УДК 517.982.252
Г. Е. Иванов, М. С. Лопушански
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Аппроксимативные свойства слабо выпуклых множеств в пространствах с несимметричной полунормой
Рассматриваются опорные условия сильной и слабой выпуклости относительно несимметричной полунормы. Получены теорема о диаметре эпсилон-проекции на множество, удовлетворяющее опорному условию слабой выпуклости, теорема о существовании и единственности проекции точки из чебышевского слоя такого множества, а также теорема о том, что для пары, состоящей из множеств, удовлетворяющих опорным условиям сильной и слабой выпуклости соответственно и находящихся достаточно близко друг к другу, существует и единственна пара ближайших (в смысле несимметричной полунормы) точек.
Ключевые слова: сильная и слабая выпуклость, метрическая проекция.
1. Введение
Хорошо известна важная роль выпуклого анализа при исследовании задач оптимизации и аппроксимации. В последнее время развивается параметрически выпуклый анализ, который в отличие от классического выпуклого анализа рассматривает выпуклость не только как качественное понятие, но и путем введения характеристик сильной и слабой выпуклости придает этому понятию количественный характер. Анализ количественных характеристик (параметров) выпуклости приводит к более детальному исследованию задач и позволяет применять данные методы не только к выпуклым, но и к невыпуклым (слабо выпуклым) объектам. Исследованию различных классов сильно и слабо выпуклых множеств посвящены работы [1], [2], [5], [7] - [9], в которых сильная и слабая выпуклость множества определяется через норму банахова пространства. В работе [3] показано, что методы параметрически выпуклого анализа можно развить и для так называемой несимметричной нормы, при этом роль шара играет несимметричный квазишар. В настоящей работе мы отказываемся не только от симметричности, но и от ограниченности квазишара, что позволяет применять развиваемые здесь методы к надграфикам функций, которые являются неограниченными множествами. Здесь под квазишаром понимается выпуклое замкнутое множество, для которого ноль является внутренней точкой, функция Минковского такого квазишара представляет собой несимметричную полунорму и используется в определениях опорных условий сильной и слабой выпуклости.
2. Определения и обозначения
Пусть Е - банахово пространств о. Через int X, дХ и X будем обозначать соответственно внутренность, границу и замыкание множества X С Е. Значения функционала р £ Е* на векторе х £ Е будем обозначать (р,х).
Определение 2.1. Суммой Минковского множеств X С Е и Y С Е называется множество
X + Y = {х + у\х £ X, у £ Y} .
Определение 2.2. Диаметром множества X С Е называется величина
diam X = sup \\х — у\\.
х,у£Х
Определение 2.3. Шаром радиуса d ^ 0 с центром в точке а £ Е называется множество
Bd{a) = {х £ Е : ||ж - а\\ < d}.
Определение 2.4. Квазишаром М в банаховом пространстве Е называется выпуклое замкнутое множество М С Е, для которого 0 £ int М.
Заметим, что квазишар М является шаром относительно некоторой нормы, эквивалентной исходной норме пространства Е, тогда и только тогда, когда он ограничен относительно исходной нормы Е и симметричен, т.е. — М = М.
Определение 2.5. Функцией Минковского квазишара М называется функция ßM : Е ^ [0; такая, что
ßM(x) = inf {t> 0 | х £ tM} V ж £ E.
Определение 2.6. Функция ß : Е ^ R называется несимметричной полунормой, если она положительно однородна:
ß(Xx) = Xß(x) V х £ Е V X ^ 0
и субаддитивна:
ß(x + у) ^ ß(x) + ß(y) V х,у £ Е.
Замечание 2.1. Известно, что функция ß : Е ^ [0, является несимметричной полунормой тогда и только тогда, когда она является функцией Минковского некоторого квазишара.
Определение 2.7. Пусть М С Е - квазишар. М -щсстоянием от множества X С Е до множества Y С Е называется величина
qm (X,Y ) = inf ßM (х — у).
