D&d Текст научной статьи по специальности «Математика»

Н. С. Перминов

D&D

Ключевые слова: финслеровы пространства, MOND, D&D.

В данной работе изучаются свойства финслеровых пространств, соответствующих деформированной Ньютоновой динамике (D&D). Изложенный подход позволяет теоретически описать кривые вращения галактик. Получено выражение для метрического тензора, связности и кривизны. Найден допустимый вид тензора тока в уравнениях гравитационного поля. Проинтегрированы уравнения геодезических и исследованы полученные траектории. Определен угол рассеяния для инфинитных траекторий и смещение перигелия для замкнутых траекторий.

^^words: finslerian spaces, MOND, D&D.

In this paper the properties of finslerian spaces, corresponding to the deformed Newton dynamics (D&D), are studied. The developed approach allows to describe theoretically the rotation curves of galaxies. Expressions for the metric tensor, the connection and the curvature are obtained. The admissible form of the current tensor in gravitational field equations is found. The equations of geodesics are integrated and the obtained trajectories are investigated. The scattering angle for infinite trajectories and the shift ofperihelion for closed trajectories are determined.

Введение

В данной работе рассмотрены свойства финслеровых пространств, соответствующих деформированной Ньютоновой динамике (Б&Б). Изложенный подход позволяет теоретически описать кривые вращения галактик [9] путём простейшей деформации Ньютонова потенциала тяготения. Получено выражение для метрического тензора, связности и кривизны. Найден допустимый вид тензора тока в уравнениях гравитационного поля. Проинтегрированы уравнения геодезических и исследованы полученные траектории. Определен угол рассеяния для инфинитных траекторий и смещение перигелия для замкнутых траекторий, что позволяет проверить рассчитанные величины в опытах с гравитационными линзами.

Метрическая функция и симметрии

Многообразие Мп называется

финслеровым пространством Бп [6], если в его касательном расслоении Т(М)п задана дифференцируемая скалярная метрическая функция Б(х, у) второй степени однородности по

координатам слоя у1 и выполнено условие невырожденности det(1/2 3^Б) ф 0, где 31 ^З/Зх1,

31 = 3/3у1, у1 = X1 = dx1/dt, dy1/dt = у1 = d2x1/dt2, 1 е {0, ...,п-1}, а е {0, ...,п-1}.

В данной работе предметом изучения является финслерово пространство Р4 с метрической функцией следующего вида:

Б(х,у) = (у°)2(1/27з + и(^))2, (1)

и^) = с + 71_1/2 + £/21^2 11/2), (2)

7! =< X, X >^2 =< X, у ) /у0,2з =< у,у>/(у0)2, (3)

где с, £ - константы.

Финслерово пространство (1) допускает полную группу изометрий С4 = БО (3) х Я с

(4)

генераторами

X = {Х1 = х332 - х233, Х2 = х*33 - х3д1,

Х3 = х231 - х'З 2,Х4 = 3 0},

|х|=< х,х >1/2, < х,у> = х а у а, х а = §аР х в ,у а = 5^ ув , 5аР = 5^,

(по индексам со знаком \ а \ суммирование не ведётся), то есть выполнено условие [5]

ЬхБ = 0, (5)

где ьх - производная Ли вдоль генераторов X , или, в развёрнутой форме,

[х332 - х233 + у332 - у233]Б(х,у) = 0,

[х'33 - х331 + у'33 - у331]Б(х, у) = 0,

[х231 - х*32 + у231 - у'32]Б(х, у) = 0,

[3 0]Б(х,у) = 0.

Простые вычисления показывают, что det(1/23уБ) = (1/273 + и(х))5 ф 0. (6)

Поэтому метрическая функция (1) является невырожденной.

В сферических координатах х, где

х0 = х0, х1 = р, х2 = 0, х3 = р, (7)

х1 = р8Ш(0)СО8 (р),

x2 = ps1n(0)s1n (^),

(8)

x = pcos(^),

базис алгебры симметрий g4 = so(3) х R имеет вид Xt = sin(^)3e + ctg (<9)cos(^)3^

X2 = - s1n(^)de + ctg (0)s1n(^)d„

X3 = -dp,

X4 = д 0,

а метрическая функция (1) представима в виде

Т7ґ— —\ ґ 0 \ 2 _р 2 / 1/2 1/2 ч

F(x,y) = (y ) f (z1 , Z3 ), f(z11/2, z31/2) = 1/2 z3 + u (z1),

z1 = P2,

= Pp,

0\2/ - 2 , 2/ Л 2 , • 2/^ч -2ч

г1 = 50г° + 5‘ага

(10)

^ = 1/(У ) (Р + Р (в + ®1п (6)р )).

