Силы и момент сил сопротивления, действующие на пористое сферическое тело в вязкой жидкости в рамках модели Бринкмана Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.685

DOI 10.21685/2072-3040-2018-2-3

Н. Г. Тактаров, О. А. Рунова

СИЛЫ И МОМЕНТ СИЛ СОПРОТИВЛЕНИЯ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ПОРИСТОЕ СФЕРИЧЕСКОЕ ТЕЛО В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В РАМКАХ МОДЕЛИ БРИНКМАНА

Аннотация.

Актуальность и цели. Теория течения жидкостей в пористых средах интенсивно развивается в последнее время в связи с многочисленными приложениями в технологических процессах, а также при изучении природных явлений. Целью настоящей работы является определение сил сопротивления, действующих на пористый шар, совершающий поступательно-колебательное движение в жидкости, а также момента сил трения на поверхности пористого шара, совершающего вращательно-колебательное движение.

Материалы и методы. Для решения рассмотренных задач используются методы математической физики и векторного анализа, а также численные методы. С учетом осевой симметрии задачи решаются в сферической системе координат.

Результаты. Определены силы и моменты сил сопротивления, действующие на пористый шар, движущийся в вязкой жидкости в рамках модели фильтрации Бринкмана.

Выводы. Показано, что найденные силы и моменты сил, действующие на движущийся в вязкой жидкости пористый шар, существенно отличаются от таковых в случае движения непроницаемого для жидкости твердого тела.

Ключевые слова: пористая среда, вязкая жидкость, модель Бринкмана, сила сопротивления, момент сил сопротивления, сила инерции.

N. G. Taktarov, O. A. Runova

FORCES AND THE MOMENT OF DRAG FORCES APPLIED TO A SPHERICAL POROUS BODY IN A VISCOUS FLUID WITHIN THE BRINKMAN MODEL

Abstract.

Background. The theory of the fluid flows in porous media has been investigated extensively at the last time due to its vast applications in the technological processes and natural phenomena. The purpose of this paper is to determine the drag forces acting on the translational-oscillatory moving porous sphere in a viscous fluid and the drag forces moment on the surface of the porous sphere moving in the rotational-oscillatory motion.

Materials and methods. For problem solving the methods of mathematical physics, vector analysis and also numerical methods had been used. Taking into account the axial symmetry the problems was solved with spherical coordinate system using.

© 2018 Тактаров Н. Г., Рунова О. А. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

Results. The drag forces and drag forces moment acting on the porous sphere that moving in a viscos fluid were found with using the Brinkman model.

Conclusions. It was shown that the drag forces and drag forces moments in the cases of the porous body and impermeable one differs considerable.

Key words: porous medium, viscous fluid, Brinkman model, drag force, drag force moment, inertial force.

Введение

Неподвижные твердые тела, как сплошные, так и пористые, погруженные в вязкую жидкость, влияют на характер движения обтекающей их жидкости. Твердые тела, движущиеся в вязкой жидкости, неподвижной на бесконечности, вызывают течения этой жидкости. В обоих случаях на тело действуют силы сопротивления со стороны жидкости. Изучение движения жидкостей, контактирующих с твердыми телами, а также сил, действующих на эти тела со стороны жидкости, представляет значительный интерес для исследования природных явлений, а также некоторых технологических процессов [1]. Все эти практические приложения стимулируют исследование течений вязкой жидкости внутри и вне пористых тел, ограниченных различными поверхностями. Простейшими среди таких поверхностей являются: плоскость, цилиндрическая и сферическая поверхности. Для случаев этих поверхностей при специальных предположениях удается получить и проанализировать точные аналитические решения соответствующих задач.

Силы и моменты сил сопротивления, действующих на сплошной твердый шар, определены в [2]. Силы, действующие на пористую сферическую оболочку в рамках модели фильтрации Дарси, получены в [3]. Уравнения, используемые в модели фильтрации Бринкмана, приведены в [4, 5].

1. Силы сопротивления, действующие на пористый шар, совершающий поступательно-колебательное движение в жидкости

Поступательно-колебательное движение пористого шара радиуса R в жидкости можно рассматривать двумя способами:

1) в неподвижной системе координат;

2) в подвижной системе, жестко связанной с этим шаром.

Пористая среда далее предполагается недеформируемой, однородной и изотропной. Предполагается также, что пористая среда имеет достаточно большую пористость (близкую к единице) и высокую проницаемость.