х£Х, y£Y
В частности, М-расстояние от точки х £ Е до множества Y С Е определяется формулой
QM(х, Y) = inf ßM(х — у).
y&Y
Замечание 2.2. Непосредственно из определений следует, что
qm (x,Y) = inf {t> 0 | ж £ Y + tM } = inf{t> 0 | Y р|(ж — tM) = 0} .
Определение 2.8. Пусть M С Е - квазишар. М-проекцией точки х £ Е на множество Y С Е называется множество
Рм (x,Y ) = Y П(® — Qm (x,Y )М). Также при е > 0 определим е-М-проекцию точки х £ Е на множество Y С Е:
P£M(х, Y) = Y р| (ж — (ßM(X, Y) + е)М^.
Определение 2.9. Будем говорить, что множество X С Е удовлетворяет опорному условию сильной выпуклости относительно квазишара М С Е, если
X — ж С М--У — * V у £ Е \ X V х £ Рм(у,Х).
qm (У,Х)
Определение 2.10. Будем говорить, что множество Y С Е удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости относительно квазишара М С Е, если
Y р| [у + Уу) — int М^ = 0 V х £ Е \ Y V у £ Рм (x,Y).
Рис. 1. Опорное условие сильной выпуклости
Рис. 2. Опорное условие слабой выпуклости
Замечание 2.3. Если х € Е\У, у € Рм(х, У), то 0 = х — у € дм(х, У)М и, следовательно, дм(х, У) > 0. Таким образом, в определениях 2.9 и 2.10 знаменатели не обращаются в
ноль.
Определение 2.11. Множество X С Е называется параболичным, если для любого вектора Ь € Е множество (Ь + ^X) \ X ограничено.
Определение 2.12. Множество X С Е называется ограниченно равномерно выпуклым,
если
5х(е) > 0 V (1> 0 V £ > 0,
где
4(e)=sup^ S е 0,-
{' е (0. §]|*(^)
С X V х.у е X n Bd(0): Уж - у\\ > е
} ■
(1)
3. Вспомогательные результаты
Лемма 3.1. Пусть М С Е - квазиилар, У С Е. Тогда (г) дм (xi.Y) - дм (x2,Y) < рм (х\ - х2) V xi.x2 е Е\
(И) для любого вектора, х е Е такого, что дм(х.У) > 0, справедливо соотношение
X е У + QM(х.у)int М■
Если дополнительно для числа а > 0 выполнено включение Ва (0) С М (такое а существует, т.к. 0 е int М), то
(Ш) функция дм (•.У) удовлетворяет условию Ли птица на Е с констан той 1 и (w) для любых положительных чисел £i, и векторов xi,x2 е Е таких, что \\xi — х2\\ < справедливо вклю чение Рм (xi.Y) С PF^+2e'1 (х2,У).
Доказательство. Утверждение (г) следует го определения М-расстояния и субаддитивности функции Минковского. Если Ва(0) С М, то рм(х) ^ ^ для любого вектора
х е Е.
Докажем утверждение (И). Предположим противное: существует точка х е (х — дм (х.У) int М) П У. Тогда ) е int М. Следовательно, существует число
t е (0,дм (х.У)) такое, что е М. Поэтому х е У + tM и дм (х.У) < t < дм (х.У). Противоречие.
Применяя утверждение (г), получаем утверждение (ш).
Докажем утверждение (iv). Так как ±(х2 — х{) е £2Ва(0) С Е2М, то справедливо неравенство шах{^м(х2 — х\).^м(xi — х2)} ^ е2. Отсюда и го утверждения (г) следует, что
£м(ж1,У) ^ дм(x2,Y) + Поэтому для любого вектора у £ РЦ) справедливы неравенства ßM (х2 - у) ^ ^2 + ßM (xi - у) ^ £2 + вм (xi,Y) + ei ^ дм (х2, Y) + £i + 2^2-Следовательно, у £ PM+2(ж2
□
Лемма 3.2. Любое замкнутое выпуклое множество Y С Е удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости относительно любого квазишара, М С Е.
Доказательство. Пусть заданы точки х0 £ Е \ Y и yo £ Рм(xo,Y). Обозначим ßo = дм(xo,Y), zo = Так как у0 £ Рм(x0,Y), то хо - уо £ доМ, т.е. zo £ М.
