CC BY
151
Вестник СГГА, вып. 3 (27), 2014
УДК 528.21/22
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ
СМЕШАННЫХ И ЧИСТЫХ АНОМАЛИЙ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
Александр Викторович Елагин
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск,
ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, e-mail: elav@ngs.ru
Инна Евгеньевна Дорогова
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск,
ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, e-mail: inna_dorogova@mail.ru
Артем Владимирович Мареев
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск,
ул. Плахотного, 10, аспирант кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, e-mail: artemi2013@mail.ru
Рассмотрена проблема перехода от чистых к смешанным аномалиям силы тяжести и обратно. В случае, если известны геодезические и нормальные высоты, а также формулы вычислений аномалий силы тяжести, рекомендуется переходить к измеренным ускорениям силы тяжести, затем вычислять аномалии с использованием эллипсоида, связанного с требуемой системой координат. В случае, если неизвестны высоты, то для перехода от чистых к смешанным аномалиям и обратно используется эллипсоид, согласованный с формулами вычисления нормального ускорения силы тяжести. Предлагается обработку гравиметрической информации производить с использованием параметров согласованного эллипсоида, а результаты обработки преобразовывать в требуемую систему координат с соответствующим эллипсоидом.
Ключевые слова: сила тяжести, чистая аномалия, смешанная аномалия, квазигеоид, эллипсоид, нормальное поле силы тяжести.
RESEARCH OF RELATIONSHIP GRAVITY DISTURBANCE AND GRAVITY ANOMALY
Aleksandr V. Elagin
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., Associate Prof., Department of physical geodesy and remote sensing, e-mail: elav@ngs.ru
Inna E. Dorogova
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., senior Lecturer, Department of physical geodesy and remote sensing, e-mail: inna_dorogova@mail.ru
Artem V. Mareev
Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Postgraduate student, Department of physical geodesy and remote sensing, e-mail: artemi2013@mail.ru
Considers the problem of transition from gravity disturbance to gravity anomaly and back. If the known geodetic and normal height, and the formula for calculating the gravity disturbance or gravity anomaly, then recommended switch to measure the acceleration of gravity. Then anomalies
70
Геодезия и маркшейдерия
is calculated using the ellipsoid associated with the desired coordinate system. If the height is unknown, then for transition from gravity anomaly to gravity disturbance and back using the ellipsoid, as agreed with the calculation formula of the normal gravity acceleration. Gravimetric data processing performed using the agreed parameters of the ellipsoid, and the results of processing to convert the desired coordinate system.
Key words: gravity, gravity anomaly, gravity disturbance, quasigeoid, ellipsoid, normal gravity field.
С развитием спутниковых радионавигационных систем (GPS, ГЛОНАСС и др.) появилась возможность оперативного и точного определения геодезических координат B, L, H пунктов, на которых измеряются ускорения силы тяжести g. По этим данным на каждом гравиметрическом пункте могут быть вычислены чистые аномалии силы тяжести
5g = g -У, (1)
где у - нормальное ускорение силы тяжести двухосного земного эллипсоида в пункте с координатами B, L, H.
В то же время по нормальным высотам Hу (рисунок), полученным из нивелирования, и данным гравиметрических измерений могут быть определены смешанные аномалии силы тяжести
Ag = g -У n, (2)
где у N - нормальное ускорение силы тяжести в точке с координатами B, L, Hу.
Рис. Связь геодезических и нормальных высот через высоты квазигеоида
Нормальное ускорение силы тяжести земного эллипсоида может быть найдено с помощью различных приближенных и точных формул. В приближенных формулах (Клеро, Гельмерта, Кассиниса) [1] используются эмпирические ко-
71
Вестник СГГА, вып. 3 (27), 2014
эффициенты, полученные из обработки гравиметрической информации. В точных формулах (Сомильяна [2], Еремеева и Юркиной [3], Сурнина [4], Елагина [2] и т. д.) нормальное ускорение силы тяжести на эллипсоиде и вне его зависит от четырех фундаментальных геодезических параметров нормальной Земли: большой полуоси эллипсоида - а, сжатия эллипсоида - а, гравитационного параметра Земли - fM и угловой скорости вращения Земли - ю.
