Вращательно-колебательное движение цилиндрического пористого тела в вязкой жидкости в рамках модели Бринкмана Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИКА

УДК 532.685

DOI 10.21685/2072-3040-2019-1-1

Н. Г. Тактаров, О. А. Рунова

ВРАЩАТЕЛЬНО-КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ПОРИСТОГО ТЕЛА В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В РАМКАХ МОДЕЛИ БРИНКМАНА

Аннотация.

Актуальность и цели. Исследование относительного движения вязких жидкостей и погруженных в них пористых тел представляет значительный интерес в связи с разнообразными приложениями в технологических процессах, а также при изучении природных явлений. В настоящей работе исследовано влияние вращательно-колебательного движения цилиндрического пористого тела в вязкой жидкости на течение этой жидкости. Рассматривается определение момента сил трения, действующих на контрольной цилиндрической поверхности, охватывающей пористый цилиндр.

Материалы и методы. Для решения задачи используются методы математической физики, а также численные методы. В связи с осевой симметрией задача решается в цилиндрической системе координат.

Результаты. Определены поля скорости фильтрации внутри пористого цилиндра и скорости свободной жидкости вне цилиндра. Построены профили скорости жидкости. Определен момент сил трения на контрольной поверхности, охватывающей пористый цилиндр.

Выводы. Показано, что поле скоростей жидкости вне пористого цилиндра, а также момент сил трения, действующих на контрольной поверхности, значительно отличаются от таковых для случая движения сплошного (непроницаемого) твердого цилиндра.

Ключевые слова: вязкая жидкость, цилиндрическое пористое тело, враща-тельно-колебательное движение, уравнение Бринкмана.

N. G. Taktarov, O. A. Runova

ROTATIVE AND VIBRATIONAL MOTION OF A CYLINDRICAL POROUS BODY IN A VISCOUS LIQUID WITHIN THE BRINKMAN MODEL

Abstract.

Background. The investigation of the viscous fluids and submerged porous bodies relative motion has a significant interest in connection with variety applications

© Тактаров Н. Г., Рунова О. А., 2019. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

in the technological processes and natural phenomena. In the present paper we consider the effect of the rotational-oscillatory motion of a cylindrical porous body in a viscous fluid on this fluid flow. The determination of the friction forces moment acting on the control surface outside the porous cylinder was considered.

Materials and methods. For the problem solving the methods of mathematical physics and numerical methods had been used. Taking into account the axial symmetry the problem was solved with cylindrical coordinate system using.

Results. The fields of filtration velocities inside the porous cylinder and fluid velocity outside the cylinder were determined. Fluid velocity profiles were constructed. The friction forces moment acting on a control surface outside the porous cylinder was determined.

Conclusions. It was shown that the fluid velocity field outside the cylinder and the friction forces moment acting on a control surface in the cases of the porous body and impermeable one differs considerable.

Keywords: viscous fluid, cylindrical porous body, rotational-oscillatory motion, Brinkman equation.

Введение

Изучение движения жидкостей, контактирующих с твердыми телами, в том числе пористыми, а также сил, действующих на эти тела со стороны жидкости, представляет значительный интерес для исследования природных явлений, а также некоторых технологических процессов [1]. Все эти практические приложения стимулируют исследование течений вязкой жидкости внутри и вне пористых тел, ограниченных различными поверхностями. Простейшими среди таких поверхностей являются: плоскость, сферическая и цилиндрическая поверхности.

Течения вязкой жидкости, вызванные вращательно-колебательным движением пористого шара, рассмотрены в [2]. Следует отметить, что в граничных условиях в [2] допущена ошибка. Правильные граничные условия к этой работе приведены в [3], где определены: сила сопротивления и момент сил трения, действующие на контрольной сферической поверхности, охватывающей пористый шар, движущийся в вязкой жидкости, в рамках модели Бринкмана.

Колебательные движения вязкой жидкости, контактирующей с неподвижным плоским слоем пористой среды, исследованы в [4]. В этой работе получены точные аналитические решения двух задач о внутренних поперечных волнах в вязкой жидкости. В первой задаче рассмотрены волны, вызванные движением неограниченной плоской пластины, находящейся на поверхности жидкости и совершающей гармоническое колебательное движение в своей плоскости. В условиях второй задачи волны вызываются периодическим касательным напряжением, приложенным к свободной поверхности жидкости.

