Сверхзвуковой этап взаимодействия упругого однородного изотропного шара и абсолютно жесткой преграды Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

А.Л. Медведский

СВЕРХЗВУКОВОЙ ЭТАП ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УПРУГОГО ОДНОРОДНОГО ИЗОТРОПНОГО ШАРА И АБСОЛЮТНО ЖЕСТКОЙ ПРЕГРАДЫ

Рассмотрена задача о вертикальном ударе упругим однородным изотропным шаром по абсолютно жесткой плоской преграде. Для решения поставленной задачи использованы поверхностные функции влияния для упругого шара при малых временах взаимодействия [1]. Исследована динамика шара на сверхзвуковом этапе внедрения. Задача сведена к нелинейному интегродифференциальному уравнению относительно глубины погружения шара, для решения которого используется метод сеток. Приведены результаты решения задачи об ударе стальным шаром по неподвижной преграде.

Упругий шар, контактная задача, функции влияния, интегро-дифференциальные уравнения.

A.L. Medvedsky SUPERSONIC STAGE OF INTERACTION OF THE ELASTIC HOMOGENEOUS ISOTROPIC SPHERE AND ABSOLUTELY RIGID BORDER

The problem about vertical impact by an elastic homogeneous isotropic sphere on absolutely rigid flat border is considered here. For the decision of a task in view surface functions of influence for an elastic sphere are used at small times of interaction [1]. Dynamics of a sphere at a supersonic stage of introduction is researched. The problem is shown to the nonlinear integral-differential equation concerning depth of immersing of a sphere for which decision the mesh method is used. Results of the decision of a problem about impact by a steel sphere on a motionless border are given.

Elastic sphere, a contact problem, functions of influence, an integral-differential equation.

1. Постановка задачи. Пусть в начальный момент времени і = 0 упругий шар радиуса Я0, материал которого характеризуется плотностью р и параметрами Ламе X и д, касается абсолютно жесткого полупространства х1 > 0 в точке О прямоугольной декартовой системы координат Ох1х2 х3 (рис. 1). Введем связанную систему координат О1 у1 у2 у3, начало которой

совпадает с центром шара. До начала взаимодействия все точки шара имеют начальную скорость v = У0є1 , где є, -ортонормированный базис системы координат Ох1 х2 х3 . В процессе внедрения

на упругий шар действует внешняя нагрузка Rе = Яєє1 и результирующая контактных напряжений R = + Я2є2.

Для шара введем безразмерные параметры (далее тильда везде опущена):

с1і ~ х ~ ис ~ Ус ~ Я

т = —, Х = —, ис = —^, V. = —, Я = —:—-,

Я/ Я/ с Я

m

m=

~ О

О.. _---------—,

у К +

c1

К

PC1R0

к=

2 _ Cl

К + 2|д ’ c22 ’

(11)

PR -Р -2

где m - масса шара; Oj - компоненты тензора напряжений; c1 и с2 - скорости волн расширения сжатия и формоизменения в упругой среде; Uc - вертикальное смещение центра масс недеформированного шара; Vc = Uc - скорость центра масс шара.

Динамика ударника как абсолютно твердого тела описывается следующей задачей Коши [2] относительно компоненты Uc вектора смещения Uс = Ue:

mUc = Re + Rx, Uc(0) = Ucо =-1, Uc(0) = V0. (1.2)

Далее удобно ввести новую переменную h(x) - глубину погружения по следующей формуле:

h(T) = Uc (т) - Uc о. (1.3)

Тогда уравнение движения и начальные условия для шара (1.2) примут вид

mh = Re + R1, h(0) = 0, h(0) = V0.

Введем сферическую систему координат, связанную с началом шара: y1 = cos 9, y2 = cos a sin 9, y3 = sin а sin 9, ае(-1, п], 9 е [0, п].

Выражение для результирующей контактных напряжений R = R1 определяется следующим образом

R(t) = j(orr cos9-оГ9 sin9)r=1 dS, (1.6)

□(т)

где интегрирование ведется по области □, представляющей собой шаровой сегмент -«смоченную» часть поверхности шара.

