Устойчивость движения вращающегося шара в шероховатой камере Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Челябинского государственного университета. 2011. № 38 (253).

Физика. Вып. 11. С. 50-60.

О. Н. Дементьев

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ШАРА В ШЕРОХОВАТОЙ КАМЕРЕ

Работа посвящена малоизученному (см. [1-4]) влиянию погрешности формы заполненной жидкостью камеры на характер движения и устойчивость вращающегося в ней шара. Определено влияние погрешностей формы камеры на силы и моменты, действующие на шар-ротор, в двух случаях. Первый случай — ограничения на смещение ротора не налагаются, но возмущения формы камеры имеют специальный вид, а именно, они задаются сферическими гармониками не выше первого порядка. В этом случае камера возмущённой формы в аспекте сил реакции жидкости и их моментов не отличается от близкой сферической камеры. Во втором случае возмущения формы камеры произвольны (но малы), зато смещение ротора также предполагается малым. В этой ситуации сила, действующая на ротор, зависит только от его смещения, а момент не зависит от смещения. Причём касательно момента, действующего на ротор, камера любой формы эквивалентна некоторому эллипсоиду. Возникающий при этом уводящий момент стремится направить вектор угловой скорости вдоль малой оси эллипсоида, т. е. возникает устойчивое положение ротора.

Ключевые слова: шероховатость, устойчивость, несжимаемая жидкость, вращающийся шар.

I. Рассмотрим декартову систему координат, начало которой помещено в центре вращающегося шара-ротора, а в остальном произвольную. Направление вектора угловой скорости Ц задано углами а (между осью OZ и Ц) и в (между осью OX и проекцией Ц на плоскость x, y). Будем рассматривать также сферические координаты (r, 0, ф), связанные с декартовыми формулами:

X = r sin 0 cos ф, y = r sin 0 sin Ф, z = r cos 0.

Введём характерную толщину зазора 5 = (R2-- Rj)/ Rj, где R2 — радиус камеры. Перейдём к безразмерным переменным, выбирая в качестве единицы измерения расстояния радиус ротора Rj, а в качестве единицы времени -1/Q Уравнение поверхности ротора имеет вид r = J, а уравнение внутренней поверхности камеры r = r(0, ф). Задача о течении вязкой несжимаемой жидкости в зазоре между ротором и камерой в приближении Стокса, вне поля массовых сил имеет вид [5]

Дю = 0, ю = rotv; divv = 0. (1)

Граничные условия

v \r=1 = -sin a sin (ф-р)е0 -- [sin a cos (ф - в) - cos a sin 0] еф,

v|r=KM = °.

Используем теперь предположение о малой толщине зазора между границами слоя. Для этого введём новую радиальную переменную £,, т. е. в случае, когда внутренняя поверхность камеры есть сфера радиуса R2, полагаем

% = (г -1)/5.

Уравнение поверхности ротора приобретет вид £ = 0, а уравнение внутренней поверхности камеры —

$ = h(0,ф), h(0,ф) = ((0,ф)-1)/5.

В уравнениях движения (1) и граничных условий сохраним только главные члены их асимптотик при 5 ^ 0, тогда с точностью до членов порядка 5 уравнения (1) перепишутся так:

д^1

дЧ

д^1

= 0;

(2)

i^i + _^A(sin е„„) + -^ = 0; (3)

5 dt, sin 0 50 sin 0 дф

1

= • о sm 0

d í • n \ dv0

—(sm0v )------050V ф----------дф

1 dva

na =---

(4)

(5)

5 d£,

Теперь граничные условия:

vr l= 0, V0 |4=0 =-sin a sin (ф-р);

vcp l¡;=o =-sin a cos 0 cos (ф-р) + cos a sin 0; (6)

vr U = ve \t.=h = \ \t.=h = 0.

а решения уравнений (2):

®e = A (0, ф)^ + B (0, ф), юф = C (0, ф)^ + D (0, ф).

Используя уравнения (4), (2) и полученные решения для ш0 и ш получим уравнение

д Í л ■ а\ дС п

—(A sm 0) +--------= 0.

d0v ’ дф

(7)

Тогда компоненты поля скоростей v0 и v выраженные через введённые коэффициенты A, B, C, D, примут вид

ve =-sin a sin (ф-р) + б((2 /2 + D^j; (8)

vф =-sin a cos 0 cos (ф-р) +

+ cos a sin 0-5((2/2 + B^j. (9)

Рассматривая эти компоненты скорости и условия на поверхности камеры, получим:

1 Ch

D = — sin a sin (ф-р)——; (10)

oh 2

1 -i Ah

B = -—[sin a cos 0 cos (ф-р) - cos a sin 0 J -—,

т. е. угловые компоненты скорости:

УФ =

sin а sin (ф - р) + — ChЪ sin а cos 0 cos (ф - р) -

(11)

- cos а sin 0 — Aht 2

(12)

Из уравнения неразрывности и условия

vr |4=0 = 0 найдём

5 г

v =-------1 —

r sin 0 2

dh

sin а

h

2

dh sin 0sin (ф-р) +

л

+----cos 0 cos (ф-р)

дф

cos a dh . -

—;-----------------sin 0 +

h2 5ф

5

+

2

_^l0(sin 0hC )-дф(ы))

A(sin 0C )-dA

50v ’ 5ф

(13)

Используя оставшееся условие vr \^=h = 0, придём к ещё одному уравнению для коэффициентов A и C:

— (sin 0h3C)-—(( A ) =

50v ’ 5фУ ’

6 sin e dh . . , s.

