CC BY
18
В результате образовавшаяся серная кислота вступает в реакцию с находящейся в смеси алюминиевой пудрой
Н20
Н28 04 + А1 ^ А12 (804)3 + Н2Т + Оккал Н20
I
А1(0Н)3
Образовавшиеся соединения А12(804)3, А1(0Н)3, а также полученные в результате аналогичного взаимодействия алюминиевой пудры с ортофосфорной кислотой А1(Н2Р04)3 обеспечивают быстрый набор прочности.
Снижение плотности полученных изделий происходит за счет выделения водорода и применения вспученного вермикулита фракции 0-5 мм, который отличается по сравнению с керамзитом меньшей в 2-3 раза плотностью при сохранении высоких огнеупорных свойств.
При указанных соотношениях компонентов, наличии в сернокислом шламе оксидов Са, Ре, Сг, М^ и 81, активно взаимодействующих с ортофосфорной кислотой и повышающих прочность и огнеупорность, а также вспученного вермикулита подобранные составы легких огнеупорных бетонов позволяют активно утилизировать отходы производств алюминия и стальных труб с одновременной экономией энергетических ресурсов в связи с отсутствием затрат на термическую обработку бетона.
Сырьевую смесь готовят в следующей последовательности. К сернокислому шламу добавляют орто-фосфорную кислоту 60 %-й концентрации в количестве 30 % от общего объема и полученную смесь перемешивают в течение 1-2 мин. Алюминиевую пудру, глиноземистый шлак и вспученный вермикулит фракции 0-5 мм перемешивают до однородной массы. Подготовленные смеси сернокислого шлама и орто-фосфорной кислоты, а также алюминиевой пудры, глиноземистого шлака и вспученного вермикулита соединяют и затворяют оставшимся количеством (70 %) ортофосфорной кислоты. Полученную смесь перемешивают до начала тепловыделения и формуют в изделие.
Были проведены экспериментальные исследования подобранных составов легкого огнеупорного бетона и определены его основные физико-механические свойства в сравнении с известным составом бетона [1]. Параметры трещиностойкости определялись по стандартной методике с получением силового критерия механики разрушения - критического коэффициента интенсивности напряжений К1с [2].
Подобранные составы легкого огнеупорного бетона при указанных соотношениях входящих в них компонентов по сравнению с известным составом [1] при одинаковом времени отверждения обеспечивают повышение прочности на 60-68,7 % при уменьшении плотности на 6-13 % (табл. 1).
Таблица 1
Физико-механические свойства разработанных составов легкого огнеупорного бетона в сравнении с известным составом [1
Свойства Известный состав [1] Состав
1 2 3
Время отверждения, мин 25-30 28 30 30
Прочность при сжатии, МПа 1,38-1,95 2,2 2,7 3,2
Средняя плотность, г/см3 0,61-0,68 0,53 0,58 0,64
Критический коэффициент интенсивности напряжений, МПа-м0'5 0,49 0,54 0,6 0,63
Огнеупорность, ° С 1500 1580 1580 1580
Таким образом, использование предлагаемых составов бетона позволит повысить огнеупорные свойства при увеличении прочности и трещиностойкости, снижении плотности, улучшить экологическую обстановку и снизить стоимость за счет использования неутилизированных отходов производства и отсутствия затрат на термическую обработку при формовании изделий.
Литература
1. Пат. 2102357 РФ С 04 В 28 / 34. Сырьевая смесь для производства легкого огнеупорного бетона / А.Ф. Жарков, Ю.С. Агеев, В.А. Перфилов // БИ. 1998. № 2.
2. ГОСТ 29167 - 91. Бетоны. Методы определения характеристик трещиностойкости (вязкости разрушения) при статическом нагружении.
Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет
9 сентября 2004 г.
УДК 539.3
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛИТЫ Э. РЕЙСНЕРА НА УПРУГОМ НЕВИНКЛЕРОВОМ ОСНОВАНИИ
© 2005 г. В.И. Шумейко
Рассмотрим плиту, имеющую форму ^ и ограниченную цилиндрическим контуром Г, лежащую на упругом трехмерном слое: х,у) < ; 0 < г 1 < Нх. Пусть упругие постоянные слоя Еь уь толщина плиты
Н, ее упругие постоянные Е, V, Б = Н3 Е/12(1-V 2). Торцевые поверхности слоя гладкие, связи удерживающие. Предположим, что плита находится в плоском напряженно-деформированном состоянии от
действия на контур Г самоуравновешенной нагрузки 1Р„(6), ХРх(6), где X - некоторый числовой параметр, характеризующий величину нагрузки при потере устойчивости плиты. Из перечисленных условий следует, что
а и| г = ХР п (S),
TаZ Z=±h/2 = 0,
т ns\ Г = -ХР т (S),
аZ Z=-h/2= 0 ;
(1)
Z 1 Z 1 =0;h1 = 0 та 1 Z 1 =0 = 0 (а = ^ (2)
та = та
1 Z1 =h1
' Z Z=h/2
= а
Z i Z i = hi
(3)
Пусть по какой-то причине плита несколько изогнулась. Рассмотрим условия бифуркации форм равновесия сжатой плиты по Эйлеру.
