Свойства финслеровых пространств F4 с группой изометрий G7 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ПГПУ

ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 514.16.8

СВОЙСТВА ФИНСЛЕРОВЫХ ПРОСТРАНСТВ F4 С ГРУППОЙ

ИЗОМЕТРИЙ G7

© Н.С. ПЕРМИНОВ

Казанский Государственный Университет, кафедра теории относительности и гравитации e-mail: Nikolay.Perminov@ksu.ru

Перминов Н.С. — Свойства финслеровых пространств F4 с группой изометрий G7 // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 167—172. — В данной работе изучаются свойства финслеровых пространств F4, допускающих полную группу изометрий G7. Определён класс вырожденных метрических функций. Найдена каноническая форма выражения для определителя метрического тензора. Получено простое и компактное выражение для метрического тензора, связности и кривизны. Построены точные и приближенные решения модифицированных уравнений Эйнштейна.

Ключевые слова: Финслеровы пространства, уравнения Эйнштейна

Perminov N. S. — Properties of Finslerian spaces F4 with isometry group G7 // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 167—172. — In this paper we consider properties of Finslerian spaces F4 admitting a full group of isometries G7. The class of degenerate metric functions is determined. The canonical form of determinant of the metric tensor is found. Simple and compact expressions are obtained for the metric tensor, the connection and the curvature. Exact and approximate solutions of the modified Einstein equations are constructed.

Keywords: Finslerian spaces, Einstein equations

Введение

Финслеровы пространства, допускающие полные группы движений высокого порядка, являются наиболее значимыми в многочисленных приложениях теоретического характера [2, 4]. В данной работе изучаются свойства финслеровых пространств ^4, допускающих полную группу изометрий О7. Путём интегрирования уравнений, определяемых условием вырождения, получен класс вырожденных метрических функций. Найдена каноническая форма выражения для определителя метрического тензора. Получены простые и компактные представления выражений для метрического тензора, связности и кривизны в виде тензорного произведения. Благодаря этому в компактной форме записаны модифицированные уравнения Эйнштейна, а также построены их точные и приближенные решения. Отметим, что используемое представление для тензоров обладает наглядностью и удобствами, позволяет просто определить количество независимых компонент тензоров, а также существенно увеличивает скорость символьных вычислений при работе с приложениями.

Метрическая функция

Многообразие Мп называется финслеровым пространством Гп [7], если в его касательном расслоении Т(Мп) задана дифференцируемая скалярная метрическая функция Г(х, у) второй степени однородности по координатам слоя у1 и выполнено условие невырожденности <е1(1/2дцГ) = 0, где дг = 3/дхг, дг = 3/3у1,у1 = хг = ёхг/А, <уг/<И = в?хг/ё£2, г € {0, ...,п — 1}, а €{1,...,п — 1}.

Финслерово пространство Г4 допускает полную группу изометрий О7 с генераторами

X = {Х1 = х3д2 — х2д3,

Х2 = х1д3 — х38\,

Х3 = х2д1 — х1д2,

Х4 = д1,

Х5 = д2,

Хб = дз,

Х7 = е-х д0 + х1д1 + х2д2 + х3д3}.

тогда и только тогда, когда выполнено условие [5]

Ьх Г = 0, (1)

где Ьх — производная Ли вдоль генераторов Х. Условие (1) эквивалентно семи уравнениям на Г(х, у):

[х3$2 — х2дз + у3^2 — у2дз]Г (х, у) = 0,

[х13з — х3д! + у1^ — у3^1]Г (х,у) = 0,

[х2^1 — х1^2 + у2с?1 — у1с^2]Г(х, у) = 0,

< [д1]Г (х,у)=0,

[^]Г (х, у) = 0,

[дз]Г(x, у) = 0,

[е-х°до + х1^1 + х2д2 + х3дз — е-х°у0до + у1с?1 + у2с^2 + у3<9з]Г(х, у) = 0.

Отсюда получим [5]

Г (х,у)= е2х° (у0)2а2(г), (2)

г = |у|/у0, |х| = (х,х)1/2, (х,у) = х1у1 + х2у2 + х3у3,

где а — произвольная функция своих аргументов.

Условие вырождения

Финслерово пространство Г4 называется вырожденным [7], если выполнено условие

<Ы(1/2д^ Г ) = 0. (3)

Простые вычисления показывают, что

¿еЬ(1/2д)г^Г) = е8х /г2а5а'2а", (4)

где ' обозначает производную г. Отметим, что уравнение (3) является уравнением Монжа-Ампера, а выражение (4) является левой частью однородного уравнения Монжа-Ампера, приведённой к канонической форме [3], то есть имеет максимально простой и компактный вид в силу специального выбора координат и обозначений в формуле (2).