1. В неподвижной декартовой системе координат Ox y z , начало которой в данный момент времени t совпадает с центром шара, уравнения движения жидкости в пористой среде запишем в виде [6]: *

1 OUi 1 „* * .** V i *\ „* *

= -pv p* +V'A U -K(U1 -u ), V • U = 0. (1)

Здесь знаком «*» обозначены размерные переменные величины, а безразмерные переменные далее обозначены теми же символами, но без этого

*

знака; Г = const - пористость; U1 - скорость фильтрации относительно си/о**** '„'/ „/

стемы Ox y z ; Р1 - давление; p - плотность жидкости; v = П / р , V =П / Р ,

п' и п - эффективная вязкость жидкости в порах и свободной жидкости со* *

ответственно; K - коэффициент проницаемости пористой среды; u = Ги ;

* *

и = Uo exp(-i wt ) - скорость пористого шара; ю - частота колебаний шара;

Uo = Uoe, (Uo > 0, |e| = 1), A - оператор Лапласа. Ось Oz* направлена вдоль вектора е. Предполагая, что пористость достаточно велика (близка к 1), полагаем далее П=П [7]. Во всех рассмотренных случаях физический смысл имеют лишь действительные части соответствующих комплексных выражений.

Уравнения движения свободной жидкости вне шара в неподвижной системе запишем в приближении Стокса [2]:

*

OUo 1 „* * * * „* *

= -_V p* +VAU2, V • U2 = 0. (2)

dt P

Здесь U2 - скорость свободной жидкости относительно неподвижной системы координат.

Введем неподвижную сферическую систему координат r , 0, ф с орто-нормированным базисом er , eg, еф, полярная ось которой совмещена с осью

Oz*. Исходя из осевой симметрии задачи, предполагаем, что от угла ф величины не зависят. Величины, относящиеся к пористой среде с жидкостью и окружающей свободной жидкости, обозначаются в необходимых случаях индексами 1 и 2 соответственно.

Граничные условия при сделанных предположениях в системе отсчета, жестко связанной с пористым шаром, в которой поверхность шара r = R покоится, имеют следующий вид:

* * * *

uir -Ги cos0 = M2r -и cos0, (3)

* * * *

Uig+Ги Sin 0= U20+U Sin 0,

Pi = P2, Л

Í-л * л * du10 du20

dr dr

= u*0 + Ги sin 0 .

условие на бесконечности: и2 ^ 0 при г ^^ . Здесь Л - параметр с размерностью длины.

Отметим, что для случая, когда жидкость обтекает неподвижный шар, граничные условия имеют другой вид (см. далее).

К условиям (3) следует добавить также условие конечности всех величин всюду в области их определения. Граничные условия (3) являются обобщением граничных условий, полученных в [8] для плоской поверхности пористой среды, на случай искривленной (сферической) поверхности. Отметим, что граничные условия в работе [6] применимы лишь для неподвижного шара. В данном случае следует пользоваться условиями (3), приведенными в настоящей работе. В связи с этим коэффициенты А1, С0, Л2, С2 в решении (10), приведенном в [6], должны определяться с помощью условий (3) настоящей статьи.

2. Второй способ рассмотрения движения жидкости внутри и вне пористого шара заключается в использовании подвижной декартовой системы координат Ox y z , жестко связанной с этим шаром (точка О в любой момент времени совпадает с центром шара). Ось Oz направлена вдоль вектора Uq = Uge . Полярная ось подвижной сферической системы координат r , 0, ф совмещена с осью Oz*. Угол 0 отсчитывается от положительной полуоси Oz*.

В связи с неинерциальностью подвижной системы координат, движущейся со

*

скоростью U , в правых частях уравнений относительного движения жидкости (внутри и вне шара) следует добавить силу инерции с плотностью:

-рdи* / d*.

Системы уравнений относительного движения жидкости в пористой

среде и свободной жидкости в подвижной системе Ox*y*z* запишем в виде

* *

1 oui 1 _* * ,.** V * 1 du _* *

1 = --V p* +V Л u* --u* V • u* = 0; (4)

г dt P К Г dt

**

du2 1 ,-,* * * * 1 du -_,* * —* = V P2 +VЛU2 ^ V • u2 = 0.

dt P Г dt

**

Здесь u1 и ut - относительные скорости фильтрации и свободной

* * 'А /-

жидкости соответственно, u =Г и , далее примем V =V . Абсолютная скорость жидкости равна сумме относительной и переносной скоростей.

