Сферически симметричные финслеровы пространства. II Текст научной статьи по специальности «Математика»

Н. С. Перминов

СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЕ ФИНСЛЕРОВЫ ПРОСТРАНСТВА. II

Ключевые слова: финслеровы пространства, уравнения Эйнштейна.

В работе рассмотрены сферически симметричные финслеровы пространства. Получено выражение для метрического тензора, связности и кривизны. Построены приближенные решения модифицированных уравнений Эйнштейна. Проинтегрированы уравнения геодезических. Определен угол рассеяния для инфинитных траекторий.

Кеум/ords: finslerian spaces, Einstein equations.

In this paper we consider spherically symmetric Finslerian spaces. Expressions for the metric tensor, the connection and the curvature are obtained. Approximate solutions of the modified Einstein equations are constructed. The equations of geodesics are integrated. The scattering angle for infinite trajectories are determined.

Введение

Сферически симметричные финслеровы пространства являются наиболее значимыми в многочисленных приложениях теоретического характера [2, 4]. В частности, при помощи них удаётся получить адекватное описание для гравитационного поля планет и звёзд (закон Ньютона, МОМЭ, Б&Б). В данной работе изучаются свойства финслеровых пространств Р4, допускающих полную группу изометрий 8О(3) . Записаны простые и компактные представления выражений для связности и кривизны в виде тензорного произведения. Построены

приближенные решения модифицированных уравнений Эйнштейна. Проинтегрированы уравнения геодезических. Определен угол рассеяния для инфинитных траекторий. Отметим, что используемое представление для тензоров обладает наглядностью и удобствами, позволяет просто определить количество независимых компонент тензоров, а также существенно увеличивает скорость символьных вычислений при работе с приложениями.

Метрическая функция

Многообразие Мп называется

финслеровым пространством Бп [5], если в его касательном расслоении Т(М)п задана

дифференцируемая скалярная метрическая функция Б(х, у) второй степени однородности по

координатам слоя у1 и выполнено условие невырожденности det(1/2 д^Б) Ф 0, где З 1 ^З/Зх1,

д1 = д/ду1, у1 = X1 = dx1/dt, dy1/dt = у1 = d2x1/dt2, 1 е{0, ...,п-1}, ае{0, ...,п-1}.

Финслерово пространство Р4 допускает полную группу изометрий 8О(3) с генераторами

X = {Х1 = х3З2 - х2З3,

Х2 = х'д3 - х3д1,

Х3 = х2д1 - х'д2} ,

тогда и только тогда, когда выполнено условие [5] ЬхБ = 0, (1)

где Ьх - производная Ли вдоль генераторов X , или, в развёрнутой форме,

[х3д2 - х2д3 + у3д2 - у2З3]Б(х, у) = 0,

< [х'д3 - х3д1 + у1З3 - у3д1 ]Б(х, у) = 0,

[х2д1 - х'д2 + у2д 1 - у'д2]Б(х, у) = 0.

Отсюда получим [5]

Б(х,у) = У(х0,|х|,у0,<х,у>,| у |),

< х, у > = х ау а,

а (2)

| х|=<х,х>12,

х а = ^ ^, у а = ^ в 4ав = № К ,

(по индексам со знаком \ а\ суммирование не ведётся), где ¥ - некоторая функция своих

аргументов, удовлетворяющая условию

однородности у1д 1 ¥ = 2¥ .

В сферических координатах х, где х0 = х0,х1 = рх2 = £?х3 = р, (3)

х1 = р1п( £)соб(р), х2 = р1п( ^1п(р), х3 = рС08(р),

базис алгебры симметрий g3 = 80(3) имеет вид X! = зш(р)3 0 + ^( 6)со8(р)Зр,

Х2 = -81п(р)50 + ctg( 6)81п(р)Зр,

Х3 =-др,

а метрическая функция (2) представима в виде Б(х,у) = (у0)2 ф (х0, р'0у\4 'в + б1п2 0р 2/у0), (4)

где ф - произвольная функция своих аргументов.