Условие (3) эквивалентно системе уравнений на а(г) вида

а(г) = 0,

а'(г) = 0, (5)

а''(г) = 0.

Общее решение системы (5) может быть записано в форме

а(г) = С1г + С2,

где С1, С2 — произвольные константы. Таким образом, класс вырожденных финслеровых пространств Г4 с группой изометрий О7 определяется метрическими функциями вида

Г (х,у) = е2х° (у0)2(С1|у|/у0 + С2 )2,

где С1, С2 — произвольные константы.

Связность

Геодезические [7] финслерового пространства Гп с метрической функцией Г(х,у) удовлетворяют условию экстремальности

58[х]/5хг = 0 (6)

для функционала длины

12

в[х] = J ¥(х,у) Зі.

Уравнение (6), разрешенное относительно вторых производных d2xг/dt2, имеет вид [1]

Зуг/ЗА + Гг(х, у) = 0

и определяет согласованную с метрической структурой связность Гг [7]:

гг = Гкук = Гктук ут,

П = 1/2дк Гг,

Г\т = 1 /2д к тГг,

Гг(х, у) = 1/2дгз (д(кдтЬ — Зздкт)укут, дгтдт к = ¿к, дгз (х,у) = 1/2% Г (х,у),

где дг^ (х,у) — метрический тензор. Также связность Гг может быть представлена в следующей форме:

пп

Гг = ( ¿11 Рт 1 £( к)£(т) П ¿>к .т. Г (ууГ — дз Г) ) / ( £ к)е(т) П Эк Г ), (7)

в=2 г=1

(к) = к1...кп, £к1-кп = 1/п! £[к1"'кп], £1-п = 1.

Для финслеровых пространств Г4 с группой изометрий О7 метрическая функция определяется формулой (2), а метрический тензор дгз представим в простой и удобной форме тензорного произведения следующего вида:

дгз = ¿0^00 + ¿№ д0а + ¿7 ¿в д*в,

д00 = К , д0а = уа/у К , дав = уаув/ (у ) К1 + ¿авК2 ,

K1 = e (a2 — 2zaa/ + z2 (a + aa//)),

K2 = —e2æ /z(—aa/ + z(a/2 + aa//)), K3 = e2æ /z3(—aa/ + z(a/2 + aa//)),

K| = e2æ /zaa ,

xa = Sae x^, y a = Sae yß, Saß = S^,

где по индексам со знаком суммирование не ведётся.

Здесь координаты и обозначения выбраны так, чтобы знаменатель в правой части формулы (7), который является квадратичной формой по вторым производным д3 Г, имел канонический вид. Деленный на 244!, он равен выражению для Зе1(дгз):

Зе1(дгз) = е /г2а а а''.

С учетом (8) получим выражение для связности в следующей компактной форме:

гг = ¿0 г0 + ¿га га,

Г0 = (у0)2Р1, га = уау0Р2,

(S)

(9)

P1 = 1 + 1/b/,

P2 = 1 — 1/zb/b/, b(z) = a/a/ — z,

Гк = S0 S0 го+sí ¿°°Га+S0 saгa+sí Sßk r%

Г0 = y0Q1, га = yaQ2, га = yaQ3, га = y>/y0Q4 + S°ß/y0Q\

Q1 = 1/2(2A — zA/), Q2 = 1/2(B — zB/),

Q3 = 1/2/zA/,

Ql = 1/2/zB',

Ql = 1/2B,

A(z) = P1, B(z) = P2

Q1 = 1/2(26' + 26/2 + zb")/b'2,

Q2 = -1/2/z(2bb/ - 2zb/2 + zbb//)/b/2,

Q3 = -1/2/zb"/b/2,

Ql = 1/2/z3(bb/ - zb/2 + zbb'/)/b'2,

Q\ = 1/2/z(zb/ - b)/b/.

Кривизна и уравнения поля

Для финслеровых пространств рассмотрены уравнения гравитационного поля следующего вида:

R(x,y) = T(x,У),

R = SiV yk Rj km,

Rjkm = д[к rm]j — rj[k rm]l + ^^^[k Гт]

(10)

h

где Щкт — третий тензор кривизны Картана [7], а Т(х,у) — скалярный ток. Если гравитационное поле не зависит от скоростей дкдц =0 и скалярный ток Т = 0, то тензор кривизны Картана Щкт переходит в тензор Римана-Кристоффеля, а уравнения (10) будут эквивалентны уравнениями Эйнштейна для поля тяготения в вакууме [6]. В исследуемом нами случае (2)

я = уУ гктгтк = гтгт - у8гкз^т = 1/4(зтгк^гт - 2гЧтГт)

и, как следствие формулы (9), выражение для Я представимо в виде

Я =(у0 )2П,

^ = 1/4(х2(—2рр'' + р'2) + 6хр(р' — ц') — 3(р2 — ц2)),

где

г = ¿о г0 + ¿а га,

г0 = (у0)2д(х), га = уау0(д(г) — р(х))

или

Я = 1/4/х2(2х2(Ъ + г)2Ъ'Ъ”' — 3х2(Ъ + х)Ъ''2 + 4хЪ(Ъ + х)Ъ'Ъ'' — 2х2Ъ'4 — 4х(Ъ + х)Ь'3 + 26(36 + 2х)Ъ'2)/Ъ'4, ц = 1 + 1/Ъ', р = 1/х(Ъ — х)/Ъ'.

