Свойства финслеровых пространств F4 с группой изометрий G7. II Текст научной статьи по специальности «Математика»

СТРУКТУРА ВЕЩЕСТВА И ТЕОРИЯ ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

УДК 532.517.2

Н. С. Перминов, Н. Н. Долбилова

СВОЙСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ С ГРУППОЙ ИЗОМЕТРИЙ в7. II

Ключевые слова: финслеровы пространства, уравнения Эйнштейна.

В данной работе изучаются свойства финслеровых пространств Г4, допускающих полную группу изометрий Определён класс вырожденных метрических функций. Найдена каноническая форма

выражения для определителя метрического тензора. Получено простое и компактное выражение для метрического тензора, связности и кривизны. Определён допустимый вид тензора тока в уравнениях гравитационного поля.

Кеуwords: finslerian spaces, Einstein equations.

In this paper we consider properties of Finslerian spaces F4 admitting a full group of isometries G7. The class of degenerate metric functions is determined. The canonical form of determinant of the metric tensor is found. Simple and compact expressions are obtained for the metric tensor, the connection and the curvature. The admissible form of the tensor current in gravitation field equations is found.

Введение

Финслеровы пространства, допускающие полные группы движений высокого порядка, являются наиболее значимыми в многочисленных приложениях теоретического характера [2, 4]. В данной работе изучаются свойства финслеровых пространств Б4, допускающих полную группу изометрий в7. Путём интегрирования уравнений,

определяемых условием вырождения, получен класс вырожденных метрических функций. Найдена каноническая форма выражения для определителя метрического тензора. Получены простые и компактные представления выражений для метрического тензора, связности и кривизны в виде тензорного произведения. Рассмотрены приложения в теории гравитации и получен допустимый вид тензора тока в уравнениях гравитационного поля. Отметим, что используемое представление для тензоров обладает наглядностью и удобствами, позволяет просто определить количество независимых компонент тензоров, а также существенно увеличивает скорость символьных вычислений при работе с приложениями.

Метрическая функция

Многообразие Мп называется финслеровым пространством Рп [7], если в его касательном расслоении Т(М)п задана дифференцируемая скалярная метрическая функция Р(х,у) второй степени однородности по координатам слоя у' и выполнено условие невырожденности

det(1/2диР) ф 0 , где 5' = д/Эх', д'= д/ду',

у' = X' = dx'/dt, dy' /dt = у' = d2x'/dt2,

' е {0, ...,п-1} , ие {0, ...,п-1} .

Финслерово пространство Р4 допускает полную

группу изометрий в7 с генераторами

X = {Х1 = х3д2 - х2д3, Х2 = х1д3 - х3д 1,

Х3 = х2д 1 -х1д2,Х4 = (1- |х|2 -(х1)2)д 1 -х1х-д.,

Х5 = (1- |х|2 -(х2)2)д2 - х2х-д.,

Х6 = (1- |х|2 -(х3)2)д 3 - х3х-д. ,Х7 =д о},

| х |— <х,х>1/2, <х,у> = х - у- , х.— 8„х',у.— 6-ру', 5-р — 5.''6';',

(по индексам со знаком /а/ суммирование не ведётся) тогда и только тогда, когда выполнено условие [5]

-хР — 0, (1)

где 1-Х - производная Ли вдоль генераторов Х. Условие (1) эквивалентно семи уравнениям на Р(х,у):

[х3д2 - х2д3 + у3д2 - у2д3]Р(х,у) — 0,

[х1д3 - х3дч + у1д3 - у3дч]Р(х,у) — 0,

[х2д 1 - х1д2 + у2д 1 - у1д2]Р(х,у) — 0,

[(1-|х|2 -(х1)2)д 1 + х1х■ да -((х,у) + х1у1)д2 + (ха у1 + х1уа )д а ]Р(х,у) — 0,

'[(1-|х|2 -(х2)2)д 2 + х2х а д а - ((х,у) + х2у2)д 2

+ (ха у2 + х2уа )д а ]Р(х,у) — 0,

[(1-|х|2 -(х3)2)д 1 + х3хада - ((х,у) + х3у3)д2 + (ха у3 + х3уа )д а ]Р(х,у) — 0,

[д 0]Р(х,у) — 0.