Финслерово пространство Р4 называется вырожденным [8], если выполнено условие

= 0. (5)

В сферических координатах (3)

det(1/2 д 1jF) =

l-/u1S1n2 Єфдui фдU1U1 фu2u2 ф- дutu2

Uj = 'd + sln2 6jz>2/y0,

U2 =

(б)

Как было показано в первой работе этой серии «Сферически симметричные финслеровы

пространства. I» класс вырожденных сферически

симметричных финслеровых пространств

F

определен метрическими функциями вида Б(х,у) = (у0)2 ф, где выражение для ф представимо в параметрической форме Фх0, ри 1,и2) =

ти2 + ^(х0, р т)и1 + ^2(х0, р Т),

И2 + 3т ^(х°, р т)и1 + З т 1р2 (х0, р Т) = 0, (7)

и1 = д/ в + 81п2 6р2/у0,

1и2 = Р^

а ^1,^2 - произвольные функции своих аргументов. Связность

Геодезические [8] финслерового

пространства Бп с метрической функцией Б(х, у) удовлетворяют условию экстремальности 4[х]/ 4 = 0 (8)

для функционала длины

2

s[x] = J F(x, y)dt.

Уравнение (8), разрешенное относительно вторых производных d2x1/dt2, имеет вид [1] dy1/dt + Г1(х, у) = 0

и определяет согласованную с метрической

структурой связность Г1 [8]:

г = Гук = о^,

Г = 1/2 3 k Г, Г = 1/2 3 km Г, (9)

Г(х,у) = 1^(3 (kgm)i-зjgkm)ykym, gimgmk = 4,ди(х,у) = 1/23ijF(x,y),

где g1j(x, у) - метрический тензор. Также связность Г1 может быть представлена в следующей форме:

Г = (4 4, Р Р Пп=2[3 к,ш,Р](у13 !31Б - 3 ^)) *

(РР Пп=1 [3 ^г1,

(к) = к1...кп, Р1 ^ = 1/п! Р1'Ч Рп = 1.

Для сферически симметричных

финслеровых пространств F4 метрическая функция (2) может быть представлена в виде

(12)

F(x,y) = (y0)2b2(q),

q = (qi,q2,q3,q4), qi = (1У12 -<x,y>2/|x|2)1/2/y0, q2 =< x,y> /|x|/y0, q3 =| x L q4 = x0.

где b - произвольная функция своих аргументов. Как было показано в первой работе этой серии «Сферически симметричные финслеровы

пространства. I» метрический тензор gy представим

в следующей форме:

gij = №00 + №0а+ <F<fg ав,

g00 = Kl(qX g0a = x aKl2(q) + y а/У0K2(q), (11)

g в = x ^ eK3(q) + x( ay й/У^ (q) + y ay^(y0)2K3(q) + <0K4(q),

где координаты и обозначения выбраны так, чтобы det(gij), который является квадратичной формой по

bik, имел канонический вид:

det(gij) = 1/qib5bi(bnb22 -bi22X bk =3b/3qk.

А выражение для связности даётся формулой

г = 4Г + 4Г,

Г = (y0)2P1(q), (13)

Г“ = x “(y0)2P2(q) + y^y0P2(q),

Кривизна и уравнения поля

Для финслеровых пространств рассмотрены уравнения гравитационного поля следующего вида:

R(x,y) = T(x, y), (14)

R = ^myjykRikm,

R'jkm = 3[k Гт]| - ^ rimjl + yh3l Г^,

где Rjkm - третий тензор кривизны Картана [8], а

T(x,y) - скалярный ток. Если гравитационное поле

не зависит от скоростей 3kgi j = 0 и скалярный ток

T(x, y) = 0, то тензор кривизны Картана Rjkm

переходит в тензор Римана-Кристоффеля, а уравнения (14) будут эквивалентны уравнениям Эйнштейна для поля тяготения в вакууме [7].

Если метрическая функция «близка» к метрической функции пространства Минковского, то есть

F(x,y) = F0 (x, y) + j8Rx,y), (15)

F0 = (y0)2(-1+|y|2),

где в - малый параметр, то метрика представима в виде

(17)

gij(x, у) = П + 0Ьу(х,у),

ьц =1/23 уБ1(х,у).

С точностью до первой степени по малому параметру связность определена формулой

ГкШ = Э*1/2 П(3(Т^ш) -3jgkш),

Г1 = в* 1/2 тТ(у5353ШЦ -3„Д),

а выражение для Я имеет вид

Я = ук3к3Ш Г-3Ш Г =

(у0)2 в[1/4)Р Р0 ° Р3 - 1/2Р0 ° Р2 + 1/2Pl]F1,

Р0 = у5 3 ^

Р1 = П 3 кш,

Р 2 = П 3 к 3 Ш,

Р3 = П 3 кШ.

В данной работе остановимся на специальном случае, когда

Ц = (у0)2Б(71,73),

3 21В(2, 2^) = а^^' + а,^),

(23)

(18)

=1 х | ,

22 = (X, XX

23 =|У |-

(19)

В результате вычислений на компьютере получим:

й = в(У)2(

222(423(1 - 23)3^3222В

+ 2(1 + 2з)32123- 23212В)

+ 2гз2(1 - гз)3^22в + гз(1 + гз)3^3^

(20)

+ 22,3212В + (з - 2з)321В).