=--------[ Sin 0 Sin ( ф - P) +

5 50 v ’

dh , , 6cos a dh . n.4

+----cos0cos(ф-Р)] +---------Sin0, (14)

дф 5 5ф

решая которое совместно с (7), можно опреде-

лить коэффициенты А и С, а затем по формулам (11)—(13) найти поле скоростей.

Вводя новую функцию Е = Е(0, ф)

так, чтобы

о

E (0, <p) = -J С (0, Ф) 0,

. . . 5Е „ 5Е

sm 0A = —, C =--------------------,

5ф 50

(15)

получим из (14):

д_г 50

• Q/3 дЕ 1 д

sm 0h — I + —

50

í í„3

5ф

h дЕ

sin 0 5ф

л

6sin a

—sin 0 sin (ф-р) +

50 V '

dh

+----cos 0 cos (ф-Р)

5ф

6 cos a dh 5 5ф

sin 0.

(16)

Требуется найти решение уравнения (16), непрерывное на единичной сфере и удовлетворяющее условию нормировки E |е=0 = 0 , вытекающему из определения этой функции. Заметим, что значение E(0, ф) при 0 = п определено однозначно, т. е. Е(п, ф) не зависит от ф. Найдя функцию E, можно по формулам (15) вычислить A и C, а затем по (11)—(13) определить всё поле скоростей.

II. Рассмотрим случай, когда форма камеры мало отличается от сферической. Зададим сферическую форму камеры в виде h0 = 1 + X cos 0 (ось OZ по линии центров), тогда форму, мало отличающуюся от сферической, зададим функцией

h = h0 + eh1, | е |<< 1

и будем искать решение уравнения (16) в виде E(0,ф) = Е0 (0,ф) + еЕ, (0,ф) + O(е2).

Теперь из уравнения (19) получим уравнения для определения Е0 и Ev

E0 (0. ф) =

_Э/

50

6sin a

5 X2 + 4

h-+h Isinesin(®-P);(17)

V ho ho

sin 0h

dEJ

~dQ

' d

+ ■

Эф

dEJ sin 0 Эф

si- sin 0h,3 hj ^Eo -si- Г ho2hj dEo ^

Э0 1 01 d0 J Эф sin 0 V Эф /

+

ve =

+ -

6sin а

— sin 0 sin (ф-р) +

50 V '

+ —cos 0 cos (ф-р)

5ф v ’

) cos а dh 5 дф

sin

0. (18)

Правая часть уравнения (18) полностью известна, и так как она линейно зависит от функции h1, которую можно разложить в ряд по сферическим функциям, то достаточно рассмотреть в качестве h1 сами сферические функции:

, s icos]

h = Pn (cos0)<j >тф, 0 < m < n, n = 0,1,2, ... (19)

lsin J

Здесь P™ — присоединённые функции Лежандра I рода. Подставим функцию h1 и её производные в правую часть (18) и разложим эту часть уравнения в ряд Фурье по переменой ф. Если

a (0)

Е1 (0> ф) = -^ + 'L[am (0)COS МФ + Ьт (0)SÍn тф]>

2 m=1

то уравнение (18) распадается на конечную (так как для функций (17), (19) в правой части (18) сохраняется конечное число ненулевых Фурье-компонент) систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Будем искать непрерывные при 0 < 0 < п решения этой системы в виде ряда Фурье по ортогональной с соответствующим весом системе присоединённых функций Лежандра с фиксированным верхним индексом. Выясним, что получается при малых значениях п, т. е. в первых гармониках по азимутальному углу ф. Если m = 0, то h1 = const и уравнение поверхности камеры примет вид

h = 1 + X cos 0 + eh = (і + eh1)

1+

1 + eh1

cos 0

Если n = 1, то для m возможны два значения: m = 0,1. При m = 0 получаем

hl = cos0, h = 1+ X cos0 + e cos 0 = 1 + (X + e)cos0,

и функция h сводится к h0 заменой X^- X + s. При m = 1, hj = sin0 cosф или hl = sin0 sinф.

