Сферически симметричные финслеровы пространства. I Текст научной статьи по специальности «Математика»

Н. С. Перминов

СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЕ ФИНСЛЕРОВЫ ПРОСТРАНСТВА. I

Ключевые слова: финслеровы пространства, уравнения Эйнштейна.

В работе рассмотрены сферически симметричные финслеровы пространства. Для них проанализировано условие вырождения и определен класс вырожденных пространств. Путем приведения выражения для определителя метрического тензора к каноническому виду получено простое и компактное выражение для связности, согласованной с метрической структурой. Построена модификация уравнений Эйнштейна.

Кеуwords: finslerian spaces, Einstein equations.

In this paper we consider spherically symmetric Finslerian spaces. The class of degenerate metric functions is determined. The canonical form of determinant of the metric tensor is found. Simple and compact expressions for the metric tensor and the connection are obtained. Modifications of the Einstein equations are constructed.

Введение

Сферически симметричные финслеровы пространства являются наиболее значимыми в многочисленных приложениях теоретического характера [2, 4]. В данной работе изучаются свойства финслеровых пространств F4, допускающих полную группу изометрий SO(3) . Путём интегрирования уравнений, определяемых условием вырождения, получен класс вырожденных метрических функций. Получены простые и компактные представления выражений для метрического тензора и связности в виде тензорного произведения. Построена точная и приближенная модификация уравнений Эйнштейна. Отметим, что используемое представление для тензоров обладает наглядностью и удобствами, позволяет просто определить количество независимых компонент тензоров, а также существенно увеличивает скорость символьных вычислений при работе с приложениями.

Метрическая функция

Многообразие Mn называется

финслеровым пространством Fn [5], если в его касательном расслоении T(M)n задана дифференцируемая скалярная метрическая функция F(x, y) второй степени однородности по

координатам слоя у1 и выполнено условие невырожденности det(1/2 д 1jF) ^ 0, где 51 ^3/ôx1,

д1 = д/ду1, у1 = X1 = dx1/dt, dy1/dt = у1 = d2x1/dt2,

1 є{0, ...,n-1}, ає{0, ...,n-1}.

Финслерово пространство F4 допускает полную группу изометрий SO(3) с генераторами

X = {Xj = x352 - x253,

X2 = xjd3 - x3dj,

X3 = x2dj - xjd2} ,

тогда и только тогда, когда выполнено условие [5]

LxF = 0, (1)

где LX - производная Ли вдоль генераторов X , или, в развёрнутой форме,

[x392 - x233 + y392 - y233]F(x, y) = 0,

< [x'33 - x39j + у'З3 - y39j ]F(x, y) = 0,

[x23j - xj32 + y2dj - yjd2]F(x, y) = 0.

Отсюда получим [5]

F(x, y) = V(x°,|x|,y0, < x,y>,|y|),

< x, y > = x „y a,

a (2)

| x|=<x,x>j2,

x a = 4ex ^ у a = в Sa¡3 = W

(по индексам со знаком \ а\ суммирование не ведётся), где ¥ - некоторая функция своих

аргументов, удовлетворяющая условию

однородности y‘<5i ¥ = 2¥ .

В сферических координатах x, где x0 = x0,xj = px2 = Qx3 = p, (3)

xj = pin( Qcos(p), x2 = pin( Qsin(p), x3 = pcos(p),

базис алгебры симметрий g3 = so(3) имеет вид Xj = sin(p)d 0 + ctg( É)cos(p)5p,

X2 = -sin(p)50 + ctg( É)sin(p)5p,

X3 =-5р,

а метрическая функция (2) представима в виде F(x,y) = (y0)2 í?(x0, ppy0,yj в + sin2 Qp2/y0), (4)

где ф - произвольная функция своих аргументов. Условие вырождения Финслерово пространство F4 называется вырожденным [8], если выполнено условие det(1/25¡jF) = 0. (5)

Вид уравнения (5) инвариантен относительно невырожденных преобразований координат x. В сферических координатах (3)

ай(1/2 5 ^Б) =

1/и18Іп2 еф5иі фд^ 05^2 ф- 5иі„2 ф2)

и1 = ^'0 + 8ІИ2 Ор2/у0

(6)

и2 =

Поэтому условие (5) эквивалентно уравнению Монжа-Ампера [3] вида

5иЛ Ф - 5иіиі фи2и2 Ф= 0- (7)

Общее решение уравнения (7) может быть записано в параметрической форме [3]

Ф X0, ри 1,и2) =

ти2 + ^(х0, рт)и1 + ^2(х0, рт), и2 + дт ^і(х0, рт)иі + дт ^2(х0, рт) = 0, (8)

и1 = д/О+ІЇи2"брр/у0, и2 =

где Ц/1,^2 - произвольные функции своих

аргументов. Таким образом, получено, что класс вырожденных сферически симметричных финслеровых пространств Р4 определен

метрическими функциями вида Б(х,у) = (у0)2 ф, где выражение для ф дается формулой (8).