В работе [5] изучены течения вязкой жидкости, вызванные поступательно-колебательным движением пористого шара, погруженного в эту жидкость. Движение жидкости внутри и вне шара рассматривалось в подвижной неинерциальной системе отсчета, жестко связанной с этим шаром. В приближении Стокса получены точные аналитические решения уравнения Навье-Стокса вне шара и нестационарного уравнения Бринкмана внутри шара. Показано, что в частных случаях из полученных результатов следуют известные

ранее решения задач об обтекании непроницаемой твердой сферы вязкой жидкостью.

1. Постановка задачи

Рассматриваются течения вязкой жидкости, вызванные вращательно-колебательным движением бесконечно длинного пористого цилиндра, погруженного в эту жидкость, вокруг оси цилиндра. Жидкость и пористый цилиндр находятся в неподвижной цилиндрической оболочке, коаксиальной с этим цилиндром. Радиусы пористого цилиндра и цилиндрической оболочки обозначим соответственно a и Ь. Пористая среда предполагается недеформи-руемой, однородной и изотропной. Предполагается, что пористая среда имеет достаточно большую пористость и высокую проницаемость. При таких свойствах пористой матрицы в ней могут возникать колебательные движения жидкости, в которых скорость жидкости будет заметно отличаться от скорости матрицы.

Будем рассматривать движение жидкости внутри и вне пористого цилиндра в неподвижной системе отсчета с цилиндрической системой координат г , ф, г с осью г , направленной по общей оси цилиндров. Базисные векторы этой системы: ег, еф, к.

Знаком «*» здесь и далее обозначаются размерные переменные (но не размерные параметры), чтобы отличать их от соответствующих безразмерных, обозначаемых теми же буквами. Угловую скорость пористого цилиндра

запишем как функцию от времени 1 в виде й = й( ехр(—/ю? ), где = П()к (До > 0), / = л/-!. Скорости точек пористого цилиндра:

* „ * ,

и = й X (егг ). В окончательных результатах вычислений везде подразумеваются действительные части комплексных выражений.

Уравнения нестационарного движения жидкости в пористой среде (модель Бринкмана) запишем в виде [2]:

О ди „* * . * * ' / * \ „* *

= -У А+'Ди1 --'(и1 -и ), V • и1 = 0, (1)

*

здесь р - плотность; Г = const - пористость; uj - скорость фильтрации,

* * * * /

uj =ruj ; Uj - средняя скорость; p - среднее давление; п - эффективная

* *

вязкость жидкости в порах; п - вязкость свободной жидкости; u =Ги ; K - коэффициент проницаемости пористой среды. Величины, относящиеся к пористой среде и свободной жидкости, обозначаются индексами 1 и 2 соответственно.

Уравнения нестационарного движения свободной жидкости в приближении Стокса [6]:

du2 „* * * * „* * Р—2 = -Vp2 +nAu2, V • u2 = 0, (2)

dt

*

здесь u2 - скорость свободной жидкости.

Очевидно, что точки жидкости внутри и вне пористого цилиндра движутся по окружностям с центрами на оси цилиндра. При этом все величины

зависят только от г*, кроме того: и*-ф Ф 0, и*г = 0, ы*2 = 0 (у = 1, 2),

и>ф = ^о г ехр(-7'ю^ ).

Для формулирования граничных условий на движущейся поверхности раздела сред следует воспользоваться системой координат, связанной с элементом этой поверхности [6, § 84]. В системе координат, связанной с пористым цилиндром и вращающейся вместе с ним, граничные условия имеют вид [3]:

*

- при г = а:

й1ср = и2ф , Л(^1гф - ^2гф) = Пи1ф (Л = const);

(3)

* и

- при r = b:

и2ф

= 0.

