Дифракция симметричной волны на цилиндрическом препятствии Текст научной статьи по специальности «Физика»

Приложения дифференциальных уравнений

УДК 532.5.013

Ю. Э. Сеницкий, Э. Я. Еленицкий, О. В. Дидковский, О. В. Худяков

ДИФРАКЦИЯ СИММЕТРИЧНОЙ ВОЛНЫ НА ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ПРЕПЯТСТВИИ

На основе линейных соотношений гидродинамики приводится новое аналитическое решение начально-краевой задачи о механическом взаимодействии жесткого длинного цилиндра с нестационарной симметричной волной давления. В отличие от известных подходов применен метод конечных интегральных преобразований. Подробно рассматривается дифракция симметричной плоской волны на круговом цилиндре.

При проектировании и строительстве резервуарных парков (терминалов), возводимых в береговой океанической зоне, одну из наиболее опасных аварийных ситуаций представляет волна цунами. Обеспечение безопасной эксплуатации резервуаров (их общей устойчивости) в подобных условиях связано с необходимостью определения суммарного давления, передаваемого на конструкцию в прямой (падающей) к отраженной от препятствия (цилиндрической оболочки) волн. Таким образом, исследование дифракции упругой волны на цилиндрическом препятствии, и связанная с этим задача определения соответствующих гидродинамических нагрузок представляет большой практический интерес. Краевая задача о дифракции волн на сферическом и цилиндрическом препятствиях в линейном приближении рассматривалась в работах [1-5]. При этом авторы пользовались интегральным преобразованием Лапласа по времени г со сложной, не всегда выполняемой, операцией обращения при восстановлении оригинала, связанной с контурным интегрированием в комплексной области. Это затрудняет практическое использование полученных, как правило на ограниченном временном интервале, результатов.

В настоящем исследовании для этой цели применен структурный алгоритм метода конечных интегральных преобразований (КИП) с определением ядровой функции, предусматриваемой процедурой решения задачи [6, 7]. Существенным представляется и то, что в ходе решения учитывается диссипация энергии в процессе отражения волны от цилиндрического препятствия Рассматривается жесткая (недеформируемая) длинная -да < г <да круговая цилиндрическая оболочка радиусом Я, помещенная в безграничную жидкость с механическими характеристиками р, с (р — ее плотность, с — скорость звука). Введем цилиндрическую систему координат г, в, г, и будем считать, что в жидкости распространяется симметричная относительно плоскостей 7 = 0, в = 0 волна давления. В исходной математической модели полагаем жидкость идеальной, сжимаемой, а её движение потенциальным (безвихревым), изотермическим,

что справедливо при давлениях в жидкости не более 100 МПа [5]. Рассматривается внешняя

для цилиндрической оболочки начально-краевая задача гидродинамики в области

р Зр]

- —<в<—к г>0.

2 2 \

Как известно [5], потенциал скоростей <р(г ,в , г) и дифракционное давление р(г,в, г) жидкости складываются из соответствующего потенциала р1 и давления р1 в падающей на цилиндр и отраженной от него р2 и р2 волнах, т.е.

р(г, в, г ) = р1 (г, в, г) + Р2 (г, в, г), (1)

Р(г, в, г ) = р1 (г, в, г)+ р2 (г, в, г). (2)

При этом р1 (г, в, г) и р1 (г, в, г) считаются известными, а р2 (г, в, г) и р2 (г, в, г) определяются в результате решения соответствующей начально-краевой задачи. Следует отметить, что Р1 и Р2 должны удовлетворять волновому уравнению, т.е.

О:\г > Я,

2 / ^ \ -2 52р,- (г, в, г)

V 2р, (г, в, г)- с ——--------- = 0.

где

^2 52

V2 = ^

5г2

5г

1 5 1 52

г 5г г2 5в2

а Р2 — следующим граничным и начальным условиям:

при г = Я :

: 5Р2

г=Я

5Р1

5г

= А (в, г);

г=Я

при г = Я0>>Я : Р2(г,в,г)|г=Я0 = в(вг)® 0;

Р2(г, в, г | в=-р = Р2(г, в, г | в=р = °;

1в=~ ^2У’~’ VI в=-

22

5Р2

5в

5Р2

в=-

5в в=Р

=0;

при г = 0: р2 (г, в, 0) = 0, ^рр-

= 0.

