Научная статья на тему 'Устойчивость плиты Э. Рейснера на упругом невинклеровом основании'

Устойчивость плиты Э. Рейснера на упругом невинклеровом основании Текст научной статьи по специальности «Общие и комплексные проблемы технических и прикладных наук и отраслей народного хозяйства»

CC BY
7
3
Поделиться

Аннотация научной статьи по общим и комплексным проблемам технических и прикладных наук и отраслей народного хозяйства, автор научной работы — Шумейко В. И.

Исследуется задача об устойчивости плиты Э.Рейснера, лежащей на упругом трехмерном слое с заданными упругими постоянными. Торцевые поверхности слоя гладкие, связи удерживающие. Считается, что плита находится в плоском напряженно-деформированном состоянии от действия на ее цилиндрическую поверхность самоуравновешенной нагрузки с некоторым числовым параметром, характеризующим величину нагрузки при потере устойчивости плиты. Из условий удерживающих связей получена система уравнений для определения числового параметра. Дается метод вычисления наименьшего значения параметра, при котором фиксируется потеря устойчивости плиты. Как частные случаи, приводятся результаты классической теории и модель основания Винклера.

Похожие темы научных работ по общим и комплексным проблемам технических и прикладных наук и отраслей народного хозяйства , автор научной работы — Шумейко В.И.,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Устойчивость плиты Э. Рейснера на упругом невинклеровом основании»

В результате образовавшаяся серная кислота вступает в реакцию с находящейся в смеси алюминиевой пудрой

Н20

Н28 04 + А1 ^ А12 (804)3 + Н2Т + Оккал Н20

I

А1(0Н)3

Образовавшиеся соединения А12(804)3, А1(0Н)3, а также полученные в результате аналогичного взаимодействия алюминиевой пудры с ортофосфорной кислотой А1(Н2Р04)3 обеспечивают быстрый набор прочности.

Снижение плотности полученных изделий происходит за счет выделения водорода и применения вспученного вермикулита фракции 0-5 мм, который отличается по сравнению с керамзитом меньшей в 2-3 раза плотностью при сохранении высоких огнеупорных свойств.

При указанных соотношениях компонентов, наличии в сернокислом шламе оксидов Са, Ре, Сг, М^ и 81, активно взаимодействующих с ортофосфорной кислотой и повышающих прочность и огнеупорность, а также вспученного вермикулита подобранные составы легких огнеупорных бетонов позволяют активно утилизировать отходы производств алюминия и стальных труб с одновременной экономией энергетических ресурсов в связи с отсутствием затрат на термическую обработку бетона.

Сырьевую смесь готовят в следующей последовательности. К сернокислому шламу добавляют орто-фосфорную кислоту 60 %-й концентрации в количестве 30 % от общего объема и полученную смесь перемешивают в течение 1-2 мин. Алюминиевую пудру, глиноземистый шлак и вспученный вермикулит фракции 0-5 мм перемешивают до однородной массы. Подготовленные смеси сернокислого шлама и орто-фосфорной кислоты, а также алюминиевой пудры, глиноземистого шлака и вспученного вермикулита соединяют и затворяют оставшимся количеством (70 %) ортофосфорной кислоты. Полученную смесь перемешивают до начала тепловыделения и формуют в изделие.

Были проведены экспериментальные исследования подобранных составов легкого огнеупорного бетона и определены его основные физико-механические свойства в сравнении с известным составом бетона [1]. Параметры трещиностойкости определялись по стандартной методике с получением силового критерия механики разрушения - критического коэффициента интенсивности напряжений К1с [2].

Подобранные составы легкого огнеупорного бетона при указанных соотношениях входящих в них компонентов по сравнению с известным составом [1] при одинаковом времени отверждения обеспечивают повышение прочности на 60-68,7 % при уменьшении плотности на 6-13 % (табл. 1).

