ре точек, хех, уеУ

1

2

существуют последовательности {ук} С Y и {хк} С X, такие, что

Доказательство. Обозначим до = дм(X,Y), е0 = 1 (R — г — до). По определению 2.8

lim ßM(Хк — Ук) = Qo. (22)

Обозначим ек = ßM (Хк — У к) — Q0. Без потери общности будем счи тать, что Ек ^ £0 для

к € N к € N

у'к € PM (Хк, Y) и Х'к € P- м (Ук ,Х). Для люб ого к € N обозначим

R

Ьк = ук + ßM (Хк — у'к)(Хк — ук), Ск = Хк + ßM К — Ук)(Хк — Ук). (23)

Из определений 2.9, 2.10 и равенства ß_м(Ук — х') = ßM(х' — Ук) следует, что для любого к € N к к

Y П (Ьк — R int М)= (24)

X С—г М + ск. (25)

Следовательно,

—Ук € Е \ (R int М — 61), —Хк € гМ — С1 У к € N. (26)

Поскольку ßM(xk - yk) = до + ek ^ до + ео, то xk - yk £ (до + ео)М для любого к £ N. Отсюда и из соотношений (24) - (26) получаем

-Xk £ (гМ - ci) \ ((Я - go - £o) int М - b^ V к £ N, (27)

-Ук £ (V + go + eo)М - ci^j \ (Rint M - bi) V к £ N. (28)

Учитывая неравенство г + go + £o < R, в силу предложения 3.2 получаем ограниченность последовательностей {xk} и {yk}.

Поскольку ц,м (xk - yk) = go + £k ^ дм (xk ,Y) + e^ то yk £ Р£м (xk ,Y). Отсюда и из включений yk £ Рм (xk ,Y) С P'£^ (xk ,Y) следует, что

Wyk - y'k II < diam рм (xk ,Y) V к £ N.

Поэтому согласно соотношению (27) и теореме 4.1 получаем, что

lim Wyk - у'к|| =0. (29)

k—^^о

Используя неравенства ßм (xk - yk) ^ дм (-yk, -X) + £k, получаем включения {-Xk, -xk} С Рм (-yk, -X). В силу леммы 3.2 множество -X удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости относительно квазишара RM. Поэтому согласно соотношению (28) и теореме 4.1 получаем, что

lim Wxk - х!к|| =0. (30)

k—x

Для любого к £ N обозначим

- R г

bk = yk +--(xk - yk), Ck = Xk +--(xk - yk). (31)

до до

Из соотношений (22), (23), (29) - (31) с учетом ограниченности последовательностей {xk} и {yk} следует, что

lim Wbk - bkW = 0, lim Wck - Ck W = 0. (32)

k—x k—x

Из соотношений (24), (25) имеем

ßM (bk - Уп) ^ R V k,n £ N,

ßM (ck - Хп) ^ г V k,n £ N. Отсюда, учитывая липшицевость функции Минковского и соотношения (32), получаем

lim inf ßM (bk - Уп) > R, (33)

к — ж \ /

n—^ж

lim sup ßM (ck - хп) ^ r. (34)

к—^ж n—^ж

Следовательно, в силу субаддитивности функции Минковского имеем

lim inf ßM (bk - Ck - Уп + Хп) > R - г. (35)

к —ж n—^ж

Для любого к £ N обозначим Д = Xk - yk, 9k = bk - Ck- Тогда из равенств (31) получаем 9k = R~l-eo fk- Из соотношений (22) и (35) следует, что

lim ßM (fk) = до, lim ßM (9k) = R - r - до, lim inf ßM (gk + /п) ^ R - r.

k k к—ж

n

Кроме того, последовательности {} и {дп} ограничены. Отсюда в силу леммы 3.5 получа-

ем равенство lim

fc — o

n—у со

9n

R-r-go

= 0, то есть lim || Д — Д || = 0. Следовательно, последова-

fc—

n—у со

тельность {¡к} фундаментальна, а значит, сходится к некоторому вектору Д € Е, причем Цм (Д) = 9о-

Для любых к,п € N обозначим Ъкп = Ьк — ск — уп + хп, екп = ск — хп. Тогда

Ькп = 9к + 1п = ——-—— Д — Д ^ ——- Д (Л, п ^ то). (36)

ßo

ßo

Используя соотношения (33), (34), получаем

lim ц,м(hkn) = R — г, lim sup ^м (ekn) ^ r, liminf ц,м (hkn + e-kn) > R.

fc—^o n—

fc— n—

fc — c n—

lim

Используя соотношение (36) и сходимость Д

fc— n—

hfcn

R-r

fcn Г

0

Д при к

^■fcn Г

= 0. ПосколькV & — ^ = X" r Xfc.

то, получаем сото доказано соот-

отношение lim

к—^^ п—^^

ношение lim \\хк — хп\\ = 0, которое означает фундаментальность последовательно-

fc— n—

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

сти [хк}. Следовательно, последовательность {хк} сходится к некоторому хо Е Е. Поэтому у к = хк — fk ^ у0 при к ^ то, где у0 = х0 — Д. Так как множества X и Y замкнуты, то хо Е X, уо Е Y. Используя соотношение (22), получаем ßM(хо — уо) = Q0 = Qm(X, Y) = inf ^м(х — у), то минимум min ßM(х — у) дости-

х£Х, y& " хЕХ, y&Y

гается на паре точек (хо, уо). Предположим, что минимум min ßM(х — у) достигается

хЕХ, yEY

также на паре точек (х0, у0)• Рассмотрим последовательности

( х0, к четно, ( уо,

хк = к =

I х0, к нечетно, [ у0,

к , к .

Так как в силу доказанного последовательности {хк} и {ук} сходятся, то х0 = х'0, Уо = у'0-Тем самым доказана единственность. □

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 10-01-00139 и ФЦП «Научные и научно-

педагогические кадры инновационной России».

Литература

1. Балашов М.В., Иванов Г.Е. Слабо выпуклые и проксимально гладкие множества в банаховых пространствах // Известия РАН. Серия математическая. - 2009. - Т. 73, № 3. - С. 23-66.

2. Ива,нов Г.Е. Слабо выпуклые множества и функции: теория и приложения. - М.: Физматлит, 2006.

3. Ива,нов Г.Е. Перестановочность операций суммы и разности Минковского для множеств в равномерно выпуклом банаховом пространстве // Современные проблемы фундаментальной и прикладной математики. - М.: МФТИ, 2008. - С. 32-55.

4. Ива,нов Г. Е. Аппроксимативные свойства множеств относительно функции Минковского // Проблемы фундаментальной и прикладной математики. - М.: МФТИ, 2009. - С. 76-105.

5. Иоловинкин E.G., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. -М.: Физматлит, 2007.

6. Рудин У. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1975.

7. Borwein J. М., Strojwas Н. М. Proximal analysis and boundaries of closed sets in Banach space, I. Theory 11 Canad. J. Math. - V. 38. - 1986. - P. 431-452.

8. Clarke F. H., Stern R. J., Wolenski P. R. Proximal Smoothness and Lower-C2 Propoertv // J. Convex Anal. - V. 2, N 1, 2. - 1995. - P. 117-144.

9. Vial J.-P. Strong and weak convexity of sets and functions // Math. Ops. Res. - V. 8, N 2. - 1983. - P. 231-259.

Поступила в редакцию 07.02.2012.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.