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Здесь выражения (5), (6) представляют соответственно условия равенства скоростей на поверхности цилиндрической оболочки (преграды) и затухания (излучения). Соотношения (7) — условия периодичности для круговой области. При этом имеется в виду симметричный характер волнового воздействия, т.е. четность функций Р2 (г, в, г) = Р2 (г,-в, г) относительно в= 0. Равенства (8) являются нулевыми начальными условиями.

Потенциал скоростей связан с функцией давления линеаризованной зависимостью Коши — Лагранжа [3, 5]

< г, \ 5р2 (г, в, г)

Р2(г,в,г) = -р ^2\ ’ 7,

5г

(9)

а вектор скорости V 2 определяется соотношением:

V2 (г, 0, г) = gradф2 (г, 0, г). (10)

Равенства (3)-(8) представляют математическую формулировку рассматриваемой начально-краевой задачи. Приведем ее к стандартной форме [8]. Учитывая, что задача (3)-(8) линейная, вводим для ф2 (г, 0, г) такое представление:

р2 (г, в, г) = gl (г) • А (в, г) + я 2 (г) • в (в, г) + Ф( г ,в, г), (11)

где я1 (г), я2 (г) — дважды непрерывно-дифференцируемые функции в интервале г е [Я,Я0 ], а А(в, г), в(в, г), имея в виду (5), (7), — удовлетворяют условиям периодичности:

А(в,г)в=-р = А(в,г)в=р , в(в,г)в=-р = в(в,г)в=р .

2 2 2 2 Если теперь подставить выражение (11) в дифференциальное уравнение (3) и равенства (5)-(8), то при выполнении соотношений

я!(Я) = 1 Яг(Я) = 0 при г = Я ,

Я1 (я0)= 0, Я2(я0) =1 при г = Я0, (12)

получаем следующую начально-краевую задачу для функции Ф(г,в, г) в стандартной форме (с

однородными граничными условиями):

52 Ф

1 5Ф 1 52 Ф 1 52 Ф

5г2 г 5г г2 5в2

Я 5Ф при г = Я----------

5г

с2 5г2

= F (г ,в, г);

= 0,

при г = Я0 Ф((0,в,г) = 0;

5Ф

5в

Ф| г, -р , г 1 = ф! г,р , г | = 0.

в=-Р

2

5Ф

5в

(13)

(14)

(15)

в=-

+

71

2

2

при г = 0 Ф(г,в,0) = Ф0 (г,в),

5Ф

5г

= Ф0 (г,в).

Следует отметить, что при удовлетворении функций я,-(г) (/ = 1,2) уравнениям

я"(г)+г^ (г)=0 ,=1,2,

Р (г,в,г), Ф0 (г,0), Ф (г,0) — определяются такими равенствами:

р(г, в, г)=с 2 [ (г)А(в, г) + я2 (г)^(в, г)]- г 2

Я1(г)

52 А(в, г)

5вг

Я 2 (г )

52 в(в, г)

5в2

Ф0 (г,в) = -[(г)А (в0) + (г)в (в0)] ,

Ф0 (г,в) = -[& (г)А (в,г)г=0 + (г)в (в,г^0 _

Штрих и точка обозначают соответственно дифференцирование по г и г.

Решение уравнения (17) при граничных условиях (12) записывается в виде

(17)

(18) (19)

Я1(г ) = Я 1п

Я0

Я 2 (г ) = 1.

(20)

Замкнутое решение начально-краевой задачи (13)—(16) строится путем применения кратных конечных интегральных преобразований (КИП). Имея в виду четность Ф(г,в, г) в интерва-

ле

р р 2 , 2 ременной в :

сначала вводится косинус-преобразование Фурье с конечными пределами по пе-

Ф

(г ,в, г )= | ф(г ,в, г )оо8 пШв,

р

2

¥

Ф(г, в, г) = ^ О-1Ф с (г, п, г )оо8 п в

(21)

(22)

п=0

где в формуле обращения (22)

Оп =•

р, при п = 0,

1^2, при п Ф 0.