ЗДесь и*ф = и1р -Гир, и2р = и2ф -ир

° >гф =

* Л

аи]ф и)ф

*

or r

(j = 1, 2),

— * * где и^ф (у = 1, 2) - относительные скорости; и-ф - скорости по отношению

jф

к неподвижной системе отсчета (абсолютные скорости); Л - параметр с размерностью длины, п1 = п', П2 = П.

К граничным условиям (3) следует добавить также условие конечности решений всюду в областях их определения, в частности, при г ^ 0, т.е. на оси пористого цилиндра.

2. Решение задачи

Введем безразмерные величины: г = г*/а, У = У*ю, и - = и*- / ^0,

*

и = и / ^0 . Здесь у = 1, 2; ^0 = ^0а . Уравнения (1), (2) и граничные условия (3) примут безразмерный вид:

/ 2

V

юа2 Эи1 v а

—--тт = —Au1 - — (U1 - u), V-U1 = 0,

ГУ dt v К

(4)

юа2 Эи2

■ = Au2, Vu2 = 0,

dt

- при r = 1: и1ф - Гиф = и2ф -иф , ^

( ди

1ф

эГ " и1ф

^ (ди

2ф

эГ " и2ф

:и1ф ■

Гиф

- при r = ß:

и2ф

= 0.

Здесь v' = n'/p, v = n/р, = e-lt (при r = 1), X = Л/a, ß = b/a. В связи с симметрией давления выпадают из уравнений. Скорости будем искать в виде стоячих волн: = Fi (r )e

«2ф = F2 (r)e-lt. Записывая уравнения движения (4) в цилиндрических координатах [6] и подставляя в них выражения и^ и п;ф, получим дифференциальные уравнения для определения функций F1(r) и F2(r). Граничные условия к этим дифференциальным уравнениям: - при r = 1:

Fi(r) - Г = F2(r) - 1, (5)

„-it

X

7 £ -41 -

dF^

dr

- F2

= F -Г;

- при r = ß:

Fz(r) = 0 (1/y2 = v'/ v).

Сюда добавляется также условие конечности решений в областях их определения.

Уравнение для ^1(г) имеет вид

d 2 F1 dr2

1 dF1 ( 2 1 V a2У2Г

++1 "1- 72) F1=- -*Tr,

m2 =:p Y2

Ш1 =

( a >

v 52 ,

ja

VF

(

1

5 + 52

( a >

v ^ \

5 =f ■ 52 =2V

/

=- _L 1 — б2 =-52 + бТ

Общее решение этого дифференциального уравнения [7]:

а2 2г

F1 (r) = A1J1 (m1r) + B1N1 (m1r) - a4;— r .

mfK

(6)

Здесь 31 - функция Бесселя первого рода; N - функция Бесселя второго рода (или функция Неймана, обозначаемая иногда через 7„); А1, В1 - неопределенные коэффициенты. Следует принять В1 = 0, так как N (х) ^ -<» при х ^ 0 (на оси цилиндра).

Уравнение для функции F2(r):

d 2 F2

2 1 dF2 ( 2

--2 +--2 + 1 m2

dr2 r dr 1 2

1

2 ,F2 = 0-

m% = 2i , m2 = ^(1 + i).

A a V

5

a

^ 2 ,

82

Общее решение этого дифференциального уравнения:

^ (г) = ^2/ («2г) + В2N1 (Ш2Т) . (7)

Здесь А2, В2 - неопределенные коэффициенты.

Подставляя выражения (6), (7) в граничные условия (5), получим систему трех алгебраических уравнений для определения коэффициентов А\, А2, В2. Решая эту систему, находим:

А1 = Р +т2^И)] + Р . (8)

Р J\(m\) А(Щ)'

-[ХР4 Рб +Т2 ./|(Щ|)|Л'|(Щ2р) В № Рб +Т2 ./|(Щ|)|./|(Щ2р)

А2 =-. В2 =-.

2 Р7 2 Р7

Р\ = /¡(«2^)N"(«2) - /¡(«2)N¡(«2^). °2 = «2/о(«2) - 2/\(«2) .

Рз = «2N0 («2 ) - 2N («2 ) ; £>4 = ^ /0 («\) - 2/\ («\) .

2y2 A a \2

D5 = (2Х + у2 ) J (mi) - ^ Jo (mi); D5 = Г

m2

8Ь

Р = ад +^у2/\(m\) [Рз/^Р) - Р^М)].