Граничные условия в подвижной системе, в которой пористый шар все время покоится, имеют вид

г* = R: u*r = u2r, uie = u2e> P* = Ръ Л

í-л * л * ^

duie du2e 2 2

v dr dr

*

=uie> (5)

* * * * * / * * \ r ^^ : U2r = -u cos 0, U2Q = u sin 0 (u = u0 exp(-iwt )).

К условиям (5) добавляются условия конечности всех величин в областях их определения.

* *

Вводя безразмерные переменные: r = r / R , t = wt , u = еГexp(-it),

* *

u j = u j / Uo, Pj = Pj (R / nuo) (j = 1, 2), уравнения (4) и граничные условия (5) запишем в виде

КюЭи1 К Kwdu

=--2(VPi-Aui)-ui---—, V-ui = ^ (6)

vr dt R2 vr dt

wR2 du2 „ . wR2 du „ --dtL = -VP2 +Au2--—T", V-u2 =0,

V dt vr dt

r = 1: uir = u2r , u10 = u20, Pi = P2,

X

Г du19 du29 ^ dr dr

= Mi9, Х = Л/Л ,

r ^ra : M2r = -e lt cos 9, M29 = e lt sin 9. Сюда добавляются условия конечности величин в областях их опреде-

ления.

Применяя операцию rot к уравнениям (6), находим Кю Э „ К

--Vxu1 =^r-A(Vxu1)-Vxub

vr dt R2

(7)

MR2 d_ V dt

Vxu2 = A(Vxu2).

Скорость фильтрации uj = ujrer + u^eg (u^ = 0 ) внутри шара ищется

в виде [2]: uj = e-uVx[Vxfj(r)e]. Подставляя ujв первое уравнение (7), находим уравнение для определения f'(г):

А2f + m2 Af = D = const,

mi

Г R f Г R_л2 Si

v S2;

, Si = Vf, S2 = V2V

Выражение для f'(r) имеет вид

,im1r Г

* = Ai —

r —

imi

+ B

e-im1r Г

1 2"

r

\

r + -

imi

C1 Ar +—1 +--—

2 о 2 '

r 3mi

Здесь коэффициенты определяются из граничных условий. Для конечности решения при г ^ 0 следует положить Л1 = С1 = 0.

Компоненты скорости ui находятся по формулам

-it cos 9 dfi -it .

uir =-2e---, Mi 9 = e sin 9

r dr

i f + df Л

r dr dr2

(8)

Не будем здесь приводить выражения для П1г, п^, поскольку для определения сил, действующих на шар, понадобятся только компоненты скорости вне шара. Скорость ищем в виде, аналогичном виду и, с заменой /1 на/2. Получаем уравнение

2 2 2 A f2 + m2 A/2 = D = const, m2 = 2i

Г R >2

v S2 ,

m2 = R ( +i). S2

Решая это уравнение, определяем /2 (г). Скорость и2 определяется затем по формулам (8), в которых заменяется/ на/2:

U2r = — 2e

-it

exp im2 r

A2-~-

f

1 —

1

Л

u26 = e

„-it

exp im2 r

f

im2 r + -

im2r 1

im2r

C2 1

r3 2

008 0.

C2

„3

+1

sin 0 .

(9)

Внутреннее и внешнее давления р1 и р2 определяются из уравнений (6). Давления р1 при г = 0 и р2 при г ^^. являющиеся некоторыми функциями только от времени. принимаются равными нулю. Этот произвол связан с тем. что на характер течения влияет лишь градиент давления. Внешнее давление. используемое для определения силы. имеет вид 2 2

Р2 = ехр(-Я)т2С^(1/ г ) 008 0 . Неизвестные коэффициенты определяются с помощью граничных условий (6).

Сила сопротивления. действующая со стороны внешней жидкости на поверхность пористого тела. равна потоку импульса к этой поверхности в системе отсчета. в которой эта поверхность покоится [2]:

Fi = JJ i0,j' - PUi Uj) njdS (i, j = 1, 2, 3).

(10)

Здесь с* - тензор вязких напряжений; nj - внешняя нормаль к поверхности пористого шара. интегрирование проводится по всей поверхности сферы г = Я. В приближении Стокса второе слагаемое под интегралом следует

отбросить как имеющее второй порядок малости. Вводя безразмерную силу

*

согласно равенству Ц = Е /(П^оЯ). запишем выражение проекции силы Е на ось 02 [2. §20]:

F

= Л (-Р2 cos 0 + °2rr c°s 0 - a2r0 sin 0) dS,

(11)

' _ i du2r ' a2rr = 2—\—, a2r0

dr

1 du2r + du20 r Э0 dr r

Здесь интегрирование проводится по всей поверхности сферы г = 1. Из соображений симметрии следует. что Выражение для Е принимает вид

: Fy = 0.