Отсюда получим [5]

Р(х,у) — (у°)2з2И, (2)

2 —|у|/у0/(1+ |х|2),

где а(7) - произвольная функция своих аргументов. Условие вырождения

Финслерово пространство Р4 называется вырожденным [7], если выполнено условие

det(1/2д')Р) — 0 . (3)

Простые вычисления показывают, что

det(1/2д')Р) — 1/(1+ | х |2)6/22а5а'2а'', (4)

где ' обозначает производную по 2. Отметим, что уравнение (3) является уравнением Монжа-Ампера, а выражение (4) является левой частью однородного уравнения Монжа-Ампера, приведённой к канонической форме [3], то есть имеет максимально простой и компактный вид в силу специального выбора координат и обозначений в формуле (2).

Условие (3) эквивалентно системе уравнений на а(2) вида

"а(г) — 0,

а'(2) — 0, (5)

а" (2) — 0.

Общее решение системы (5) может быть записано в форме

аф = С12 + С2,

где С1,С2 - произвольные константы. Таким

образом, класс вырожденных финслеровых пространств Р4 с группой изометрий С7 определяется метрическими функциями вида Р(х,у) — (у0)2(С11 у |/у0 /(1+ |х|2) + С2), где С1, С 2 - произвольные константы.

Связность

Геодезические [7] финслерового пространства Рп с метрической функцией Р(х,у)

удовлетворяют условию экстремальности 5э[х]/5х' — 0 , (6)

для функционала длины

\2

э[х] — |p(x,y)dt.

t1

Уравнение (6), разрешенное относительно вторых производных d2x'/dt2, имеет вид [1] dy' /dt + Г'(х,у) — 0

и определяет согласованную с метрической структурой связность Г' [7]:

Г' — Г кук — г клкут, Г к — 1/2д кг', г кт — 1/2д ктГ',

Г'(х,у) — 1/2д,)(д (к9т)1-д19кт)укут

g mg

5k, g„(x,y) = 1/2д F(x,y),

где ди(х,у) метрический тензор. Также связность Г' может быть представлена в следующей форме:

Г'= (51.5^6<k)£<m)nn=2[дksmsF(Уlд|д'F - д^)])* (6*6™ !ПП=і [<д ktmtF])-1,

(У)

(k) = k1...kn, еk"..kn = 1/n! ее1" = 1.

Для финслеровых пространств F4 с группой изометрий G 7 метрическая функция определяется формулой (2), а метрический тензор g'; представим

в простой и удобной форме тензорного произведения следующего вида:

д„ — 5 0 5 0д00 + 5«°5;Ч а + б абвдаР,

д00 — К1, д0 а — у а /у0К2, дав — у а у в /Ю^ + ба^,

К1 — а2 -22аа'+22аа'',

К2 — -1/(1+ |х |2)2/2(-аа'+2(а'2 +аа'')),

К3 — 1/(1+ |х |2)4/23(-аа'+2(а'2 +аа'')),

К3 —1/(1+ |х|2)2/2аа'.

Здесь координаты и обозначения выбраны так, чтобы знаменатель в правой части формулы (7), который является квадратичной формой по вторым производным д']Р, имел канонический вид. Деленный на 244!, он равен выражению Еу(х,у) = 1/(1+1 х |2)6/г2а5а'2 а''. (8)

С учетом (8), получим выражение для связности в следующей компактной форме:

г' — 5 0г0 + б ага,

Г0 — (у0)2Р1, Га — ха(у0)2Р12 + уау0Р22,

Р1 — 0, Р12 — 222 (1+ | х |2), Р12 — -4(х,у)/у°/(1+ | х |2),

Г к — 5050Г0 + 5 а50Г; + 5 05аГ а + 5 а5вГа, г 0 — 0, г 0 — 0, г 0 — 0,

|2 \жу V а

(9)

О ~ ’ ‘ а ~ ’ ‘ а

Гв =-2/(1+ |x|2)x в xа + 2/( + |x|2)y в xа

- 2/(1+ | x |2 )5 в.