Таким образом, будем иметь:

+ Г-1;

^ ) = {d [ЩD5 + у2 J (mi)] + D5D7 } J (mjr) 2y2 A a ^2

Jj(mj) D7 mf

5

(9)

^ (г) = [^РР +У2/\(Щ\)]'[/\(Щ2в)N\(«2г) -/\(т2Г)N\(«тв)]

2( ) Р7 .

3. Анализ решения

Переход в выражениях (8), (9) к пределу К ^ 0, X ^ 0, а/Ъ\ ^ да, а/52 ^ 0 соответствует случаю, когда непроницаемый твердый цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью в вязкой жидкости. Поля скоростей в этом случае принимают вид

Г \ в2 \ (|0)

и\ф=Гг , и2ф =-"Г• г--"Г—. (\0)

\-в2 \-в2 г

В размерном виде эти выражения совпадают с [6, § \8].

Выражения (8), (9) в пределе а/52 ^ 0 (ю ^ 0) для произвольных значений в дают поля скоростей жидкости внутри и вне пористого цилиндра при его равномерном вращении:

Fi(r) =

2У

2

D8 - 2Хв2 + ГО8

Jl(mlr)

2Y

2 ( „ V

Xm1 (p2 -1) J0 (mj) + [2X(1 - в2) + у2 D8 ] J1 (m1) m2

r,(11)

F2(r) =-

X " 2Y2 I а' 2 _ + m1(r-1) Jo(m1) - 4 y2 I а' 2 " X-d9 J1 (m1)

r2-в2 m1 V «1 V m1 V «1 V

^ (в2 -1)Jo(т) + [2Х(1 - в2) + у2£] ^ (т)

Здесь £8 = 1 -в2 + 2^в2, £9 = у2 + 2Х-2ХГ .

При в ^ да, т.е. при отсутствии внешнего цилиндра, будем иметь:

Y2

Fj(r) =■

2у2 Г а ^

mj

v «1у

(2X-1) - (Г + 2X- 2ХГ)

J1(m1r)

2у2 Г а ^

XmJo (m1) - D9 J1 (m1)

m1

-X

F2(r) =■

2y

2 i „Y

m1

+ m1(r-1)

Jo(m1) +

4У2 Г а ^

m1

X- D9

J1(m1)

Jo («1) - £>9 Jl («1)] г

При выводе (10), (11) были использованы разложения [8]:

- для | х | << 1:

Jl(х) =1 х +..., Щх) - -1 С + 1пх|1 х- — +...,

2 п ^ 2) 2 пх

где С - эйлерова постоянная 0,5772157;

- для | х | >> 1:

J1( x)-

2 Г 3п cos I x--

nx v 4

Результаты анализа математической модели движения вязкой жидкости, вызванного колебанием цилиндрического пористого тела, представлены на рис. 1, 2. При построении графиков профилей скоростей принимаем у2 = п/п' = Г [4]. На всех графиках в неподвижной системе координат приведены зависимости действительной части Яе(£\, от г, т.е. Яе от г (0<г < 1) и Яе от г (1 <г <в). Это соответствует случаю, когда поля скоростей для определенности рассматриваются в момент времени ^ = 0. Неравенствами 0< г < 1 и 1< г <в определяются области 1 и 2 соответственно. Движение жидкости является нестационарным (зависящим от времени). В связи с этим профили скорости фильтрации и скорости свободной жидкости в областях 1 и 2 будут различаться в разные моменты времени.

Наличие разрывов графиков на поверхности пористой среды объясняется тем, что движение вязкой жидкости рассматривается в неподвижной си-

стеме координат. В подвижной системе координат, жестко связанной с цилиндром, разрывы графиков относительных скоростей будут отсутствовать.

