К расчету элементов кровельного ограждения пространственного покрытия при локальных нагрузках Текст научной статьи по специальности «Физика»

К расчету элементов кровельного ограждения пространственного покрытия при локальных нагрузках

Д.А.Высоковский, Е.Б. Русакова Донской государственный технический университет

Аннотация: В статье рассматривается методика определения напряженно-деформированного состояния упругого составного слоя, лежащего на абсолютно твердом основании. Подобная ситуация имеет место в покрытии с жестким железобетонном настилом, на котором расположен легкий утеплитель и гидроизоляционный ковер. Моделью покрытия при действии локальной нагрузки может служить упругий составной слой, лежащий на абсолютно твердом основании.

По заданным условиям составляется общее решение задачи теории упругости для каждого слоя. Решается система дифференциальных уравнений. Приводится однородное решение этих уравнений. Полученные решения могут служить для исследования различных проблем напряженного состояния составного слоя.

Решение инженерных задач требует определения комплексных корней трансцендентного характеристического уравнения. В настоящей работе корни определены методом Ньютона. Зная корни характеристического уравнения, можно определить напряжения и перемещения в каждой точке составного слоя.

Ключевые слова: абсолютно твердое основание, составной слой, метагармонические решения, интенсивность реакции опоры, смежные опоры, реакция капители.

В настоящее время изучение статических и динамических проблем теории упругости является актуальным для широкого спектра задач [1,2]. В составе пространственного покрытия здания иногда можно выделить элементы, обладающие столь большой изгибной жесткостью, что их можно рассматривать как абсолютно твердые тела, на которые опираются сложные пластинчатые элементы покрытия. Подобная ситуация имеет место в покрытии с жестким железобетонным настилом, на котором расположен легкий утеплитель и гидроизоляционный ковер. Моделью покрытия при действии локальной нагрузки может служить упругий составной слой, лежащий на абсолютно твердом основании.

Целью настоящей статьи является изложение методики определения напряженно-деформированного состояния указанного слоя.

Пусть верхний упругий слой покоится на нижнем слое, а нижний - на гладком абсолютно твердом основании. Толщина верхнего слоя 2 Н\,

и1 (и1, и2, (1) - вектор упругого смещения верхнего слоя; Е\ - модуль Юнга;

— 2 2

у1 - коэффициент Пуассона. Толщина нижнего слоя И2; и2 (и1 , и2, () -вектор упругого смещения нижнего слоя; Е2 - модуль Юнга; у2 -коэффициент Пуассона. Примем срединную плоскость верхнего слоя за

плоскость Х1 х2 прямоугольной декартовой системы координат, а плоскость

2 2 1 1 основания примем за плоскость -2 . Совместим ось z1 с осью оси , -2

22

направим параллельно соответственно осям , -2.

Предположим, что торцевые поверхности слоев гладкие и верхняя торцевая поверхность первого слоя загружена нормальной нагрузкой:

= д( xl, -2) •

zl =± Л1

= 0. т

^ =±*2;0 = 0; (а = -1,-2),

(1)

ю = 0. ю , = ю

2 ^ =0 ; 1 =~

1 =-(2 = ; <

Z1 =-^1

z2 =-И2

По условиям (1) запишем общее решение задачи теории упругости для каждого слоя [3, 4]. Для верхнего слоя имеем:

иа = СОБ^Ви0а -

Х1 Zl СОБ ZlD

(1 =

а В эт ZlВ * Х\ (эт ZlВ

1

&01,а +

(01 + — В а

эт ZlВ

В

\

и 0а -

Х1 ( эт z1 В z1 соэ z1D ^

2(1 + Хх)

V В3 В2

Х1 Zl эт ZlВ

а

01,а'

- ZlcoS Й01 + СОБ ^В(01 " ч ^

В ) 2(1 + В

1 й ;

2_ Й01;

(2)

1 1 * Х\ z1 sin z1В

~та2 = СОБ ZlВ(u0а + (01,а) - ТГ^--1 ^ 1

М

zl СОБ ZlВЙ0l,а;