Таблица 1

Физико-механические свойства разработанных составов легкого огнеупорного бетона в сравнении с известным составом [1

Свойства Известный состав [1] Состав

1 2 3

Время отверждения, мин 25-30 28 30 30

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Прочность при сжатии, МПа 1,38-1,95 2,2 2,7 3,2

Средняя плотность, г/см3 0,61-0,68 0,53 0,58 0,64

Критический коэффициент интенсивности напряжений, МПа-м0'5 0,49 0,54 0,6 0,63

Огнеупорность, ° С 1500 1580 1580 1580

Таким образом, использование предлагаемых составов бетона позволит повысить огнеупорные свойства при увеличении прочности и трещиностойкости, снижении плотности, улучшить экологическую обстановку и снизить стоимость за счет использования неутилизированных отходов производства и отсутствия затрат на термическую обработку при формовании изделий.

Литература

1. Пат. 2102357 РФ С 04 В 28 / 34. Сырьевая смесь для производства легкого огнеупорного бетона / А.Ф. Жарков, Ю.С. Агеев, В.А. Перфилов // БИ. 1998. № 2.

2. ГОСТ 29167 - 91. Бетоны. Методы определения характеристик трещиностойкости (вязкости разрушения) при статическом нагружении.

Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет

9 сентября 2004 г.

УДК 539.3

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛИТЫ Э. РЕЙСНЕРА НА УПРУГОМ НЕВИНКЛЕРОВОМ ОСНОВАНИИ

© 2005 г. В.И. Шумейко

Рассмотрим плиту, имеющую форму ^ и ограниченную цилиндрическим контуром Г, лежащую на упругом трехмерном слое: х,у) < ; 0 < г 1 < Нх. Пусть упругие постоянные слоя Еь уь толщина плиты

Н, ее упругие постоянные Е, V, Б = Н3 Е/12(1-V 2). Торцевые поверхности слоя гладкие, связи удерживающие. Предположим, что плита находится в плоском напряженно-деформированном состоянии от

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

действия на контур Г самоуравновешенной нагрузки 1Р„(6), ХРх(6), где X - некоторый числовой параметр, характеризующий величину нагрузки при потере устойчивости плиты. Из перечисленных условий следует, что

а и| г = ХР п (S),

TаZ Z=±h/2 = 0,

т ns\ Г = -ХР т (S),

аZ Z=-h/2= 0 ;

(1)

Z 1 Z 1 =0;h1 = 0 та 1 Z 1 =0 = 0 (а = ^ (2)

та = та

1 Z1 =h1

' Z Z=h/2

= а

Z i Z i = hi

(3)

Пусть по какой-то причине плита несколько изогнулась. Рассмотрим условия бифуркации форм равновесия сжатой плиты по Эйлеру.

Если плита нагружена системой сил (1), то при ее изгибе сжимающие силы дают составляющую в том же направлении, что и поперечная нагрузка:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

д = (х,у) = Х(шхФуу + та УУФХХ -2та Ф ), (4)

где Ф(х, у) - функция продольных усилий в плите, определяемая с помощью решения бигармонической проблемы [1]. Соотношения для силовых и геометрических характеристик в плите Э. Рейснера имеют вид

М а = -Б(Э 2 + уЭр)та + 0,1й2 Эа 0 а + 0,1А2 V /(1 - V) х

х(Э jQx + д 2 Qy) -

h2 v

12(1 - v)

q( x, y) (а = x, y)

Mxy = -D(1 - v)д 1д 2та + 0,1h 2(д 2ßx + д 1ßy);

. (5)

(6)

даМ а - д ß M aß= Q„, (а = x, y), (ß = x, y) (7)

(0,1h2D2 - 1)Q„ + 0,1h2да(д 1ßx + д2Qy) =

1-v

2 h/ = DaD 2та + -

12 1-v

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

да q( x, y) (а = x, y). (8)

Напряженно-деформированное состояние упругого трехмерного слоя описывается решением однородных уравнений теории упругости в перемещениях [2]:

J_ ц 1

—т Z1 = 2cos z 1D^ 0 +

+ [xj z j D sin z 1D + (xj - 1)cos z 1D ]9 0. (11)

Здесь z1 e [0;A1 ], u0(x,y), v0(x,y), та0(x,y),

6 0 =Э 1u 0 +Э 2v 0 +та 0 - основные искомые функции. Выражения (9), (10) тождественно удовлетворяют условиям (2).

