Влияние погрешностей формы камеры на устойчивость вращающегося шара Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕХАНИКА

О. Н. ДЕМЕНТЬЕВ

ВЛИЯНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ФОРМЫ КАМЕРЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ШАРА*

Работа посвящена изучению влияния погрешности формы заполненной жидкостью камеры на характер движения и устойчивость вращающегося в ней шара. Определяется влияние погрешностей формы камеры на силы и моменты, действующие на шар, в двух случаях. Сначала ограничения на смещение ротора не налагаются, а возмущения формы камеры задаются сферическими гармониками. Во втором случае возмущения формы камеры малы и произвольны, смещение шара также мало. Тогда сила, действующая на шар, зависит только от его смещения.

С точки зрения момента, действующего на шар, камера любой формы оказывается эквивалентной некоторому эллипсоиду. Возникающий при этом уводящий момент стремится направить вектор угловой скорости вдоль малой оси эллипсоида, т. е. положение шара становится устойчивым.

Ключевые слова: погрешности формы, устойчивость, несжимаемая жидкость, вращающийся шар.

1. Статей, посвященных актуальной проблеме движения жидкостей в тонких сферических слоях, достаточно много; уделяется внимание и влиянию на движение шероховатостей ограничивающих слой поверхностей [1-7]. В данной работе изучено влияние ранее не рассматривавшихся погрешностей формы камеры, имеющих вид сферических гарманик, ее эллипсоидальности на характер движения и устойчивость вращающегося в ней шара. Камера заполнена вязкой несжимаемой жидкостью, форма камеры мало отличается от сферической. Движение жидкости в зазоре между камерой и вращающимся шаром описывается уравнениями Навье — Стокса и несжимаемости [1]:

Р

ду , .. .

ж +(УУ)у

—Ур + ^Ду + рд, = 0.

В этих уравнениях у — скорость, р — давление жидкости; р, ^ — ее плотность и динамическая вязкость.

Рассмотрим декартову систему координат, начало которой помещено в центре вращающегося шара-ротора, а в остальном произвольную. Направление вектора угловой скорости П задано углами а (между осью OZ и П) и в (между осью ОХ и проекцией П на плоскость (х,у)). Введем характерную толщину зазора 6 = (Я2 — К\)/К\, где К2 — радиус камеры. Перейдем к безразмерным переменным, выбирая в качестве единицы измерения расстояния радиус шара К\,

“Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект 07-01-96025-р_урал_а).

а в качестве единицы времени — 1/П. Уравнение поверхности шара имеет вид т = 1, а уравнение внутренней поверхности камеры т = т(в,^). Задача о стационарном течении вязкой несжимаемой жидкости в зазоре между шаром и камерой в приближении Стокса вне поля массовых сил имеет вид

AÜ = 0, ü = rotv, (1)

divv = 0.

Граничные условия в сферических координатах (т,в,ф):

v\r=1 = — sin a sin(^ — в)ee — [sin a cos(^ — в) — cos a sin 9}ev,

V\r=r(0, f) 0-

Для того чтобы использовать предположение о малой толщине слоя между шаром и камерой, введем новую радиальную переменную £. Т. е. в случае, когда внутренняя поверхность камеры есть сфера радиуса R2, полагаем

£ = (т — 1) А

Уравнение повехности шара приобретает вид £ = 0, а уравнение внутренней поверхности камеры —

£ = h(0, ф), h(0, <р) = (т(0, <р) — 1)/5.

В уравнениях движения (1) и граничных условиях сохраним только главные члены их асимптотик при 5 ^ 0, тогда с точностью до членов порядка 5 уравнения (1) перепишутся так:

д£2

д£2

1 dvr 1 д

+ --------ñ 7Т7Т (sin 9ve ) +

д£2 1 dvf

5 d£ sin в дв

1

sin в д<£

0,

(2)

(3)

А 52

д£2 + °(5)

где

ür =

sin в

д ( • в ) дщ дв<sln в%) —

1 дvf

ÍÜ0 = —

5 д£ ’

----------- С'

1 дщ

5 д£ '

(4)

(5)

Теперь граничные условия

vr\^=о = 0, ve\j=o = — sin a sin(^ — в),

1

vf \g=0 = — sin a cosecos(^ — в) + cos a sin в, Vr \¿=h = Ve\t=h = Vf\^=h = 0.