и 0,2 0,6 1

Рис. 1. Зависимость Ке(^ь от г: Г = 0,95; 1 = 1; в = 1,1; а/51 = 5; а/52 = 2; 4; 6; 8; 10 (графики 1-5)

R e(FuF2) 0

-0.4

-0,6

-1

\ V Л4

3 \ fr

V W ¡12

r

V \

0,2

0,6

1

Рис. 2. Зависимость Ке(^ь ^2) от г: Г = 0,95; 1 = 1; в = 1,1; а/5! = 0,5; а/52 = 1; 3; 5; 8 (графики 1-4)

На рис. 1 графики зависимости Яе(^\, ^2) от г построены для случая, когда величина а/5\ = 5 зафиксирована, а а/52 принимает значения 2; 4; 6; 8; 10. Числовые расчеты проводились для следующих значений параметров: Г = 0,95; 1 = 1; в = 1,1.

Из рис. 1 видно, что скорость фильтрации сначала возрастает, а затем быстро затухает по мере приближения к границе пористой среды. Для всех

графиков Яе ^ = 0 при г = 0 и Яе = 0 при г = р. Видно, что при возрастании а/52 скорости в областях 1 и 2 уменьшаются при каждом значении г.

Профили скоростей на рис. 2 построены при следующих значениях параметров: Г = 0,95; X = 1; в = 1,1; а/Ъ\ = 0,5; а/52 = 1, 3, 5, 8 (графики 1-4).

Видно, что в этом случае имеются области, в которых скорости точек цилиндра и жидкости при ^ = 0 направлены в противоположные стороны (т.е. Яе(£\, ^2) < 0). Скорость фильтрации имеет тенденцию к увеличению по абсолютной величине по мере приближения к границе пористой среды.

На рис. 3 графики профилей скоростей фильтрации в пористой среде и свободной жидкости вне пористой среды построены при X =1; в =1,1; а/51 = 5; а/52 = 4 для разных значений пористости Г = 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 0,95.

Из рис. 3 видно, что при уменьшении пористости значения скоростей фильтрации в пористой среде уменьшаются при каждом фиксированном г, а в свободной жидкости - увеличиваются. Разрывы графиков профилей скоростей на границе пористой среды и свободной жидкости с увеличением пористости уменьшаются.

Со стороны внешней жидкости на контрольную цилиндрическую поверхность, охватывающую пористый цилиндр, действует сила трения, направленная по касательной к поверхности цилиндра. Безразмерный момент сил трения, действующий на единицу длины контрольной цилиндрической поверхности, определяется формулой [6]:

М = ! _ и2 1. 2п,

dr r

здесь 5" = 2п - площадь поверхности единицы длины цилиндра г = 1; и2 = (г)в~и .

В результате находим:

M = 2ne-it [XD4 D6 + у2 J (m)] • [ D3 J (m2p) - D2 N (m2p)| (12) z D7 • ()

При a/51 ^ да, a/52 ^ 0, в ^ да выражение (12) принимает вид момента сил, действующих на твердый равномерно вращающийся непроницаемый цилиндр: Mz = -4п •

* 2

В размерном виде Mz = Mz ца Q этот момент сил совпадает с [6, §18] •

Заключение

Решена задача о распространении поперечных волн в вязкой жидкости, вызванных вращательно-колебательным движением цилиндрического пористого тела вокруг своей оси В неподвижной цилиндрической системе координат найдены точные аналитические решения нестационарного уравнения Бринкмана, описывающего движение жидкости в пористой среде, и уравнения Навье - Стокса, описывающего движение жидкости вне пористой среды • Определены поля скоростей фильтрации внутри пористого цилиндра и скорости свободной жидкости вне цилиндра^ Проведен численный анализ построенной математической модели Построены профили скоростей фильтрации в пористой среде и свободной жидкости при разных значениях параметров модели Определен момент сил трения на контрольной поверхности, охватывающей пористый цилиндр • Показано, что в частных случаях из полученных результатов следуют известные ранее решения задач о движении вязкой жидкости, вызванного колебанием твердого непроницаемого цилиндра^