В представленных ниже численных экспериментах вычисление значения нормального ускорения силы тяжести выполнялось по трем формулам: точным формулам Елагина и Сомильяна и приближенной формуле Гельмерта.
В формулах Елагина нормальное ускорение силы тяжести выражено через следующие эллипсоидальные параметры: а - большая полуось земного эллипсоида; е - эксцентриситет; с - удаление фокусов эллипсоида от центра; a, b -большая и малая полуоси софокусного эллипсоида, на котором расположена заданная точка P; u - приведенная широта точки Р на софокусном эллипсоиде [2, 5]. Формулы имеют вид:
1
q = —
2
' b2 ^
1 + 3—
v c у
arctg 4 - 3 b
b c
; qo
' b2 ^ 1 + 3—
v c у
arctg C - 3 b
b c
2 J2~f
G = -
fM ю2 a2a
a
q0c
, b c c 1 — arctg — -
2 V 3 .
c b 3a2
2 ~ 1 —sin и----
2 2 у
f
E = ю2
2 q ~2
a — -a
У x
v q0
Gb cosu - Ea sin u
~2 • 2 ~ , й 2 ~
a sin u + b cos u
sin u cos u;
+ ю2<йЬ cos2 u;
; у z =
Ga sin й + Eb cos й
~2 • 2 ~ , й 2 ~
a sin u + b cos u
= yf]
У = \1У l + У 4
(3)
Перечисленные эллипсоидальные параметры связаны с прямоугольными координатами пунктов следующими соотношениями:
r2 = X2 + Y2 + Z2; e = %/2а - а2; c = ae;
(4)
72
Геодезия и маркшейдерия
Формула Сомильяна для вычисления нормального ускорения силы тяжести на эллипсоиде имеет вид:
где
У о =
7 7
уea cos B + уpb sin B V a2 cos2 B + b2 sin2 B
fM У e = —
a
L 3 2 3 3 125 2
1 — q + a + a —aq + a--a q
l 2 7 294
fM УP = „2
a
1+ ( 1 -a 2 a q
l 7 147 J
b = a(l-a); q =
ю2 a3
f
(5)
(6)
В нашей стране для вычисления аномалий силы тяжести на поверхности эллипсоида широкое распространение получила приближенная формула Гель-мерта. Это связано с тем, что сжатие эллипсоида Гельмерта почти совпадает с сжатиями эллипсоидов Красовского и современных общеземных эллипсоидов. Формула Гельмерта для вычисления нормального ускорения силы тяжести на эллипсоиде в системе Международной гравиметрической стандартизированной сети 1971 г. имеет вид:
у0 = 978 030(1 + 0,005 302sin2 B - 0,000 007sin2 2B) -14. (7)
Нормальные ускорения силы тяжести, вычисленные по формуле Гельмерта, могут быть преобразованы в нормальные ускорения Сомильяна путем введения поправки
5у = (уе -978 030) + (уер-5185,515 06)sin2B-(уД -6,846 21)sin22214.
Для вычисления нормального ускорения силы тяжести вне эллипсоида значения нормального ускорения силы тяжести, вычисленные по формулам (5) или (7), подставляются в следующие выражения [6]:
ду
dH
2—(1 + a - 2a sin2 B + 3a2 - 2a2 sin4 B) - 2ю2; a 2
д2 У = 6У0 .
д H a2 ( -a sin2 B)
У = У 0 +
dH
2 4 h 2
2 dH2
(8)
73
Вестник СГГА, вып. 3 (27), 2014
Задача перехода от чистых к смешанным аномалиям силы тяжести и обратно возникает при обработке гравиметрической информации с помощью алгоритмов, позволяющих использовать либо только чистые, либо только смешанные аномалии силы тяжести.