Уравнения (14) в вакууме будут эквивалентны уравнениям:

42з(1 - 2з)32123222В

+ 2(1 + 2з)3212322В - 23212В = 0,

22з2(1 - 2з)3 2123 22В + 2з(1 + 2з)3 21 3 22В

(21)

+ 221321 В + (з - 2з)32В = 0.

Интегрируя первое уравнение из системы (21) получим:

3212Б(21, 23) = А1^1)(1 + 23) + ^2 (^1 )^31/2 ,

где А1(21), А2(21) - произвольные функции.

Отсюда

321В(г1,2з) = Л1(21)(1 + 2з) + А,^^ '

(22)

+ А^^Х

где А1(21), А2(21), А3(21) - произвольные функции.

Интегрируя второе уравнение из системы (21) получим:

Сравнивая выражения (22) и (23) и учитывая соответствие с Ньютоновой теорией тяготения [7], с точностью до перенормировки констант получим:

Б^^) = (1 + + Ф^), (24)

где Ф (г3) - произвольная функция своих

аргументов. Таким образом, решение уравнений (14) для поля тяготения в вакууме для метрической функции вида (15) близкой к метрической функции плоского пространства Минковского с точностью до первой степени по малому параметру определено формулой

Ц = (у0)2(-1 + 23 + в(1 + Ъ3)21-1/2 + Ф(Ъ3))),

Ъ1 =|x|2, ъ2 = <х, х>,

Ъ3 =|у |.

(25)

где Ф (г3) - произвольная функция своих

аргументов. При этом малый параметр в

приобретает смысл радиуса горизонта чёрной дыры из соответствия с Ньютоновой теорией тяготения

[7].

Траектории

Геодезические финслерового пространства Б4 с метрической функцией (26) удовлетворяют также (кроме (8)) условию экстремальности

4[х]/ 4 = 0 , (26)

для функционала длины

5[х] = |ь(х,у)аі,

Ь(х,у) = Б1/2(х,у) = у°:Г(ъ11/2,Ъ31/2),

f2 = -1 + Ъ3 + Д(1 + Ъ3)Ъ1 + Ф(Ъ3)).

(27)

Уравнения (26) можно представить в виде

[51 - хк 5 к 51 - хк 5 и]ь = 0.

Уравнения (25) эквивалентны [3] уравнениям

х! 3,ь - Ма = 0,

(28)

(29)

где а е {1,2,3,4}, Ма - константы (интегралы движения), Х‘а 31 = Ха - элементы базиса {Х1 = 5ш(р)де + с/? (0)СО5(р)3р,

Х2 = - 51п(р)3е + с/? (<9)5ш(р)др,

Х3 =-3р,

Х4 =3 0},

алгебры симметрий 50(3) х Я. Каждая геодезическая линия лежит на двумерной плоскости, так как заменой системы координат можно добиться выполнения условия в) = тт/2,

(30)

М1 = 0, М2 = 0, М3 = -М, М4 = Е, v '

зз

где М, Е - некоторые новые константы.

Поэтому из (29) имеем рр/ Ю Ю( р о) = М,

г р о) - ш3 Ю( р о)= Е, (31)

ю= ( (? + ^р2)1/2У.

Выбирая параметризацию х0 = t и интегрируя (31) (используя соотношение dр/d р= р/ р), получим:

ф = ф0 +J[(z2f'(z, o(z))/M)2 - z2] 1/2dz

(32)

f(z, о) - 6Uf'(z, о)= E,

где Г(^ о) = 3Ю(Ъ, о), а {р0, р,М,Е} - полный набор начальных данных, который эквивалентен набору данных {р(0), р(0),р(0), ((0)} для уравнений (31) и соответствует одной траектории. Не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что начальные данные заданы в точке траектории, которая максимально близка к началу координат. В этой точке можно положить {р(0), р(0), р(0), ((0)} = {0, Г, у/г,0}, (33)

где г, у - некоторые положительные константы. Тогда из (32) окончательно получим для траекторий р( р) в параметрической форме следующую систему определяющих функциональных уравнений:

р={([Ъ2Г(Ъ, ООХ))/(гГ(г,у))]2 - Ъ2)4/2 dz, (34)

Г

^, о) - Ю"'(z, о)= f(г, у) - уf'(г,у).