Связность Геодезические [8] финслерового

пространства Бп с метрической функцией Б(х, у) удовлетворяют условию экстремальности &[х]/ З = 0 (9)

для функционала длины

12

8[х] = | Б(х, у^1

Уравнение (9), разрешенное относительно вторых производных ^х'/^2, имеет вид [1]

ау'/л + г'(х, у) = о

и определяет согласованную с метрической структурой связность Г1 [8]:

Г = Гук = Гкт укут,

Гк = 1/25к Г, Гкт = 1/25кт Г, (10)

Г(х,у) = 1/2ди(5 (к9т)] 5 ]9кт )укут,

д,т9тк = <5,д„(х,у) = 1/25/(х,у),

где g1j(x, у) - метрический тензор. Также связность

Г1 может быть представлена в следующей форме:

Г = (4, 1 ^П!.2[5к,т,р](у13191р-5^)*

(¿^ п;.1[5 к,т,р])-1,

(к) = к1...кп, = 1/п! ¿"л = 1.

Для сферически симметричных

финслеровых пространств Р4 метрическая функция

(2) может быть представлена в виде Б(х,у) = (y0)2b2(q),

ч = (ql,q2,qз,q4),

ql = (І у I2 -<х,у>2/|х|2)1/2/у0,

42 =<х,у>/ I х I /у0,

43 =| х |,

44 = x0,

где Ь - произвольная функция своих аргументов. Тогда метрический тензор g1j представим в

следующей форме:

gli = <? ^оо +

gоо = К1,

gо а = х + У а/У °К 2 ,

(12)

g ав = Х 0х вК3 + Х(аУ в/уоК2 + У аУв/(Уо)2К3 +

К1 = (ЬЪц -Ъ^!2 + 2((Ь:Ъ2 + №^2 -bb1)q1 + (ЬЬ22 + Ъ22^22 - 2ЬЬ2q2 + Ь2,

К12 = -(Ь1Ь2 + ЬЬ12 )^ + 2((Ь(Ь11 - Ь22 ) +

Ь12 -Ь22)q2 -ЬЬ2^ + (Ь1Ь2 + ЬЬ12)q22 -ЬЬ^2,

К2 = -((ЬЬП + Ь^ + (Ь1Ь2 + ЬЬ^ -ЬЬl)/ql,

К3 = ((ЬЬ22 + Ь22)ql3 - (2(Ь1Ь2 + ЬЬl2)q2 +ЬЬl)ql2 + (ЬЬП + Ьl2)q22ql- ЬЬlq22)/(qз2ql3),

3 2 2

К2 = ((№ + ЬЬl2)ql - (ЬЬП + Ь )q2ql +ЬЬlq2)/(qзql3),

К3 = ((ЬЬП + Ьl2)ql -ЬЬ^3, к4 = ЬЬl/ql,

Ьк = 5^^.

Здесь координаты и обозначения выбраны так, чтобы det( g¡J), который является квадратичной

формой по Ь1к , имел канонический вид:

^СЯіО = 1/Ч1Ь5Ь1 (Ь11Ь22 - Ь12 ).

(13)

(14)

С учетом (13), получим выражение для связности в следующей компактной форме:

г = ¿о Г + ¿г0,

Г = (уо)2Р!, Га = ха(уо)2Р12 + уауоР22, р1 =( Ь1( Ь2Ь11 + ЬlЬl2)ql + q2(qз((-ЬlзЬ22

+ Ь 23Ь12 )Ь1 + ( Ь 23Ь11 + Ь13Ь12 )Ь2 + (Ь11Ь22 - Ь12 )Ь3) - ( Ь 2Ь12 + Ь1Ь 22 )Ь 1 )

+ ^((Ь24Ь12 - Ь3Ь12 - Ь14Ь 22 )Ь 1 + ( Ь 24Ь11 + Ь 3Ь11 + Ь14Ь12 )Ь2 + (Ь11Ь22 - Ь12 )Ь4))/(qзЬ(Ь11Ь22 - Ь12 )),

Pl2 = (ql(ql2 + q22)(bnb22 -bl22)-q^A

+ ql (q2 ((b23b11 - b13b12 )q3 - 2b 1b 12 )

+ q3 ( b14b12 + b 24b 11 - b3b11))

+ q2 (( b13b22 + b23b12 )q3 - b1b 22 )

+ q2q3(b24b12 - b3b12 - b14b 22 ))

/(q32qlb(bnb22- bl22)),

?22 = (-ql2(bl2bl2 + blbnb2) + ql(q2(q3((

- b13b 22 + b 23b 12 )b1 + (-b 23b 11 + b13b12)b2

+ (b11b22 - b12 )b3) + (b 12 - b11b22 )b -

( b 2b12 + b1b 22 )b1 ) + q3((b24b12 - b3b12

- b14b 22 )b 1 + (-b 24b 11 + b 3b 11 + b14b12)b2 + (bllb22 -bl22)b4) + bblbl2) + q2((

-b23b 12 + bBb22)bq3 + bblb22) + ( b24b 12

+ b 3b 12 + b14b 22 )bq 3 )/

/(q32qlb(bnb22- bl22)).