Таким образом, для возмущения формы внутренней поверхности камеры, задаваемого сферической функцией h1 нулевого или первого порядка, имеется точное решение уравнения (16), получающееся из (17) простой заменой параметров. Геометрически нулевой порядок h1 означает малое растяжение или сжатие камеры, а первый порядок означает малое смещение с малым

поворотом, так что сферическая форма камеры не меняется, хотя камера испытывает некоторую деформацию и перемещение. Поэтому для любого возмущения формы камеры сферической функцией hj порядка не более единицы существует эффективная сферическая камера с близкими значениями относительного зазора 5 и относительного смещения Х5, дающая те же значения главного вектора сил реакции жидкости на ротор и главного вектора момента этих сил и, следовательно, приводящая к тем же уравнениям движения ротора и тому же уводящему моменту. В частности, центральное положение равновесия ротора при малых возмущениях формы камеры вида shj остаётся неустойчивым, как и в задаче со сферической камерой.

III. Камера произвольной формы, мало отличающаяся от сферической. Учитывая, что уравнение внутренней поверхности камеры произвольной формы r = r(0, ф) > 1 (предполагается отсутствие соприкосновения вращающегося шара и камеры), в качестве меры величины относительного зазора 5 выберем среднюю относительную толщину слоя по сфере:

л 2п п

5 = — J dф|[г (0,ф)-1]sin 0d0, ^ = (r -1)/ 5.

4п 0 0

Тогда внутренняя поверхность камеры задаётся уравнением ^ = (r(0,ф)-1)/5 = h(0,ф). Будем предполагать функцию r(0, ф), а вместе с ней и h(0, ф) дважды непрерывно дифференцируемыми и разложим 2, в равномерно сходящийся ряд по сферическим функциям:

эд п

h(0,ф) = XXP (cos0)( cosтф + ЬП sinотф), (20)

n=0 m=0

где P™ (cos0) — присоединённые функции Лежандра [6]

_V» . ,mdm+" (x2 _1)"

Pm (x) =----------(1 _ x2)2------------------i-,

n V ’ 2"n!V ' dxm+n

0 < m < n.

Из соотношений ортогональности функций Лежандра и тригонометрических функций следует, что среднее значение функции h(0, ф) по сфере

1 2Я п 2

h = — J dф|а° [P00 (cos0)] sin 0d0 = a¡¡,

4п 0 0

но из определения £ и 5 следует, что h = 1, т. е.

a¡¡ = 1 и

h (0, ф) = 1 +

т n

+ZZ pnm (cos 0) a™ cos тф + ЪП sin тф ). (21)

n=1 m=0

Подставим h(0, ф) в уравнение (16) и решим его в предположении, что камера мало отличается от сферы, концентричной ротору. Геометрически это означает не только, что форма камеры близка к сферической, но и то, что центр ротора близок к центру камеры, т. е. коэффициенты di, ЬП малы. В качестве меры отклонения камеры от сферы, концентричной ротору, выберем функцию h - 1, равную нулю тогда и только тогда, когда камера сферична и центр её совпадает с центром ротора. Под величиной этой функции будем понимать её норму в гильбертовом пространстве L2 функций, квадратично интегрируемых на сфере:

\\h -1 = j ^ ф|[Л (0, ф)-1]2 sin 0d 0.

Так как

am =

n

(n + l) )n — m)}

2n ( + m)!

2п n

xj dф^[к (0, ф) — l] РП ( cos 0) cos тф sin 0d0,

то, оценивая последний интеграл при помощи неравенства Коши—Буняковского, получим

I am \<

\(2п +1) (п - m)! I 2п (n + m)!

т. е. каждый коэффициент а^ — малая не ниже первого порядка относительно h - 1. Обозначая решение с аП = 1 через Е'П, получим

/ пт \

1 д

sin 0 д0

sin 0

V

3sin а

д_Е_

д0

1

д2 е:

sin 0 дф

[(m + n )( —m +1)

хРПт 1 (cos 0)sin (m - 1)ф + р) +

+ Рйт+1 (cos 0)sin (m + 1)ф-р)] -6cos a

+

5

1 mP™ (cos 0) sin тф.

(22)

Оператор в левой части уравнения (22) представляет собой угловую часть оператора Лапласа в сферических координатах. Его собственными функциями являются все сфериче-

ские функции, т. е. все члены ряда (22), причём функции вида (19) соответствуют собственным значениям гКкп = -п(п +1) для любого k, 0 < k< п. Непрерывное на сфере решение уравнения (22) имеет вид

„m 3sin а , w

Е„ =--------------------------------------------;-г [( + m ){п — m +1) х

5n (n +1)

1)

хр; 1 (cos0)sin(m - 1)ф + р) + + Pnm+1 (cos 0)sin (m + і)ф-р)] -

6cos а 5n (n +1)

mP™ (cos0)sinтф. (23)

Для определения поля скоростей жидкости в зазоре по формулам (11)—(13) вычислим по (15) коэффициенты A и C:

A =-------3sin а------[/ -\\(п + m )п - m + 1)х

Ьп (п + l)sin 0V л ’

xPnm-1 (cos 0) cos (m - 1)ф + р) +

+ (m + 1)Рйт+1 (cos 0)cos (m + 1)ф-р)] -6cos а

bn (n + l)sin 0 3sin а

m2Pm (cos 0) cos тф; (24)

C = "Т“ч \( + m)(п — m +1)—x dn (n +1) л ’ d0

xP:—1 (cos 0)sin (m — 1)ф + в) +

+ ds P™+1 (cos °)sin ( + 1)(P-P)] +

6cosa d , ч .