Решения уравнения (2) имеют вид

шв = А(в, ф)£ + В (в, ф),

= С (в, ф)£ + О(в, ф).

Дважды дифференцируя по £ уравнение (4), используя первое уравнение (2) и найденные решения для и ш^, получим уравнение

д ^ лч дС дв(А 8шв) + дф = °

(7)

Теперь можно выразить компоненты поля скоростей и у^ через введенные коэффициенты А, В, С, О, используя уравнения (5) и граничные условия

ув = — эта в1п(ф — в) + О(С£2/2 + О£), у^ = — э1п а соэ в соэ(ф — в) + соэ а э1пв — О(А£2/2 + В£).

(8)

(9)

Коэффициенты В и О можно получить, используя найденные выше компоненты скорости и условия на поверхности камеры:

г> 1 • • ( Ск

О = — э1п а Э1п(ф — в)-------------------,

Ок 2

1 Ак

В = — —— [э1п а соэ в соэ(ф — в) — соэ а э1пв]--------------------—.

Ок 2

(1°)

Значит, угловые компоненты скорости жидкости удается выразить через коэффициенты А и С

Ув

I—1

I—1

О

э1п а э1п(ф — в) + ^СД£

э1п а соэ в соэ(ф — в) — соэ а э1п в — ^ Ак£

(11)

(12)

а из уравнения неразрывности и условия уг |^=0 = °

О

э1пв

12 (э1п а (дк . л . . т дк л . ^Л соэ а дк . л

Т1 ~к^ 1 дв81п вяп(ф — в ) + дфсо8 в со8(ф — в)) — ~к^ дф81п в+

+2 (|(э1п вкс)—дф(кА^) - 1бО (дв(з1п вс) - Ю

(13)

Используя последнее оставшееся условие уг |^=^ = °, получим еще одно уравнение для коэффициентов А и С

д (ч1п вк3С) д (к3А)= б81п а

дв(яп вк С) — дф(к А) = —О~

дк

— в в1п(ф в) +

дк

соэ в соэ(ф — в)

дф

6 соэ а дк +-т—т; э1п в,

О дф

(14)

У

Г

решая которое совместно с (7) можно определить коэффициенты А и С, а затем по формулам (11)—(13) найти все поле скоростей.

Для решения системы уравнений (7), (14) рассмотрим сначала частный случай, когда функция к не зависит от ф, т. е. камера обладает осевой симметрией относительно оси OZ. Это возможно, если камера сферическая, а ось OZ направлена вдоль линии центров шара и камеры. В этом случае достаточно продифференцировать последнее уравнение по ф и подставить в него выражение из (7), тогда получим уравнение для функции А

д_

Ъв

д

sin eh3 — (sin вА)

j3 д2 А 6 sin a dh

+ h -77-^7- = -------------;--------777 Sin в CQS(^ — в),

дф2

8 de

решение которого ищем в виде

6 sin a

А(в, ф) = H£_?f(в) cos(^ — в).

(15)

В результате получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для f (в):

[sin 0h3(sin 0f)']' — h3f = h sin в

(16)

(штрих обозначает производную по (9). Требуется найти решение этого уравнения, непрерывное при 0 ^ 9 ^ п. Возможность фактического отыскания такого решения зависит от функции h = h(9), т. е. от формы камеры. Для сферической камеры h = 1 + Л cos 9, где Л — относительное смещение центров (расстояние между центрами равно |Л|$), и искомое решение уравнения (16) имеет вид

h = 1 + Л cos в,

(17)

совпадающий с полем скоростей, приведенным в [1].

