Устойчивость плиты Э. Рейсснера на упругом невинклировом основании Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Устойчивость плиты Э. Рейсснера на упругом невинклировом

основании

Д.А.Высоковский, Е.Б. Русакова Донской государственный технический университет

Аннотация: Исследуется задача об устойчивости плиты Э.Рейсснера, лежащей на трехмерном упругом слое с заданными постоянными упругости. Торцевые поверхности слоя гладкие, связи удерживающие. Считается, что плита находится в плоском напряженно-деформированном состоянии от действия на ее цилиндрическую поверхность самоуравновешенной нагрузки с некоторым числовым параметром, характеризующим величину нагрузки при потере устойчивости плиты. Из условий удерживающих связей получена система уравнений для определения числового параметра. Дается метод вычисления наименьшего значения параметра, при котором фиксируется потеря устойчивости плиты. Как частные случаи, приводятся результаты классической теории и модель основания Винклера.

Ключевые слова: самоуравновешенная нагрузка, деформированное состояние, функции напряжений, потеря устойчивости.

В настоящее время изучение проблем теории упругости является актуальной задачей [1,2]. Теория упругости - прикладная наука, обслуживающая разнообразные отрасли техники, где постоянно возникают вопросы о прочности и надежности конструкций, об их взаимодействиях с окружающей средой. Роль расчетов на прочность и жесткость становится все более ответственной, а сами расчеты - все более сложными. Целью настоящей статьи является рассмотрение задачи об устойчивости плиты Э.Рейсснера, лежащей на трехмерном упругом слое с заданными постоянными упругости и как частные случаи, приводятся результаты классической теории и модель основания Винклера.

Рассмотрим плиту, имеющую форму О и ограниченную цилиндрическим контуром Г, лежащую на упругом трехмерном слое: - да (х, у) < да; 0 < < И1. Пусть упругие постоянные слоя Е1 , у1 , толщина плиты И, ее упругие постоянные Е , V, Б = И3Е/12(1- V2). Торцевые поверхности слоя гладкие, связи удерживающие. Предположим, что плита находится в плоском напряженно-деформированном состоянии от действия на контур Г

самоуравновешенной нагрузки ХРТ где X - некоторый числовой

параметр, характеризующий величину нагрузки при потере устойчивости плиты. Из перечисленных условий следует, что

°п\г =ХРпП), Тш\Г =-ХРТ(^), =±А/2 = 0; ^ =-А/2 = 0; (1)

Та2х

2= =0* = 0, ®11^1 =о = °,(а = х, У); (2)

712 иг\2 =н/2" 2= =А1. (3)

Пусть по какой-то причине плита несколько изогнулась. Рассмотрим условия бифуркации форм равновесия сжатой плиты по Эйлеру.

Если плита нагружена системой сил (1), то при ее изгибе сжимающие силы дают составляющую в том же направлении, что и поперечная нагрузка:

д = (х у) = х(Юххфуу + (Оууфхх - 2&хуФху ) (4)

где Ф( х,у) - функция продольных усилий в плите, определяемая с помощью решения бигармонической проблемы [3]. Соотношения для силовых и геометрических характеристик в плите Э.Рейснера имеют вид

Ма=- В(да +Уд2в)® + 0,1Л Чба + 0Д 2^/(1 +5 20у ) - Ч( X, У)

н у 12(1 -V)

(а = x, у); (5)

Мху = - В(1 - V)д1д 2^ + 01 2(д 20х + д10у ); (6)

даМа - двМав = 0а , (а = х У), (Р = У, х) (7)

(0ДЛ2В2 - 1)0п + 0,1Л'---да^ёх +д2ёу) = ВаБ2ю+ ^т^^х,У)

1 - V 7 12 1 - V

(а = x, У); (8)

Напряженно-деформированное состояние упругого трехмерного слоя описывается решением однородных уравнений теории упругости в перемещениях [4]:

= cos z1D1

и о V0

x1 z1 sin z1D

( =

sin ziDi . xi 11 ( + 1

2 D ^sin z1D

Mi

' aZi

D

sin zxD

2

V

D

- z1 cos z1D

a0

D

D2

Uc

V

-da('o~ x1z1 COsz1Dda°0

J_ Mi

t = 2 cos z1D1('0 + [ x1 z1D sin z1D + (x1 -1) cos z1D]00

(9)

(10)

(11)

(12)

Здесь е [0;И1], и0(x,У), Мx,У), Ч(XУ), #0 = д1и0 +д2^ + 4 - основные искомые функции. Выражения (10), (11) тождественно удовлетворяют условиям (2). Остальные условия на торцах плиты и слоя позволяют решить задачу о бифуркации форм равновесия системы и определить значения параметра Л. С этой целью подставим (10) - (12) в (2) и (3). Получаем

( =

sin ZjD D 2

D

sin z1 D

Uf

V

D

(0 +

- da(0 + x1z1 cos z1D x da60 = 0 • ^sin zi D

x

2

V

D

1--h1 cos h1 D

a

0;

j

(13)

(14)

(15)

diQx + d iQy + q( ^ y) = Mix x[x1h1Dsinh1D60 + (xj - 1)cosh1D60 + 2coshxD®o] Таким образом, общее решение задачи о напряженно-деформированном состоянии системы «плита - слой» сводится к решению системы уравнений (8), (13) - (15). Преобразуем ее. Из (8) и (15) имеем

DD 4( =

^ - hi 12-v d 2Л

60 1 -V

q(x y) -M1

V

1 - 0,1h d 2

1 -v

л

x

J

(16)

x {2 cos h1 D(0 + [ x1h1 D sin h1 + (x1 -1) cos h1 D ]60} Подстановка (14) в (16) приводит к уравнению

1

J

+ W2

DD3 sin h1D + 2цх ^sin z1D

1 - o,1h 2^D2 1 -v

cos h1D

+

h1 cos h1D

+ M1

v D

x [ x1h1D sin h1D + (x1 -1) cos h1D]^0

1 - 0,1h D2

v

1 -v

x

У

(17)

\ - hA 12-Vd 2л

60 1 -V

q( x y)

Далее весь вопрос заключается в решении системы уравнений (13), (17), которую можно построить полуобратным методом. Для этого представим искомое решение в виде суммы двух независимых решений -потенциального и вихревого. Легко показать, что вихревое решение не разрешает проблему устойчивости рассматриваемой системы «плита - слой», а потому остановимся только на потенциальном решении.

Пусть

u0 = hd\n, v0 = 2П, co'0= L2D2П, (18)

где L1 и L2 -некоторые дифференциальные операторы; П - функция напряжений.

Подставляя (18) в (13), приходим к уравнению

[(Dsinh1D + x1h1D2 cosh1D)L1 - (Dsin hxD - xxhxD2 coshxD)L2]n = 0,

которое удовлетворим тождественно при очевидном выборе операторов:

r sin h1D i

L¡ = —d^ + 1) x1h1 cos h1D

(19)

(20)

Искомые функции принимают вид

u(

v0

sin h1D - xh coshD

D 11 1

П;

=

sin h1D '

-1—+ xh cos hiD

D 11 1

D 2 П;

(21)

(22)

1

2

в0 = 2 D sin h1 DП (23)

Выражения для изгиба плиты находим из выражения (14):

(О = (xj +1) sin hJ DП (24)

Дифференциальное уравнение для функции напряжений П получим

после подстановки (22) - (24) в (17):

DD4 sin2 hJD + 2^xjD2

1 - 0,1h

2

2 — v 2 =--D 2 1 — v y

1 +

sin 2h1D 2hJD y

П

(25)

i — hi d 2'

V

60 1 — v

q(x, y)

У

где

q(x,y) = Я1х1[Фуу sin2 h1Dd2П + Ф xy sin2 h1Dd2П — 2Ф xy sin2 h1 ÁDd1d2П]

, xy

xy

(26)

а бигармоническая функция Ф( х, У) - решение задачи о плоском напряженно-деформированном состоянии плиты [3].