В первом приближении будем определять область контакта из геометрических соображений без учета деформированного состояния шара. В этом случае область контакта □ определяется так (см. рис. 1):

□(т) = {а, 9) е R2 | а е (- п, п], 9 е [0,9*(т)]}, (1.7)

(14)

(1.5)

при этом глубина погружения h связана с углом Є* следующим образом:

h^) _ 1 - cos Є*(т). (1.8)

В силу осесимметричного характера задачи из (1.5), (1.6) и (1.7) для результирующей R получим:

Є*(т)

R^) _ 2п {(огг cosЄ-ою sinЄ) sinЄde . (1.9)

0

Упругое деформирование шара описывается уравнениями движения относительно потенциалов ф и у в сферической системе координат [3]:

д2ф у 2 д2у

—-, Ау------------1----_ у2—-

дт ,2 sin2 Є дт2

Аф_^, Ау-^—- _у2^. (1.10)

Уравнениям движения (1.10) соответствуют неоднородные начальные условия:

ф|т=0 = 0, ф1т=0 = V0r COs 9 . (1.11)

Рассмотрим два типа граничных условий, которые могут возникать на поверхности контакта: свободное проскальзывание (задача 1) и жесткое сцепление (задача 2). В обоих случаях они носят смешанный характер.

Задача 1 (свободное проскальзывание):

Orr |r=1 = 0, (9 g [0,9* ]), Ur |r=1 = u0 (9, т), (9 е [0,9* ]),

Or9Ir=1 = 0 (9е[0, П]), (112)

ф(г,т) = 0(1), y(r,т) = 0(1), r ^ 0.

Задача 2 (жесткое сцепление):

Ur Ir=1 = U0 (9, т), U9 Ir=1 = V0 (9, т), (9 е [0, 9* ]),

Orrlr=1 =Or9 lr=1 = 0, (9 g [0,9* ]) (113)

ф(г, т) = 0(1), y(r, т) = 0(1), r ^ 0.

Из рис. 1 следует связь полного перемещения точек упругого шара w(9, т) и компонент u0 (9, т) и v0 (9, т) :

u0(9, т) = - w(9, ^cos 9, v0(9, т) = w(9, т)sin 9, (1 )

w(9,т) = cos9-cos9*(т) = cos9 + h^)-1. ( . )

Таким образом, соотношения (1.4), (1.10), (1.9), а также (1.12) или (1.13) дают математическую постановку задачи о вертикальном ударе упругим шаром по жесткому полупространству.

2. Сверхзвуковой этап взаимодействия. Для рассматриваемой задачи можно ввести понятие сверхзвукового этапа внедрения, который соответствует начальным временам взаимодействия, при которых 9* > 1. Такой участок при V0 ^ 0 всегда

существует. Действительно, дифференцируя по времени (1.8) и учитывая начальные условия (1.4), будем иметь:

h = 9*sin9*, 9*(0) = 0, h(0) = 9*(0)sin9*(0) = V0 ^ 0,

lim 9*(0) = +а>. (21)

т^0

В этом случае носители компонент вектора напряжений ur, u9 и тензора напряжений orr, ore совпадают, и граничные условия задач 1 и 2 носят несмешанный характер.

Задача 1 (свободное проскальзывание):

ur\r=1 = 0, (9 g [0,9*]), ur\r=1 = u0(9,т), (9 е [0,9*]),

Or91r=1 = 0, (9е[0, п]) (2.2)

ф(г, т) = 0(1), y(r, т) = 0(1), r ^ 0.

Задача 2 (жесткое сцепление):

ur 1=1 = U0(0, t) 5 «0 1-1 = Vc(0, t), (0e [0,0* ]),

ur\r=l = «el r-1 = 0, (0g[0,0* ]), (2.3)

ф(г,t) = 0(1), y(r,t) = 0(1), r ^ 0.

Решение начально-краевой задачи (1.10), (1.11) с граничными условиями (2.2) или (2.3) будем искать методом неполного разделения переменных по угловой координате 0. Для этого представим искомые функции в виде рядов по полиномам Лежандра и Гегенбауэра [3]. Начальные (1.11) и граничные (2.2), (2.3) условия также разложим в ряды по указанным системам функций:

«0(0, т) = I u0n (t)Pn (cos 0)5 V0(0, t) = - sin 0! V0„ (t)C„3-/12(cos 0)5

n=0 n=1

1 п

u0n (t) = J «0(0, t) Pn(cos 0)sin 0d0 5

IIP (cos 0)1 0 (2.4)

1 n

v0n(t) =---------------7 J v0 (0, T)Cn3/,2 (cos0) sin2 0d0,

0n () |Cn3-12(cos 0)||2 J00(,)n-1( ) 5

ф|т=0 = V0r COs 0 = V0rP1(c0s 0)5

где нормы полиномов Лежандра и Гегенбауэра определены в [3].