Согласно лемме 3.1 (и) имеем х0 £ Y + д0 int М. Следовательно, Y П (х0 — д0 int М) = 0. В силу теоремы об отделимости существует функционал р £ Е* такой, что
Следовательно,
(р, у) < (р, хо) - до(p,z) V у £ Y V z £ int М.
(р, У) < (Р, хо) - до(р, zo) = (р, Уо) V у £ Y, (2)
(Р, Уо) < (р, хо) - до(р, z) V z £ int М,
то есть
{р, z) < (р, Zo) V z £ int М. (3)
Складывая неравенства (2) и (3), получаем
(р,у + z) < (р,уо + zo) V у £ Y V z £ int М.
Поэтому yo + zo £ Y + int M, а значит, Y П (yo + ) — int М^ = 0. Используя опре-
□
Для любого множества Y С Е определим
1м(Y) = sup дм(x,Y),
хеЕ
Sm(Y) = {х £ Е : 0 < дм(х, Y) < 7м(Г)},
Тм(Y) = {х £ Е : множество Рм(х, Y) одноэлементно}.
В работе [4] рассматривается более сильное условие параболичности. Однако доказательство теоремы 1.2 работы [4] остается справедливым, если условие параболичности понимать в смысле определения 2.11. Таким образом, справедливо следующее предложение.
Предложение 3.1. Пусть в банаховом пространстве Е квазишар М параболичен и ограниченно равномерно выпукл, множество Y С Е замкнуто. Тогда множество Тм(Y) всюду плотно в Sm(У), т.е. Sm(Y) С Тм(Y).
Лемма 3.3. Пусть в банаховом пространстве Е квазишар М параболичен и ограниченно равномерно выпукл. Пусть множество Y С Е замкнуто и удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости относительно квазишара, RM. Пусть Jm(Y) > 0. Тогда, Jm(Y) ^ R.
Доказательство. Так как sup дм(х, Y) = jm(Y) > 0 т0 найдется точка хо £ Е такая,
хеЕ
что дм(хо,У) > 0. Зафиксируем точку уо £ Y. Тогда дм(уо,У) = 0. Поскольку согласно лемме 3.1 (ш) функция дм(■, Y) непрерывна, то на отрезке [хо,Уо] найдется точка Х\ такая, что 0 = дм(ya,Y) < дм(x\,Y) < дм(хо,У) ^ 7м(Y). Следовательно, х\ £ Sm(Y). Согласно предложению 3.1 и в силу замкнутости У существует точка х £ Тм(Y) \ Y. Следовательно, найдется у £ Рм (х, Y). Обознач ая b = у+R ex(XxY)' в СИЛУ определения 2.10
имеем YП (Ь — R int М) = 0. Следовательно, дм(b,Y) ^ К Поэтому (Y) ^ дм(b,Y) ^ R. □
Далее нам понадобится следующий аналог леммы 2.1 работы [4], доказательство которого аналогично доказательству леммы 2.1 из [4].
Предложение 3.2. Пусть множество М С Е выпукло и параболично, пусть 0 < А1 < А2, х1,х2 С Е. Тогда множество (А1М + х\) \ (А2М + х2) ограничено.
Лемма 3.4. Пусть квазишар М С Е, векторы х,у € Е и число (> 0 удовлетворяют неравенствам 0 < ||х|| ^ ( ■ цм(х), 0 < ||у|| ^ ( ■ цм(у)- Тогда
min{ßM (x),ßM (У)} xd -d--
x
ßM (x) ßM (у)
^ ßM(x) + ßM(y) - ßM(x + y), (4)
где величина §М(■) определена формулой (1). Доказательство. Обозначим
а = Ь=—^, с= , 5 = бМ (||а -ЬЦ).
