CC BY
16
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА
Том 192
1975 «
ОБ ОДНОЙ МЕТОДИЧЕСКОЙ ОШИБКЕ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ
ВЕРТИКАЛИ
О. А. АРТЮХОВСКИИ, А. И. СТУДЕНИКИН
{Представлена научно-техническим семинаром кафедры гироскопических приборов
и устройств)
Одной из основных ошибок прецизионных ннерциальных навигационных систем является ошибка, возникающая вследствие неучета в формулах бортового алгоритма несферичности Земли. В связи с этим представляет интерес исследование уравнений ииерциальной навигации, полученных с учетом иесферичностп Земли, и оценка методичс-ческих ошибок ииерциальной вертикали.
Будем считать, что Земля представляет собой эллипсоид вращения с малым сжатием в направлении полюсов. В соответствующих местах под параметрами земного сфероида будем понимать параметры эллипсоида Красовского. Введем в рассмотрение следующую ортогональную систему координат — систему £оПо?о, связанную с Землей. Начало О этой системы координат совместим с центром Земли. Ось От]0 направим вдоль вектора угловой скорости вращения Земли со. За ось примем линию пересечения экватора плоскостью гринвичского меридиана. Ось О£0 перпендикулярна первым двум так, чтобы система осей была правой.
В точке вылета поместим систему координат ^г]1^1, ось которой направим вверх по радиусу-вектору Р, ось От]х — в плоскости ортодро-мического меридиана по направлению к ортодромическому полюсу.
Геоцентрическая система координат ^г]1?1 определяет, таким образом, ортодромию как центральное сечение земного сфероида, проведенное через две заданные точки либо через одну точку, заданную геоцентрическими координатами, и азимут. Выбранную ортодромию будем ха-
рактеризовать
осями £оЛо?о и
следующей
таолицеи направляющих косинусов между
пи п12
П1г = эт П2г ^22 Я23 п
соэ Х0 • эт Аг0 + йш Х0 • эт ?0 • б1п Д соэ сро-этЛ^
и»
О'
СОБ Л0. эт Лг0
зтХп-8т «п-соэ Л'
• зт /.о-соэ Л'о, соэ а0- эт Дг0,
соэ г-?о-$\п Аг0,
СОЭ А0 • ЭШ ср0 • соб До "Г ЭШ X
-31
= ЭШ Хп * СОБ
'О'
пг.2 = — эт
Л'о, п,., = соз X
о-созеро. ^
).о — долгота точки старта, ср0 — геоцентрическая широта точки старта, А0 — угол ортодромии в точке старта. Свяжем с текущими координатами летательного аппарата геоцентрическую систему отсчета ^т]^. Взаимное расположение систем и определим таблицей на-
правляющих косинусов, составленной по геоцентрическим ортодроми-ческим координатам.
Перемножая матрицы, записанные в табл. 1 и 2, получим направляющие косинусы между осями: £оЛо£о и
Таблица 1 Таблица 2
V V
-1 т «И «12 «13 »1 eos Át 0 — sin At
V п.л п 22 п-.з "О sin A j • sin Ф^ cos cos • sin Ф1
-1 «31 «32 «33 sin At cos Ф1 — sin Ф{ cos Aj-cos Ф1
Таблица 3
Таблица 4
! r,o -0
íi mn
m2\ m-2-2 m.2 3
-1 m¿x Ж.У2 ™33
Si r4 У
1 0
0 1
- — Vj 1
(2)
тп = пи cos Aj — /z3I sin А,, tn¡2 = rt12-C0S At — nl]2 sin A¡, ^13 = ^13*eos A1 — n.¿,} sin Alt
m2\ = nu - sin \x - sin Фх + cos -f n3l - sin Ф, - cos Аь /тг22 = /712• sin At - sin Ф1 + пп cos -f- sin - cos Аь т2з = ^13-sin Aj - sin + /г2;> cos Oj 4- пг3*sin Ф1-соэ AH /7г31 = nu - sin A j - cos Фх — /г21 - sin Ф[ + n3l cos At - cos Ф;, = sin A, - cos Ф! — /z22-sin Ф1 -}- /гда cos At - cos Ф15 /«33 = «13-Sin A, - COS Ф! — /¿23 - Sin Ф1 -f /7.33 -COS Aj -cos Ф j.
Будем считать, что на борту летательного аппарата 'Материализована геодезическая вертикаль, с которой совпадает одна из осей системы координат lv}£,. Обозначив углы уклонения геодезической вертикали от направления радиуса вектора в плоскости ортодромического меридиана через vi и в направлении, перпендикулярном плоскости меридиана через V2, получим связь между системами координат h^iíi и в виде табл. 4, записанной с учетом малости углов vi и V2- Углы vi и v2 находятся из простых соотношений
V] = • cos N, V2 = — (i 1 sin N, (3)
связывающих значения этих углов с геометрической формой Земли.