Подставим разложения для компонент тензора напряжений crr и ar0 в выражения для равнодействующей R (1.9) и учтем, что при 0 g [0*,п] напряжения тождественно равны нулю. В результате получим следующую цепочку преобразований:

0*(Т)

R(t) = 2п J (arr cos 0 - ar0 sin 0) sin 0 d0 =

0

п ад п

= 2nJ(arr cos0 - ar0 sin 0) sin 0d0 = 2пIarrn|r=1 JPn(cos0) cos0 sin 0d0 + (2.5)

4п,

rrn r=

0 n=0 0

+ 2nEarrnlr=1 j Cn3-/12(cos e)sin3 ede = 4- (rr1 + 2arei )U

n=l 0 3

При выводе соотношений (2.5) учтено свойство ортогональности полиномов Лежандра и Гегенбауэра [3]. Как следует из формулы (2.5), для нахождения результирующей контактных напряжений Я необходимо знать решение задачи для шара при п = 1.

Рассмотрим следующую начально-краевую задачу для коэффициентов рядов, соответствующих п = 1 (номер члена ряда в обозначении опустим):

- уравнения движения [3]

д2ф 2 дф 2 = д2ф

дr2 r дr r2 ф дт2 ,

2

д2у 2 ду 2 2 д2у

(2.6)

начальные условия

- граничные условия Задача 1:

дr2 r дr r2 дт2

ф|т=0 = 0 ф1т=0 = V0r , (2.7)

ur|r=i = U01(т), are Ir=1 = 0,

ф(г,т) = G(l), v(r,т) = G(l), r ^ 0.

Задача 2:

ur\r=1 = М01(тХ ue |r=1 = V01(т),

ф(г,т) = G(l), v(r,т) = G(l), r ^ 0,

(2.8)

(2.9)

где и01(т) и ^(т) определены в (2.4).

В силу принципа суперпозиции [3] решение задачи (2.6)-(2.9) на поверхности шара при г = 1 может быть представлено в следующем виде (верхним индексом обозначен номер задачи):

Здесь ^(т)(т) и 0(т)(т) - функции влияния для упругого шара; о(0)(т) -

контактные напряжения. Для нахождения функций влияния рассмотрим начально-краевые задачи для уравнений (2.6) с начальными условиями:

Функции т)(т) являются решением задачи (2.6), (2.11) (¥0 = 1) при однородных граничных условиях (2.12), (2.13) (А = В = 0). В свою очередь, граничные функции влияния Gjm)(т) удовлетворяют уравнениям (2.6), однородным начальным условиям

(2.11) (У0 = 0) и неоднородным граничным условиям (2.13) (А = 1, В = 1).

Применим к задаче (2.6), (2.11), (2.12) и (2.13) интегральное преобразование Лапласа по времени (трансформанты обозначены чертой, ^ - параметр преобразования). Тогда в пространстве изображений с учетом свойств преобразования Лапласа получим следующую краевую задачу:

Найдем трансформанты компонент напряженно-деформированного состояния шара

^Гс(т) = иоі(т) * (т)+Го р(1) (т),

®Г2о) (т) = и01(т) * ^ (т) + -^1 (т) * (т) + ГоР(1) (т),

о0о (т) = и01(т) * ^Ге2) (т) + v01 (т) * &вв (т) + Го^0(1) (т),

о(0)(т) = 0п )(г, т)|г=1> І , 0}.

(2.10)

ф|т=0 = 0 Ф1т=0 = Г0г

(2.11)

и следующими граничными условиями Задача 1:

и(1)|г= = А5(т) °г1е)|г=1 = ° А є к,

Ф(1)(г,т) = 0(1), у(1)(г,т) = 0(1), г ^ 0.

(2.12)

Задача 2:

^>1„1 = А8(т), »02)|г=1= В8(т), А,В є К,

Ф(2)(г, т) = 0(1), у(2)(г, т) = 0(1), г ^ 0.

(2.13)

(2.14)

Задача 1:

мг(1)| 1 = А, о^І 1 = 0, А є К,

г 1г=1 7 ге 1г=1 7 7

Ф(1)(г, т) = 0(1), у(1)(г, т) = 0(1), г ^ 0.