Цм(х), цм(у), 2 , м(| И)
Так как а,Ь € М П В^(0), то ||с|| ^ Используя равенство (1), получаем включение В&(с) С М. Поэтому с (1 + 4) € М и, следовательно, цм(с) ^ —Ц-. Поскольку
ö = öM(II a — Щ) ^ ^2^ ^ d, то справедливо неравенство
ßM(с) ^ 1 — 2d' (5)
Обозначим ßi = ßM (x), ß2 = ßM (у)- Без потери общности можно считать, что ß2 ^ ßi.
ßM
что ßM (a) = 1:
ßM (x+y) = ßM ((ßi — ß2)a+ß2(a+b)) ^ (ßi —ß2) ■ ßM (a)+ß2 ■ßM (a+b) = ßi — ß2+2ß2 ■ ßM (c). Используя оценку (5), получаем
ß2
ßM(x + y) ^ ßi + ß2--j- = ßi + ß2 — j minjßi, ß2}.
□
Лемма 3.5. Пусть в банаховом пространстве Е заданы, ограниченно равномерно выпуклый квазишар М и ог^ниченные последовательности {xk}, {у к} т,акие, что
lim sup ßM (xk) ^ ßi, lim sup ßM (Ук) ^ ß2, liminfßM (xk + Ук) ^ ßi +ß2,
к^-те к^те к^те
где ßi > 0 и ß2 > 0. Тогда,
Xk Ук lim — — — =0.
к^те ßi ß2
Доказательство. Поскольку в силу субаддитивности функции Минковского ßM^к + Ук) ^ ßM^к) + ßM(Ук) Ук е N, то в силу условий леммы получаем, что существуют следующие пределы:
lim ßM ^к) = ßi, lim ßM (у к) = ß2, lim ßM ^к + Ук) = ßi + ß2. (6)
к^те к^-те к^те
Без потери общности будем считать, что ßM ^к) ^ ßM (Ук) ^ для любых к е N. Тогда в силу ограниченности последовательностей {xк} и {у к} выражение
d = sup maxi -^L, -ÄL 1
keN IßM ^к) ßM (ук)J
(
конечно. Применяя лемму 3.4, получаем, что
Хк Ук
min{ßbß2} ,d 2d 0 м
ßM (Хк ) ßM (у к )
^ ßM(Хк) + ßM(Ук) - ßM(Хк + Ук) ^ 0 (к ^ х>).
Отсюда в силу ограниченной равномерной выпуклости множества М имеем
Хк к
lim
ßM (Хк) ßM (Ук)
0.
Используя ограниченность последовательностей {Хк}, {ук} и соотношения (6), получаем требуемое утверждение. □
4. Основные результаты
Теорема 4.1. (О диаметре е-проекции). Пусть в банаховом пространстве Е квазишар М параболичен и ограниченно равномерно выпукл. Пусть множество Y С Е замкнуто и удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости относительно квазишара RM. Пусть заданы, число г € (0, R), вектор Ъ € Е, последовательность еекторов {Хк} С Ь — гМ такая, что lim qm(Хк,Y) = q0 € (0, R — г), и бесконечно малая последовательность
{ к}
lim diam PM (Хк, Y) = 0.
Доказательство. Обозначим
£о = 1 min{ qo,R — г — qo}. (7)
8
Без потери общности будем считать, что
£к ^ , | Qm (Хк, Y) — Qo| ^ £о У к € N.
В силу леммы 3.3 справедливо неравенство R ^ jm(Y). Тогда для любого к € N справедливы неравенства 0 < q0 — е0 ^ qm (Хк ,Y) ^ q0 + е0 < R ^ jm (Y), а значит, и включения Хк € Sm(Y). Поскольку М - квазишар, то существует число а > 0 такое, что Ва(0) С М. Поэтому согласно предложению 3.1 для любого к € N существует вектор гк € Ва£к(Хк) П Тм(Y). № пункта (ггг) леммы 3.1 следуют неравенства
| QM(гк, Y) — qm(Хк, Y)| < £к У к € N, (8)
а из пункта (iv) этой же леммы получаем включения
рм (Хк, Y) С P3Mk (гк, Y) У к € N. (9)
В силу включений (9) для завершения доказательства достаточно показать, что
lim diam PM[k(^,Y) = 0. (10)
Так как R — е0 < R ^ jm(Y), то найдется вектор Ъ1 € Е такой, что R — е0 < qm(b1, Y). Согласно лемме 3.1(г i) имеем b1 € Y + qm (b1,Y) int М. Поэтому 61 € Y + (R — е0)М, а значит,
Y СЕ &1 — (R — ео)М^. (11)
Если у € P'Mk (гк, Y), то
У € гк — (Qm(гк, Y) + 3£к^М С Хк — (qo + 5е^М С Хк — (qo + 6е^М С b — (r + Qo +6^)М.