Теория рассеяния

Для траекторий (34) задача о рассеянии сводится к нахождению угла рассеяния

а = Н=+»- - т (35)

Не ограничивая общности рассуждений. Начальные условия в задаче рассеяния положим следующими:

И= т - 0, р| < 0.

t=-да 7 '

Используя (34), можно представить (35) в параметрической форме

г

а5с =-т+ 2| ([ IЗГ( р о)/М]2 - р?)-1/^ Р

(зб)

f( Р Ю) - ШГ( Р Ю)= Е, f(r,v) - уГ(г,у)= Е, rf'(г, у)= Е,

В наборе начальных данных {М, Е, г^} в задаче о рассеянии только две величины являются независимыми. Будем считать, что изначально заданы Е и г. Тогда (зб) можно представить в виде

1

esc =-л +2J ([1 - q2 + Д)~1/2 d Р 0

Д = [f'(r/q, o)/f(r,v)]2 -1, f(r/q, о)- of'(r/q, о= E, f(r/q, v) - vf'(r/q, v)= E,

(37)

Для метрической функции (27) с точностью до первой степени по малому параметру верно следующее

Д р ю)= (-1 + Ю)1/2 + в/2-1 + Ю2)-1/2 ((1 + Ю)/ р+ Ф(бй)).

Раскладывая систему (з7) в ряд по в, получим:

(3В)

«c = в/г(+ Vo2)/Vo2 J (1 - q)(1 - q2)-3/2dq,

(39)

Vo = (і + 1/E) .

Отсюда для угла рассеяния имеем

C|c = [2E2 + 1]/[E2 +1] //г, (40)

где E - интеграл движения, соответствующий генератору сдвигов X = 3 0, а г - минимальное

расстояние от траектории до начала координат (с точностью до первой степени по малому параметру равно прицельному параметру [7]). В случае частиц, движущихся по изотропным геодезическим (свет), переходя к пределу E ^ ж, из (40) получим выражение

a = 2 //г, (41)

которое совпадает с аналогичным выражением для римановых пространств [7], если считать, что в имеет смысл радиуса горизонта чёрной дыры. Заключение Руководствуясь соответствием с решением Шварцшильда [7], для специального класса финслеровых метрических функций (15) получены приближенные решения уравнений поля тяготения (14) в вакууме. Эти решения содержат свободу в выборе параметра в и функции Ф и определяют довольно широкий класс пространств, что может быть применено при анализе современных астрономических данных [2]. Показано, что для всех финслеровых пространств вида (25) с произвольной функцией Ф в первом порядке по малому параметру в угол рассеяния частиц (40) при равных начальных данных будет одинаков. Все ключевые вычисления и формулы были проверены в пакете Maple, что обеспечивает достоверность полученных результатов. Описанные математические методы и полученные результаты показывают наглядный способ применения символьных вычислений при работе с финслеровыми расширениями теории гравитации, а также образуют удобную базу для дальнейших изысканий в области космологии [2]. Это представляет интерес с точки зрения приложений теоретического [4] и

экспериментального характера [6].

Литература

1. Атанасиу, Г. Дифференциально-геометрические структуры. Касательные расслоения, связности в расслоениях, экспоненциальный закон в пространстве струй / Г. Атанасиу, В. Балан, Н. Брынзей, М. Рахула. -М.: Либроком, 2010. - 336 с.

2. Богословский, Г.Ю. Теория локального анизотропного пространства-времени / Г.Ю. Богословский. - М.: МГУ, 1992. - 270 с.

3. Виноградов, А.М. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / А. М. Виноградов, Б. С. Красильщик. - М.: Факториал Пресс, 2005. - 384 с.

4. Гарасько, Г.И. Начала финслеровой геометрии для физиков / Г. И. Гарасько. - М.: ТЕТРУ, 2009. - 268 с.

5. Егоров, И.П. Движения и гомотетии в пространствах

Финслера и их обобщениях / И.П. Егоров. - М.: ВИНИТИ, 1984. Итоги науки и техники. Серия: Проблемы

геометрии. Т. 16. - 333 с.

6. Кузнецов, В.Г. О связи коэффициентов свободной и стеснённой диффузии в процессах массопереноса в

системах с твёрдой фазой / В.Г. Кузнецов, Р.К. Кузнецов, Г. А. Аминова. - Вестник Казан. технол. ун-та. - 2011. - Т. 14, № 19. - С. 77-В0.

7. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Том II. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М.: Физматлит, 2006. -З34 с.

В. Рунд, X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств / Х. Рунд. - М.: Наука, 19В1. - 3З4 с.

© Н. С. Перминов - асс. каф. технологии конструкционных материалов КНИТУ, n1ko1a1-kazan@ramb1er.ru.

3З