(2.15)

Задача 2:

й(2)1 = А, Й0(2)1 = В, А, В є К,

г г=1 е г=1

Ф(2)(г, т) = 0(1), у(2)(г, т) = 0(1), г ^ 0. Ограниченные в нуле решения уравнений (2.14) имеют вид [3]:

(2.16)

V г

Ф(г)(г, 5) = г^С^С?)/^™) + -^,

3 я

у(г}(г, я) = г-и2С2)(я)13/2(у г я).

(2.17)

[4]:

У,

г<0 (, ^ } = г->Р {сМ (5}[/[(Г*) + I „,(«)]- 2] (.5)/5„(у «)} + ^

15/2\' Л)Г ^2 \Л)1312\1 ' *)) "г*2

Гв(,) (Г, 5 } = Г-32 {С,(') (5}/{) - С2) (* }[ [(у Г5) + /^(у «)]}+ },

V (2.18)

V п

а

( '(г, 5 ) = Г -5/2 {С« (5 )[г 2 5 2 [(Г*) - 2(1 -к)г5/5/2(Г5)]н] (5 )(1 -к}У Г*15/2(У Г*)},

а(’) = ,(1 к}-5/2 /о/^О^оГ { гЛ I П(г) [,*. [ [^ „,2„2,ЛТ /^„гЛ]} (219)

-Г-5/2 {2 С? V 5/5/2(г 5) + С?) [2у Г 5/5/2(у Г 5) - у252Г2/32 (у Г 5)] }.

-’Ю _ 2 Г-М ' ^5^' 5/2 V( 7 Г ° ' ■'32'

Рассмотрим задачу 1. Подставим выражения для трансформант перемещений и напряжений в граничные условия (2.15) и получим систему алгебраических уравнений относительно констант интегрирования С1(1) и С21):

A (1)с(1' = Y(1), (2.20)

С1' = (М, С'1^)) , ХП” = (А - ¥„Д2 ,0)г , A П'} = ((’’М),,

где

а0''(5) = 5/52(5) + /3|2(УS), а1(2'(5) = -2/3/2^ а2''(5) = 25/5 / 2 (5Х

«22'(5) = -У 252/3/2 (У5) + 2У5/5 / 2 (У5) .

Решение системы (2.20) имеет вид:

с(')(5}= (2 -¥0)«212)(5) с(')(5)= (а2 - ¥0К'(5)

' 52А' (5) ’ 2 5 2А' (5) ’ (2.21)

А'(5} = а1(')(5 )- а1(2)(5 )а2')(5 )•

Используя (2.21), (2.19) и полагая А = 1, У0 = 0, получим следующее выражение для трансформанты поверхностной функции влияния GГ(Г1)(s) (2.10):

0;;>(5) = А-' (5 )е«(5),

^ (5) [[

ГГ V ^ ' V ' ‘—-II /'"У ЛЛ\

0^ (5) = «2 (5) [ [/2 (Г 5) - 2(1 - К' /5/2(г 5)]-] ] (1 -к)У 5/5/2(У 5). .

Трансформанту функции влияния ^Г(1)(5) определим из (2.21), (2.19), положив в (2.21) А = 0, ¥0 = 1:

Р'"(5) = 5-!А-'(5) 0!;>(5). (2.23)

Аналогичный подход используем для нахождения функций влияния во второй задаче. Подставим выражения (2.18) в граничные условия (2.16) и получим систему линейных уравнений относительно констант интегрирования С\2) (5) :

А(2'С(2' = Х(2), (2.24)

с(2} = о,С»} , хп21 = (А - ¥„А2,В - ¥„152}г, АП2'=(

где

ап'(5) = «'''(s), «12 '(5) = а1(2'(5Х

(1 ' ✓ ч

а

*2''(5) = а22(5) = -У5/5/2(У5) - /^2(У5).

Решение системы (2.20) имеет вид:

с (1}(_} = (А 2 - ¥0 }а212} (5) - (В 2 - ¥0 }а1'2'(5)

' ( } 52А2(5} ,

с(1}(„} = (2 - ¥0 К' (5) - ( - ¥0 К' (5)

2 ( } 52А2(5} ,

А2 (5} = ап '(5}а222)(5}- а1(22'(5}а2''(5}.

