Свойства финслеровых пространств F4 с группой изометрий G7. I Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.517.2

Н.С. Перминов

СВОЙСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ F4 С ГРУППОЙ ИЗОМЕТРИЙ G7. I

Ключевые слова: финслеровы пространства, уравнения Эйнштейна.

В данной работе изучаются свойства финслеровых пространств F4, допускающих полную группу изометрий G7. Определён класс вырожденных метрических функций. Найдена каноническая форма выражения для определителя метрического тензора. Получено простое и компактное выражение для метрического тензора, связности и кривизны. Построены точные и приближенные решения модифицированных уравнений Эйнштейна.

Кеумогйз: finslerian spaces, Einstein equations.

In this paper we consider properties of Finslerian spaces F4 admitting a full group of isometries G7. The class of degenerate metric functions is determined. The canonical form of determinant of the metric tensor is found. Simple and compact expressions are obtained for the metric tensor, the connection and the curvature. Exact and approximate solutions of the modified Einstein equations are constructed.

Введение

Финслеровы пространства, допускающие полные группы движений высокого порядка, являются наиболее значимыми в многочисленных приложениях теоретического характера [2, 4]. В данной работе изучаются свойства финслеровых пространств F4, допускающих полную группу

изометрий G7. Путём интегрирования уравнений,

определяемых условием вырождения, получен класс вырожденных метрических функций. Найдена каноническая форма выражения для определителя метрического тензора. Получены простые и компактные представления выражений для метрического тензора, связности и кривизны в виде тензорного произведения. Благодаря этому в компактной форме записаны модифицированные уравнения Эйнштейна, а также построены их точные и приближенные решения. Отметим, что используемое представление для тензоров обладает наглядностью и удобствами, позволяет просто определить количество независимых компонент тензоров, а также существенно увеличивает скорость символьных вычислений при работе с приложениями.

Метрическая функция

Многообразие Мп называется

финслеровым пространством Рп [5], если в его касательном расслоении Т(М)п задана дифференцируемая скалярная метрическая функция Б(х, у) второй степени однородности по

координатам слоя у1 и выполнено условие невырожденности det(1/2 3^Б) ^ 0, где 31 ^З/Зх1,

3 1 = З/Зу1, у1 = X1 = dx1/dt, dy1/dt = у1 = d2x1/dt2, 1 е {0, ..., п -1}, а е {0, ...,п-1}.

Финслерово пространство F4 допускает полную группу изометрий G7 с генераторами

X = {X1 = x332 - x233, X2 = x133 - x331,

X3 = x231 - x132, X4 = 31, X5 = 32,X6 = 33,

X7 = e-x030 + x131 + x232 + x333},

тогда и только тогда, когда выполнено условие [5]

LXF = 0,

(1)

где Ьх - производная Ли вдоль генераторов X , или, в развёрнутой форме,

у 32 - x2д3 + У332 - У23з]F(x,y) = 0, [x1д3 - x3д1 + у133 - У33^^ У) = 0, [x2д 1 - x1д2 + у2д 1 - у1д2]F(x, у) = 0, [д1]F(x,y) = 0, [3 2^,у) = 0,

[3 3^,у) = 0,

[e3 0 + x1д1 + x2д 2 + x3 3 3

- e ->!У 3 0 + У13 1 + У23 2 + У33 3]F(x, У) = 0. Отсюда получим [5] F(x,y) = e2xV)2a2(z),

z =|У|/У0,|x|=<x,x>1/2, <*у> = x „уа, (2)

x = 5 *в,у = 5 у8 в = 8А8Д

а ав ' * а ав ав а в

(по индексам со знаком \ а\ суммирование не ведётся), где a - произвольная функция своих аргументов.

Условие вырождения

Финслерово пространство F4 называется вырожденным [8], если выполнено условие det(1 / 23 ijF) = 0. (3)

Простые вычисления показывают, что det(1/2дijF) = e8x0 /z2a5a'2aм, (4)

где ' обозначает производную по z. Отметим, что уравнение (3) является уравнением Монжа-Ампера, а выражение (4) является левой частью однородного уравнения Монжа-Ампера, приведённой к

канонической форме [3], то есть имеет максимально простой и компактный вид в силу специального выбора координат и обозначений в формуле (2).