При переходе от чистых к смешанным аномалиям и обратно целесообразно вначале восстановить измерение, поскольку измеренный модуль вектора ускорения силы тяжести обладает одним важным свойством - в разных неподвижных относительно Земли системах координат он имеет одно и то же значение, а нормальное ускорение силы тяжести в точке измерения зависит от системы координат, т. е. как от параметров эллипсоида, так и от ориентировки этого эллипсоида в теле Земли. Перейти от аномалий к самим измерениям можно по следующим формулам:
g = 5g + Y; g = Ag + Y n .
Однако восстановить измерения возможно, если точно известны геодезические высоты (в случае чистых аномалий) или нормальные высоты пунктов измерений (в случае смешанных аномалий), а также известны формулы, по которым были вычислены аномалии силы тяжести.
В качестве примера выполним вычисления аномалий силы тяжести для гравиметрического пункта Ганновер [7]. Чистая аномалия для пункта Ганновер известна в системе координат ETRS89 и составляет 5g = 15,024 мГал. Параметры нормальной Земли в системе ETRS89 и геодезические координаты пункта Ганновер имеют следующие значения: a' = 6 378 137 м; а' = 1/298,257 222 101;
fM ' = 398 600,5 • 109 м3с-2; ю = 7,292 115 -10-5 рад -с"1; B' = 52°22 '16,323 8'' ;
L' = 9° 44'44,526 4' ; H' = 95,029 м.
Для вычисления нормального ускорения силы тяжести по формулам Елагина перейдем от геодезических к прямоугольным координатам пункта [8, 2, 9]:
e'2 = 2а' - а'2, N' = . ° ;
VwWb
X ' = (N' + H') cos B' cos L';
Y' = (N' + H')cosB'sinL';
Z' = (N' + H' - N'e'2 )sin B'.
В результате вычисления получены прямоугольные координаты пункта Ганновер в системе координат ETRS89: X' = 3 846 072,147м; Y' = 660 579,025м; Z' = 5 028 202,193 м.
74
Геодезия и маркшейдерия
Подставив параметры нормальной Земли и прямоугольные координаты в формулы (3) и (4), получаем нормальное ускорение силы тяжести в центре пункта Ганновер: 1 = 981 250,817 мГал, а также измеренное ускорение силы тяжести: g = 15,024 мГал + 981 250,817 мГал = 981 265,841мГал.
После восстановления измеренного значения ускорения силы тяжести для вычисления значения нормального ускорения силы тяжести необходимо перевести координаты пункта в ту систему координат, в которой предполагается произвести обработку гравиметрических измерений. Допустим, для пункта Ганновер предполагается провести обработку в системе координат WGS84 G(1150). Преобразование прямоугольных координаты пункта Ганновер из системы координат ETRS89 в систему координат WGS84 G(1150) выполним по формулам Гельмерта [8]:
X = X' + X'Am - Z 'юy + Y 'ю2 + Ах;
Y = Y' + Y'Am - X'юz + Z' юх + Ay; Z = Z' + Z'Am - Y'юх + X'юy + Az.
Для этого используем следующие значения параметров взаимного ориентирования систем координат: Ax = -0,030 0 м; Ay = -0,046 8 м; Az = 0,075 8 м;
Am = -0,005 90 • 10-6; юх = юу = 0; юz = 0,000 16'' . В результате преобразований получаем прямоугольные координаты в системе WGS84 G(1150): X = 3 846 072,095 м; Y = 660 578,972 м; Z = 5 028 202,239 м.
Полученные прямоугольные координаты могут быть преобразованы в геодезические по итерационным формулам Лапинга [10]:
Q = VX2 + Y2; B1 = arctg
Z
Qf - *2)’
i = 1,2,3,... Nl
a
Tl = Z + Nle2 sin Bl, Bl+1 = arctg
-\A - e2 sin2 B1 H = QcosB + Z sinB - N(1 - e2 sin2 B).
( t з
(9)
Геодезические координаты пункта Ганновер, вычисленные по формулам Лапинга, имеют следующие значения: B = 52°22 '16,326 2"; L = 9°44 '44,5241' ; H = 95,029м.