Функция дается с помощью тригонометрического ряда [I],
причем нам достаточно удержать первых два члена:
¡J, = с • sin 2В--— с2 ■ sin 4В, (4)
2
где
с= (а2—Ь2) (а2 + &2)-1» а, b — полуоси эллипсоида Красов-ского, В — геодезическая широта.
За координаты летательного аппарата в этом случае целесообразно принять следующие значения:
Ф^Ф,-^,
А = Л, +
v.,
COS Ф
(5)
Выбор ортодромических координат в форме (5) оправдан тем, что пересечет координат из географической системы в ортодромическую и наоборот может быть осуществлен посредством использования матричных преобразований вида (1).и (2). Это можно показать. Пусть летательный аппарат находится в точке с геодезическими координатами В и L и ортодромическими Ф и Л. Им соответствуют геоцентрические 'координаты ср = В ц; К = L\ Ф[ = Ф — vj; A¡ = A — v2 (собФ)-'.
Подставляя последнее в правые части формул (1) и (2), получим две системы тождества. Например, для т32 будем иметь
— («12 • sin At cos — п22 sin Ф{ -г я...-cos At -cos Фг) = sin ср.
Подставляя в последнее выражение Ф и А вместо Ф^ и А, и учитывая (1), (2), (3), получим с точностью до членов С2
nv>-sin (Aj +
cos Ф
cos (Ф! + Vj) — tisin (Фг + v,)
+ «;í2cos At +
cos Ф
cos (Ф1 -j- V,)
sin о + • cos 9 = sin B.
Основное уравнение инерциальной навигации, записанное применительно к системе координат сг/1, имеет вид [2, 3]
/= = VI + У,9.г- Vr.il,-а: /„ = víQt-vi^í-frt, ■ Л - 1/;+ Г:'-' У^г-и
(6)
где 2^, 2^, 2с 1/5, Уп, Ус — составляющие абсолютной угловой и линейной скоростей радиуса-вектора. Вводя в рассмотрение относительные линейные скорости объекта и использум табл. 4, можно показать, что проекции абсолютной угловой и линейной скоростей на оси будут равны:
-1сг ф.
/г ь
2С = -
У /
—-foscos ф sin N — (
R \
J — со sin 9 v2;
=
Wi
u
R
+ to • cos cp ■ COS N
Wb
tg'fl — w-Sino vi;
if
tg ®1 — Ш Sin ? +
+ CO-COS cp-SinTV I v2
-f CO-COS 'f-cos ¿V ) Vj;
(7)
1Д = Wn — Vz v2 + R oj cos 9 • cos Ar;
= + l/,vx — /?a-cos9-sin A; 1/; = + Wti-Vo — WT(i vj + /?ü)COS cp-COsTV-v2 -f /?eo.cOS cp-SÍn а для системы (6) будем иметь
Wpi Vri Wy^ WÍi
Л = W^u (Va * 4 -j tg Ф, -j-
К К
-oj-cos 9 - eos A -f 2 U7r(i ■ to-sin 9 — яш2-sin 9 - eos 9 - sin N +
/ №2 1Г 2 + í —-f —^ + 1Ш • eos 9 • eos A' -
— 211/^1 - и-eos 9 • sin A -r Río2 eos2 9 j v2 — /=.
Ш, Ум II/'Ti
H к
~ 2Wíi w-sin ^э — 2 vci oj-cos 9 ■ sin A — i?u>2 sin eos o -cos N —
2Wti w ■ eos 9 • cos 7V - 2W/r¡i ш • cos 9 • sin A' + + RM2co§2®) vx —/v
Ur/¡L ll'Vi
(8)
U^ci , Щг
R R
-f- 2Wrt\ w-cos 9-sin N — 2U^i tu-eos 9-cos A — Яш2 cos2 9 -j-
/ ГИ^ ф^ + 2l|7 sjn ф + 217 ш cos OC0sN-
\ R R
— Rw2 cos 9 -sin 9 * sin <2. sin A^ v., — í ^7¡1 — ^ H1 ■ tg Фг —
) ' \ R R
\
2Wh (o sin 9 — 2 i/u w cos 9 • sin N — /?ш2 • cos 9 • sin 9 • cos N ] — /<.