Кривизна и уравнения поля

Для финслеровых пространств рассмотрены уравнения гравитационного поля следующего вида:

R(x,y) = T(x,y), (1З)

R = ^yiykRíkm,

Rjkm = д[k r^mli - Г Г!]| + yh^| Г Г1m]h,

где R1jkm - третий тензор кривизны Картана [S], а

T(x, y) - скалярный ток. Если гравитационное поле

не зависит от скоростей дkg1j = 0 и скалярный ток

T(x, y) = 0, то тензор кривизны Картана Rjkm

переходит в тензор Римана-Кристоффеля, а уравнения (1З) будут эквивалентны уравнениям Эйнштейна для поля тяготения в вакууме [7].

Если метрическая функция «близка» к метрической функции пространства Минковского, то есть

F(x, y) = F0(x,y) + ßRx,y),

F0 = (y0)2(-l+|y|2),

(16)

(17)

где в - малый параметр, то метрика представима в виде

gij(x, у) = П + вЪу(х,у),

= 1/25 ljFl(x, У).

С точностью до первой степени по малому параметру связность определена формулой

Гкш = в*1/2 П(5(kgш)j -5jgkm),

Г1 = в* 1/2 Г(у53,5ШР1 -5„Д), а выражение для Я имеет вид

(1S)

R = ykдkдm Г” -дm Г” =

(У0)2 ß[1/4>P° P0 0 P3 - 1/2P0 0 P 2 + 1/2P 1 ]Fl,

P0 = У'д s, (19)

Pl = Г д km,

P 2 = Г д k д m,

P3 = Г дkm .

В специальном случае, когда Fi = (y0)2B(Zl,z3),

zl =|x|2, z2 = (X, X>, z3 =| y L

(20)

в результате вычислений на компьютере получим:

R = /(y0)2(Z22(4Z3(1 - Z3^ Zl2д z22B

+ 2(1 + Z3^z/дz2B -2дz/B)

+ 2Z32(1 - Zз)д zl2д z2B + Z3O + Zз)д zl д z2B

+ 2Zlдzl2B + (3 -Zз)дzlB).

(21)

Заключение

Все ключевые вычисления и формулы были проверены в пакете Мар1е, что обеспечивает достоверность полученных результатов. Описанные математические методы и полученные результаты показывают наглядный способ применения символьных вычислений при работе с финслеровыми расширениями теории гравитации, а также образуют удобную базу для дальнейших изысканий в области космологии [2]. Это представляет интерес с точки зрения приложений теоретического [4] и экспериментального характера [6].

Литература

1. Атанасиу, Г. Дифференциально-геометрические структуры. Касательные расслоения, связности в расслоениях, экспоненциальный закон в пространстве струй / Г. Атанасиу и др. - М.: Либроком, 2о1о. - 336 с.

2. Богословский, Г.Ю. Теория локального анизотропного пространства-времени / Г.Ю. Богословский. - М.: МГУ, 1992. - 27о с.

3. Виноградов, А.М. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / А. М. Виноградов, В. С. Красильщик. - М.: Факториал Пресс, 2оо5. - 384 с.

4. Гарасько, Г.И. Начала финслеровой геометрии для физиков / Г. И. Гарасько. - М.: ТЕТРУ, 2оо9. - 268 с.

5. Егоров, И.П. Движения и гомотетии в пространствах Финслера и их обобщениях / И.П. Егоров. - М.: ВИНИТИ, 1984. Итоги науки и техники. Серия: Проблемы геометрии. Т. 16. - 333 с.

6. Кузнецов, В.Г. О связи коэффициентов свободной и стеснённой диффузии в процессах массопереноса в системах с твёрдой фазой / В.Г. Кузнецов, Р.К. Кузнецов, Г.А. Аминова. - Вестник Казан. технол. ун-та.

- 2о11. - Т. 14, № 19. - С. 77-8о.

7. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Том II. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М.: Физматлит, 2оо6. - 534 с.

8. Рунд, X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств / Х. Рунд. - М.: Наука, 1981. - 354 с.

© Н. С. Перминов - асс. каф. технологии конструкционных материалов КНИТУ, niko1a1-kazan@ramb1er.ru.

2S