Кроме того, из результатов нивелирования известна нормальная высота на пункте Ганновер H1 = 52,251 м в системе немецкой главной высотной се-
75
Вестник СГГА, вып. 3 (27), 2014
ти 1992 г. (DHHN92). Поскольку нормальные высоты отсчитываются от поверхности квазигеоида, их значения не изменяются при переходе от системы координат ETRS89 к системе WGS84 G(1150). По известным значениям геодезической и нормальной высот вычисляем высоту квазигеоида [11] £ = Н -Н1 = 95,029 м - 52,251 м = 42,778 м .
Между чистыми и смешанными аномалиями существует связь, которая может быть получена из фундаментального уравнения физической геодезии [2, 12].
дТ ду T
----------= -Ag,
дН дН у N 5
где Т - возмущающий потенциал.
Так как
дТ
дН
Т
8g, а — = С,, то получаем уравнение связи чистых и сме-
у
N
шанных аномалий силы тяжести в следующем виде [13]:
Ag-^. дН
(10)
ду
Производная---вычисляется по первой формуле выражений (8).
дН
Результаты вычисления чистой и смешанной аномалий силы тяжести на пункте Ганновер по формулам Елагина, Сомильяна, Гельмерта, Гельмерта с поправкой за переход к формуле Сомильяна и формуле (10) представлены в табл. 1.
Таблица 1
Чистые и смешанные аномалии силы тяжести на пункте Ганновер
Формулы Чистая аномалия, мГал Смешанная аномалия, мГал
Елагина 15,167 1,970
(10) 15,122
Сомильяна 15,167 1,970
(10) 15,067
Гельмерта 18,913 5,761
(10) 18,913
Гельмерта с поправкой 15,045 1,896
(10) 15,097
Из табл. 1 видно, что чистые и смешанные аномалии, вычисленные по формуле Гельмерта, на несколько миллигал отличаются от аномалий, найденных по формулам Елагина и Сомильяна. По мнению авторов, причина такого
76
Геодезия и маркшейдерия
расхождения кроется в том, что формуле Гельмерта соответствует свой согласованный эллипсоид, и в выражение (10) необходимо подставлять высоты квазигеоида, отсчитанные от этого эллипсоида. Формула (10) замечательна тем, что она напрямую связывает чистые и смешанные аномалии, для ее применения необязательно знать геодезические и нормальные высоты, достаточно знать высоту квазигеоида, но в этом случае вычисленная чистая аномалия будет связана с тем же эллипсоидом, что и смешанная аномалия, и наоборот.
Однако известно, что при выводе формул в качестве нормальной Земли Гельмерт использовал не эллипсоид вращения, а уровенный сфероид. Радиусвектор р этого сфероида может быть вычислен по формулам Бурша [14] в виде разложения в ряд по сферическим функциям с учетом зональных гармоник четвертого или шестого порядков:
Р = 0,005 302; р1 = 0,000 007; уe = 9,780 30мс-2 - 0,000 14мс-2;
и/ V
0
v а
(2 -2e2);
77
Вестник СГГА, вып. 3 (27), 2014
Ф =
arctg
(l - е2 ) tgB
п t • 3 . 2 ^ 1 / . \ 35 . 4 15.о 3
P2 (sin Ф) = — sin2 Ф —; P4 (sin Ф) = — sin4 Ф-sin2 Ф + —;
2 2 8 4 8
P6 (sin Ф) = 116(231 sin6 Ф - 315 sin4 Ф +105 sin2 Ф - 5);
р = R0 (1 + a0 + a2P2 (sin Ф) + a4P4 (sin Ф) + a6P6 (sin Ф)).
Выполним переход от геоцентрических координат к прямоугольным координатам меридианного эллипса:
X = pcosФ; Y = 0; Z = рsinФ.
От них по формулам Лапинга (9) перейдем к геодезическим широтам B и высотам H точек сфероида Гельмерта относительно эллипсоида WGS84 G(1150).