Остальные условия на торцах плиты и слоя позволяют решить задачу о бифуркации форм равновесия системы и определить значения параметра X. С этой целью подставим (9) - (11) в (2) и (3). Получаем

sinhj D D 2 DD

-дата0 + x1h1 cosh1 D да90 = 0; (12)

та= В) тао + 2 I _Б--Б I0о; (13)

Э :бх +д 2 Яу + д( х, У) = Ц 1 х х|х 1И1ББ00 + (х 1 - 1)собИ1 Б00 + 2собИ1 Бта0

(14)

Таким образом, общее решение задачи о напряженно-деформированном состоянии системы «плита-слой» сводится к решению системы уравнений (8), (12)-(14). Преобразуем ее. Из (8) и (14) имеем

DD 4та =

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

- Ü Hü D-2j

60 1 - v

q(x,y)11 -0,1h2 2 jx

x{2cosh1 Dта 0 +[x1h1Dsinh1 D + (x1 -1)cosh1 D]8 0}.

(15)

Подстановка (13) в (15) приводит к уравнению

DD3sinh1 D + 2ц11 1 -0,1hD2 |cosh1 D

та 0 +

+ \Dx- Í - h1cosh1 D 1 + ^Í1 - 0,1h 2^ D 2 lx

x1h1D sinh1 D + (x1 - 1)cosh1 D

1 - h-^ D 2 j 60 1-v

q(x, y).

(16)

u = cosz1D1 u0

v v0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

x1 z 1 sin z 1D 2D

d„6 0:

sin z 1D

D та0 + x2í ^^-z 1cosz 1D |80;(9)

Ц1

" aZ1

sin z 1D D

í D 2 u0

V v0

-дата 0 - x 1z 1cos z 1 Dдae 0

(10)

Далее весь вопрос заключается в решении системы уравнений (12), (16), которую можно построить полуобратным методом. Для этого представим искомое решение в виде суммы двух независимых решений - потенциального и вихревого. Легко показать, что вихревое решение не разрешает проблему устойчивости рассматриваемой системы «плита-слой», а потому остановимся только на потенциальном решении. Пусть

и 0 = ХП, V0 = 11Э 2П, та 0 = 12Б2П, (17)

0

1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где L1 и L2 - некоторые дифференциальные операторы; П - функция напряжений.

Подставляя (17) и (12), приходим к уравнению

(вбШ^ D + хгкг D2 СОБ^ D) -

Dsinhj D - х1h1D2 coshj D)l2

П = 0,

которое удовлетворим тождественно при очевидном выборе операторов:

Li = БШЬ; В + (-1) 1х1к1 собИ1 D .

Искомые функции принимают вид

sinh1 D

D

- x1h1 cosh1D

П;

тап =

sinh1 D

D

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+ xJhJ cosh1 D ID2П ;

)0 = 2Dsinh1 DП.

(18)

(19)

Выражения для изгиба плиты находим из выражения (13):

та = (х1 +1)sin2 h1 Dn .

(20)

Дифференциальное уравнение для функции напряжений П получим после подстановки (18)-(20) в (16):

2DD4 sin2 h1DH + 2^x1h1D21 1 - 0,1h2 —-D2 |х

1 +

sin2h1D 2h1D

Л

П =

^ - 12 - v

1 - v

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Л

60 1 - v

D

q(x, y), (21)

где

q( x, y) = X( xj + 1) х х[ф^ sin2 h1 Ddj2П + Фy sin2 h1 Dd 2П -

-2Ф^ sin2 hjDd jd 2П]. (22)

а бигармоническая функция Ф(х,у) - решение задачи о плоском напряженно-деформированном состоянии плиты [1].

В качестве примера рассмотрим случай равномерного сжатия плиты. Получаем

Ф = Ф = -

XX уу

Р

Ф У = 0 .