Связность

Геодезические [8] финслерового

пространства Рп с метрической функцией Б(х, у) удовлетворяют условию экстремальности 58[х]/5 х1 = 0, (11)

для функционала длины

Ч

s[x] = J F(x, y)dt.

(12)

Уравнение (6), разрешенное относительно вторых производных d2x1/dt2, имеет вид [1] dy1/dt + Г1(х, у) = 0 (13)

и определяет согласованную с метрической структурой связность Г1 [8]:

Г1 = Г кук = Гктукут,

(14)

Гк = 1/23 к Г1, Г кт = 1/23 кт Г1,

Г1(х,у) = 1/2ЯЧ(3 (кёт) -3 ]ёкт )укут ,

§1тётк = ^ Еч(х,у) = 1/2 3иР(х,уХ

где g1j(x, у) - метрический тензор. Также связность

Г1 может быть представлена в следующей форме:

Г1 = (5к151т1£(к)£(т) ПА^^Ар - 3^)]) *

(є «є^ П:=і[3 ktmtF])-1,

(15)

(к) = к1...кп, £к1.кп = 1/п! £[к1.кп], £1.п = 1.

Для финслерового пространства (1) метрический тензор g1j представим в простой и

удобной форме тензорного произведения следующего вида:

^ = 5105'^00 + 51(05а)goа + 5“5^ ав,

g00 = К‘^0а = у а /у 2 ,

g ав = у ауР /(у0)2К3 + 5ар K32,

К1 = 3/4732 + и2^),

К2 =-73,

(1б)

к3 = 1,

К32 = 1/273 + и^).

С учетом (8), получим выражение для связности в следующей компактной форме:

г0 = (y0)2P1, га = xа(y0)2P12 + yay0P2, P1 = 8u'(z1)z2/(z3 + 2u(z1)),

р2 = -2u'(z1),

Pj2 = 8u'(z1)z2/(z3 + 2u(z1)),

/ 4 -1/2 Mi / 1/2 4

u(z,) = с + z1 + e/2ln(z1 ),

u'(z1) = -1/2z1-3/2 + 1/4e z1-1,

где ' обозначает производную.

Кривизна и уравнения поля

Для финслеровых пространств рассмотрены уравнения гравитационного поля следующего вида:

~ ~ (18)

R(x, у) = T(x, y),

R = s myjykRl

jk m

(19)

кІкш = з[к Г ши- Г ‘[кг ‘ш]1+уь д, г ;[кг т]Ь>

где Я‘кш - третий тензор кривизны Картана [8], а

Т(х,у) - скалярный ток. Если гравитационное поле

не зависит от скоростей д= 0 и скалярный ток

Т(х,у) = 0, то тензор кривизны Картана я1

переходит в тензор Римана-Кристоффеля, а уравнения (18) будут эквивалентны уравнениям Эйнштейна для поля тяготения в вакууме [7]. Из (19) следует, что

R = 1/2у5д5дmгm -дmгm +1/4 д^ k дkгm - 1/2г k д^г m

(20)

и, как следствие формулы (17), выражение для Я представимо в виде

я = (у0)2Я,

Я = 24((73 + 2и)и''-6и'2 )722/(73 + 2и)2 +

2(271(73 + 2и)и''+3и'(471и'+2и + 373))/(73 + 2и), (21) и(21) = с + 71-1/2 + £/21п(711/2), и'(21) = -1/271-3/2 + 1/4£71 -1, и''(21) = 3/471-5/2 - 1/4£71-2.

Поэтому уравнения (18) будут выполнены только в том случае, если тензор тока для гравитационного поля имеет следующий допустимый вид:

Т = (у0)2[24((73 + 2и)и' '-6и'2 ]722/(73 + 2и)2 + (22)

2[271(73 + 2и)и''+3и'(471и'+2и + 373)]/(73 + 2и). Траектории Геодезические финслерового пространства Р4 с метрической функцией (1) удовлетворяют также (кроме (11)) условию экстремальности 5 8[х]/5х1 = 0, (23)

для функционала длины

в[х] = |L(x,y)dt,

(24)

L(x, у) = Р1/2(х,у) = y0f(z11/2,Zз1/2).