(2.25)

Тогда для трансформант функций влияния О^2-1^) из (2.25), (2.19) будем иметь

О(2)С*) = Л-Ч^С*), (/,]) е (г,0}, (2.26)

где

(*) = «22} (*) [2[ ^ - 2(1 - к)* 75/2 (*)] - (1 - К)у «21} У/5/2 (*) ,

(*) = У * «П } (*)15 / 2 (У ^ - «1(22} (*) 222 ^ - 2(1 - к)* 75/2 (*)]

0Л*) = ^ {2 *«(„,(*) - а,:;’(*)[ [2(у.*)-уУ/3/2(у *)]}, (227>

О00)(*) = 1^ {«1Т’(* )[2 2 2 !,2(У *)-У’ *21¥2(У *)]-2 ](* V 5,2(*)}.

Полагая в выражениях (2.25) А = В = 0, Г0 = 1, найдем трансформанты функций влияния Рг(г2)( *) (по повторяющемуся индексу суммирования нет):

^2>(*) = -*"2Л-,‘(*)[<9<2>(*)+О'2)(*)], (/,]) е(г,0}. (2.28)

Здесь функции О2)(*) определены в (2.27).

3. Асимптотика поверхностных функций влияния для шара. Как показывают расчеты контактных задач, сверхзвуковой участок внедрения соответствует моментам взаимодействия, для которых т << 1. Поэтому рассмотрим асимптотическое поведение функций влияния при т^0 О_(т)(*') и 2к )(*), что соответствует разложению

трансформант указанных функций в окрестности бесконечно удаленной точки *^го. Для этого воспользуемся следующими асимптотическими разложениями модифицированных функций Бесселя 1Х(£) [5]

IV00 = 72Гег|£(-1)^1+4^) 2^

д/2п 2 и=0 2 J V 2 )

I! (4 V2-(21 -1)2) (31)

= ”023'/!(4 V2 -1) ■

Подставим разложения (3.1) в (2.22), (2.23), (2.26) и (2.28) и с использованием символьного процессора Мар1е 9.5 получим следующие представления:

_ т+1 д (к) [ 1 Л _ т {(к) [ 1 Л

ОЧ*) = *1^+о^^т+т, Ъ(к)(*) = Х^г+°[—], * . (3.2)

Ниже приведены коэффициенты асимптотических разложений (3.2) при т = 2:

д0!1 =1 д™ =2к-1, д2!Гг = -2у-2[(1 -к)у(2-у)-2], (33)

д3!Гг =-2у-3 [2у (1 -к) (2-у) + у3к-4], ] =-1, = 1 - 2к, (.)

д (2) = <5 0,11 1, д (2) 1,11 - * 2 N 1, Йл= 2у, д (2) «53,11 = 2у-1 (2 - У ),

д (2) = «50,12 0, д (2) 1,12 7 2 N - ) 1 д (2) 2,12 -1 2 - = (3.4)

д (2) = «53,12 2у -3(1 -: 2У^ У1(2) =-1, {(2) _ 2,1 = У-1(2 -У) ,

д(2) = 0 0,21 д (2) 1,21 II 2 -У), д2221 = - -у3, ^ = у(1 1 2 )

д(2) = у3 0,22 д (2) 1,22 2 2 - N , =1 2 + д (2) =У 2 6 3,22 1 -1, (3.5)

3 1 N 21 - 11

Оригиналы выражений (3.2) являются табличными [6] и имеют вид (остаточный член далее опущен):

(m)

' ,j _'—2

(k) 1=2(1 2)! (3.6)

f(k) v 7

Ji,i

Fi“ )(t)=h (t)s -fi- t'-2. i=i (k — 1)!

Тогда для контактных напряжений о^т), 0004т) из (2.10) и (3.6) получим следующие представления:

о(0 )(т) = < }(т) * Gj )(т) + Vo F(k )(т) =

т

= g0 ж (т) + g1j<) (т) + j u0j (t )Gj) (т — t )dt + Ft <-k) (т), (3.7)

g (k)

Gj)(t) = 'j.,t'—:", u01)(t) = u02)(t) = VnC^ i e{r0}.

'=2 (' — 2)!

Здесь по индексу j проводится суммирование от 1 до к, где к — номер задачи.