+—-------m—pn (cos0)smшф.

5n (n +1) d 0

IV. Перейдём к расчёту сил и их моментов, действующих на ротор в тонком слое вязкой жидкости.

Сила dF, действующая со стороны жидкости на элемент площади R2 sin 0d 0d ф сферы радиуса Rj, равна

dF = R2 (ё + огвёв + аГф ёф)т )d )d ф. (25)

Выберем в качестве безразмерных переменных (обозначены штрихом) следующие:

r , Vr , vfi vp p

r =—, v'r =^r, v\=^r, v\=^, p =

Rl 4 Q¿R1¿

и используя условия прилипания к вращающейся сфере, получим при г' = 1:

агг = - ^ОЯвр

ore =

dv' ф

d' r

dv 'a 5' r

- + sm a sm

(ф-р)

(26)

+ sm a cos U cos

Re =---------L

(ф-р)-

cos a sm t

где ц — коэффициент динамической вязкости жидкости (V = р/ц); Яв — число Рейнольдса.

Учитывая, что относительная толщина слоя жидкости 5 << 1, в терминах Ъ, = (г'-1) / 5, сохраняя главные члены разложения компонент тензора вязких напряжений, получим на поверхности ротора (£, = 0)

—

dv '0

— цОД аГф —

— -цОБ,

5 5

где В и Б — функции, задаваемые соотношениями (10). Из стационарного уравнения Стокса

-vQv + grad

= 0,

записанного в безразмерных переменных, с выбранной выше степенью точности следует при £ = 0 (и = П2 Я^и' — потенциальная энергия массовых сил)

—íp'+ и ') = — с,

50v ’ ЪЯе sin 0 5ф

1 д (р'+ и ') = —— A. V ’ ЪЯе

Тогда

atr = —QRep '|_ р=0 = • O

Поэтому в выбранном приближении касательными напряжениями стг0, стг0 следует пренебречь по сравнению с orr. В этом случае формула (25) примет вид

dF |r= -цПЯ12Rep' |^=0 er sin QdQdф.

После интегрирования по частям по сфере получим

2 2п

J sin фdф| A sin3 0d0 -

¿я я

^OR2 J cos фdф|u' |^=0 sin2 0d0, (27)

Fy =

2 2n

J cos фdф| A sin3 0d0

¿я я

+^QR2Re J sin фdф| u ' |4=0 sin2 0d0, (28)

F =

25

2 2n

J dф| C sin2 0d0-

+^Q R2Re J dф| Csin2 0d0u ' |^=0 cos 0 sin 0d0. (29)

0 0

Вторые слагаемые полученных формул представляют собой архимедовы силы выталкивания ротора в поле постоянных по пространственным координатам массовых сил. Архимедовы силы не зависят от формы камеры, поэтому в дальнейшем не будут учитываться (предположение отсутствия массовых сил [5]).

Вычислим теперь моменты M сил, действующих со стороны жидкости на ротор. На элемент площади поверхности ротора действует момент

dM = R3 (r(f¡eQ + с^ёф) sin Qd Qd ф =

= ^QR3 (ёе + De<f> )in Qd Qd ф.

Интегрируя по сфере, получим

2п п

Mx = jíQ R J dф|(cos0cosф-Dsinф)sin0d0,

о о

2п п

My = V&R J d Ф|(( cos 0 sin ф - D cos ф) sin 0d 0, (30)

0 0

2n n

Mz = -цШ? J dф|Bsin2 Qd0.

0 0

Силы и моменты сил, действующие на ротор, зависят только от коэффициентов A, B, C, D, из которых A и C находятся по формулам (15) из решения E уравнения (16), а B и D выражаются через них по формулам (10).

V. Рассмотрим влияние формы камеры на силы, действующие со стороны жидкости на ротор. Во втором разделе было выяснено, что в первом приближении по степеням малой величины h - 1 функция E, а тем самым и коэффициенты A, C линейно зависят от сферических гармоник, входящих в разложение функции h - 1. Эти коэффициенты были вычислены для всех гармоник вида h -1 = P'? (cos0)cosтф, которые задаются формулами (24). Заменой в них тф на п

тФ + 2 получаются формулы для остальных гармоник вида h -1 = P^ (cos 0) sin тф .