Уравнения (23) можно представить в виде [31 - хк 3 к 31 - хк 3 = 0.

Ввиду (4) уравнения (25) эквивалентны [3] уравнениям

(25)

ха эх - м, = 0,

(26)

где а е {1,2,3,4}, М, - константы (интегралы движения), X, 31 = X, - элементы базиса (9)

алгебры симметрий бо(3) х Я. Каждая геодезическая линия лежит на двумерной плоскости, так как заменой системы координат можно добиться выполнения условия 0© = п/2,

(27)

М1 = 0, М2 = 0, М3 =-М,М4 = Е, где М, Е - некоторые новые константы.

Поэтому из (26) имеем р 2р /ю3 шДр, ю) = М,

Др, ю) - ю3 юГ(р, ю)= Е, (28)

ю = (р2 + р 2р 2)1/2/у0.

Выбирая параметризацию х0 = t и интегрируя (28) (используя соотношение dр/dр = р/р), получим:

р = р0 +|[^Г'^ю(2))/М)2 -22] 1/2dz

(29)

^ ю) - юГ (z, ю)= Е,

где ю) = 3ю), а {р0,р0,М,Е} - полный

набор начальных данных, который эквивалентен набору данных {р(0), р(0), р (0), р (0)} для уравнений (25) и соответствует одной траектории. Не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что начальные данные заданы в точке траектории, которая максимально близка к началу координат. В этой точке можно положить {р(0), р(0), р (0), р (0)} = {0, г, у/г,0}, (30)

где г, у - некоторые положительные константы. Тогда из (29) окончательно получим для траекторий р(р) в параметрической форме следующую систему определяющих функциональных уравнений:

(31)

И

Р =|(^Г^,аКг))/(гГ(г,у))]2 -z2)-1/2dz,

г

^, ю) - юГ' (z, ю)= Г(г, у) - уГ '(г, у).

Для круговых траекторий р^) = г уравнения (28) дают условие р(\) = у/г * t. Поэтому

[х1 = г * СОБ(у/г * t), (32)

[х2 = г * б1п(у/г * ^, а уравнения (25) приводятся к виду

[- у2/г2 * х1 = х7г * 3Дг, у), (33)

[- у2/г2 * х2 = х2/г * 3Дг, у), откуда получим дополнительное условие: у2/г =-3 Дг,у). (34)

Для метрической функции вида (10) из (34) имеем следующее выражение для у 2 :

у = 1/г-е/2.

(35)

Формула (35) при е > 0 налагает ограничение на радиус круговых орбит, а при е < 0 описывает кривые вращения галактик без привлечения теории МОМЭ (9), что представляет интерес с точки зрения приложений в космологии. Деформированная Ньютонова динамика (Б&Б) позволяет объяснить кривые вращения галактик с фундаментальной математической позиции, с позиции финслеровой геометрии, и согласуется с принципом относительности.

Теория рассеяния

Для траекторий (31) задача о рассеянии сводится к нахождению угла рассеяния

а - =ри„-Ч=-»- п (36)

Используя (31), можно записать (36) в виде

да

а5с =2{(^Г'боК2))/(гГ(г,у))]2 -z2)-1/^ -п,(37)

г

f(z, ю) - юГ' ^ ю)= Г(г, у) - уГ' (г, у).

Для метрической функции (10) (после замены переменных z = г/х) из (33) следует:

1

+ 2|[1 - х2 + 2/(у2г)(х -1) - £/у21п(х)]-1/^х.

(38)

В этой статье рассматривается малая деформацию Ньютоновой динамики, поэтому в задаче о рассеянии будем считать малыми следующие

величины:

1/(у2г) << 1, | £/у2 |<< 1, 1/(у2г) >>| £/у2 |, (39)

что отвечает малым углам рассеяния.

Тогда из (38) приближенно получим: а 5с = 2*[1/(у2г)] + 2 *[1/(у2г)]2 (40)

- £/у2 * (п/2 + (1 - 1п(2) + п)* [1/(у2г)]).