Воспользуемся соотношениями (2.4) и вычислим коэффициенты разложения поверхностной нагрузки м10(т) и v10(t) (3.7):

13 1

u01 (т) = ^ — 4 cos ® *(т) + 4 cos3 0* (т), (3.8)

3 1 3 1

v01(t) =-----cos0*(т) +—cos2 0*(т)-----cos4 0*(т). (3.9)

16 2 8 16

Коэффициенты м10(т), v10(t) (3.8), (3.9), а также их производные U10(t), V10(t) с помощью соотношения (1.8) следующим образом выражаются через глубину погружения h(T)

13 и01(т) = — 7 h 2(т)( — h(T)) и01(т) = — 7 h(T)h(T)(2 — h(T))

4 4. (310)

V01(t) = —77 h3(T)(4 — h(т)), V01(t) = — 7 h(T)h2(T)(3 — h(T)).

16 4

4. Интегродифференциальное уравнение движения упругого шара. Рассмотрим контактную задачу для шара в условиях жесткого сцепления, условия свободного проскальзывания будут следовать как частный случай. Воспользуемся представлениями (3.7) для контактных напряжений оГ20(т) и подставим последние в формулу для результирующей контактной нагрузки R (2.5). После несложных преобразований получим

R121 = y(p(2) (h, h)+t j q(2' (h(t ))G,(2)(t — t) dt + V/^t)!, (41)

где

p(2) (h, h) = yf> (h)(g'i> + 2gg>)+ :f-> (h, h)(g0?> + 2g022,),

y<2) (x) = — 4 x2 (3 — x), y2) (x) = —16 x3 (4 — x),

4 16

3 1

z1(2)(x y) = — 4xy(2—x) z22)(x) = — 4x2y(3—x), (4.2)

r(2) (t) = F1(2) (t) + 2 F2(2)(t),

G1(2)(t) = G1(12)(t) + 2G22)(t), G22)(t) = G1(22)(t) + 2G^2)(t).

Здесь по повторяющемуся индексу i проводится суммирование от единицы до двух.

В результате подстановки (4.1) в уравнение (1.4) задача динамики упругого шара сводится к нелинейному интегродифференциальному уравнению с соответствующими начальными условиями (т = 4/3 п) :

h—f(2) ( h)—Z j g(2) (h(t »G(2) (t—t )dt = 7-R2) (t)+V0r (2) (т), (4 3)

i=10 4n (43)

h(0) = 0, h(0) = V0.

Случай свободного проскальзывания (000 = 001 - 0) с учетом (3.7), (2.10) и (2.5) также сводится к интегродифференциальному уравнению (4.3), в котором надо положить:

G21)(t) - 0, («(т) = (™(т). (4.4)

Построим процедуру численного решения нелинейного

интегродифференциального уравнения (4.3), которое запишем в общем виде так (номер задачи для краткости опустим):

h+f(K h)+j g(h(t))G(T—t)dt =r (т),

0 (45)

h(0) = 0, h(0) = V0.

Введем конечно-разностную сетку TS на отрезке времени [0,T]

Ts = { 6 [0,T]| ti = (i — 1)S,i = 1M} 8 = }(M — 1), (4.6)

где M - количество узлов сетки, а также конечно-разностные аппроксимации производных, входящих в (4.5) [7]:

hk — 2hk—1 + hk—2 • 3hk — 4hk—1 + hk—2

h(tk) = h 2hS2 +h + О (S2), h(tk) = 3h 4h2S +h + 0(S2), (47)

hk = (tk), к = 3M.

Рассмотрим аппроксимацию интегродифференциального уравнения (4.5) в момент времени т = tk. Для аппроксимации интегрального слагаемого применим квадратурные формулы Ньютона - Котеса [7]:

jg (h(t ))G (tk — t) dt = S£ P jg(hj )Gk—j+1 + 0(h') *

k ° j=1 k—1 (4.8)

*SZPjg(hj )Gk—j+1 =Sp,.g(h‘ ( +S2Pjg(hj )Gk—j+1, Gk = G(tk),

j=2 j=2

где Pj - коэффициенты квадратур; ' зависит от порядка квадратурной формулы. Здесь учтено, что значение функций gi (h1) = gi (0)= 0 (4.2).

Воспользуемся аппроксимациями (4.7), (4.8), подставим их в (4.5) и получим следующее нелинейное уравнение относительно глубины погружения шара hk:

F (hk ) = qk—1, k = 3M; i = 1, k — 1,

F(hk) = hk + S2f fhk, 3h‘ — 4/'*1 + h‘ 21 + s3Pkg(hk)GG, (4.9)

I 2S )

qk 1 = 2hk—1 —hk—2 — S^1 pg (hj) Gk—j+1 + rk, rk = r( ).

j=2

Решение нелинейного уравнения (4.9) строится методом Ньютона - Рафсона [7]. В качестве начального приближения используется значение величины hk-1 глубины погружения на предыдущем шаге.