В общем случае, когда к зависит от ф, можно сначала «проинтегрировать» уравнение (7), представив его как условие равенства смешанных вторых производных некоторой новой функции Е = Е(в, ф):

■ пл дЕ П dE

sin вА = —, C = — -j-. дф дв

(18)

В качестве E можно выбрать

Е (в, ф) = — / С (в, ф)^в,

0

для которой записанные выше условия проверяются непосредственно, если А и С связаны уравнением (7). Подставим эту функцию Е(в, ф) в уравнение (14):

д Л Л,3дЕ\ д / к3 дЕ дв V Ж у + дф (, ¡Ьв дф

6 sin a 8

— sin в sin^ — в) + cos в cos^ — в) д в дф

6 cos a dh 8 дф

sin 9.

(19)

Є

Требуется найти решение уравнения (19), непрерывное на единичной сфере и удовлетворяющее условию нормировки E |#=о = 0, вытекающему из определения этой функции. Заметим, что значение E(в, <^) при в = п определено однозначно, т. е. E(п, <^) не зависит от <^. Найдя функцию Е, можно по формулам (18) вычислить A и C, а затем по (11)—(13) определить все поле скоростей.

2. Рассмотрим случай, когда форма камеры мало отличается от сферической. С выбранной нами точностью зададим сферическую форму камеры в виде h0 = 1 + Л cos в (ось OZ по линии центров), тогда форму, мало отличающуюся от сферической, зададим функцией

Подставляя к и Е в уравнение (19) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим уравнения для определения Е0 и Е1, причем Е0, удовлетворяющее условию нормировки, уже известно из (15), (17) и (18):

полностью известна, и так как она линейно зависит от к1, которую можно разложить в ряд по сферическим функциям, то достаточно рассмотреть в качестве к1 сами сферические функции:

Здесь Р™ — присоединенные функции Лежандра I рода. Подставим функцию к1 и ее производные в правую часть (21) и разложим эту часть уравнения в ряд Фурье по переменной <^. Если

h = ho + ^hi, |^| С 1

и будем искать решение уравнения (19) в виде

E(0, р) = £0(0, р) + ^£1(0, р) + O(^2).

£o(0, р)

6 sin а А

S А2 + 4

(20)

Теперь правая часть уравнения Ei

3 d£o

+

6 sin а Г dh1

6 cos а 5h1

sin (21)

0 ^ m ^ n, n = 0, 1, 2,...

(22)

то уравнение (21) распадается на конечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (в правой части уравнения (21) сохраняется конечное число ненулевых Фурье-компонент), причем благодаря условию нормировки

(E(0, <^) = 0) am(0) = 0. Будем искать непрерывные при 0 ^ в ^ п решения этой системы в виде ряда Фурье по ортогональной с соответвующим весом системе присоединенных функций Лежандра с фиксированным верхним индексом. Выясним, что получается при малых значениях n, т. е. в первых гармониках по азимутальному углу <^. Если m = 0, то hi = const и уравнение поверхности камеры примет вид

h = 1 + A cos 9 + ^hi = (1 + ^hi)

1 + -—- cos 9 1 + ^hi

т. е. функция h сводится к виду ho заменой

5 ^ 5 = (1 + я^)5, A ^ A = A/(1 + ^hi),

после чего решение дается формулой (20) с заменой (5, A, h0) ^ (5", A", h).

Если n = 1, то для m возможны два значения: m = 0, 1. При m = 0 получаем

hi = cos 9, h = 1 + A cos 9 + я cos 9 = 1 + (A + я) cos 9

и функция h сводится к h0 заменой A ^ A + Я- Возьмем в качестве hi произвольную сферическую функцию порядка n = 1:

h = 1 + A cos 9 + я sin 9 cos ^ + я2 sin 9 sin ^ + я3 cos 9 =

= 1 + (A + я3) cos 9 + я sin 9 cos ^ + я2 sin 9 sin Произведя поворот, переводящий ось OZ в ось axis oz' с направляющим вектором

e = —. {Я i, Я2, A + Яз},

мы переведем функцию h в функцию h' = 1 + A' cos 9', где

A' = \J(A + Яз)2 + Я2 + Я2, cos 9' = Z- =

[^i sin 9 cos ^ + я2 sin 9 sin ^ + (A + я3) cos 9].