Перейдем в (7) и (8) к геодезическим координатам В и Ф, а также к составляющим относительной скорости в системе для чего в (8) подставим следующие соответствия:
Ot =(D-Vi; 9 =5 - ¡i; U^i = -f l/,v2;
U7Til = • v!; V<1 = V<-Wzv2 + Wrvu
из которых три последние оправданы естественным допущением = = Vci-v1;2; 'W-,]V1;2 = IFt¡i v1;2. Также учитывается, что для гироплатформы, ориентированной по вектору силы тяжести, справедливы соотношения:
— Roí2 sin 9 - cos 9 - sin А + R(ú2 cos2 cpv2 — fz = 0,
— i?w2 sin 9 • cos 9 - cos N — Яш* cos2 f-ví—fri = 0.
После несложных преобразований получим для показаний горизонтальных акселерометров и сигналов коррекции платформы
д = Wi+ ^^3tgQ> + 2Wrfü'S\nB + 2 V>-cos В-cos А, R
И ' 1П
hi = 1V ,---- tg Ф — 2lv> Sin Б — 2 l/<co cos Б • sin TV,
R
- — ^ + со-cosB-sin W + —etg<Dv,, (9)
IT- w c
-2T = —: + о-cos В-cos A,r---tg <I>vu
1 R R
Гл • о Wv
=--- tg Ф — CO sin В---V.„
R R -
где R = a (1 с • sin2 B).
Если пренебречь третьим слагаемым в выражениях для Qe; 2Ч; 2., что справедливо при полете вдоль ортодромии (Ф = \м; Wt¡ =0), то можно считать, что соотношения (9) записаны для шара геодезических широт В. Шаровая структура формул (9) и отмеченная выше возможность использования сферических формул для преобразования координат Ф и А в В и L дают основание рассматривать работу инер-циальной вертикали на сфере переменного радиуса, полученной как сферическое изображение эллипсоида на шар. Поэтому для анализа методических ошибок более простых алгоритмов (отсутствие поворотных ускорений, содержащих Ve, постоянное значение R и т. д.) можно использовать общие дифференциальные уравнения ошибки инерцнальной системы (2) для шарообразной Земли. В этом случае в правые части уравнений для ошибки в построении вертикали необходимо подставить разности методических точных формул (9) и принятых в вычислителе, понимая эти разности как ошибки, эквивалентные ошибкам акселерометров и уходам стабилизирующих гироскопов. При реализации в вычислителе полных формул (9) с переменным R правые части уравнений ошибки равны нулю. Следовательно, в полете платформа будет ориентирована по геодезической вертикали.
Непрерывное счисление координат по уравнениям:
t t t t
л-d'idt-ф--MfIÍr;dt\
U 0 0 0
IV": = /: - JlíIjL tg Ф - 2WT{ (O. sin В - 2 V, ü> eos В cos N; R
W't, = + — tg Ф + 2Wi со sin В + 2 К со eos В - sin N, R
казалось бы, должно давать значения Ф и А. Однако этого не происходит. Действительно, выражения для относительных ускорений. W¡ и Wr¡ из (8) для случая горизонтального полета будут иметь вид W{= Wn -f 2С2 Wvtocos В• sin 2В• sin N• В' - C*Wn0 sin 2В (sin 2B-sin N)' ; W'T¡ — W^i + 2C"iW7¡o-cos В-sin 2B - cos N -Br — C^W^q sin 2B (sin 2B - cos N)'. По-прежнему с точностью до членов С2 имеем
w{ = uvÉr, iv; = ir;.
Следовательно, ннерциальная система будет счислять геоцентрические координаты А[ и Ф\. С учетом того, что в месте старта в вычислитель вводятся точные координаты, полная ошибка будет равна
ДФ = csin2£-cos/V —n¡>,
А V - - ^-sin2jg'sin7V 0°)
cos Ф
Методическая ошибка является чисто геометрической. Максимальное значение ее достигает 22 км.
Выводы
Если для сфероидальной Земли плоскость ортодромии совпадает с центральным сечением, то пересчет ортодромических координат в форме (5) в геодезические производится по обычным формулам.
Методически точные уравнения инерциального ориентатора допускают сферическое изображение на шар переменного радиуса, то есть могут быть получены из «шаровых формул» заменой геоцентрических координат (Х>! и ф геодезическими Ф и В. При этом инерциальная система является построителем геодезической вертикали, но имеет ошибку в координате. Простыми поправками могут служить выражения (10), взятые с обратным знаком.
ЛИТЕРАТУРА
1. Г. В. Багратуни. Курс сферической геодезии. Изд. географ, литературы, М,,
1962.
2. В. Д. А н д р е е в. К теории инерциальных систем автономного определения координат движущегося объекта. ПММ, т. 28, вып. 1, 1964.
3. К. Л. Мак-Клур. Теория инерциалыюй навигации. «Наука», М., 1964.