Поэтому согласно включению (11) имеем
Р
м
(zk, у) С (ъ - (V + до + 6ео) м) \ (h - (R - £о)М).
Поскольку из равенства (7) следует неравенство г+д0+6е0 < R—то в силу предложения 3.2 получаем неравенство
sup sup \\у\\ < (12)
keN У€рмк Y)
Так как дм (zk ,У) < д0 + 3е0, то Zk £ У + (д0 + 3е0)М. Отсюда и из включения (11) следует, что Zk £ (bi — (R — д0 — 3e0)M^j. Таким образом, учитывая включения Zk £ Xk — £0М С b — (г + е0)М, получаем
Zk £ (b — (г + £0)М) \ (bi — (R — д0 — 3£0)м) .
Учитывая неравенство г + е0 < R — д0 — 3е0 и еще раз применяя предложение 3.2, получаем неравенство
sup \\Zk II < + ГО. keN
Так как Zk £ Тм (У ), то для люб ого к £ N существует точка yk £ Рм (zk ,У )• В силу определения 2.10 имеем
(ak - R int М) П Y = 0 V к £ N,
(14)
где
ak = Vk +
Zk - Vk
ßRM (Zk - yk)
= yk + R
Zk - yk ßM (Zk - yk)
(15)
Рис. 3
Зафиксируем произвольную последовательность {y'k} такую, что
у'к £ Р3^(Zk,Y) V к £ N. м
Поскольку yk £ Рм (zk ,Y), то ßM (zk - yk) = QM (zk ,У), и, учитывая соотношения (8) и lim дм (xk ,Y) = до, получаем
k—^^o
lim ^м(zk - yk) = Оо. (17) k
Из соотношения (14) следует, что дм(ak,У) ^ R- Поэтому
ßM (ak - yk) ^ R V к £ N.
(18)
Используя соотношения (8), (16), получаем
lim sup ^м (zk - y'k) < lim дм (zk ,Y) = до.
k—^-oo k—TO
(19)
Поскольку согласно соотношению (15) справедливы равенства ßм(ak—Zk) = R—ßм(zk—Ук), то в силу (17) имеем
lim ßм(ak - Zk) = R - go. (20)
k
3ek
Из соотношений (12), (13), (15), (16), (17) получаем ограниченность последовательностей {}, {Ук} {у'к} и {ак}• Отсюда и из соотношений (18) - (20) в силу леммы 3.5 приходим к равенству
•V 1 .'
0. (21)
lim
ак - zk zk - у'к
R — 0 0
Так как в силу (15) справедливы равенства ук) = z ) > т0 согласно соотноше-
нию (17) имеем lim — Zk~0Ук = 0. Отсюда и из равенства (21) следует соотношение
lim \\ук — Ук|| = 0,
к^гх,
которое в силу произвольности последовательности {у'к}, удовлетворяющей соотношению (16), дает требуемое равенство (10). □
Теорема 4.2 (о чебышевском слое). Пусть в банаховом пространстве Е квазишар М параболичен и ограниченно равномерно выпукл. Пусть множество Y С Е замкнуто и удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости относительно квазишара RM. Пусть задана, точка х € Е такая, что 0 < дм(x,Y) < R. Тогда, множество Рм(x,Y) одноэлементно.