F =4 ^ N1 sin m1 + m1^2 cos m1 z 3 N3 sin m1 + »^N4 cos m1

(12)

24242424 2 4 3

N1 = 9m1 - 9m1 - 3m2 + m1 m2 + 3m2 - m1 m2 - 9im1 m2 + 9im1 m2 + 3im2 -

2 3 ! 2 2 4 4 4 23 43 5 25\

-im1 m2 + X (12m1 m2 - 9m1 - 3m2 + 9im1 m2 -12im1 m2 + im1 m2 + 3im2 - im1 m2 );

2 2 2 2 4 2 3

N2 = -9m1 + 3m2 + m1 m2 - 3m2 + 9im1 m2 - 3im2 +

( 4 2242 424 4 23 5\

9m1 - 12m1 m2 - m1 m2 + 3m2 + m1 m2 - 9im1 m2 + 12im1 m2 - 3im2 );

2 4 2 2 2 2

N = 3т - з - 2т + з/т - /т »2 + 3т - т »2 +

(2 2 4 2 3 2 3 \

3» - 3/» - 2/»^ т2 - 3т2 + 3/т2 - /»1 т2 );

2 2/4 2 2 222 3\

N4 = 3 - 2»! -3/т2 -3»2 + XI 2»! - 3»! + 3/»! »2 + 3»2 + »1 »2 -3/т2 ).

Перейдя в общем выражении (12) для к пределу Х^-0, Я / 61 ^^ (Я / 62 - произвольное), получим силу, действующую на сплошной твердый шар (без пор):

„ 4. _й wR2

Fz =— me -

z 3 2v

-6ne

-it

1+

R

\

+ 6ine

_it R

Размерная сила F* = (^UqR)Fz принимает вид

* * Fz = _6nnu R

1 +

R

-3nR2

2 2np

м

1+

2R

952

J и

(13)

Это выражение совпадает с [2, §24]. При ю = 0 (равномерное движение)

* *

формула (13) переходит в формулу Стокса: Fz =-6ппЯи . Другие частные случаи формулы (13) рассмотрены в [2].

При »2 = 0 (ю = 0) формула (12) дает выражение для силы, действующей на пористый шар, движущийся равномерно и прямолинейно:

Fz =

4пе

-it

3

2 2 2 3 2

9^1 (1 _ _Xm1 )sin m + 9m1 (_1 + Xm1 )cos m1

2 4 2 2 4 2

(3m1 _ 3 _ 2m1 + 3Xm1 )sin m1 + »^(3 _ 2m1 + 2Xm1 _ 3Xm1 )cos m1

На рис. 1 приведены графики зависимости действительной части Яе Fz от Я / 61 при »2 = 0 (ю = 0), Г = 0,95; X = 0,5; 0,6; 0,8; 1; 2 и X ^да (соответствующие кривые обозначены номерами 1-6).

При Я / 61 ^^ все графики асимптотически приближаются к прямой Яе Fz = -6п я-18,85.

2. Момент сил трения, действующих на пористый шар, совершающий вращательно-колебательное движение

Вращательно-колебательное движение пористого шара вокруг оси Oz, проходящей через его центр О, также может быть рассмотрено двумя способами:

1) в неподвижной системе координат;

2) в подвижной, жестко связанной с шаром.

1. В неподвижной системе координат эта задача решена в [9, 10]. Внутреннее и внешнее поля безразмерных скоростей имеют вид

и1ф

2Ц ( 1. ^ + ' -Ч m1 cos m^r — sin m^r I + 2Cr

r ^ r J

e-it sin 0.

u2p = -A2(im2 r - 1)e,'m2re-,'t sin 0, C =

Г

2[i(61/62)2 -1]

(14)

Рис. 1. Зависимость Яе от Я / §1: т2 = 0; Г = 0.95; 1 = 0.5; 0.6; 0.8; 1; 2 и 1 (графики 1-6)

Здесь и = М1фвф. и 2 = ^2фСф - скорости по отношению к неподвижной

системе (абсолютные скорости). Предполагается. что V' ^ .

Коэффициенты Аь А2 в этом случае следует определять с помощью безразмерных граничных условий при г = 1:

u1C-rUp=u2c-Up ( up = e lt sin 0 >

X

3u,p 3u2p+ (| г)-0^ ---+ (1 - Г) e sin 0

dr dr

:u1p'

■re-it sin 0.