Библиографический список

1 Хаппель, Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Дж Хаппель,

Г Бреннер^ - Москва : Мир, 1976^ - 632 с 2^ Тактаров, Н. Г. Движение вязкой жидкости, вызванное вращательно-колебательным движением пористого шара / Н Г Тактаров // Известия РАН. Механика жидкости и газа^ - 2016^ - № - С 133-138^ 3^ Тактаров, Н. Г. Силы и момент сил сопротивления, действующие на пористое сферическое тело в вязкой жидкости в рамках модели Бринкмана / Н Г Тактаров, О^ А^ Рунова // Известия высших учебных заведений Поволжский регион Физико-математические наука - 2018^ - № 2 (46) - С 27-37^ 4^ Кормилицин, А. А. Колебательные движения вязкой жидкости, контактирующей с плоским слоем пористой среды / А^ А^ Кормилицин, Н Г Тактаров // Известия РАН Механика жидкости и газа^ - 2018^ - № L - С 139-146^ 5^ Тактаров, Н. Г. Течения вязкой жидкости при поступательно-колебательном движении погруженного пористого шара / Н Г Тактаров, Н А^ Храмова // Известия РАН Механика жидкости и газа^ - 2018^ - № 6^ - С 123-13L 6^ Ландау, Л. Д. Гидродинамика / Л^ Д^ Ландау, Е^ М^ Лифшиц - Москва : Физ-матлит, 2006^ - 736 с

7^ Янке, Е. Специальные функции Формулы, графики, таблицы / Е^ Янке, Ф^ Эм-

де, Ф^ Леш^ - Москва : Наука, 1964^ - 344 a 8^ Двайт, Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г Б^ Двайт• - Москва : Наука, 1978^ - 224 a

References

1. Khappel' Dzh., Brenner G. Gidrodinamika pri malykh chislakh Reynol'dsa [Hydrodynamics at low Reynolds numbers]. Moscow: Mir, 1976, 632 p. [In Russian]

2. Taktarov N. G. Izvestiya RAN. Mekhanika zhidkosti i gaza [Proceedings of RAS. Fluid and gas mechanics]. 2016, no. 5, pp. 133-138. [In Russian]

3. Taktarov N. G., Runova O. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2018, no. 2 (46), pp. 27-37. [In Russian]

4. Kormilitsin A. A., Taktarov N. G. Izvestiya RAN. Mekhanika zhidkosti i gaza [Proceedings of RAS. Fluid and gas mechanics]. 2018, no. 1, pp. 139-146. [In Russian]

5. Taktarov N. G., Khramova N. A. Izvestiya RAN. Mekhanika zhidkosti i gaza [Proceedings of RAS. Fluid and gas mechanics]. 2018, no. 6, pp. 123-131. [In Russian]

6. Landau L. D., Lifshits E. M. Gidrodinamika [Hydrodynamics]. Moscow: Fizmatlit, 2006, 736 p. [In Russian]

7. Yanke E., Emde F., Lesh F. Spetsial'nye funktsii. Formuly, grafiki, tablitsy [Special features. Formulas, graphs, tables]. Moscow: Nauka, 1964, 344 p. [In Russian]

8. Dvayt G. B. Tablitsy integralov i drugie matematicheskie formuly [Integral tables and other mathematical formulas]. Moscow: Nauka, 1978, 224 p. [In Russian]

Тактаров Николай Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математики и методики обучения математике, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева (Россия, г. Саранск, ул. Студенческая, 11а)

E-mail: [email protected]

Рунова Ольга Александровна

кандидат физико-математических наук, кафедра математики и методики обучения математике, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева (Россия, г. Саранск, ул. Студенческая, 11а)

E-mail: [email protected]

Taktarov Nikolay Grigoryevich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of mathematics and methods of mathematics teaching, Mordovia State Pedagogical Institute named after M. E. Evsevyev (11a Studencheskaya street, Saransk, Russia)

Runova Ol'ga Aleksandrovna Candidate of physical and mathematical sciences, sub-department of mathematics and methods of mathematics teaching, Mordovia State Pedagogical Institute named after M. E. Evsevyev (11a Studencheskaya street, Saransk, Russia)

Образец цитирования:

Тактаров, Н. Г. Вращательно-колебательное движение цилиндрического пористого тела в вязкой жидкости в рамках модели Бринкмана / Н. Г. Тактаров, О. А. Рунова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2019. - № 1 (49). - С. 3-13. - Б01 \0.2\685/2072-3040-20\9-\-\.