Кривизна и уравнения поля

Для финслеровых пространств рассмотрены уравнения гравитационного поля следующего вида:

R(x,y) = R(x,y), (10)

R = 5my;ykR;km,

Rjkm = д[kГm]| - Гj[kГm]l + У діГj[kГm]h,

где R'km - третий тензор кривизны Картана [У], а

Tf(x, y) - скалярный ток. Если гравитационное поле

не зависит от скоростей дkgN = 0 и скалярный ток

R(x,y) = 0, то тензор кривизны Картана R'km

переходит в тензор Римана-Кристоффеля, а уравнения (10) будут эквивалентны уравнениями Эйнштейна для поля тяготения в вакууме [б]. Из (1O) следует, что

R = 1/2(y sдsдm Гm - 2 дm Гm)

+ 1/4( д mГ k д ^ m - 2Г k д km г m)

и, как следствие формулы (9), выражение для Rf представимо в виде

R = (y0)2R,

R =-8z2.

Видно, что выражение для Rf не зависит от вида функции a(z) . Поэтому уравнения (1O) будут выполнены только в том случае, если тензор тока для гравитационного поля имеет следующий допустимый вид:

R = -8z2(y0)2.

Заключение

Все ключевые вычисления и формулы были проверены путём применения пакетов символьных

вычислений в среде Maple, что обеспечивает достоверность полученных результатов. Описанные математические методы и полученные результаты показывают наглядный способ оптимизации процесса символьных вычислений при работе с финслеровыми расширениями теории гравитации, а также образуют удобную базу для дальнейших изысканий в области космологии [2]. В дальнейшем планируется реализовать подобную схему исследований для всех финслеровых пространств Fn

с группами изометрий порядка n > n(n -1)/2, что представляет интерес с точки зрения многочисленных приложений теоретического [4] и экспериментального характера [8].

Литература

1. Атанасиу, Г. Дифференциально-геометрические структуры. Касательные расслоения, связности в расслоениях, экспоненциальный закон в пространстве струй / Г. Атанасиу, В. Балан, Н. Брынзей, М. Рахула. -М.: Либроком, 2010. - 336 с.

2. Богословский, Г.Ю. Теория локального анизотропного

пространства-времени / Г.Ю. Богословский. - М.: МГУ, 1992. - 270 с.

3. Виноградов, А.М. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / А. М. Виноградов, В. С. Красильщик. - М.: Факториал Пресс, 2005. - 384 с.

4. Гарасько, Г.И. Начала финслеровой геометрии для физиков / Г. И. Гарасько. - М.: ТЕТРУ, 2009. - 268 с.

5. Егоров, И.П. Движения и гомотетии в пространствах

Финслера и их обобщениях / И.П. Егоров. - М.: ВИНИТИ, 1984. Итоги науки и техники. Серия: Проблемы геометрии.

Т. 16. - 333 с.

6. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Том II. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М.: Физматлит, 2006. - 534 с.

7. Рунд X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств / Х. Рунд. - М.: Наука, 1981. - 354 с.

8. Кузнецов, В.Г. О связи коэффициентов свободной и стеснённой диффузии в процессах массопереноса в системах с твёрдой фазой / В.Г. Кузнецов, Р.К. Кузнецов, Г.А. Аминова. - Вестник Казан. технол. унта. - 2011. - Т. 14, № 19. - С. 77-80.

© Н. С. Перминов - асс. каф. технологии конструкционных материалов КНИТУ, nikolai-kazan@iambler.ru; Н. Н. Долбилова -студ. ОФ института физики КФУ, Nadya-mipt@yandex.ru.