В качестве примера рассмотрим случай равномерного сжатия плиты. Получаем

р

Ф = ф =—— Фху = 0

^xx ^ yy h , xy

Уравнения (25) и выражение (26) принимает вид

(27)

DD sin2 h1DП + 2^1 x1D

2

i—IzVd 2

V

10 1 — v

1+

У

V

sin 2h1D 2h1D y

П+

P

+ л(1 + x1)— 1 h

\ — hl H—vd 2

60 1 —v

D2 sin2 h1DП = 0

q(x, y) = — Л(1 + x1)PD2 sin2 h1DП

h

(28)

(29)

Для решения широкого круга инженерных задач, связанных с проблемой потери устойчивости прямоугольных плит различного назначения, часто применяют метод, по которому задается некоторая форма прогиба плиты. Для шарнирно опертых плит такая форма принимается в виде

с = a sin ax sin ву (30)

а функция напряжений П определяется из дифференциального уравнения

(24):

(xY +1) sin hxDn = a sin ax sin ву. Частное решение этого уравнения имеет вид [2]

a

П =

о

(Xj +1)sin ihxy

- sin ax sin ву

(31)

2 2 д2 где Y = а + в .

После подстановки (31) в (28) получаем уравнение для Я:

2Dy¿

x1h1

sin2 ih1Y

1 - 0,1h 2 y

2 2 2-УЛ

1 -v

2

, sin щ y 1 +-—

2ih1Y

— Я

2

1 + h_ h—v d 2y2

V

60 1 — v

=0

j

(32)

Наименьшее значение X характеризует величину нагрузки на контуре Г, при которой фиксируется потеря устойчивости.

Прикладные теории

1. Если плита Э.Рейснера оперта по контуру Г , то уравнения форм

равновесия можно получить при М ^ 0 и Х1 ^ 0. Из (4) и (16) получаем

DD 4с = Я

1—h-12—Vd 2'

60 1 -v

(с Ф +с Ф — 2с Ф )

У^хх уу шуу XX ^xy XV '

X^ xy>

(33)

Силовые характеристики определяем по формулам (5) - (8). Отбрасывая член

с h2, получаем результаты классической теории.

2. Если в разложениях дифференциальных операторов для слоя

2

удерживать члены с И1 , то получим модель основания Винклера. В случае равномерного сжатия плиты уравнения форм равновесия выглядят следующим образом:

ВВ4 П + 2 ^ П +ЛРВ2 П = 0.

И 2 И ;

(34)

( = (1 + х}) П (35)

В качестве примера рассмотрим выпучивание плиты размерами а х Ь. Предположим, что прогиб плиты и функция напряжений выражается в виде

/1 \ Л ■ пх . пу „ . . пх . пу

( = (1 + х:) Л Б1П-Бт —, П = Л Б1П— Бт —

а Ь а Ь ''

(36)

Подставляя (36) в (34), определим параметр Л для рассматриваемого выпучивания:

В

Гп\2 п

+

п

V а

Ь

\и у

+ 2

И1 х1 И

1 + х1 ЛР

2

И

2

п

+

^ 2 п

V а у

Ь

V и у

0

(37)

Соотношения между размерами плиты установим с помощью условия равновесия

ffаzdxdy - 2

| бхФ +| бу^х

0

(38)

Г

Так как перерезывающие силы бх|Г, бу

г и контактное напряжение

а

2\2=и /2 имеют вид

бх 1х=0 = 2В

п

с „л2 /_\2

п —

■ +

б,

Я =0

а

= 2 В п а

V а у

п

Ь

V у

22

п |

+

V а у

п

Ь

V ^ у

л • пу А Б1П —

Ь

Л ■ пх А Б1П —.