Доказательство. Фиксируем последовательность положительных чисел {е к}, монотонно сходящуюся к нулю. В силу теоремы 4.1 справедливо соотношение diam РМ (х, Y) ^ 0 щи к ^ <х. Отсюда из замкнутости и вложенности множеств РМ (x,Y) получаем, что множество Р| РМ (x,Y) одноэлементно. Замечая, что
кеп
Рм(x,Y)= P| РМ (x,Y), получаем доказываемое утверждение. □
кеп
Замечание 4.1. В условиях теоремы 4.2 множество {х € Е| 0 < дм(х, Y) < R} назы-
Y
М
Е
М параболичен и ограниченно равномерно выпукл. Пусть множество X С Е выпукло, замкнуто и удовлетворяет опорному условию сильной выпуклости относительно квазишара, —гМ, а множество Y С Е замкнуто и удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости относительно квазишара RM, где 0 < г < R. Пусть 0 < дм(X, Y) < R — г.
Тогда, min ßм (х — у) достигается в единственной па,ре точек, хех, уеУ
1
2
существуют последовательности {ук} С Y и {хк} С X, такие, что
Доказательство. Обозначим до = дм(X,Y), е0 = 1 (R — г — до). По определению 2.8
lim ßM(Хк — Ук) = Qo. (22)
Обозначим ек = ßM (Хк — У к) — Q0. Без потери общности будем счи тать, что Ек ^ £0 для
к € N к € N
у'к € PM (Хк, Y) и Х'к € P- м (Ук ,Х). Для люб ого к € N обозначим
R
Ьк = ук + ßM (Хк — у'к)(Хк — ук), Ск = Хк + ßM К — Ук)(Хк — Ук). (23)
Из определений 2.9, 2.10 и равенства ß_м(Ук — х') = ßM(х' — Ук) следует, что для любого к € N к к
Y П (Ьк — R int М)= (24)
X С—г М + ск. (25)
Следовательно,
—Ук € Е \ (R int М — 61), —Хк € гМ — С1 У к € N. (26)
Поскольку ßM(xk - yk) = до + ek ^ до + ео, то xk - yk £ (до + ео)М для любого к £ N. Отсюда и из соотношений (24) - (26) получаем
-Xk £ (гМ - ci) \ ((Я - go - £o) int М - b^ V к £ N, (27)
-Ук £ (V + go + eo)М - ci^j \ (Rint M - bi) V к £ N. (28)
Учитывая неравенство г + go + £o < R, в силу предложения 3.2 получаем ограниченность последовательностей {xk} и {yk}.
Поскольку ц,м (xk - yk) = go + £k ^ дм (xk ,Y) + e^ то yk £ Р£м (xk ,Y). Отсюда и из включений yk £ Рм (xk ,Y) С P'£^ (xk ,Y) следует, что
Wyk - y'k II < diam рм (xk ,Y) V к £ N.
Поэтому согласно соотношению (27) и теореме 4.1 получаем, что
lim Wyk - у'к|| =0. (29)
k—^^о
Используя неравенства ßм (xk - yk) ^ дм (-yk, -X) + £k, получаем включения {-Xk, -xk} С Рм (-yk, -X). В силу леммы 3.2 множество -X удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости относительно квазишара RM. Поэтому согласно соотношению (28) и теореме 4.1 получаем, что
lim Wxk - х!к|| =0. (30)
k—x
Для любого к £ N обозначим
- R г
bk = yk +--(xk - yk), Ck = Xk +--(xk - yk). (31)
до до
Из соотношений (22), (23), (29) - (31) с учетом ограниченности последовательностей {xk} и {yk} следует, что
lim Wbk - bkW = 0, lim Wck - Ck W = 0. (32)
k—x k—x
Из соотношений (24), (25) имеем
ßM (bk - Уп) ^ R V k,n £ N,
ßM (ck - Хп) ^ г V k,n £ N. Отсюда, учитывая липшицевость функции Минковского и соотношения (32), получаем
lim inf ßM (bk - Уп) > R, (33)
к — ж \ /
n—^ж
lim sup ßM (ck - хп) ^ r. (34)
к—^ж n—^ж
Следовательно, в силу субаддитивности функции Минковского имеем
lim inf ßM (bk - Ck - Уп + Хп) > R - г. (35)
к —ж n—^ж
Для любого к £ N обозначим Д = Xk - yk, 9k = bk - Ck- Тогда из равенств (31) получаем 9k = R~l-eo fk- Из соотношений (22) и (35) следует, что
lim ßM (fk) = до, lim ßM (9k) = R - r - до, lim inf ßM (gk + /п) ^ R - r.