\/(А + ^э)2 + ^1 + ^2

Итак, для возмущения формы внутренней поверхности камеры, задаваемого сферической функцией Л,1 нулевого или первого порядка, имеется точное решение уравнения (19), получающегося из (20) простой заменой параметров. Геометрически нулевой порядок Л означает малое растяжение или сжатие камеры, а первый порядок означает малое смещение с малым поворотом, так что форма камеры не меняется, хотя камера испытыват некоторую деформацию и перемещение. Поэтому для любого возмущения формы камеры сферической функцией Л порядка не более единицы существует эффективная сферическая камера с близкими значениями относительного зазора 8 и отностельного смещения А8, дающая те же значения главного вектора сил реакции жидкости на вращающийся шар и главного вектора момента этих сил и, следовательно, приводящая к тем

же уравнениям движения шара и тому же уводящему моменту. В частности, центральное положение равновесия шара при малых возмущениях формы камеры вида ^hi остается неустойчивым, как и в задаче со сферической камерой.

3. Рассмотрим камеру произвольной формы, мало отличающуюся от сферической. Учитывая, что уравнение внутренней поверхности камеры произвольной формы r = r( в, p) > 1, в качестве меры величины относительного зазора 5 выберем среднюю относительную толщину слоя по сфере

1 р2п г'П

5 =— dp I [r(в, p) — 1] sin в^в,

J0 Jo

радиальную переменную £ определяем, как и раньше, £ = (г — 1)/5. Тогда внутренняя поверхность камеры задается уравнением £ = (г(в, p) — 1)/5 = h(e, p). Будем предполагать функцию г(в, p), а вместе с ней и h(e, p) дважды непрерывно дифференцируемыми и разложим £ в равномерно сходящийся ряд по сферическим функциям:

ГО П

h(e, p) = ЕЕ Ocose)(C cos mp + bm sin mp), (23)

n=0 m=0

где pm (cose) — присоединенные функции Лежандра [8]:

( 1)m dm+™(x2 — 1)”

pm(x) = (^nr(1 — x2)m dXm+ra ) , 0 ^ m ^ n.

Из соотношений ортогональности функций Лежандра и тригонометрических функций следует, что среднее значение функции h(e, p) по сфере

1 f'2n Г'П

h = — dp h(e, p)P(°(cos в) sin ede =

4n

*2п лп

= -1 I dp I a0[Pn (cos é1)]2 sin édé = a0, 4п Л ./o

но из определения £ и 6 следует, что h =1, т. е. a0 = 1 и

h(é, p) = 1 + ЕЕ Pm(cosé)(am cos mp + bm sin mp). (24)

n=1 m=0

Подставим эту функцию в уравнение (19) и решим его в предположении, что камера мало отличается от сферы, концентричной вращающемуся шару, т. е. коэффициенты ат и Ьт малы. В качестве меры отклонения формы камеры от сферы, концентричной ротору, выберем функцию к — 1, равную нулю тогда, и только тогда, когда камера сферична и центр ее совпадает с центром шара. Под величиной этой функции будем понимать ее норму в гильбертовом проствранстве ¿2 функций, квадратично интегрируемых на сфере

— Ill = \l I dp J [h(é, p) — 1]2 sinédé.

o

o

П

Так как

m (2n + 1) (n - m)! f2п Г ¡isa \ nDm/ m • ам

a„ =---------- ------— dp / [h(0, p) — 1]P (cos6)cosmpsin0d0,

2n (n + m)! Jo Jo

то, оценивая последний интеграл при помощи неравенства Коши — Буняковского, получим

| / /(2n +1)(n — m)!... 1Н

|а-1Ч ~(П+m)! I|h—1|h

т. е. каждый коэффициент ат — малая не ниже первого порядка относительно к — 1. Обозначая решение с а^ =1 через получим