Представленные выше формулы позволяют определять разности нормальных ускорений силы тяжести, вычисленные по приближенной формуле Гельмерта на сфероиде Гельмерта и по точным формулам Сомильяна на эллипсоиде WGS84 при изменении широты от 0 до 90°, а также отклонения H сфероида от этого эллипсоида. Далее находим параметры эллипсоида, согласованного с формулой Гельмерта, при которых эти разности были бы минимальными. При этом центр и ориентировка эллипсоида в теле Земли совпадают с эллипсоидом системы координат WGS84 G(1150). В результате численных экспериментов получены следующие параметры согласованного эллипсоида: a = 6 378 215,825 м;
а = 1/298,16; fM = 398 603 • 109м3с-2; ю = 7,292115 • 10-5 рад • с-1. В дальнейшем все величины, связанные с согласованным эллипсоидом, будут обозначаться с верхней чертой.
Преобразуем формулу Сомильяна в формулу Клеро с учетом параметров согласованного эллипсоида, получим [2]
у0 = 978 015,557(1 + 0,005 301 600 8sin2B-0,000 005 851sin225). (11)
Если найти разность правых частей полученной формулы (11) и формулы Гельмерта (7), получим поправку к формуле Гельмерта для перехода к нормальным ускорениям силы тяжести, вычисленным по формуле Сомильяна
8у = -0,443 - 0,467 sin2 B + 1,124sin2 2B. (12)
78
Геодезия и маркшейдерия
В табл. 2 представлены разности Ау 0 нормальных ускорений силы тяжести, вычисленные по формуле Сомильяна и Гельмерта для разных широт, а также поправки в формулы Гельмерта 8у и геодезические высоты H сфероида Гель-мерта относительно согласованного эллипсоида.
Таблица 2
Разности нормальных ускорений на сфероиде Гельмерта и согласованном эллипсоиде, поправки за переход к формуле Сомильяна и высоты сфероида
Широта B, градусы Ау 0, мГал 8у, мГал H, мм
0 -0,44 -0,44 -0,4
5 -0,41 -0,41 -0,3
10 -0,32 -0,32 0,0
15 -0,19 -0,19 0,5
20 -0,03 -0,03 1,1
25 0,13 0,13 1,7
30 0,28 0,28 2,2
35 0,39 0,40 2,6
40 0,44 0,45 2,9
45 0,43 0,45 3,1
50 0,36 0,37 3,2
55 0,22 0,24 3,2
60 0,03 0,05 3,3
65 -0,18 -0,17 3,3
70 -0,40 -0,39 3,3
75 -0,60 -0,60 3,3
80 -0,77 -0,76 3,3
85 -0,87 -0,87 3,3
90 -0,91 -0,91 3,3
По формулам Лапинга (9) вычислим геодезические координаты пункта Ганновер относительно согласованного эллипсоида, получим B = 52°22'16,552 9"; L = 9°44'44,5241''; H = 20,737 м. Высота квазигеоида над согласованным эллипсоидом £ = H - Hу = 20,737м- 52,251м = -31,514м.
С использованием параметров согласованного эллипсоида вычислим чистые и смешанные аномалии для пункта Ганновер по формулам Елагина (3), (4), Сомильяна (5), (6), (8), Гельмерта (7), (8) и формуле (10). Также найдем чистую
79
Вестник СГГА, вып. 3 (27), 2014
и смешанную аномалии по формуле Гельметра с поправкой за переход от формулы Гельмерта к формуле Сомильяна. Результаты вычислений представлены в табл. 3.
Таблица 3
Чистые и смешанные аномалии, вычисленные по параметрам эллипсоида, согласованного с формулой Гельмерта
Формулы Чистая аномалия, мГал Смешанная аномалия, мГал
Елагина 9,793 19,514
(10) 9,826
Сомильяна 9,771 19,459
(10) 9,771
Гельмерта 10,067 19,756
(10) 10,068
Гельмерта с поправкой 9,752 19,440
(10) 9,752
Из табл. 3 видно, что для согласованного эллипсоида чистая и смешанная аномалии, вычисленные по формуле Гельмерта, отличаются от аномалий, вычисленных по формулам Елагина и Сомильяна, на 0,3 мГал. Если в чистую аномалию, вычисленную с использованием формулы Гельмерта, ввести поправку за переход к формуле Сомильяна (12) 5у = 0,315 мГал, то максимальное отличие составит 0,08 мГал.