1

1+ Хх В

й01,а -

sin z1 В

1" п^.1

В

В и0а - (01,а

)-

м

1 1 * (3)

< = *1 Z1В Sin Z1ВЙ01 + - 1)сОБ ^В(и01,а + и02,р) + (Х1 + 1)сОБ ^В(01

1 Г ^ эт z1В, * * . _ _ . ^ . ^

zl СОБ ^ВЙ01 +-^ (и01,а + и02,р) + (1 + 2%\)В Sin ^В(01

1 + *1

В

2

2

Для нижнего слоя имеем:

и 2 - с™ 2Г)П 2 22 22Р ,

иа - СОБ *2Ри0а ----002,а ;

2 Р

БШ 2 2 Р

( —--—(02 + —*-

2 Р 02 2

бШ Р

Р

22 СОБ 22Р

а

02

(4)

¡¡2

БШ 22 Р ( 2 2 \

2 (02Р и0а-(02а)-%222 СОБ22Р002,а,

Р

1 2 2

— /222Р б*п 22Р002 + (/2 - 1)сОБ 22Р(и01,а + и02ф ) + (/2 + 1)сОБ 22Р(02,

¡Л 2

(5)

Здесь 21 ^Мъ К]

* * * 2 001 — и01,х1 + и02,х2 - Р (01.

2 2 е

[0, / ].

1 1 * 001 — и01, х1 + и02, х2 + (01,

Подставляя выражения напряжений и перемещений (2) - (5) в граничные условия (1), получим систему дифференциальных уравнений для

определения девяти неизвестных функций ио1, . ,(о2 :

СОБ К1Р(и0а +(\,а)-1

/1 /^БШ ^Р

001,а — 0;

+ / Р

бШ Н1ЩГ. 2 1 * \ , , „„ „

Р Р и0а - (01,а)+/АСОБ\Р001,а — 0,

(6) (7)

/АР К1Ра01 + (/1 - 1)сОБ//1Р(и01,х1 + и02,х2 ) +

+ (/ + 1) СОБ /1Р(

01

1 + /

, ^ * бш&Р, *

/1 С°Б К1Р(01 + Р (и01, х1 + (8)

+ и02,х2 ) + (1 + 2/1)Р Б1П К1Р(01 x1, х2)

1

¡1

БШ /2 Р 2 2

Р

(Р и0а -(0а) + /2К2 СОБК2Р00а,а — 0

(9)

¡1{ХДР Бт К1Р001 + (/1 - 1)сОБ //1Р(и0\, х1 + и02, х2)

+

+ (/ + 1) СОБ /1Р(01 +

1 + /1

/1К1 СОБ К1Р001 +-^Т (и01, х +

Р

1

2

1

1

IH Инженерный вестник Дона. №4 (2016) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2016/3949

+ u

02, х2

+ (1 + 2/1)D sin h1Dw01} = ^2 [/2h2D sin h2D°02 +

+ (/2 - 1)coS h2D(u01,a + u01,^) + (/2 + 1)coS h2Dw02

, ^ /1 h1 sin h1 Dn * sin h1D * cos h1Dw01--—--k-k—001--k—w01 -

(10)

2(1 + ц) D

/1 2

sin h1D - h1 cos h1D

D

#01 =

sin h2D D

D

w02 +

/2 2

^ sin h2 Da

D

(11)

- h2 cos h2Dw02

Построим потенциальное решение системы (6) - (11). Пусть

u

1

0а - ^11П1,а ; w01 - L11D2п1; U02 - L12n2,a ;

^ __* -J- _* 2"|_

w01 = L12n2; U0a = L21n3,a w02 = L21D П3;

(12)

'01 "^12^2 > и0а - ^21^3,а <^02-^21^ 113-

где П1, П2, П3 искомые функции, Ьу - некоторые дифференциальные операторы. Система уравнений (6) - (7) допускает тождественное решение, если Ьу имеют вид

r , „ sin h1D *

Ln = /1cos h1D + h 1 ; Ln

h1D

/1 cos h1D +

sin h1D h1D

L =- cos h1D + /1 h1D sin h1D. 1+ /1

(13)

L12 = -

cos h1D--h1D sin h1D

1+ /1

L21 =/2 cos h2D +

sin h2 D

h2 D

L* = -l21 -

Подставляя (13) в (12), получим

u

0a

/1 cos h1D +

sin h1D h1D

П1,а ; w01

, „ sin h2 D y2 cos h2 D +--—

2 h2D ;

cos h1D + /1 h1D sin h1D 1+ /1

П1;

и

0а

СОБ /1Р + -/— 1 + /1.