Рассмотрим методику нахождения решения на первом временном слое, т.е. при t2 = S. Для этого применим для искомой функции h(T) формулу Тейлора в окрестности точки т = 0 и учтем начальные условия задачи (4.5):

S2 S2

h(S) = h(0) + h(0)S + h(0)-2 + 0(S3) = V0S + h(0)у + 0(S3). (4.10)

Выразим вторую производную по времени к из уравнения (4.5):

ВД = г (т)- /((т), к(т))- ] g(к(і)) 0(х - і) Л,

и подставим в (4.10). В результате будем иметь (остаточный член разложения опущен):

52

к2 = к(8) = ^8 + у (г1 - f (0,^0)).

(4.12)

Таким образом, соотношения (4.9) и (4.12) позволяют найти значения сеточной

функции кк (к = 2,М) на любом шаге по времени.

5. Пример решения контактной задачи для шара. С использованием разработанного подхода был решен ряд задач об ударе упругим шаром по абсолютно жесткому полупространству. На рис. 2-5 приведены результаты расчета контактной задачи для стального шара (у = 1,87; к = 0,428) при начальной скорости внедрения У0 = 0,05 и значению внешней силы Яе = 0. Далее на рисунках сплошная линия соответствует случаю свободного проскальзывания, а штриховая - жесткому сцеплению контактирующих тел. Интегродифференциальное уравнение движения шара (4.3) решалось с помощью разработанной конечно-разностной процедуры (4.9), (4.12) с использованием квадратур интегрирования (4.8) по методу трапеций [7]. Шаг интегрирования 8 выбирался адаптивно до достижения погрешности є = 10-4 по норме сеточных функций к :

к8 к8/2

= тах

\к8 - к8/ 2

< є

(5.1)

На рис. 2 и 3 представлены временные зависимости границы области контакта 9*(т) и 9*(т), которые подтверждают наличие сверхзвукового участка в контактной задаче. Как следует из рис. 3, учет жесткого сцепления приводит к уменьшению длительности сверхзвукового этапа взаимодействия.

Рис. 2

Рис. 3

На рис. 4 и 5 изображены кинематические параметры центра масс упругого шара И(т) и И(т). Как следует из графиков, на сверхзвуковом участке взаимодействия происходит незначительное уменьшение начальной скорости внедрения У0 и шар внедряется практически равномерно (рис. 5).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта № 09-01-00731-

а).

Рис. 4

Рис. б

ЛИТЕРАТУРА

1. Медведский А.Л. Метод поверхностных функций влияния в нестационарных задачах дифракции / А. Л. Медведский, Л.Н. Рабинский. М.: Изд-во МАИ, 2007. 256 с.

2. Бухгольц Н.Н. Основы теоретической механики: в 2 ч. / Н.Н. Бухгольц. М.: Наука, 1972. Ч. 1. 420 с.; Ч. 2. 440 с.

3. Волны в сплошных средах / А.Г. Горшков, А.Л. Медведский, Л.Н. Рабинский, Д.В. Тарлаковский. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 632 с.

4. Горшков А.Г. Нестационарная аэрогидроупругость тел сферической формы / А.Г. Горшков, Д.В. Тарлаковский. М.: Наука, 1990. 264 с.

5. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. М.: Наука, 1979. 830 с.

6. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и 2-преобразования / Г. Деч. М.: Наука, 1971. 288 с.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы. 3-е изд., перераб. и доп. / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2003. 632 с.

Медведский Александр

Леонидович -

кандидат физико-

математических наук, доцент кафедры «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин»

Московского авиационного института (государственного технического

университета), заместитель проректора института по учебной работе

Medvedsky Aleksandr Leonidovich —

Candidate of Sciences in Physics

and Mathematics, Assistant Professor

of the Department of «Materials’ Resistance, Dynamics and Machines’ Durability»

of Moscow Aviation Institute (of State Technical University of Aerospace

Technologies), Assistant of the Pro-rector

Статья поступила в редакцию 20.01.09, принята к опубликованию 11.03.09