1 д Л ЛдЕп\ 1 d2Em

sin 9—+

sin 9 д9 У д 9 У ' sin2 9 др2

3 sin а

[(m + n)(n — m + 1)P™-1(c°s 9) sin((m — 1)р + в) +

0

6 cos а

+P™+ (cos0)sin((m + 1)p — в)]+--------;—mP™(cos 0) sin mp. (25)

o

Оператор в левой части уравнения (25) представляет собой угловую часть оператора Лапласа в сферических координатах. Его собственными функциями являются все сферические функции, т. е. все члены ряда (23), причем функции вида (22) соответствуют собственным значениям Ат = —n(n + 1) для любого k, 0 < k < n. Так как в правой части (25) стоит линейная комбинация таких функций при k = m — 1, m, m = 1, то непрерывное на сфере решение уравнения (25) имеет вид

3 sin а

Em = —^--------tz[(n + m)(n — m + 1)P™-1(cos 0) sin((m — 1)p + в) +

on(n + 1)

6 cos а

+Pm+ (cos 0) sin((m + 1)p — в] — ------------гmP,™(cos 0) sin mp. (26)

on(n + 1)

Прямым вычислением можно показать, что решение уравнения, аналогичного (25), но при bm = 1 и остальных коэффициентах, равных 0, получается из (26) заменой в каждом слагаемом mp на mp — п/2, т. е. поворотом, а потому достаточно рассматривать решение вида (26) и при необходимости делать в нем указанную замену азимутального угла. Для определения поля скоростей жидкости в зазоре по формулам (11)—(13) необходимо вычислить коэффициенты A и C по (18). По найденному полю скоростей расчитаны силы и моменты сил, действующих на вращающийся шар в тонком слое вязкой жидкости. С точки зрения определения вектора силы F, действующей на шар, камера произвольной формы, мало отличающаяся от сферы с центром в центре шара, в первом приближении по h — 1 не отличается от сферической камеры с тем же значением относительной толщины зазора 0, центр которой смещен относительно центра ротора на подходящую величину в подходящем направлении. В частности, подбором формы камеры нельзя

сделать устойчивым положение равновесия вращающегося шара-ротора, которое было неустойчивым для сферической камеры.

4. Эллипсоидальная камера. Поместим начало декартовой системы координат в центр сферического ротора. Пусть камера имеет форму эллипсоида, близкого к сфере с полуосями 1+ ¿1, 1 + ¿2, 1 + ¿3. Направим оси координат по главным осям камеры. Координаты центра камеры обозначим через (x0, y0, z0), тогда уравнение внутренней поверхности камеры

(x — x0)2 + (y — yo)2 + (z — z0)2 = 1 (27)

(1 + ¿1)2 (1 + ¿2)2 (1+ ¿з)2 ■ 1 '

Будем считать ¿2, ¿3, x0, y0, z0 настолько малыми, чтобы их квадратами и по-

парными произведениями можно было пренебречь по сравнению с ними самими. Тогда уравнение (27) переходит в

X2 + y2 + z2 — 2(¿xX2 + ¿2y2 + ¿3Z2) — 2(ЖЖ0 + УУ0 + ZZ0) = 1 + O(¿2 + • • • + z0).

В сферических координатах это уравнение имеет вид

r2(1 — 2¿x sin2 б cos2 p — 2¿2 sin2 б sin2 p — 2¿3 cos2 б) —

— 2r(x0 sin б cos p + y0 sin б sin p + z0 cos б) = 1 + O(¿2 + • • • + z0) (28)

Ищем его приближенное решение, линейное по ¿2, ¿3, x0, y0, z0:

r = 1 + ¿1Г1 + ¿2Г2 + ¿3Г3 + X0S1 + y0^2 + Z0 S3 + O(¿2 + • • • + z0).

Подставляя r в уравнение (28) и приравнивая к нулю коэффициенты при ¿1,... , z0, находим rx,... , s3, откуда с точностью до малых второго порядка

г(6, p) = 1 + ¿1 sin2 б cos2 p + ¿2 sin2 б sin2 p + ¿3 cos2 б+

+x0 sin б cos p + y0 sin б sin p + z0 cos б.