По результатам выполненных экспериментов можно сформулировать несколько рекомендаций по обработке разнородной гравиметрической информации.
Если известны геодезические высоты (в случае чистых аномалий) или нормальные высоты (в случае смешанных аномалий), а также формулы, по которым они вычислялись, то целесообразно восстановить сами измерения ускорений силы тяжести, а затем вычислить нужный тип аномалий в выбранной для обработки системе координат с соответствующим эллипсоидом.
Допустим ситуацию, когда на части территории известны чистые аномалии и геодезические координаты пунктов, а на другой части - только широты, долготы пунктов и смешанные аномалии, вычисленные с использованием формулы Гельмерта. В этом случае можно поступить двояко: либо напрямую ввести в аномалии поправку за переход к нормальным ускорениям Сомильяна и дальнейшие вычисления выполнять на эллипсоиде WGS84, либо перевести чистые аномалии на согласованный эллипсоид. Далее в обоих случаях чистые аномалии силы тяжести перевычисляются в смешанные аномалии с использованием формулы (10) и весь массив смешанных аномалий обрабатывается по единому алгоритму. Точно также можно перевести смешанные аномалии в чистые и выполнить обработку всего массива чистых аномалий.
80
Геодезия и маркшейдерия
В случае обработки на согласованном эллипсоиде в смешанные и чистые аномалии, вычисленные с использованием формулы Гельмерта, также рекомендуется вводить поправки за переход от формулы Гельмерта к формуле Со-мильяна, что повысит точность конечных результатов.
После обработки гравиметрической информации на согласованном эллипсоиде высоты квазигеоида и уклонения отвесных линий могут быть пересчитаны на эллипсоид WGS84 по следующим формулам [8]:
£ = £- a Аа + N sin2 B —;
N 2
где
„ тт N sin B cos B t = t-=—=—
(M + H)
Aae 2
f Tt2\
а
1 +
N
а 2 У
Ae2
Л = Л,
Аа = а - а ; Ae2 = e2 - e 2 ;
а
М = ■
(1 - e2)
■; N
а
(1 - e 2 sin2 B )2
V1 - e 2 sin2 B
В формулу (10) необходимо подставлять известную высоту квазигеоида над эллипсоидом. Если высоты квазигеоида не известны, остается один выход -воспользоваться локальной или глобальной моделью квазигеоида. Для пункта Ганновер высота квазигеоида относительно эллипсоида системы координат WGS84 была вычислена по глобальной модели гравитационного поля Земли EGM2008 [15, 16, 17]. Это значение отличается от вычисленного по спутниковым и нивелирным измерениям на 62 см. Отсюда, погрешность в аномалиях будет приблизительно равна 0,308 6 мГал/м • 0,62 м = 0,19 мГал.
При вычислении смешанных аномалий может возникнуть ситуация, когда нормальные высоты разных пунктов относятся к различным системам нормальных высот. Например, пункт Ганновер относится к Амстердамской системе высот, а нам требуются высоты в Кронштадтской системе высот. Разность начал систем высот определяется из гравиметрических и нивелирных измерений. В данном случае начальный пункт Кронштадтской системы высот на 16 см выше начального пункта Амстердамской системы высот. Вычислим разность потенциалов уровенных поверхностей, проходящих через начала счета высот
dW = -ydh = -9,78 мс-2 • 0,16 м = -1,56м2с-2.