Найдём вклад каждой гармоники в главный вектор сил реакции жидкости на ротор. Для гармоники h -1 = РПт (cos 0) cos тф достаточно использовать выражения (24) для A и C только при п

а = 0 и при а = ^ . Общий результат получится

V

умножением первого из них на cos а, второго — на sin а и сложением полученных величин.

Пусть а = 0. Подставляя значение A из (24) в (27) и (28), получим

F =■

2 2п

J sin ydyJ A sin3 Qd0-

я

+^QR2 J cos ydyJu' |^=0 sin2 0d0,

i i

uQ R2 6m2

F = ~L--------1----;-------г X

y 5 dn (n +1)

2п n

x J cos фdф|sin2 QPnm (cos 0) cos mфd0:

0 0

0 при m -Ф-1 или n -Ф-1

4n^QR2

52

при m = n = 1.

Подставив C из (24) в (29), получим uQR2 6m2

Fz =-----------7---7 x

25 5n (n +1)

2п п Л

x J dф|sin2 0—Pm (cos0)sinmфd0 = 0.

0 0 d0

Пусть теперь а = П . Подставляя соответствующие значения A и C в (27)-(29), получим

F =

3

5 5n (n +1)

2п п

х J sinф^ф|sin2 QdQ[(m -1 )(n + m)(n - m +1) x

0 0

xPnm-1 (cos 0)cos(m - 1)ф + р) +

+(m + l)P„m+1 (cos 0) cos((m + 1)ф - в)].

Так как sin 0 sin ф = -Р/ (cos 0)sinsin ф, то из соотношений ортогональности функций Лежандра и тригонометрических функций следует, что этот интеграл может быть отличным от нуля только при п = 1, т = 0. Компонента Fy получается заменой в предыдущей формуле sinф на cosф и по тем же соображениям равна 0 при n Ф или m Ф 0. Далее,

F =

3

25 5n (n +1)

2п п

х J dф|sin2 Qd0[(n + m)(n - m + l)x

X~Ñ$P” 1 (C0S (m _ і)ф + в) —

- d Pnm+1 (C0s °)sin ((m + 1)(P — p)].

Так как

d / ч (n + m)(n +1)

sin 0—Pm (cos0) = —---------^------J-x

d0 n У ’ 2n +1

, . n (n — m +1) , .

XP;_1 (cos 0) + V } Pnm+1 (cos 0),

2n +1

то Fz представляет собой линейную комбинацию интегралов

2п п

J sin(m -1)ф + р)ф|В™--1 (cos 0)sin0d0;

0 0

2п n

J sin(m - 1)ф + р)ф|Pm- (sin 0)sinQd0;

0 0

2п n

J sin(m + 1)ф-p)dф|P-+1 (sin0)sin0d0;

0 0

2п n

J sin(m + 1)ф-р) dф|Pm+ (cos0)sin0d0.

0 0

Из соотношений ортогональности функций Лежандра следует, что первый из этих интегралов может быть отличным от нуля только при n = m = 1, а остальные три всегда равны нулю.

Можно сделать вывод о том, что вектор силы реакции жидкости на ротор в первом приближении по степеням h - 1 определяется только по гармоникам с n = 1 в разложении (21). Но этот случай был разобран во втором разделе, причём в более общей ситуации: тогда не требовалось малости смещения, а «отклонение от сферической формы» в гармониках с n = 1 является просто дополнительным смещением и поворотом сферы. Таким образом, в аспекте определения главного вектора силы F, действующей на ротор, камера произвольной формы, мало отличающаяся от сферы с центром в центре ротора, в первом приближении по h - 1 не отличается от сферической камеры с тем же значением относительной толщины зазора 5, центр которой смещён относительно центра ротора на подходящую величину в подходящем направлении. В частности, подбором формы камеры нельзя сделать устойчивым положение равновесия ротора, которое было неустойчивым для сферической камеры.

Вычислим вклад каждой гармоники в главный вектор момента сил. Согласно формулам (30) компоненты момента сил выражаются через коэффициенты B и D, определённые равенствами (10). Выделим в этих коэффициентах главные члены разложений по степеням h - 1 и получим

B = 1 (-sin a cos 0 cos (ср - р) + cos а sin 0) -

h -1

(- sin а cos 0 cos (cp - ß) + cos a sin 0)

- і + о

2

1

D = — sin a sin (cp - ß) -5

h -1

”5”

C I

sin a sin (cp-ß)-+ O (h -1)

Первые слагаемые в В и В, имеющие нулевой порядок по h - 1, не зависят от h (т. е. от формы камеры) и дают вклад в вектор момента сил реакции жидкости на ротор, равный

M 0 = -8 а

0 3 5

(31)

Это выражение получается из формул (30) подстановкой вместо B и D их первых слагаемых. Оно совпадает с главным членом асимптотики по степеням X для случая сферической камеры, где h - 1 = Xcos0 (см. [5]). Таким образом, М0 полностью входит в тормозящий момент и не влияет на уводящие моменты. Поэтому далее мы будем вычислять только добавку M '0 к вектору М0, который вычисляется по тем же формулам (30) с подстановкой в них вместо B и D только их слагаемых B', D' порядка h - 1:

h — 1 / A

B' =-------(-sin a cos 0 cos (tp-p) + cos a sin 0)-,

D' =

h ■

1sin a sin ((p-ß)-—.