Для римановых пространств сигнатуры (+ + ++) (выбор сигнатуры (-+—|—+) не приводит к существенному изменению в описанной далее процедуре или форме ответов) метрическая функция вида (2) с точностью до умножения на константу и вращения системы координат {ха} определяется выражением

¥ =(у0)2 е2х° а2(х), (11)

а(х) = (1 + х2)1/2,

а связность г® и левая часть уравнений (10) записываются в виде

г = ¿0 г0 + ¿а га,

Г0 = (у0)2Р1, га = уау0Р2,

Р1 = 1 — х2, Р2 =2,

Я = (у0)2П, П = 2х2.

Предполагая, что скалярный ток Т в правой части уравнения (10) определяется формулой

Т=(у0)22х2, (12)

будем искать решение уравнения (10) по теории возмущений в первом порядке по малому параметру в

для метрических функций (2) с функцией а(х) вида

а(х) = (1 + х2)1/2(1 + @п(х)),

которые можно назвать мблизкимимк метрическим функциям (11) риманова пространства. Из (10) получим следующую систему уравнений относительно искомой функции и(х):

в(х2(х3 + 2х2 + 1)«"' + 2х(3х4 + 7х2 + 4)«'' + 2(3х4 + 6х2 + 5)«') + 0(в2) = 0, (13)

Ъ = а/а — х = 1/х + в«(х) + 0(@2), ,(х) = —(1 + х2)2/х2п ,

„м = — / А,(г)/(1 + х2) ,1х

Вычисления показывают, что общее решение (13) имеет вид

u(z) = 1/z/(1 + z2)[(ci + C2z)((1 + z2) arctg(z) - z) + (сз + cAz)(1 + z2)],

где ci, C2, сз, C4 — произвольные константы. Если наложить дополнительное физическое требование

a(z ^ 0)=0, (14)

чтобы метрическая функция не обращалась в бесконечность при нулевых значениях модуля скорости |y|, то это приводит нас к условию сз = 0. Таким образом, соответствующая решению уравнению (10) метрическая функция может быть представлена в следующей форме:

F(x, y) = e2x°(y0)2(1 + z2)(1 + ß/z/(1 + z2)[(Ci + C2z)((1 + z2) arctg(z) - z) + C3z(1 + z2)]), (15)

где Ci, C2, C3 — произвольные константы.

Отметим, что наряду с приближенным решением (15) для уравнения (10), существует точное частное решение решение, удовлетворяющее требованию (12) и (14) следующего вида:

F(x,y)= e2x°(y0)2(1 - (1 - 8z2)i/2)4.

Заключение

Все ключевые вычисления и формулы были проверены путём применения пакетов символьных вычислений в среде Maple, что обеспечивает достоверность полученных результатов. Описанные математические методы и полученные результаты показывают наглядный способ оптимизации процесса символьных вычислений при работе с финслеровыми расширениями теории гравитации, а также образуют удобную базу для дальнейших изысканий в области космологии [2]. В дальнейшем планируется реализовать подобную схему исследований для всех финслеровых пространств Fn с группами изометрий порядка r > n(n - 1)/2, что представляет интерес с точки зрения многочисленных приложений теоретического характера [4].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Атанасиу Г., Балан В., Брынзей Н., Рахула М. Дифференциально-геометрические структуры. Касательные расслоения, связности в расслоениях, экспоненциальный закон в пространстве струй. М.: Либроком, 2010. 336 с.

2. Богословский Г. Ю. Теория локального анизотропного пространства-времени. М.: МГУ, 1992. 270 с.

3. Виноградов А. М., Красильщик B.C. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики. М.: Факториал Пресс, 2005. 384 с.

4. Гарасько Г. И. Начала финслеровой геометрии для физиков. М.: ТЕТРУ, 2009. 268 с.

5. Егоров И. П. Движения и гомотетии в пространствах Финслера и их обобщениях // Итоги науки и техники. Серия: Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ, 1984. Т. 16. С. 81-126.

6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том II. Теория поля. М.: Физматлит, 2006. 534 с.

7. Рунд X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. М.: Наука, 1981. 354 с.