81
Вестник СГГА, вып. 3 (27), 2014
Для вычисления поправок в нормальные высоты необходимо эту разность потенциалов делить на конкретные значения нормального ускорения силы тяжести в заданных точках:
ЪИ =
dW
У
Поправка в смешанные аномалии силы тяжести за разность потенциалов уровенных поверхностей может быть найдена по формуле:
ЪА^ =
ду dW_ дИ у
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-27-00068).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Грушинский Н. П. Теория фигуры Земли. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1976. - 512 с.
2. Елагин А. В. Теория фигуры Земли: учеб. пособие. - Новосибирск: СГГА, 2012. -
175 с.
3. Еремеев В. Ф., Юркина М. И. Теория высот в гравитационном поле Земли. - М.: Недра, 1971. - 144 с.
4. Ротова Н. В. Исследование эффективности формул для вычисления нормального ускорения силы тяжести в трехмерном пространстве // ГЕО-Сибирь-2007. III Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 25-27 апреля 2007 г.). - Новосибирск: СГГА, 2007. Т. 1, ч. 2. - С. 46-52.
5. Елагин А. В. Вычисление нормального ускорения силы тяжести вне эллипсоида // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 2. - С. 245-247.
6. Grote T. Regionale Quasigeoidmodellierung aus heterogenen Daten mit «cm» -Genauigkeit. Wissenschaftliche Arbeiten der Fachrichtung Vermessungswesen der Universitat Hannover. Nr. 212. Hannover 1996. - 109 р.
7. Das Deutsche Schweregrundnetz 1994 (DSGN94). Band I. Deutshe Geodatische Kommission bei der Bayerischen Akademie der Wissenschaften / W. Torge and al. - Reihe B: Angewandte Geodasie, Heft Nr. 309. Munchen 1999. - 236 p.
8. Афонин К. Ф. Высшая геодезия. Системы координат и преобразования между ними: учеб.-метод. пособие. - Новосибирск: СГГА, 2011. - 66 с.
9. Елагин А. В. Преобразование прямоугольных координат в геодезические с использованием направления силовой линии нормального гравитационного поля // ГЕО-Сибирь-2011. VII Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2011 г.). - Новосибирск: СГГА, 2011. Т. 1, ч. 1. - С. 83-85.
10. Лапинг К. А. Вычисление координат и высот точек по измеренным азимутам нормальных сечений и углам наклона хорд на двух исходных пунктах // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 1962. - № 1. - С. 3-8.
11. Торге В. Гравиметрия / Пер. с англ. - М.: Мир, 1999. - 429 с.
82
Геодезия и маркшейдерия
12. Огородова Л. В. О вычислении аномального потенциала по чистым и смешанным аномалиям силы тяжести // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2006. - № 5. - С. 77-84.
13. Бровар В. В. О возможном повышении точности гравиметрических выводов в геодезии // Астрономический журнал. - Том 48. - 1971. - Вып. 6. - С. 1327-1331.
14. Бурша М. Основы космической геодезии. Ч. II. Динамическая космическая геодезия (перев. с чешского) - М.: Недра, 1975. - 280 с.
15. Сравнение и анализ аномалий силы тяжести, полученных по данным глобальной
модели EGM2008 и гравиметрических измерений на локальных участках земной поверхности / В. Ф. Канушин, И. Г. Ганагина, Д. Н. Голдобин, Б. А. Харченко // Интерэкспо ГЕО-
Сибирь-2014. Х Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 2 т. (Новосибирск, 8-18 апреля 2014 г.). -Новосибирск: СГГА, 2014. Т. 1. - С. 197-203.
16. Канушин В. Ф., Ганагина И. Г. Анализ изменений гравитационного поля и высот квазигеоида, обусловленных сейсмической активностью // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск: СГГА, 2012. Т. 3. - С. 8-13.
17. Канушин В. Ф., Ганагина И. Г., Голдобин Д. Н. Моделирование аномального гравитационного поля в Арктическом бассейне // ГЕО-Сибирь-2011. VII Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 19-29 апреля 2011 г.). - Новосибирск: СГГА, 2011. Т. 1, ч. 1. - С. 178-181.
Получено 01.09.2014
© А. В. Елагин, И. Е. Дорогова, А. В. Мареев, 2014
83