В результате находим:

A1 =-

iX(1 - Г - 2C)(3 - 3im2 - m2) + (2C + r)(m2 + i)

A2 =

2 2 2 2

(X(m1 - m2 - im1 m2) + im2 -1) sin m1 + (Xm1m2 - m1 (im2 -1)) cos m1

2

X(1 - Г - 2C)(3m1 cos m1 - 3 sin m1 + m1 sin m1) + m1 cos m1 - sin m1

eim2

2 2 2 2 (X(m1 - m2 - im1 m2) + im2 -1) sin m1 + (Xm1m2 - m1 (im2 -1)) cos m1

2. В подвижной системе координат. вращающейся вместе с шаром. следует добавлять силы инерции в уравнения относительного движения. которые

в этом случае примут вид

*

1 * , * * V * 1 „* * dLí

-хг

1 dui 1 „j * * v * dQ *

-j- = —V p* +v A u*--u * +—V (Q xr )-

rat

к

**

Эыт 1 _* * * * 1„*,~* *ч аО *

—А = —V р* + vA Ы2 + -У (0 хг )---хг .

дг Р 2 Ж

**

Здесь величины размерные, и и и2 - относительные скорости, все обозначения приведены в [10]. В уравнениях относительного движения в приближении Стокса кориолисовы силы не включены как имеющие второй порядок малости по скорости.

Граничные условия при г = Я и в предположении, что V' = v, имеют в этом случае вид

4« 4«

и1ф = и2ф , Л

(* * ^ * *

дг дг

'■и1ф •

Наряду с размерным моментом М* сил трения относительно оси Oz*, действующих на пористый шар, введем безразмерный момент М2 = М*/(Т1Ц) Я3).

Момент сил трения, действующих на поверхности шара со стороны внешней жидкости, определяется равенством [2]:

M.

= Ц°2гф sin 0 dS , °2гф =

ди2ф и2ф дг г

Здесь dS = 2п sin 0d0 - элемент площади, интегрирование проводится по всей поверхности сферы г = 1, и2ф имеют вид (14).

В результате находим:

8 _it. 2 о- Q sinШл + miQoCOSmi

Mz =-кв "(ш2 + 3/ш2 _З)^1-1--(15)

З Q sin Ш1 + Ш104 cos Ш1

Q1 = _1 + Х(ш2 _ З)(1 _ Г _ 2С); Q2 = 1 + ЗХ(1 _ Г _ 2С);

( 2 2 2 \ 2 Ш1 _ im1 Ш2 _ Ш2 ); Q4 = 1 _ Ш2 + Хш2 .

При X^ü, R / 61 ^^ (R / §2 - произвольное) выражение (15) принимает вид момента сил, действующих на твердый непроницаемый шар:

= 8п tt З + 6 (R / 62) + 6 (R / 62 )2 + 2 (R / 62 )З _ 2i (R / 62 )2 (1 + R / 62)

Z 3 1 + 2 (R / 62) + 2 (R / 62 )2

* З

В размерном виде Mz = (n^ü R )Mz этот момент сил совпадает с данными [2, § 24].

При ш2 = 0 (ю = 0) формула (15) дает выражение для момента сил, действующих на пористый шар, вращающийся с постоянной угловой скоростью:

M = _8ne_it (_1 + Х(щ2 _ З)(1 _ Г _ 2С)) sin ш1 + ш1(1 + ЗХ(1 _ Г _ 2C)) cos ш1

(_ 1 + Хш2 ) sin Ш1 + Ш1 cos Ш1

На рис. 2 приведены графики зависимости действительной части Яе Мг от Я / б! при т2 = 0 (ю = 0), Г = 0,95; I = 0,5; 0,6; 0,8; 1; 2 и I ^да (соответствующие кривые обозначены 1-6). При Я / 61 ^^ все графики асимптотически приближаются к прямой Яе Мг = -8п ~ -25,13.

Re М

-4

-8

-12

\x \Yv

\ \ A v\ WW

A\ \

\6 \\\

12 3 4 R!

Рис. 2. Зависимость Re Mz от R / 5j: m2 = 0; Г = 0,95;

1 = 0,5; 0,6; 0,8; 1; 2 и 1 (графики 1-6)

Библиографический список

1. Хаппель, Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Дж. Хаппель, Г. Бреннер. - М. : Мир, 1976. - 632 с.

2. Ландау, Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М. : Физмат-лит, 2006. - 736 с.