Введем среднюю относительную толщину зазора ¿ по формуле ¿ = (¿1 + ¿2 + ¿3)/3, поэтому

r — 1 1 ¿1 + ¿2.2л г 2 л -л

h = —7— = - —i— sin б + o3 cos б + x0 sin б cos p+

- 2

2

51 — 52

+yo sin 9 sin р + zo c°s 9 +-----2— sin2 9 cos 2p

Разложение h по сферическим гармоникам примет вид

h = 1 + -[z0P°(cos 9) — x0P11(cos9) cos p — y0P11(cos9) sin p+

5

Á Á

+(53 — -)P20(cos9) + —-------2P22(cos 9) cos 2p], (29)

6

где P°(cos9) = cos9, P11(cos9) = — sin9, P20(cos9) = (3cos29 — 1)/2,

P22(cos 9) = 3 sin2 9. Т. е. смещение центра камеры относительно центра ротора, задаваемое параметрами x0, y0, z0, дает вклад в h только в виде гармоник с n = 1, которые, что следует из результатов предыдущего пункта, не влияют на момент.

Вычислим уводящий момент Мр, т. е. компоненту момента M, ортогональную вектору угловой скорости П:

Mp = M - ^(М, ñ)ñ,

П2

MX = — r0Rl [(^і — i2) sin2 a sin2 в + (^і — is) cos2 a] sin a cos в,

15o2

MP = — nRl [(i2 — is) cos2 a + (i2 — 01) sin2 a cos2 в] sin a sin в,

y 15o2

MZ = — ^.Rl [(О3 — íi) sin2 a cos2 в + (О3 — О2) sin2 a sin2 в] cos a.

15o2

Видно, что в эллипсоидальной камере уводящие моменты возникают уже в первом приближении по малым параметрам

О1 — О 02 — О 03 — o

S’ S’ S’

тогда как для сферической камеры (Si = S2 = S3 = S) они в первом приближении по Л (h = 1 + Л cos б) отсутствуют и возникают лишь во втором приближении по Л, как известно из точного решения [1]. Кроме того, в случае сферы уводящий момент зависит от смещения ротора. Если ротор движется по круговой траектории, то усредненный по периоду уводящий момент равен нулю. В случае эллипсоидальной камеры уводящий момент в первом приближении вообще не зависит от положения ротора.

Выясним эволюцию вектора угловой скорости П в простейшем случае изотропного сферического ротора (плотность его материала зависит только от расстояния до центра). В этом случае его тензор инерции шаровой и задается одним скаляром I, равным моменту инерции относительно любой оси, проходящей через центр. Эволюция вектора Q описывается уравнением моментов I dp = M, подставим в него компоненты момента и получим систему уравнений

(1 + Si5-S)n*’ (30)

Ее решение имеет вид

Пх = ПХ exp[— 8n31Rl (1 + il5i^)t], (з1)

ПУ = П exp[ 8nlORi(1 + )t],

П = П0 exp [— 8n^Rs (1 + )t].

Всегда можно предполагать (возможно, переименовав оси), что

0 < іі ^ $2 ^ is. (32)

Тогда $s = 3$ — $і — $2 < 3$, откуда следует

$1 $2 $1

0 < — < — < — < 3

или

$1 — $ $2 — $ $s — $

— 1 < —---< —-----< —------ < 2,

$ ^ ^ $ ’ т. е. добавка к декременту затухания вектора П из (31), обусловленная несфе-ричностью камеры, не превышает 20 % в сторону уменьшения и 40 % в сторону увеличения по сравнению со сферической камерой с той же относительной толщиной зазора.

Для изучения эволюции напрвления вектора ñ перепишем систему уравнений (30) в сферических координатах. Обозначим для краткости

*=8s?(■+т)' •=‘■■■•'3

При условии (32) имеем A1 < A2 < As. Будем рассматривать только случай несферической камеры, тогда хотя бы одно из последних неравенств должно быть строгим. Перепишем систему (30) в сферических координатах и найдем из нее уравнения для a и в. Уравнение для в

в = —(A2 — A1) cos в sin в

решим при начальном условии

П

в(0) = Л, о < во < 2•

Такое решение дается формулой

в (t) = arctg[tgeo exp(—(A2 — Ai)t)]. (33)

Поэтому при A1 = A2 (эллипсоид вращения, вытянутый вдоль оси OZ) в = во, а при A1 < A2 в(t) ^ 0 при t ^ то.