Если плита нагружена системой сил (1), то при ее изгибе сжимающие силы дают составляющую в том же направлении, что и поперечная нагрузка:
д = (х,у) = Х(шхФуу + та УУФХХ -2та Ф ), (4)
где Ф(х, у) - функция продольных усилий в плите, определяемая с помощью решения бигармонической проблемы [1]. Соотношения для силовых и геометрических характеристик в плите Э. Рейснера имеют вид
М а = -Б(Э 2 + уЭр)та + 0,1й2 Эа 0 а + 0,1А2 V /(1 - V) х
х(Э jQx + д 2 Qy) -
h2 v
12(1 - v)
q( x, y) (а = x, y)
Mxy = -D(1 - v)д 1д 2та + 0,1h 2(д 2ßx + д 1ßy);
. (5)
(6)
даМ а - д ß M aß= Q„, (а = x, y), (ß = x, y) (7)
(0,1h2D2 - 1)Q„ + 0,1h2да(д 1ßx + д2Qy) =
1-v
2 h/ = DaD 2та + -
12 1-v
да q( x, y) (а = x, y). (8)
Напряженно-деформированное состояние упругого трехмерного слоя описывается решением однородных уравнений теории упругости в перемещениях [2]:
J_ ц 1
—т Z1 = 2cos z 1D^ 0 +
+ [xj z j D sin z 1D + (xj - 1)cos z 1D ]9 0. (11)
Здесь z1 e [0;A1 ], u0(x,y), v0(x,y), та0(x,y),
6 0 =Э 1u 0 +Э 2v 0 +та 0 - основные искомые функции. Выражения (9), (10) тождественно удовлетворяют условиям (2).
Остальные условия на торцах плиты и слоя позволяют решить задачу о бифуркации форм равновесия системы и определить значения параметра X. С этой целью подставим (9) - (11) в (2) и (3). Получаем
sinhj D D 2 DD
-дата0 + x1h1 cosh1 D да90 = 0; (12)
та= В) тао + 2 I _Б--Б I0о; (13)
Э :бх +д 2 Яу + д( х, У) = Ц 1 х х|х 1И1ББ00 + (х 1 - 1)собИ1 Б00 + 2собИ1 Бта0
(14)
Таким образом, общее решение задачи о напряженно-деформированном состоянии системы «плита-слой» сводится к решению системы уравнений (8), (12)-(14). Преобразуем ее. Из (8) и (14) имеем
DD 4та =
- Ü Hü D-2j
60 1 - v
q(x,y)11 -0,1h2 2 jx
x{2cosh1 Dта 0 +[x1h1Dsinh1 D + (x1 -1)cosh1 D]8 0}.
(15)
Подстановка (13) в (15) приводит к уравнению
DD3sinh1 D + 2ц11 1 -0,1hD2 |cosh1 D
та 0 +
+ \Dx- Í - h1cosh1 D 1 + ^Í1 - 0,1h 2^ D 2 lx
x1h1D sinh1 D + (x1 - 1)cosh1 D
1 - h-^ D 2 j 60 1-v
q(x, y).
(16)
u = cosz1D1 u0
v v0
x1 z 1 sin z 1D 2D
d„6 0:
sin z 1D
D та0 + x2í ^^-z 1cosz 1D |80;(9)
Ц1
" aZ1
sin z 1D D
í D 2 u0
V v0
-дата 0 - x 1z 1cos z 1 Dдae 0
(10)
Далее весь вопрос заключается в решении системы уравнений (12), (16), которую можно построить полуобратным методом. Для этого представим искомое решение в виде суммы двух независимых решений - потенциального и вихревого. Легко показать, что вихревое решение не разрешает проблему устойчивости рассматриваемой системы «плита-слой», а потому остановимся только на потенциальном решении. Пусть
и 0 = ХП, V0 = 11Э 2П, та 0 = 12Б2П, (17)
0
1
где L1 и L2 - некоторые дифференциальные операторы; П - функция напряжений.
Подставляя (17) и (12), приходим к уравнению
(вбШ^ D + хгкг D2 СОБ^ D) -
Dsinhj D - х1h1D2 coshj D)l2
П = 0,
которое удовлетворим тождественно при очевидном выборе операторов:
Li = БШЬ; В + (-1) 1х1к1 собИ1 D .
Искомые функции принимают вид
sinh1 D
D
- x1h1 cosh1D
П;
тап =
sinh1 D
D
+ xJhJ cosh1 D ID2П ;
)0 = 2Dsinh1 DП.
(18)
(19)
Выражения для изгиба плиты находим из выражения (13):
та = (х1 +1)sin2 h1 Dn .