г ^

Уравнения (21) и выражение (22) принимают вид

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2DD' sin2 hJDn + 2цjxJhJD2 x ( h2 2-v - Л( sin2h nЛ

1 --

10 1-v

D2

+X(1 + xJ)

( u2 1-

h_ 12 - v 60 1 - v

1 +

D2

sin2hJD 2hJ D

П +

D2 sin2 hJDn = 0; (23)

P

q(x,y) = -X(1 + xD2 sin2 h1DH . h

Для решения широкого круга инженерных задач, связанных с проблемой потери устойчивости прямоугольных плит различного назначения, часто применяют метод, по которому задается некоторая форма прогиба плиты. Для шарнирно опертых плит такая форма принимается в виде

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

та = a sin ax sin Py ,

а функция напряжений П определяется из дифференциального уравнения (20):

(1 + x1)sin2 h1 DH = a sin ax sin Py .

Частное решение этого уравнения имеет вид [2]

a

П = -

(1 + xJ)sin2 ihJY

sin ax sin ßy,

(24)

где у2 = а2 + в2.

После подстановки (24) в (23) получаем уравнение для X:

2Dy 2 - ^ixAfi + 0,1h 2у 2 2 - v

sin ihjy

-X P h

\ h2 12 - v 2 Л 1 + — "2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

60 1 - v

1 - v Y

( sin 2ih, у Л 1 + 1

2ih1Y

= 0.

Наименьшее значение X характеризует величину нагрузки на контуре Г, при которой фиксируется потеря устойчивости.

Прикладные теории

1. Если плита Э. Рейснера оперта по контуру Г, то уравнения форм равновесия можно получить при ц1 ^ 0 и х1 ^ 0. Из (4) и (16) получаем

(

DD 4 та = X

1-

h2 12 - v_D 2Л

60 1 - V

Х(та ххФуу + таууФхх - 2та хуФху ).

Силовые характеристики определяем по формулам (5) - (8). Отбрасывая член с к2, получаем результаты классической теории.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2. Если в разложениях диффеенциальных операторов для слоя удерживать члены с к12 , то получим

модель основания Винклера. В случае равномерного сжатия плиты уравнения форм равновесия выглядят следующим образом:

ВВ 4 П + 2^П + ^Х^В 2 П = 0; (25) к1 2 к

та = (1 + х1) П .

u

v

В качестве примера рассмотрим выпучивание плиты размерами а х Ь. Предположим, что прогиб плиты и функция напряжений выражаются в виде

. . . nx . ny та = (1 + x1)A sin—sin——,

a b

„ . . nx . ny П = A sin—sin——.

(26)

D

2 4 Г

+ 2i

■1+xi X P 2 h

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

nl +fn

a Ib

= 0.

(27)

JJü zdxdy - 2

J Qxdy + J Qydx

= 0.

(28)

Так как перерезывающие силы Qx \ Г , Г контактное напряжение а Аг=ъ/2 имеют вид

Qg g=о

= 2D П b

nl2 ( п

a I+I ь

. . nx A sin—:

Подставляя (26) в (25), определим параметр 1 для рассматриваемого выпучивания:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

I т Ц1 x1 . . nx . ny ^^

о zz =h/2 =-Ll^h±A sin—sin b, (29)

h1 a b

то, после интегрирования (28), получаем соотношение 1 + 1 _ 1 ¡2ц 1x1

a2 b2 п2

h1D

Из (27) и (29) можно получить более простую формулу:

X =

8ц 1 x1

Соотношения между размерами плиты установим с помощью условия равновесия

h1n2

P a ¿ + b ~h a 2b2

2 Y

Таким образом, теория Э. Рейснера в нулевом приближении приводит к результатам классической теории. При этом выполняются все краевые условия равновесия плиты. В этом достоинство рассматриваемого метода.

Литература

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Qx

= 2D П

п12 ( п

a I +1ь

,, • ny A sin—;

1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М., 1963.

2. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М., 1955.

Ростовский государственный строительный университет

18 марта 2005 г.

и