П2,а , (01

соб /1Р /1Р бш /1Р

1 + /1

П2,

и0а —

, „ бШ /2 Р

СОБ / Р +--—

2 /2Р

П

3,а

(02 — -

/2СОБК2Р +

БШ /2 Р /2 Р У

Р 2П3

(14)

Из (8), (10), (11), (14) получаем систему уравнений для функций

1+

1+

бШ 2/1Р 2/1Р

БШ 2/1Р 2/1Р

Р 2П1 +—1

Р2П

1 + /1

/1

бШ 2/1Р 2/1Р

Р 2 П 2

1

2/Л

х2), (15)

1 , 1 + /1

бШ 2/1Р 2/1Р

Р 2 П2

¡2/2

¡2/1

1+

бШ 2/2 Р 2/2Р у

(16)

Р2П3 — 0.

1 + /1-б1и2 /1РП1 - соб2 /1РП2 + 1+/2бш2 /1РП3 — 0.

(17)

Задача свелась к решению системы дифференциальных уравнений (15) - (17). Рассмотрим однородное решение этих уравнений[5]. Основываясь на

том, что операторы дифференцирования Э1, д2 , Р2 — д1 + д2 подчиняются тем же формальным правилам сложения и умножения, что и числа, выразим функции Пг- через новую функцию напряжений П по формулам

П1 —

/1 | БШ 2/1Р 1 -

1+ /1

2/1Р у

бШ2 /2 РП. П2 —

1+

бШ 2/1Р 2/1Р у

бШ2 /2 РП.

Пз —-

1 + / 2

1+

бШ 4/1Р 4/1Р у

П

(18)

Подставляя выражения (18) в (16), получаем уравнение для определения П

1

1

2 .1 + /2 Л1/1

+

/2 1+ /1 Л2/2 б1П 2/1Р

л

б1п 2/1Р

4/2Р у

б1п2 /1р +

1+

2/2 Р

1+

б1п 4/1Р

4/2 Р у

(19)

Р 2П — 0

Легко получить счетное множество решений этого уравнения[6,7]. Для этого предположим, что функция П удовлетворяет уравнению Гельмгольца

Р 2П-^гП — 0 /12

(20)

2

где у - некоторый параметр. Характеристическое уравнение получим из (19) и (20)

У

+

2

/1 1 + /2 Л1/1

/2 1+ /1 Л2/2

1-

1+

Бт2ку V Бт4ку

2ку

1+

4у

б1п2 2у^

4у2

—0

Б1И у +

(21)

где к = /2//1. Из (21) следует, что решение уравнения (19) можно представить в виде суммы - гармонического решения р и счетного множества метагармонических решений С, , отвечающих соответствующим корням у уравнения (21)

п — р+е с,

I—1

(22)

Рассмотрим метагармонические решения. В силу линейности задачи, функции П, , из (18) представим в виде

а

/1 ^ б1п 2 у л

1+ /1 Е

V

2у

б1п кУ1С1 ,

(23)

I у

П2 —-Е

ю ^ б1п2у л 1 + ''

I—1

v

2у

б1П2 ку1С1, П3 — -

/ б1п4у л

1 ^ 1 + ''

I

1 + /1 Е

4у

С;

I у

1

Пользуясь операторами (14), определим функции иоа,.,(о2 и подставим их в выражения компонентов вектора упругого смещения и тензора напряжений (2) - (5). Для верхнего слоя получаем метагармоническое решение

и

К

1 + /о §

СОБ Ь[С

/о СОБЬ

Б1П Ь

Ь

1

б1п 2ь

б1п ьс

СОБ Ь

Ь

+ /оБ1ПЬ

+ %оССОБьССОБь

1 -

б1п2ь

<5т2 а (24)