5 v ^ 2

Возьмём гармонику h -1 = P^1 (cos0)cosтф, тогда A и C вычисляются по формулам (24). Опять случай произвольного а сводится к линейной комбинации случая а = 0 (с коэффициен-П

том cos а) и а = — (с коэффициентом sin а).

Рассмотрим случай а = 0. Тогда h

1

5 sin 0

B' = ■

3т i(n +1)

- l-о A

---Sin 0---=

5 2

■sin 0

Pm (cos 0)cosтф,

D' - C _ 3m d

2 5n(n +1) d0

Согласно (30)

Pm (cos 0)sin тф.

цШ1

M x = ^7----x

5n (n +1)

2п n

J dф|[(m2 - n(n + l)sin2 (c°s0)x

0 0

X cos 0 cos ф cos тф +

+3msin0dPnm (cos0)sinфsinтф]^0. (32)

d 0

Проинтегрировав по ф, учитывая равенство p1 (cos 0) = -3sin 0 cos 0, получим

0 при n Ф 2 или m Ф1,

M' =

4тсцОК3

55

при n = 2, m = 1.

(33)

Выражение для M 'y получается из (32) заменой cos ф на sin ф, а sin ф на -cos ф и всегда равно нулю за счёт интегрирования по ф.

Из (30) также получим

M' =-

лн н í d ф{

3m

i(n +1)

- sm

xP^m (cos 0)cos ифsin Qd0

Интегрирование по ф показывает, что при m Ф 0 это выражение равно нулю, а при m = 0

M' =

2тсцОК3

я

J sin3 0p (cos 0) d0.

но т. к

о

. к. sin2 0 = — [P00 (cos0)- P20 (cos 0)] и в силу

ортогональности полиномов Лежандра при m = 0

0 при n Ф 2 или m Ф 0,

8тсцОК3

M' =

155

- при n = 2, m = 0.

(34)

Рассмотрим теперь случай a = ^ :

h — 1 A

B' =---cos 0 cos (ф-Р)-,

5 2

D' = --~V1 sin (ф-P)-C.

о 2

После интегрирования по ф выражения для M' x и преобразований, аналогичных приведённым выше, сохраняя ненулевые слагаемые, получим: а) при т = 2

5

M' =

б) при т = 0

—п cos В 5 5

M' =

0

4 о ЦОД3

—п cos В-------

5 5

Для компоненты M1 y:

М 'у =

0

8 . цШ?

—п sm В------

5 5

0

4 • о ЦОД3

—п sm В---------

15 5

при n Ф 2, при n = 2;

при n Ф 2, при n = 2.

m = 2, при n Ф 2,

при n = 2;

m = 0, при n Ф 2,

при n = 2.

(35)

(36)

(37)

Компонента момента сил М \ отлична от нуля только при т = 1. В этом случае

0 при п Ф 2,

M' =

4 R

—п cos В

5 5

при n = 2.

(38)

Таким образом, вектор момента сил реакции жидкости, действующих на ротор, в первом приближении по степеням h - 1 равен M = M0 + М', где М0 — часть тормозящего момента, не зависящая от формы камеры и задаваемая формулой (31), а М' содержит все уводящие моменты и может быть отличным от нуля только для гармоник h -1 = Pm (cos 0) cos тф при n = 2. Момент М' не зависит от смещения ротора, так как смещение задаётся гармониками с n = 1 и независимо от формы и размеров траектории, которую может описывать несбалансированный ротор, момент М' сохраняется после усреднения по периоду.

Сведём вместе значения моментов М' из (33)-(38) при произвольных значениях а и при всех гармониках h -1 = P^1 (cos 0)cosтф, которые дают ненулевые вклады в эти моменты. Если

h = 1 + a0 p (cos 0) +

+a\ p1 (cos 0)cos ф + a\ p2 (cos 0)cos2ф,

то

M' =

4тсцОр

155

- 6a2) sin a cos в + 3a\ cos a

M, = 4k^QRi y 155

3

L (0 + 6a\) sin a sin в,

M' z =

4тсцОр

155

3

L (-2a0 cos a + 3a\ sin a cos p). (39)

V. Эллипсоидальная камера. Поместим начало декартовой системы координат в центр сферического ротора. Пусть камера имеет форму эллипсоида, близкого к сфере с полуосями 1 + 51, 1 + 52, 1 + 53. Направим оси координат по главным осям камеры. Координаты центра камеры обозначим через (х0, y0, z0), тогда уравнение внутренней поверхности камеры есть + (_у-^ + (j^ = 1 (1 + 5) (1 + 52) (1 + 5з)