3. Jones, I. P. Low Reynolds number flow past a porous spherical shell / I. P. Jones // Math. Proc. Camb. Phis. Soc. - 1973. - Vol. 73, № 1. - P. 231-238.

4. Brinkman, H. C. A calculation of the viscous force exerted by a flowing fluid on a dense swarm of particles / H. C. Brinkman // Appl. Sci. Res. - 1947. - Vol. A1, № 1. -P. 27-34.

5. Nield, D. A. Spin-up in a saturated porous medium / D. A. Nield // Transp. Porous Med. - 1989. - Vol. 4, № 5. - P. 495-497.

6. Тактаров, Н. Г. Поступательно-колебательное движение сферического пористого тела в вязкой жидкости / Н. Г. Тактаров, Н. А. Храмова, О. А. Рунова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 1 (45). - C. 60-71.

7. Auriault, J.-L. On the domain of validity of Brinkmah's equation / J.-L. Aureault // Transp. Porous Med. - 2009. - Vol. 79, № 2. - P. 215-223.

8. Ochoa-Tapia, J. A. Momentum transfer at the boundary between a porous medium and a homogeneous fluid. - I. Theoretical development / J. A. Ochoa-Tapia, S. Whitaker // Int. J. of Heat and Mass Transfer. - 1995. - Vol. 38, № 14. - P. 26352646.

9. Тактаров, Н. Г. Движение вязкой жидкости, вызванное вращательно-колебательным движением пористого шара / Н. Г. Тактаров // Известия РАН. Механика жидкости и газа. - 2016. - № 5. - С. 133-138.

10. Тактаров, Н. Г. Поперечные волны в вязкой жидкости, вызванные вращательным колебательным движением пористого шара / Н. Г. Тактаров, А. А. Кор-

милицин, Н. А. Лемясева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2016. - № 4 (40). - С. 3-13.

References

1. Khappel' Dzh., Brenner G. Gidrodinamika pri malykh chislakh Reynol'dsa [Hydrodynamics at small Reynolds' numbers]. Moscow: Mir, 1976, 632 p.

2. Landau L. D., Lifshits E. M. Gidrodinamika [Hydrodynamics]. Moscow: Fizmatlit, 2006, 736 p.

3. Jones I. P. Math. Proc. Camb. Phis. Soc. 1973, vol. 73, no. 1, pp. 231-238.

4. Brinkman H. C. Appl. Sci. Res. 1947, vol. A1, no. 1, pp. 27-34.

5. Nield D. A. Transp. Porous Med. 1989, vol. 4, no. 5, pp. 495-497.

6. Taktarov N. G., Khramova N. A., Runova O. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2018, no. 1 (45), pp. 60-71.

7. Auriault J.-L. Transp. Porous Med. 2009, vol. 79, no. 2, pp. 215-223.

8. Ochoa-Tapia J. A., Whitaker S. Int. J. of Heat and Mass Transfer. 1995, vol. 38, no. 14, pp. 2635-2646.

9. Taktarov N. G. Izvestiya RAN. Mekhanika zhidkosti i gaza [Proceedings of RAS. Liquid and gas mechanics]. 2016, no. 5, pp. 133-138.

10. Taktarov N. G., Kormilitsin A. A., Lemyaseva N. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2016, no. 4 (40), pp. 3-13.

Тактаров Николай Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математики и методики обучения математике, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева (Россия, г. Саранск, ул. Студенческая, 11а)

E-mail: n.g.taktarov@mail.ru

Рунова Ольга Александровна

кандидат физико-математических наук, кафедра математики и методики обучения математике, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева (Россия, г. Саранск, ул. Студенческая, 11а)

E-mail: runova.olga@list.ru

Taktarov Nikolay Grigor'evich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of mathematics and methods of mathematics teaching, Mordovia State Pedagogical Institute named after M. E. Evsevyev (11a Studencheskaya street, Saransk, Russia)

Runova Ol'ga Aleksandrovna Candidate of physical and mathematical sciences, sub-department of mathematics and methods of mathematics teaching, Mordovia State Pedagogical Institute named after M. E. Evsevyev (11a Studencheskaya street, Saransk, Russia)

УДК 532.685 Тактаров, Н. Г.

Силы и момент сил сопротивления, действующие на пористое сферическое тело в вязкой жидкости в рамках модели Бринкмана /

Н. Г. Тактаров, О. А. Рунова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 2 (46). - С. 27-37. Б01 10.21685/2072-3040-2018-2-3.