1

ю

1 + /о I=о

/ 2 Ь

§ {[б1п ьС((о + /о )б1п Ь + /оССОБ Ь) - /2ЬС Б1П Ь1 1---—1

2Ь

I )

-[собЬс((о + /о)собЬ -/оЬ СОБЬ)-/2ЬСБ1ПЬС СОБЬ]1 -

\ 2Ь

1 о_ 1 /0 -1

2Мо " К0 /2 + 1 §0

<х = -

Ь СОБЬСэ1пЬ

у ■ о \ 0 - б1п2Ь

V

2Ь

+ + Ь Б1ПЬССОБЬ

Б1П кЬС1

у ■ о \ 0 + б1п2Ь

I )

V

2Ь

I )

х

х б1п2 кьС1 §

1 + /о I =0

СОБ ЬС

/о СОБЬ +

бш ь

Ь

+ +/оСб1п Ьс б1п Ь

i у

х

(25)

х

1-

б1п2Ь 2Ь

I )

Б1П ЬС

/ Б1ПЬ +

СОБ Ь

Ь

+ /оСб1п ЬС Б1П Ь

I )

У • о VI

1 бш 2ь 1 + 1

V

2Ь

I )

х

х БШ кЬС|,хх . (Х0 ^ х2 )

ж

Ь (ССОБ ьс б1п ь - б1п ьсСОБ ь ) 1 -у • о л

Б1П 2ь

1 -о 2/0 .§

"таz1

Мо 0 1 + /о I=о

+ ь (С б1П ЬС СОБ Ь - СОБ Ь С Б1П Ь ) 2/0 £ Ь2

б1п2ь 2Ь

+

(26)

1 +

2Ь

' у.

1

< =

Мо 0 Ко(1 + /о) I=о

§ь2

СОБ ЬС

бш ь

Ь

+ СОБ Ь

Б1П кЬС/,а;

+ сб1пьсб1п ь

с ■ о \

0 - б1п2ь 2Ь

+

1К1 Инженерный вестник Дона. №4 (2016) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2016/3949

+

б1п

г \

СОБ У

-- - Бт у

V У у

- С СОБ СОБ у

С ■ о \

1 + Б1п2У

2 У

' у

б1п кУС1

(27)

Для нижнего слоя имеем:

иа—-

к/1 1 + /2 ¿—1

Е

СОБ куС

/2 СОБ кУ -

б1п ку

ку

+ /2£б1п куС б1п ку

I У

х

х

1+

б1п4у

4у

С,-

(28)

1 + /2 ,—1 /2 куС соб кУ] /2 -1

ии

Е[б1п кУ<((1 + /2 )б1п кУ + /2£б1п кУ СОБ кУ У

с ■ л Л

, Бт 4 у 1 + '

С,

, у

1 ^2

-сгх — ^

¡2 /1(/2 + 1) ,—1

4 У

е У соб ку б1п ку

с л л

, Бт 4 у 1 + -

4у

С,- -

(29)

(30)

к/1 Е /2 + 1 Е

СОБ куС

/2 СОБ кУ2

б1п ку

ку

+ /2£б1п ку£ б1п ку

1+

б1п 4у

4у

С,

—т — 2к—/— Е у (б1п ку соб ку - С соб ку б1п ку ) 1 + Бт4у

-- а /2 +1 ¿1 \ 4у у

¡2 2 1

С

¡2

С

х

1+

V

б1п4у 4 У

^. т Еу2 /2 + 1 /1 , —1

Л

б1п кус С соб ку + С соб ку

соб ку +

б1п ку

ку

1,а

х

(31)

С

к

(32)

I у

Что касается Рассмотрим метагармонические решения, то любая гармоническая функция р может служить решением разрешающего дифференциального уравнения (19). Легко указать, что гармоническое решение определяет напряженно-деформированное состояние нижнего слоя по формулам

1

2

и1

= {%2 -IV,«; = 0;

— = (%2 - 1)(Р«а • « = (/2 - 1)(Р«р • (33)

Полученные решения могут служить для исследования различных проблем напряженного состояния составного слоя[8].