а

(39)

(40)

а

=И/2

т Ц Хл . . пх . пу Ь,^-1^ А Б1П — Б1П —

1 -- ь ■

К

а

то, после интегрирования (38), получаем соотношение

1

_ =

2 + и2 = 2 Л

а Ь п \

2ц1х1

иа

Из (37) и (41) можно получить более простую формулу:

Х =

8ц1 х1

Ип

Г РаЛ-1 КИ а2Ь2 ,

(41)

(42)

Таким образом, теория Э.Рейснера в нулевом приближении приводит к результатам классической теории. При этом выполнятся все краевые условия равновесия плиты. В этом достоинство рассматриваемого метода.

Литература

1. Беппаев А.М., Шогенов О.М. Оценка прочности железобетонной плиты на продавливание // Инженерный вестник Дона. 2016. №2URL:1vdon.ru/magaz1ne/arch1ve/n2y2016/3671.

2. Кравченко Г.М., Труфанова Е.В., Вержиковский В.В., Заритовский В. С. Исследование напряженно-деформированного состояния фундаментной плиты выставочного павильона Технопарка РГСУ с учетом различных моделей основания// Инженерный вестник Дона. 2013. №4 URL:1vdon.ru/ru/magaz1ne/arch1ve/n4y2015/3327

3. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. - М.: Физматгиз, 1963. - 635 с.

4. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М., 1955. 492 с.

5. Лурье А.И. К теории толстых плит // ПММ. 1942. Т. 6. Вып. 2-3, С. 151168.

6. Тр. Американского общества инж. -механ, 1969. Т. 36. №4, С. 151-155.

7. Шарый С. П. Курс вычислительных методов. Новосибирск: Институт вычислительных технологий СО РАН, 2016. 526 с.

8. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980, 400 с.

9. Chen W.L., Striz A.G., Bert C.W. High-accuracy Plane Stress and Plate Elements in the Quadrature Element Method. International Journal of Solids and Structures. 2000, vol. 37, no. 4, pp. 627—647. URL: dx.doi.org/10.1016/S0020-7683 (99)00028-1.

10. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М., Наука, 1979. 392 с.

11. Wen P.H. The Fundamental Solution of Mindlin Plates Resting on an Elastic Foundation in the Laplace Domain and its Application. International Journal of Solids and Structures. 2008, vol. 45, no. 3, pp. 1032—1050. URL:dx.doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2007.09.020.

References

1. Kadomcev M.I., Ljapin A.A., Shatilov Ju.Ju. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2012. №3. URL: vdon.ru/magazine/archive/n3y2012/941/.

2. Zotov A.V., Ljapin A.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013. №4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2013/2083/.

3. Lur'e A.I. Prostranstvennye zadachi teorii uprugosti. M., 1955, 492 p.

4. Lur'e A.I. PMM. 1942. T. 6. Vyp. 2-3, pp. 151-168.

5. Tr. Amerikanskogo obshhestva inzh.-mehan., 1969. T. 36. №4, pp. 151-155.

6. Sharyj S.P. Kurs vychislitel'nyh metodov. [The course Computational Methods Novosibirsk: Institut vychislitel'nyh tehnologij]. SO RAN, 2016, 526 p.

7. Voevodin V.V. Linejnaja algebra [Linear algebra] M.: Nauka, 1980, 400 p.

8. Chen W.L., Striz A.G., Bert C.W. High-accuracy Plane Stress and Plate Elements in the Quadrature Element Method. International Journal of Solids and Structures. 2000, vol. 37, no.4, pp. 627—647. URL: dx.doi.org/10.1016/S0020-7683 (99)00028-1.

9. Golovina L.I. Linejnaja algebra i nekotorye ee prilozhenija [Linear algebra and some of its applications]. M., Nauka, 1979. 392 p.

10. Wen P.H. The Fundamental Solution of Mindlin Plates Resting on an Elastic Foundation in the Laplace Domain and its Application. International Journal of Solids and Structures. 2008, vol. 45, no. 3, pp. 1032—1050. URL: dx.doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2007.09.020.