Смещение перигелия

При £ = 0 для метрической функции вида (10) уравнения (31) приводят к следующей формуле: р = у2г2/[1 + (у2г - 1)соб(р)] (41)

(без ограничения общности рассуждений будем

считать, что у2г -1 > 0 ). Для финитных траекторий эксцентриситет | у2г -1|< 1, расстояния до афелия и перигелия определяются из условия р = 0 и соответственно равны г1 = р(0) = г,

г2 = р(п) = у2г2/[2 - у2г].

В общем случае условие р = 0 при помощи (31) приводит к следующему уравнению для г2:

(42)

fcf'fo,ra(r2))/(rf'(r,v))]2 - Г22 = 0. (43)

Смещение перигелия определяется формулой

a sh = 2*[p(r2) - ^(г! )] - 2* п.

Формула (44) может быть представлена в виде

a sh =-2* П

(44)

+ 2J([z2f'(z,ra(z))/(rf'(r,v))]2 - z2) 1/2dz, (45) 1

r

[r22f'(r2,ra(r2))/(rf'(r,v))]2 - r22 = 0.

Для метрической функции вида (10) уравнения (45)

2

дают

2п + 2 J h 1/2 (t, r, v, e, x)dt,

(46)

h = 1 - ((1 - x)t + x)2 + 2/(v2r) *(1 - x)(t -1)

- e/v2 * ln((1 - x)t + x),

1 - x2 + 2/(v2r) *(x -1) - e/v2 * ln(x) = 0.

Рассматривая малые деформации Ньютоновой динамики, будем считать в задаче о рассеянии малыми следующие величины:

(v2r-1) << 1, |e/v2|<< 1, (v2r -1) >>| e/v2 |, (47)

что соответствует траекториям близким к круговым. Тогда из (46) приближенно получим:

r2 = r + r* e/v2, (48)

ash = e/v2 * (п/2 + n(v2r -1)). (49)

Заключение

Все ключевые вычисления и формулы были проверены в пакете Maple, что обеспечивает достоверность полученных результатов. Описанные математические методы и полученные результаты показывают наглядный способ применения символьных вычислений при работе с неявными функциями в рамках финслеровых расширений

теории гравитации, позволяют вычислять наблюдаемые величины (40), а также образуют удобную базу для дальнейших изысканий в области космологии [9]. Это представляет интерес с точки зрения приложений теоретического [4] и экспериментального характера [6].

Литература

Атанасиу, Г. Дифференциально-геометрические структуры. Касательные расслоения, связности в расслоениях, экспоненциальный закон в пространстве струй / Г. Атанасиу, В. Балан, Н. Брынзей, М. Рахула. -М.: Либроком, 2010. - 336 с.

2. Богословский, Г.Ю. Теория локального анизотропного пространства-времени / Г.Ю. Богословский. - М.: МГУ, 1992. - 270 с.

3. Виноградов, А.М. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / А. М. Виноградов, В. С. Красильщик. - М.: Факториал Пресс, 2005. -384 с.

4. Гарасько, Г.И. Начала финслеровой геометрии для физиков / Г. И. Гарасько. - М.: ТЕТРУ, 2009. - 268 с.

5. Егоров, И.П. Движения и гомотетии в пространствах Финслера и их обобщениях / И.П. Егоров. - М.: ВИНИТИ, 1984. Итоги науки и техники. Серия: Проблемы геометрии. Т. 16. - 333 с.

6. Кузнецов, В.Г., Кузнецов, Р.К., Аминова, Г.А. О связи коэффициентов свободной и стеснённой диффузии в процессах массопереноса в системах с твёрдой фазой / В.Г. Кузнецов, Р.К. Кузнецов, Г.А. Аминова. - Вестник Казан. технол. ун-та. - 2011. - № 19. - С. 77-80.

7. Ландау, Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том II. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -М.: Физматлит, 2006. - 534 с.

8. Рунд, X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств / Х. Рунд. - М.: Наука, 1981. - 354 с.

9. Сипаров, С.В. Закон гравитации и модель источника в анизотропной геометродинамике / С.В. Сипаров. -Гиперкомплексные Числа в Геометрии и Физике. -2009. - 2(12). - Т. 6. - С. 144-161.

© Н. С. Перминов - асс. каф. технологии конструкционных материалов КНИТУ, nikolai-kazan@rambler.ru.