Решение конкретных инженерных задач требует определения комплексных корней трансцендентного характеристического уравнения (21). В настоящее работе корни определялись методом Ньютона. В качестве начальных приближений взяты асимптотические представления корней в зависимости от номера корня. Для различных значений к = Н21Н1 вычислялись по 30 комплексных корней. В таблице 1 приведены значения корней для К = 5, 10, 20. Численный анализ показывает, что с увеличением К, т.е. уменьшением толщины второго слоя или утолщением первого слоя, вещественная часть корней уменьшается[9]. Компоненты напряженно-деформированного состояния начинают медленнее затухать при удалении от границы. Зная корни характеристического уравнения, можно определить напряжения и перемещения в каждой точке составного слоя.

Таблица 1

Корни у = х + Iу характеристического уравнения

К = 5 К = 10 К = 20

хг Уг хг Уг хг Уг

0.37282 0.20233 0.20962 0.11187 0.10529 0.05626

1.75332 0.64566 0.51011 0.16631 0.26732 0.07775

2.34849 0.67275 0.79663 0.25243 0.42444 0.09076

2.72890 0.82987 1.14734 0.33599 0.57892 0.10414

3.11792 0.21819 1.49222 0.33262 0.73292 0.12056

In Инженерный вестник Дона. №4 (2016) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2016/3949

В качестве примера построения неоднородного решения системы (15)-(17) рассмотрим задачу бесконечно простирающегося безбалочного покрытия, состоящего из верхнего слоя толщиной Н2 и нижнего слоя толщиной 2И1. Внешняя поверхность покрытия нагружена равномерно распределенной нагрузкой и не имеет прогиба. Нижний слой покрытия подпирается прямоугольными капителями колонн, отстоящих друг от друга на одинаковых расстояниях. Будем считать, что реакция капители равномерно распределена по поверхности опоры ахр. Интенсивность реакции опоры легко определить из условий симметрии задачи. Решение задачи теории упругости такого покрытия можно получить в двойных рядах Фурье.

Условия симметрии допускают представить реакцию колонн в виде ряда косинусов

^ ™ 2шлх 2лпу q =И amn cos--cos—' (34)

ш=0n=0 a b

где а и b - расстояния центров смежных опор. Интенсивность реакции опоры равна q/a-p внутри прямоугольника и равна нулю по всей остальной площади нижней торцевой поверхности слоя. Поэтому для коэффициентов ашп получаем выражение

4q . шла . пла

ашп =~2---smn - sm-(35)

х шпар a b '

где

8шп = 1 для ш Ф 0, п Ф 0;

8шп = 0,5 для ш = 0, П Ф 0;

ш ф 0 п = 0 •

? ?

8шп = 0,25 для ш = 0, п = 0 .

В частном случае т = 0 или п = 0 коэффициенты получаются непосредственно как предельное значение выражения (35).

Из (19) - (21), (35), (36) получаем для функции напряжений П выражение

П = -

1

X X итп

2^2%2 т=0 п=0^)

2тлх 2пжу

СОБ-COS-

а

Ь

(36)

где

72 = 4^2

тп

22 тп

2 + Тг к а Ь у

(37)

Выражение (36) полностью решает задачу напряженно-деформированного состояния данного покрытия[10]. Здесь приведем лишь выражение прогиба нижней поверхности покрытия

да да

(01 =

1 X Ъ9(Утп )■ атп

И2Х2 т=0 п=0

^ (Ттп )

2тлх 2плх

СОБ--СОБ

а

Ь

(38)

где

(р(7тп ) =

1 + /2

п

1 + —-- 7,

\

4^7

^2Н27тп +

+

1+ / ¡2/2

тп тп у

Л

1 sh2h1

1 + ~ , / тп

.