Применяя теперь косинус-преобразование Фурье (21) к дифференциальному уравнению

(13), граничным (14) и начальным (16) условиям с учетом равенств (15), получаем:

52 Ф с (г, п, г) 1 5Ф с (г, п, г)

2

+ — г

при г = Я

5г

5Фс

----Т Ф с(г, n, г )-

1 5 2Ф с (г, п, г)

5г

при г = 0 Фс (г, п,0) = Ф0с (г, п)

г с 5г

= 0, при г = Я0 Фс ((,,п,г) = 0;

5Фс (г, п, г)

= Р (г, п, г),

5г

= <Ф0с (г, п).

(23)

(24)

(25)

Здесь, по аналогии с (21), Рс, Ф , <Ф соответствующие косинус - трансформанты Фурье функ-

ций

Р(г, в, г), Ф0 (г, в), Ф0 (г, в), т.е.

Р

( п,г) |,в, г )е08 пввв , Ф 0с (г, п )= | Ф 0 (г, 0)ео8 п0^0

г

,(r, n) = I<bо (r, n)cos nвdв .

(2б)

Вводим теперь КИП по пространственной переменной г с неизвестным пока ядром 0(Я,к, г) и весом д(г) [6]:

Ф

cG

•“О

in, n, t) = I q(r)Фс (r, n, t)G(Am, r)dr ,

Фс (r, n, t) = 2ФcG ( , n t) G(i,n , r)||G„

i=1

где \\Gin\\ — норма ядра преобразования, т.е.

G„

“О

I q(r )g 2 (i,„, r )dr

(27)

(28)

(29)

д 2Ф с дФ с

r)= Vr при —^ и —2-

r я„2 я„2

а весовая функция q(r) определяется по коэффициентам A(r ) = 1, B(r )= у при

r дгА дг

уравнения (2З) одной квадратурой [б]. Имеем

q(r) = A-1 (r)exp IB(r)A-1 (r)dr = exp Ir~ldr = r . (ЗО)

Применяя конечное интегральное преобразование (27), (ЗО) к дифференциальному уравнению (2З), начальным условиям (25) и выполняя интегрирование по частям, находим

дФ

r -G - гФrG'

дг

R0 R0 ( л 2 ^

1 n

G" + -Gf-^- G

v r r 0

V ' 0

iV0

+ I r Ф с

R R

dr -

1 d

при t = О —

с 2 dt2

Ro

2 ro Ro

21гФcGdr = IrFcGdr, (31)

I гФ cGdr = I r Ф 0cGdr, — I гФ cGdr = I r Ф 0cGdr.

Используем два условия структурного алгоритма метода КИП [б]:

дФ

r c-G - r ФcG'

дг

=О,

R0 f і 2 ^

1n G" + A G’-^- G

. r r ,

R v 0

dr = -iin I гФcGdr .

(З2)

(ЗЗ)

(З4)

Здесь (и выше) 1,п — положительные параметры, образующие счетное множество (, е М, М -множество натуральных чисел).

Принимая во внимание соотношения (33), (34) и обозначение трансформанты (27), дифференциальное уравнение (31) и начальные условия (32) можно представить в следующем виде:

(35)

при г = 0 —

где

Ф(G (Л,, nt) + WФcG (Лп , n, t) = -с'FcG (Ліп , n, t), i Є R , ФcG (Ліп , n,0) = ФOcG (Лп , n), ФcG (Ліп , n, t)|t=0 = ФcG (Ліп , n) ,

Ro

• ( , n, t) = I rFc (r, n, t)G(im , r )r ,

(Зб)

Fc

R

Ro

{Ф OcG (n , n), Ф ocG (n , n)} = I r {Ф Ос (r, n ), Ф Ос (Г, n) }G ( in , Г ) d' , (З7)

а — круговые частоты колебаний жидкости в отраженной волне:

2З

2

R

2

R

R

R

О

R

R

R

Wi

= InC .

(38)

Известно [9], что диссипативные силы оказывают несущественное влияние на формы колебаний G(lin, n)cos пв получаемых ниже спектральных разложений, поэтому в соответствии с методом квазинормальных координат, их можно вводить в математическую модель (35), (36) после отделения пространственных переменных.