Условие (3) эквивалентно системе уравнений на а(г) вида

а = 0,

а' = 0, (5)

а'' = 0.

Общее решение системы (5) может быть записано в форме

аф = 0^ + е2,

где 0,, 02 - произвольные константы. Таким образом, класс вырожденных финслеровых пространств Р4 с группой изометрий С7 определяется метрическими функциями вида

Р(х,у) = в2х0(у0)2(О17 + О2)2.

Связность

Геодезические [8] финслерового

пространства Рп с метрической функцией Б(х, у) удовлетворяют условию экстремальности ¿Б[х]/ ¿с1 = 0 (6)

для функционала длины

2

s[x] = J F(x, y)dt.

Уравнение (6), разрешенное относительно вторых производных d2x1/dt2, имеет вид [1]

ау'мг + г1(х, у) = о

и определяет согласованную с метрической структурой связность Г1 [8]: Г = Гкук = Гктукут,

Гк = 1/25к Г, Гкт = 1/25кт Г,

Г(х,у) = 1/2д"(5(к9т) -5]дкт)укут,

9;т9тк = <5,д„(х,у) = 1/25/(х,у),

где яу(х,у) - метрический тензор. Также связность

Г1 может быть представлена в следующей форме:

г=(¿т1 ^п;=2 [5^/(у'дДр - ад * (^ ПП=1 [5к.т^Г, (7)

(к) = к1...кп, ¿^ = 1/п! ¿5к1-к"1, ¿Р = 1.

Для финслерового пространства (1) метрический тензор представим в простой и

удобной форме тензорного произведения следующего вида:

д,= Г <?g00 + Г <fg00 + ГГ^,

Qoo = K1,goa = y A0K2,g„e = y j ^(y0)2K3 + <5JK2, K1 = e2x0(a2 -2zaa'+z2(a'2 +a")), K2 =-e2x0/z(-aa'+z(a'2 +a'')), K3 = e2x0/z3(-aa'+z(a'2 +a'')), K3 = e2x0/z3aa'.

Здесь координаты и обозначения выбраны так, чтобы знаменатель в правой части формулы (7), который является квадратичной формой по вторым производным ¿¡jF, имел канонический вид.

Деленный на 244!, он равен выражению

det(g ) = e /z2a5a'2a''.

(8)

C учетом (8), получим выражение для связности в следующей компактной форме:

г = Г г + Г га

Г0 = (y0)2P1, Г = y "y0P2, (9)

P1 = 1 + 1/b',P2 = 1 - 1/zb/b',

b = a/a'-z.

Кривизна и уравнения поля

Для финслеровых пространств рассмотрены уравнения гравитационного поля следующего вида:

R(x,y) = T(x, y), (10)

R = ¿myjykRjkm,

Oi _ p, T"i ]"t n h p p Tl

R jkm = д [k m ]j — Г j[k ^mjl + y ¿l Г j[k ^mjh'

где Rjkm - третий тензор кривизны Картана [8], а

T(x, y) - скалярный ток. Если гравитационное поле

не зависит от скоростей дkg;j = 0 и скалярный ток

T(x, y) = 0, то тензор кривизны Картана Rjkm

переходит в тензор Римана-Кристоффеля, а уравнения (10) будут эквивалентны уравнениям Эйнштейна для поля тяготения в вакууме [7]. В исследуемом нами случае (2)

R = 1/4дm Гдk Г -1/2 Гдkm Г

и, как следствие формулы (9), выражение для R представимо в виде

R = (y0)2R,

R = 1/4(z2(-2pp' '+p'2) + 6zp(p'-q') - 3(p2 - q2)), p = 1/z(b - z)/b',q = 1 + 1/b'.

Для римановых пространств сигнатуры (+ + ++) (выбор сигнатуры (- + ++) не приводит к

существенному изменению в описанной далее процедуре или форме ответов) метрическая функция вида (2) с точностью до умножения на константу и вращения системы координат {x"} определяется выражением

F(x,y) = е2х (y0)2a2(z), а£) = (1 + z2)1,2,

а связность Гi и левая часть уравнений (10) записываются в виде

Г = 80 г + 8 га,

г = (у0)2Р1, Га = уау0р2, р1 = 1 - z2, р2 = 2,

Р = (у°т

Р = 2z2.