(20)
Дифференциальное уравнение для функции напряжений П получим после подстановки (18)-(20) в (16):
2DD4 sin2 h1DH + 2^x1h1D21 1 - 0,1h2 —-D2 |х
1 +
sin2h1D 2h1D
Л
П =
^ - 12 - v
1 - v
Л
60 1 - v
D
q(x, y), (21)
где
q( x, y) = X( xj + 1) х х[ф^ sin2 h1 Ddj2П + Фy sin2 h1 Dd 2П -
-2Ф^ sin2 hjDd jd 2П]. (22)
а бигармоническая функция Ф(х,у) - решение задачи о плоском напряженно-деформированном состоянии плиты [1].
В качестве примера рассмотрим случай равномерного сжатия плиты. Получаем
Ф = Ф = -
XX уу
Р
Ф У = 0 .
г ^
Уравнения (21) и выражение (22) принимают вид
2DD' sin2 hJDn + 2цjxJhJD2 x ( h2 2-v - Л( sin2h nЛ
1 --
10 1-v
D2
+X(1 + xJ)
( u2 1-
h_ 12 - v 60 1 - v
1 +
D2
sin2hJD 2hJ D
П +
D2 sin2 hJDn = 0; (23)
P
q(x,y) = -X(1 + xD2 sin2 h1DH . h
Для решения широкого круга инженерных задач, связанных с проблемой потери устойчивости прямоугольных плит различного назначения, часто применяют метод, по которому задается некоторая форма прогиба плиты. Для шарнирно опертых плит такая форма принимается в виде
та = a sin ax sin Py ,
а функция напряжений П определяется из дифференциального уравнения (20):
(1 + x1)sin2 h1 DH = a sin ax sin Py .
Частное решение этого уравнения имеет вид [2]
a
П = -
(1 + xJ)sin2 ihJY
sin ax sin ßy,
(24)
где у2 = а2 + в2.
После подстановки (24) в (23) получаем уравнение для X:
2Dy 2 - ^ixAfi + 0,1h 2у 2 2 - v
sin ihjy
-X P h
\ h2 12 - v 2 Л 1 + — "2
60 1 - v
1 - v Y
( sin 2ih, у Л 1 + 1
2ih1Y
= 0.
Наименьшее значение X характеризует величину нагрузки на контуре Г, при которой фиксируется потеря устойчивости.
Прикладные теории
1. Если плита Э. Рейснера оперта по контуру Г, то уравнения форм равновесия можно получить при ц1 ^ 0 и х1 ^ 0. Из (4) и (16) получаем
(
DD 4 та = X
1-
h2 12 - v_D 2Л
60 1 - V
Х(та ххФуу + таууФхх - 2та хуФху ).
Силовые характеристики определяем по формулам (5) - (8). Отбрасывая член с к2, получаем результаты классической теории.
2. Если в разложениях диффеенциальных операторов для слоя удерживать члены с к12 , то получим
модель основания Винклера. В случае равномерного сжатия плиты уравнения форм равновесия выглядят следующим образом:
ВВ 4 П + 2^П + ^Х^В 2 П = 0; (25) к1 2 к
та = (1 + х1) П .
u
v
В качестве примера рассмотрим выпучивание плиты размерами а х Ь. Предположим, что прогиб плиты и функция напряжений выражаются в виде
. . . nx . ny та = (1 + x1)A sin—sin——,
a b
„ . . nx . ny П = A sin—sin——.
(26)
D
2 4 Г
+ 2i
■1+xi X P 2 h
nl +fn
a Ib
= 0.
(27)
JJü zdxdy - 2
J Qxdy + J Qydx
= 0.
(28)
Так как перерезывающие силы Qx \ Г , Г контактное напряжение а Аг=ъ/2 имеют вид
Qg g=о
= 2D П b
nl2 ( п
a I+I ь
. . nx A sin—:
Подставляя (26) в (25), определим параметр 1 для рассматриваемого выпучивания:
I т Ц1 x1 . . nx . ny ^^
о zz =h/2 =-Ll^h±A sin—sin b, (29)
h1 a b
то, после интегрирования (28), получаем соотношение 1 + 1 _ 1 ¡2ц 1x1
a2 b2 п2
h1D
Из (27) и (29) можно получить более простую формулу:
X =
8ц 1 x1
Соотношения между размерами плиты установим с помощью условия равновесия
h1n2
P a ¿ + b ~h a 2b2
2 Y
Таким образом, теория Э. Рейснера в нулевом приближении приводит к результатам классической теории. При этом выполняются все краевые условия равновесия плиты. В этом достоинство рассматриваемого метода.
Литература
Qx
= 2D П
п12 ( п
a I +1ь
,, • ny A sin—;
1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М., 1963.
2. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М., 1955.
Ростовский государственный строительный университет
18 марта 2005 г.
и