Будем считать 51, 52, 53, x0, y0, z0 настолько малыми, чтобы их квадратами и попарными произведениями можно было пренебречь по сравнению с ними самими. Тогда уравнение (40) в сферических координатах примет вид

r2 (i - 2Sj sin2 0cos2 ф- 2S2 sin2 0sin2 ф- 283 cos2 0) -

-2r (x0 sin 0 cos ф + y0 sin 0 sin ф +

+ z0 cos0) = 1 + O(2 +.. + z^^j). (41)

Будем искать его приближённое решение, линейное по 51, 52, 53, x0, y0, z0, в виде

r = 1 + 5jrj + 52 r2 + 53 r3 + x0 sj + y0 S2 + z0 s3 + O ( +.. + z02).

Тогда из уравнения (41) с точностью до малых второго порядка получим

r (0, ф) = 1 + 5j sin2 0 cos2 ф +

+52sin2 0 sin2 ф + 53 cos2 0 +

+x0 sin0cosФ+ y0 sin0sinФ+ z0 cos0.

Введём среднюю относительную толщину зазора 5 по формуле: 5= (Sj +52 +53 )/3, поэтому

, r — 1 1 51 + 52 . 2

h =-------= -\—-----2sin2 0 +

5 2 2

+53 cos2 0+ x0sin 0cos ф +

+ y0sm 0 sin ф+ z0cos 0 +

81 -82',:„2.

+

2

-sin 0cos 2ф].

Разложение функции h по сферическим гармоникам имеет вид

h = 1 + i[z0P° (cos0)-о

-x0 р1 (cos 0)cos ф-y0 p1 (cos 0)sin Ф + + (53 -5) (cos0) +

5, -5

6

2 P22 (cos0)cos2ф],

(42)

где P1° (cos 0) = cos0 , P (cos 0) = -sin 0 ,

P20 (cos 0) = (3cos2 0 -1) / 2, P22 (cos0) = 3sin2 0 . То есть смещение центра камеры относительно центра ротора, задаваемое параметрами x0, y0, z0, дает вклад в h только в виде гармоник с n = 1, которые, как было показано в предыдущем пункте, не влияют на момент. Момент, действующий на ротор в эллипсоидальной камере, форма которой задаётся функцией (42), вычисляется по формулам (39) при

~0- 8 8 4 = 0, a22 = 5 §2

65

Отсюда

М =-

35

8tc^QRj3 .

sin a cos в + M ' x =

35

sin a cos в

1 +

51-5 55

35

sin a sin в + M' =

8n^Q^j3 .

35

sin a sin в

1 +

y

52-5 55

(43)

M =■

8tc^QR3

35

cos a + M' =

8n^QRj3

35

cos a

! 5з-5 55

Вычислим уводящий момент Мр, т. е. компоненту момента М, ортогональную вектору угловой скорости й:

1

Ml =-

8tc^QR3

1552

[(5j -52 )in2 a sin2 в +

+(51 -53 )cos2 al sin a cos в

му =

8tc^QRj3

[(2 -5з )

cos a +

1552

(52 -51 )sin2 a cos2 в] sin a cos в,

Mp =-

8tc^QR3

1552

[(53 -51 )sin2 a cos2 p-

+(53 -52 )sin2 a sin2 pj cos a.

Видно, что в эллипсоидальной камере уводящие моменты возникают уже в первом приближении по малым параметрам

51 -5 52 - 5 53 -5

5 ’ 5 ’ 5 ’

тогда как для сферической камеры (5j = 52 = 53 = 5) они в первом приближении по X ( = 1 + к cos 0) отсутствуют и возникают лишь во втором приближении по X, как известно из точного решения, описанного в [5]. Кроме того, в случае сферы уводящий момент зависит от смещения ротора. Если ротор движется по круговой траектории, то усредненный по периоду уводящий момент равен нулю. В случае эллипсоидальной камеры уводящий момент в первом приближении вообще не зависит от положения ротора.

Выясним эволюцию вектора угловой скорости в простейшем случае изотропного сферического ротора (плотность его материала зависит только от расстояния до центра). В этом случае его тензор инерции шаровой и задаётся одним скаляром I, равным моменту инерции относительно любой оси, проходящей через центр. Эволюция вектора описывается уравнением d Q

моментов I = M, подставим в него компо-

dt

ненты момента из формул (43) и получим решение

= П0 exp 8npR3 ґ 1 + 5j -5"!