k k к—ж
n
Кроме того, последовательности {} и {дп} ограничены. Отсюда в силу леммы 3.5 получа-
ем равенство lim
fc — o
n—у со
9n
R-r-go
= 0, то есть lim || Д — Д || = 0. Следовательно, последова-
fc—
n—у со
тельность {¡к} фундаментальна, а значит, сходится к некоторому вектору Д € Е, причем Цм (Д) = 9о-
Для любых к,п € N обозначим Ъкп = Ьк — ск — уп + хп, екп = ск — хп. Тогда
Ькп = 9к + 1п = ——-—— Д — Д ^ ——- Д (Л, п ^ то). (36)
ßo
ßo
Используя соотношения (33), (34), получаем
lim ц,м(hkn) = R — г, lim sup ^м (ekn) ^ r, liminf ц,м (hkn + e-kn) > R.
fc—^o n—
fc— n—
fc — c n—
lim
Используя соотношение (36) и сходимость Д
fc— n—
hfcn
R-r
fcn Г
0
Д при к
^■fcn Г
= 0. ПосколькV & — ^ = X" r Xfc.
то, получаем сото доказано соот-
отношение lim
к—^^ п—^^
ношение lim \\хк — хп\\ = 0, которое означает фундаментальность последовательно-
fc— n—
сти [хк}. Следовательно, последовательность {хк} сходится к некоторому хо Е Е. Поэтому у к = хк — fk ^ у0 при к ^ то, где у0 = х0 — Д. Так как множества X и Y замкнуты, то хо Е X, уо Е Y. Используя соотношение (22), получаем ßM(хо — уо) = Q0 = Qm(X, Y) = inf ^м(х — у), то минимум min ßM(х — у) дости-
х£Х, y& " хЕХ, y&Y
гается на паре точек (хо, уо). Предположим, что минимум min ßM(х — у) достигается
хЕХ, yEY
также на паре точек (х0, у0)• Рассмотрим последовательности
( х0, к четно, ( уо,
хк = к =
I х0, к нечетно, [ у0,
к , к .
Так как в силу доказанного последовательности {хк} и {ук} сходятся, то х0 = х'0, Уо = у'0-Тем самым доказана единственность. □
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 10-01-00139 и ФЦП «Научные и научно-
педагогические кадры инновационной России».
Литература
1. Балашов М.В., Иванов Г.Е. Слабо выпуклые и проксимально гладкие множества в банаховых пространствах // Известия РАН. Серия математическая. - 2009. - Т. 73, № 3. - С. 23-66.
2. Ива,нов Г.Е. Слабо выпуклые множества и функции: теория и приложения. - М.: Физматлит, 2006.
3. Ива,нов Г.Е. Перестановочность операций суммы и разности Минковского для множеств в равномерно выпуклом банаховом пространстве // Современные проблемы фундаментальной и прикладной математики. - М.: МФТИ, 2008. - С. 32-55.
4. Ива,нов Г. Е. Аппроксимативные свойства множеств относительно функции Минковского // Проблемы фундаментальной и прикладной математики. - М.: МФТИ, 2009. - С. 76-105.
5. Иоловинкин E.G., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. -М.: Физматлит, 2007.
6. Рудин У. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1975.
7. Borwein J. М., Strojwas Н. М. Proximal analysis and boundaries of closed sets in Banach space, I. Theory 11 Canad. J. Math. - V. 38. - 1986. - P. 431-452.
8. Clarke F. H., Stern R. J., Wolenski P. R. Proximal Smoothness and Lower-C2 Propoertv // J. Convex Anal. - V. 2, N 1, 2. - 1995. - P. 117-144.
9. Vial J.-P. Strong and weak convexity of sets and functions // Math. Ops. Res. - V. 8, N 2. - 1983. - P. 231-259.
Поступила в редакцию 07.02.2012.