7

тп у

(39)

■л

sh 2\71

тп

2hl ¡1/1

В центре прямоугольника а х р прогиб принимает максимальное значение

1 да да а

®1тах = ~- X Ъ9(7тп) Л

2¡2/2 т=0 п=0 ^(Утп )

(40)

В таблице 2 приводится ряд значений максимальных прогибов при различных значениях отношений h2 , ¡1/¡2 , /1//2, я = Ь.

дада

In Инженерный вестник Дона. №4 (2016) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2016/3949

Таблица 2

Максимальный прогиб нижней поверхности многослойного покрытия на прямоугольных капителях.

М/ h 2^®max /(1 + X)

¡И2/Ц1 = 0,1 ¡и2/ц1 = 10-2 ¡u2/ß1 = 10-3

1,0 - 0,62192 - 0,51219 - 0,50122

0,5 - 1,12192 - 1,01219 - 1,00122

0,25 - 2,12192 - 2,01219 - 2,00122

Литература

1. Кадомцев М.И., Ляпин А.А., Шатилов Ю.Ю. Вибродиагностика строительных конструкций // Инженерный вестник Дона. 2012. №3URL:rvdon.ru/magazine/archive/n3y2012/941.

2. Зотов А.В., Ляпин А.А. К анализу температурных напряжений в бетонных покрытиях // Инженерный вестник Дона. 2013. №4 URL:ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2013/2083.

3. Лурье А.И. К теории толстых плит // ПММ. 1942. Т. 6. Вып. 2-3, С. 151168.

4. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М., 1955. 491 с.

5. Тр. Американского общества инж. -механ, 1969. Т. 36. №4, С. 151-155.

6. Шарый С. П. Курс вычислительных методов. Новосибирск: Институт вычислительных технологий СО РАН, 2016. 526 с.

7. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980, 400 с.

8. Chen W.L., Striz A.G., Bert C.W. High-accuracy Plane Stress and Plate Elements in the Quadrature Element Method. International Journal of Solids and Structures. 2000, vol. 37, no. 4, pp. 627—647. URL: dx.doi.org/10.1016/S0020-7683 (99)00028-1.

IH Инженерный вестник Дона. №4 (2016) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n4y2016/3949

9. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М., Наука, 1979. 392 с.

10. Wen P.H. The Fundamental Solution of Mindlin Plates Resting on an Elastic Foundation in the Laplace Domain and its Application. International Journal of Solids and Structures. 2008, vol. 45, no. 3, pp. 1032—1050. URL:dx.doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2007.09.020.

References

1. Kadomcev M.I., Ljapin A.A., Shatilov Ju.Ju. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2012. №3 URL: vdon.ru/magazine/archive/n3y2012/941/.

2. Zotov A.V., Ljapin A.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013. №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2013/2083/.

3. Lur'e A.I. PMM. 1942. T. 6. Vyp. 2-3, pp. 151-168.

4. Lur'e A.I. Prostranstvennye zadachi teorii uprugosti [Spatial problems of the theory of elasticity]. M., 1955, 491 p.

5. Tr. Amerikanskogo obshhestva inzh.-mehan., 1969. T. 36. №4, pp. 151-155.

6. Sharyj S.P. Kurs vychislitel'nyh metodov. [The course Computational Methods Novosibirsk: Institut vychislitel'nyh tehnologij]. SO RAN, 2016, 526 p.

7. Voevodin V.V. Linejnaja algebra [Linear algebra] M.: Nauka, 1980, 400 p.

8. Chen W.L., Striz A.G., Bert C.W. High-accuracy Plane Stress and Plate Elements in the Quadrature Element Method. International Journal of Solids and Structures. 2000, vol. 37, no.4, pp. 627—647. URL: dx.doi.org/10.1016/S0020-7683 (99)00028-1.

9. Golovina L.I. Linejnaja algebra i nekotorye ee prilozhenija [Linear algebra and some of its applications]. M., Nauka, 1979. 392 p.

10. Wen Р.Н. ^е Fundamental Solution of М1пШт Plates Resting оп ап Elastic Foundation т the Laplace Domain and ^ Application. International Journal of Solids and Structures. 2008, vol. 45, по. 3, рр. 1032—1050. ШЬ: dx.doi.Org/10.1016/j.ijsolstr.2007.09.020.