3I5 V 55 JJ

= Q0 exp 8npR3 f 1 + 52 -5^1

У y 3I5 V 55 JJ

п = п0 exp 8npR3 f 1 + 5з -5^"

3I5 V 55 )

í, (44)

Всегда можно предполагать (возможно, переименовав оси), что

0 <5! <52 <53. (45)

Тогда 53 = 35 - 51 - 52 <35 , откуда следует

0 <^ < 3,

+

8

или

-1 <

5j — 5 52 - 5 53 - 5

< 2,

т. е. добавка к декременту затухания вектора П из (44), обусловленная несферичностью камеры, не превышает 20 % в сторону уменьшения и 40 % в сторону увеличения по сравнению со сферической камерой с той же относительной толщиной зазора.

Для изучения эволюции направления П запишем определяющую её систему дифференциальных уравнений в сферических координатах, обозначив для краткости

A =

315

1 +

5; -5

(i = 1,2,3),

тогда

Ó sin a cos P + Ó (os a cos Peí - sin a sin PP) =

= -A1Ó sin a cos P,

Ó sin a sin в + Ó (cos a sin Peí - sin a cos в в) =

= -A2Q sin a sin в,

Ó cos a - Q sin aá = - A3Q cos a.

Найдём из этой системы a и (3 при условии (45) A < A2 < A 3). Будем рассматривать только случай несферической камеры, тогда хотя бы одно из последних неравенств должно быть строгим:

á = cos a sin a [(( - A2 )in2 P + (3 - A1 )os2 p], (46) P = -(A2 - A1) cos P sin p. (47)

Последнее уравнение имеет период п по Р и не меняется при замене Р на -Р, причём мериди-

П

аны р = 0, ±—, п являются решениями (47).

Поэтому достаточно найти решения этого уравнения, удовлетворяющие начальному условию

Р(0) = Ро, 0<Ро <2.

Такое решение задаётся формулой

Р() = arctg[tgP0 exp(( - A)]. (48)

Поэтому при Aj = A2 (эллипсоид вращения, вытянутый вдоль оси OZ) р = Р0, а при AJ < A2 P(í) ^ 0 при t ^ да.

Для решения уравнения (46) перепишем его

в виде

á = cos a sin a [(( - A2) + (A2 - A1) cos2 p]. (49)

i i n

Если P = P0 — решение, po < — , то либо Aj =

2

A2, либо P0 = ±— , либо P0 = 0. В первых двух

случаях а = cos a sin a((3 - A2) и решение с начальным условием a(0) = a0, 0<a0<п , имеет вид

a(t) = arctg[ctga0 exp(-(A, - A2)t)

и либо a(t) = a0 приA2 = A3, либо a(t)^^ при

A2 < A3. В третьем случае (P0 = 0)

á = cos a sin a((3 - Aj), a(t) = arctg[ctga0 exp(-( - Ai)t)),

и так как A3 > A1, то a(t) ^^ для любого а0.

П

В случае A1 < A2, Ро ^ 0 ± 2 функция P(í) задаётся формулой (48). Тогда

2R 1 1 cos Р =

1 + tg2p 1 + tg2p0exp(-2( - Д))

Подставляя это значение cos2P в уравнение (49) и решая полученное уравнение с разделяющимися переменными, приходим к формуле

a(t) = arcctg

ctga0

1 +tg Po

fexp^((2 - Д)} + tg2Po X exp|-((j - A )} из которой следует, что a(t )^ — при t

Если конец вектора й в начальный момент времени находится в полусфере -— <Ро

с центром в конце самой короткой полуоси эллипсоидальной камеры, то с течением времени он притягивается к концу этой полуоси, за исключением случая вытянутого эллипсоида вращения, когда он притягивается к экватору вдоль своего меридиана. В противоположной полусфере происходит то же самое: конец вектора й эволюционирует к концу малой полуоси (либо

в случае вытянутого эллипсоида вращения — к экватору, любая точка которого в этом случае также является концом малой полуоси).

В результате можно сделать вывод о том, что в случае эллипсоидальной камеры направление малой полуоси устойчиво для вектора й, который под действием уводящего момента притягивается к этому направлению из любого начального положения.

Список литературы

1 . Семенюк, Н. Ф. Механика фрикционного контакта шероховатых поверхностей. Площадь контакта / Н. Ф. Семенюк, Н. К. Бачин-ская, Н. В. Лукьянок // Трение и износ. 1993. № 6. С. 984-990.

2 . Мицуя, Р. Влияние Стоксовской шероховатости на гидродинамическую смазку. Эффекты скольжения // Проблемы трения и смазки. 1986. № 2. С. 9-27.

3 . Тейлор, С. Измерение и расчёт влияния неоднородной шероховатости поверхности на коэффициент трения при турбулентном течении // Соврем. машиностроение. 1989. Сер. А. № 7. С. 17-33.

4 . Уайт, Р. Численное и аналитическое исследование влияния шероховатости движущейся поверхности на газовую смазку // Проблемы трения и смазки. 1988. № 1. С. 148-167.

5 . Лойцянский, Л. Г Механика жидкости и газа. М. : Дрофа, 2003. 840 с.

6. Бейтмен, Г Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. М. : Наука, 1973.