Если обозначить через g n безразмерный коэффициент потерь для каждой моды колебаний in, то диссипативный член в уравнении (35), пропорциональный производной по «t» от трансформанты потенциала скоростей Ф cG в предположении его независимости от частоты ajn, записывается следующим образом:

TcG (Лп , n t )= Гп

wn Ф cG (lin , n, t)-

(39)

Имея в виду (39), обобщенное уравнение (35) для трансформанты КИП (27) с учетом диссипации принимает вид

Фсв (Л, ,п1) + гп ® П Фсв (\,п,I) + т)пЪса (Лш,п,I) = -с2^ (Лш,п,I), I е N . (40)

Разыскивая частное решение уравнения (40) методом вариации произвольных постоянных, его общий интеграл с учетом начальных условий (36) представляется таким выражением:

Г ( а ^

ФcG (п, nt)=

!Ф 0

О .( , п) cos PJ + ff sin Pint

V Pin

Ф 0

Sfin , П) Sin ft - ff j FcG (in , n te°"Z Sin Pin (t - T)'dt

Pin Pin 0

(41)

Здесь On =

g. W

> in in

fn = Wn

1

( g V

1 — in

V 4 0

В случае отсутствия диссипации, т.е. полагая уп = 0, ап = 0, = со1

следует общее решение уравнения (35). Имеем

Ф 0

из равенства (41)

ФсО (( , nt) = Ф0cG (n , n) C0S W + -

sin w, -

win

- — jFcG (in , T) sin Wn (t -t)dT. rn

(411)

Из соотношений (33), (34) следует однородная краевая задача для ядра в(1п, г) КИП (27), (28). Действительно, операционное свойство (34) позволяет сформулировать обыкновенное дифференциальное уравнение:

в"(Лш,г)+ г-1в'(Л,„,г)+(л2 -п2г-2)в(л,п,г) = 0, (42)

а из равенства (33), представляющего билинейную форму на концах интервала [Я,Я0 ], при наличии (24), следуют граничные условия

при г = я в(%п,г)| =л = 0, при г = Ro, в(^,Я0) = 0. (43)

Заменой независимой переменой х п = Лпг уравнение (42) сводится к дифференциальному уравнению Бесселя. Его общее решение записывается в виде

в(1п , г) = С1пГп (Л,п г) + С2пТп (Л,п г) , (44)

где Гп (Л,пГ), ¥ (Л,пГ) — цилиндрические функции 1-го и 11-го рода п-го порядка; С1п, С2п — произвольные постоянные интегрирования.

В результате подстановки выражения (44) в граничные условия (43), формируется однородная алгебраическая система уравнений относительно С1п, С2п . Имеем:

С/п(ЛпЯ) + С2пу;(лтя) = 0, 1

С^п (Я) + с2пгп (я) = 0. ]

Разыскивая нетривиальные решения последней, приравниваем главный детерминант (45) нулю. В результате получаем трансцендентное уравнение для определения собственных значений однородной краевой задачи (42), (43):

Гп (хтя)1п (4А)-фт, я)р ЛА ) = 0, (46)

(45)

или воспользовавшись рекуррентными формулами дифференцирования функций Бесселя, окончательно имеем

Гп-і (Лтя)- ^п («я)

?п ((А )-

Уп-і (л «я)- (л «я)

Л (4А )= о. (46!)

Если теперь выразить из второго уравнения системы (45) С2п и затем поставить полученное равенство в соотношение (44), то находим выражение для в( пг) с точностью до постоянной С1п . Принимая, без ограничения общности рассуждений С1п = Уп (Лг„Я0), определяем окончательно ядро КИП (27), (28):

в(Лтг) = Уп (Л1ПЯ0)[ (Л,„г) - [ ЛЯ )¥„ (Л,„г). (47)

Располагая равенством (47) и пользуясь методикой вычисления соответствующих квадратур [10], определяется норма ядра преобразования (29). В итоге имеем.

ах =

я , ї

= { гО2 (1 м, г )Сг = - ї У« (мЯо)

Г2^п-г (п г)- 2—Л-1 (л,„ грп (Л,„,г)+ г2^(Л,„ г)

Лгп

+Л2 (А)

гУ-! (п г)- 2 —Уп-! (Лп г)п (Лп г) + г2Уп2 (п г)

- 2 Зп (А )Уп (пЯо )х

(48)

2Л-! (Лп г)Уп-1 (Лп г) - пг [п (п г[п-1 [п г) + ■7п (Лп г)Уп-1 (Лп г)] + г -]п (п г)Уп ]п Г)

В результате последовательного применения к выражению (41) формул обращения обобщенного КИП (28) и косинус-преобразования Фурье (22), окончательно получаем функцию ф(г,в, г) в виде следующего спектрального разложения:

¥ ¥

Ф(г,в, () = -1 008^ со (п , п, (рп (п Я0 [п (п г)-Гп (п Я0 К (п Г)] \\вт\\ Л (49)

п=1 г=1

которое и представляет общее решение начально-краевой задачи (13)-(16).