Предполагая, что скалярный ток Т в правой части уравнения (10) определяется формулой

Т = (У0)^2, (12)

будем искать решение уравнения (10) по теории возмущений в первом порядке по малому параметру Р для метрических функций (2) с функцией а^) вида

аф = (1 + z2)1/2(1 + Риф),

которые можно назвать «близкими» к метрическим функциям (11) риманова пространства. Из (10) получим следующую систему уравнений относительно искомой функции и^):

Р^2^3 + 2z2 + 1)vм'+2z(3z4 + 7z2 + 4)ум

+ 2(3z4 + 6z2 + 5Ю + 0(Р2) = 0,

Ь = а/а'+z = + pv(z) + 0(р2), (13)

v(z) = -(1 + z2)2/z2u',

и^) = | z2v(z)/(1 + z2)dz.

Вычисления показывают, что общее решение (13) имеет вид

u(z) = 1/z/(1 + z2)((c1 + c2z)((1 + z2)arctg(z) + z) + (Сз + C4z)(1 + z2)),

где С1,С2,С3,С4 - произвольные константы. Если

наложить дополнительное физическое требование a(z ^ 0) ф 0, (14)

чтобы метрическая функция не обращалась в бесконечность при нулевых значениях модуля скорости | у |, то это приводит нас к условию

С3 = 0 . Таким образом, соответствующая решению

уравнения (10), метрическая функция может быть представлена в следующей форме:

F(x,y) = е2х°(у°)2(1 + z2)(1 + р/z/(1 + z2)

((С1 + C2z)((1 + z2)arctg(z) + z) (15)

+ Cзz(1 + z2))),

где C1,C2,C3 - произвольные константы.

Отметим, что наряду с приближенным решением (15) для уравнения (10), существует точное частное решение, удовлетворяющее требованию (12) и (14) следующего вида: F(x,y) = e2x°(y°)2(1-(1 - 8z2)1'2)4.

Заключение

Все ключевые вычисления и формулы были проверены в пакете Maple, что обеспечивает достоверность полученных результатов. Описанные математические методы и полученные результаты показывают наглядный способ применения символьных вычислений при работе с неявными функциями в рамках финслеровых расширений теории гравитации, позволяют вычислять наблюдаемые величины (40), а также образуют удобную базу для дальнейших изысканий в области космологии [2]. Это представляет интерес с точки зрения приложений теоретического [4] и экспериментального характера [6].

Литература

1. Атанасиу, Г. Дифференциально-геометрические структуры. Касательные расслоения, связности в расслоениях, экспоненциальный закон в пространстве струй / Г. Атанасиу, В. Балан, Н. Брынзей, М. Рахула. -М.: Либроком, 2010. - 336 с.

2. Богословский, Г.Ю. Теория локального анизотропного пространства-времени / Г.Ю. Богословский. - М.: МГУ, 1992. - 270 с.

3. Виноградов, А.М. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / А. М. Виноградов, B. C. Красильщик. - М.: Факториал Пресс, 2005. -384 с.

4. Гарасько, Г.И. Начала финслеровой геометрии для физиков / Г. И. Гарасько. - М.: ТЕТРУ, 2009. - 268 с.

5. Егоров, И.П. Движения и гомотетии в пространствах Финслера и их обобщениях / И.П. Егоров. - М.: ВИНИТИ, 1984. Итоги науки и техники. Серия: Проблемы геометрии. Т. 16. - 333 с.

6. Кузнецов, В.Г., Кузнецов, Р.К., Аминова, Г.А. О связи коэффициентов свободной и стеснённой диффузии в процессах массопереноса в системах с твёрдой фазой / В.Г. Кузнецов, Р.К. Кузнецов, Г.А. Аминова. - Вестник Казан. технол. ун-та. - 2011. - № 19. - С. 77-80.

7. Ландау, Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том II. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М.: Физматлит, 2006. - 534 с.

8. Рунд, X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств / Х. Рунд. - М.: Наука, 1981. - 354 с.

© Н. С. Перминов - асс. каф. технологии конструкционных материалов КНИТУ, nikolai-kazan@rambler.ru.