Чтобы решить уравнение для a(t), запишем его в виде

a = cos a sin a[(A3 — A2) + (A2 — A1) cos2 в]• (34)

Если в = в0 — решение, |в0| < п/2, то либо A1 = A2, либо в0 = ±п/2, либо

в0 = 0. В первых двух случаях a = cos a sin a(A3 — A2) и решение с начальным

условием a(0) = a0, 0 < a0 < п имеет вид

a(t) = arcctg[ctg a0 exp(—(A3 — A2)t]

и либо a(t) = a0 при A2 = A3, либо a(t) ^ п/2 при A2 < A3. В третьем случае

(в0 = 0)

a = cos a sin a(A3 — A2), a(t) = arcctg[ctg a0 exp(—(A3 — A1 )t],

и так как A3 > A1, то a(t) ^ п/2 для любого a0 •

В случае A1 < A2, в0 = 0, ±п/2 функция в(t) задается формулой (33). Тогда

cos2 в =__________________________________________1_=_1_.

1 + tg2 в 1 + tg2 в0 exp(—2(A — A^t)'

Подставляя это значение cos2 в в уравнение (34) и решая получающееся уравнение с разделяющимися переменными, приходим к формуле

a(t) = arcctg

ctga0-i

1 + tg^0

exp(2(A — A1 )t) + tg^

exp(—(A3 — A2)t)

из которой следует, что а(Ь) ^ п при Ь ^ то.

Итак, если конец вектора П в начальный момент времени находится в полусфере — 2 < во < п с центром в конце самой короткой полуоси эллипсоидальной камеры, то с течением времени он притягивается к концу этой полуоси, за исключением случая вытянутого эллипсоида вращения, когда он притягивается к экватору вдоль своего меридиана. В противоположной полусфере происходит то же самое: конец вектора П эволюционирует к концу малой полуоси (либо в случае вытянутого эллипсоида вращения — к экватору, любая точка которого в этом случае также является концом малой полуоси).

В результате можно сделать вывод, что в случае эллипсоидальной камеры направление малой полуоси устойчиво для вектора П, который под действием уводящего момента притягивается к этому направлению из любого начального положения. Траектории, описываемые концом вектора П в случае трехосного эллипсоида (А^ < А2 < А3), изображены на рисунке.

Большая полуось

Малая полуоси

Средняя полуось

Если использовать камеру в форме слегка сплюснутого эллипсоида вращения, тогда в ней осевое направление вектора угловой скорости будет стабилизироваться уводящим моментом.

Список литературы

1. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский. — М. : Наука, 1978.

2. Андрейченко, К. П. О поправочных коэффициентах, учитывающих нестацио-нарность профиля скорости в колеблющихся поддерживающих слоях поплавковых приборов / К. П. Андрейченко, А. В. Смарунь // Изв. АН СССР. — 1980. — № 5. — С. 56-80.

3. Андрейченко, К. П. Динамика поплавковых гироскопов и акселерометров / К. П. Андрейченко. — М. : Машиностроение, 1987.

4. Семенюк, Н. Ф. Механика фрикционного контакта шероховатых поверхностей. Площадь контакта / Н. Ф. Семенюк, Н. К. Бачинская, Н. В. Лукьянок // Трение и износ. — 1993. —№ 6. — С. 984-990.

5. Тейлор, С. Измерение и расчет влияния неоднородной шероховатости поверхности на коэффициент трения при турбулентном течении / С. Тейлор // Соврем. машиностроение. — 1989. — Сер. А, № 7. — С. 17-33.

6. Уайт, Р. Численное и аналитическое исследование влияния шероховатости движущейся поверхности на газовую смазку / Р. Уайт // Проблемы трения и смазки. — 1988. — № 1. — С. 148-167.

7. Мицуя, Р. Влияние Стоксовской шероховатости на гидродинамическую смазку. Эффекты скольжения / Р. Мицуя // Проблемы трения и смазки. — 1986. — № 2. — С. 9-27.

8. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. — М. : Наука, 1971.