Воспользовавшись теперь выражением (11), а также равенствами (6), (20) и (49), определяем потенциал скоростей жидкости в отраженной от цилиндрического препятствия (оболочки) волне:

¥ ¥

^2 (г, 0, () = ЯA(в, ( )1п Я~ + Х П-1 008 вХФ Св (п , n, (НУп (п , Я0 [п ((п , Г) -

Я0 п=0 2=1

- Гп (Лп, Яс К (Лп, г)]||вм|| ~2. (50)

Здесь, в соответствии с (41), обозначениями трансформант (37), (26) и равенствами (18) функция Фсв Л п, п, г) определяется таким соотношением:

(

Р

2 яо

СОЯ Ргп1 + -Ь 8ІП Ргп1 и | гфо ( в)Р(гп , г)сО* пв ёЫв +

п

+ Р-И1 8ІП Рг»1 і і Л<Ф о (г , 0)С (1 гп , г )соя и9 СгС 0- с2р,-и1Я Щ г Ш

_Р я 2

о -Р я 2

с-2 А (9, т)-

- г

-2 52л(в,т)

дв2

в(Лт, г )соя пвеа,пТ яіп Ріп ( -Х)йг Св Сх

(5!)

где а(Лгпг) и \\0гп||2вычисляются по выражениям (47), (48); Лгп - корни трансцендентного уравнения (46і); А(в,Ї) представляет производную (5) потенциала (рі в падающей волне, т.е. нормальную к цилиндрической поверхности компоненту вектора ее скорости; фо (г,в), Фо (г,в)определяются равенствами (19), (2о) и (6).

Путем дифференцирования равенства (5о), (51) по формуле (9), получается общее выражение давления р2 (г, в, Ї) в отраженной от препятствия волне:

я

я

P2( в, t)=-p d^ [i(r )А(в, t)+ф(r, в, t)]=pj ]А(в, t )ln ~б~ + S W-1 cos nвx

dt I R0 n=0

2 Ro

ff

-P R

2

Ф О ( + Д2П )sin p,j - Ф О M)

(

a.

Y

cos bnt - p Sln bnt

x /G(lmr) cos nвdrdв + с2 IIIF (в)

cos

Pm (t -t)+ P sin Pm (t - t)

n

rG(l,nr d

x cos nвdrdвdt

[ [ [J, (lMr)-JП (imRo )Y, (lMr)]||G„

(52)

в котором Р (г,0 , г) определяется по формуле (18).

В качестве примера рассматривается дифракция на круговом цилиндре плоской ступенчатой волны давления с фронтом, параллельным оси цилиндра. При этом считаются известными интенсивность Р0 распространяющегося с постоянной скоростью ^ скачка давления (рис. 1, 2).

1

№

■Ґ~ vA ■ ■■

Щ

Р и с. 2. Обтекание цилиндра плоской волной

Р и с. 1. Надвигающийся на цилиндр фронт волны давления

Если обозначить через Ґ время взаимодействия волны с преградой, то координата х надвигающегося фронта равна

v0 = V01 = R(l - cos в).

Имея в виду это равенство, давление Pi (r, в, t) и нормальная к поверхности цилиндра скорость Vi (r, в, t) скачка давления (падающей волны) определяются такими зависимостями:

V (r, в, t) = -V0 cos вгі\у0^ - R(l - cos в)],

рі (r, в, t) = -роЛ^ - R(l - cos в)], где л(-) — единичная функция Хэвисайда:

(53)

h [V0t - R (l - cos 0)] =

R

0, если V0t - R (1 - cos0)< 0 ^ t < — (1 - cos0).

Vo

1, если V0t -R(l-cos0) > 0 ^ t > R(i -cos0).

Vo

Если проинтегрировать выражения (53) в соответствии с равенствами (9), (10), то немедленно получаем потенциал скоростей ^ (г,в, г) в падающей на цилиндр волне. Имеем

j (r,в,t) = -

V0r\r=R cos в +

Pot

P

rj\V01 - R(l - cos в].

(54)

¥

2б

Следует отметить, что в результате подстановки соотношения (54) в (3) получаем тождество, т.е. потенциал j (г,в, t) удовлетворяет волновому уравнению (3).

Располагая функцией j (54), по равенствам (5), (18), (19), (20) находим А(в, t) = -V0 cos e?7[V0t - R(1 - cos в)], А (в, t) = Л(в, t) = 0,

52 Л(в, t)

дв 2

= V0 cos в^^О/ - R(l - cos в)], Ф0 (r, в) = Ф0 (r, в) = 0, F(r,в, t) = -V0R r2 ln — cos в?7[V0t - R(l - cos в).

R0

(55)

Потенциал скоростей j2 (r, 0, t) и давление p2 (г,в, t) в отраженной от цилиндра волне определяются разложениями (50)-(52), которые с учетом выражений (55) записываются в виде:

Г r ¥ ¥

j2 (r, в, t) = -V0R ln — cos вц[01 - R(1 - cos в)] + c2^Qn1 cos nO'^ f r1e~O,nt x

I R0 n=0 i=1

t 2 Ro

I I Iответаsinpm(t - T)r/\Vot -R(l - стев)]1 ln^[y„(lmRo]■!„(l„r)

R

-Jn (mRo Y (lmr)]dr^в dt \ x [ [ (lmr) - Jn (Ro On Or)]||G„

(5б)

p2

(r ,в, t )= pV0 dc) ) cos пв%

-Ant

t 2 Ro

III

o -P R 2

Лпт

cos

Ргп (t -т)- I sin Pm (t - T)

n

70t - R(l - Cos в] ln^ [n (ЛЛ0 [n (ЛпГ[ - Jn (ЛпЛ0 )Yn (ЛпГ] П^ dr^ dT

R

х [Уп (ЛА)/ (Лпг)-/ (ЛЛ>)Уп (Лпг)]| а гп| . (57)

Если выполнить интегрирование по переменным в и х, то разложения (56), (57) можно упростить. В результате имеем:

г

j2 (r, в, t) = -V0R j ln — cos в7[ - R(l - cos в) + 2c2 S W- cos пв

Ro n=o

1 (n + 1)p

-------sin ----------— +

n +1 2

1 . (n - l)p

+-------sin ---------—

n -1 2

R

S

аП AinPin

AlnP

( - cos

Л,V

pnt)-sin pn

rj\V0t - R(l - cos в] x

x I r-1 ln — [Yn(AnRo Jn(r)-Jn(AnRoYn(rddr[YnЦ o J(lmr)-

соответственно

p2 (r ,в, t) = -2pV0 Rc 2 SW

- Jn (AnRo Yn (ЛпГ d||Gi,

(5бі)

2cos пв . пл-¥ -Л t

24 ^ 1 sin —:— S e Лп

a.

2 i=1 a,n + pin

22

cos Pint- an +pn sin Pint

ainpin

x] I r -1 ln RT- [Yn (AR Jn Л)-Jn (Лп! Yn (V ddr [[Y, (AnRo )Jn (ЛпГ d

Интегралы

- Jn (AnRo )Yn (ЛпГ)]|\Git

(57i)

n=0

0

R

n=0

2

входящие в представления (56а), (571) могут быть вычислены по квадратурным формулам, в

частности, по формуле Симпсона.

Полное давление на поверхности цилиндра (цилиндрической оболочки) определяется равенством (2), а также соотношениями (53), (571).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Харкевич А. А. Неустановившиеся волновые явления. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. 283 с.

2. Мнев Е. Н., Перцев А. К. Гидроупругость оболочек. Л.: Судостроение, 1970. 286 с.

3. Григолюк Э. И., Горшков А. Г. Нестационарная гидроупругость оболочек. Л.: Судостроение, 1974. 322с.

4. Гузь А. Н., Кубенко В. Д. Теория нестационарной аэрогидроупругости оболочек. Киев. Наукова думка, 1982. 410 с.

5. Перцев А. К., Платонов Э. Г. Динамика оболочек и пластин. Л.: Судостроение, 1987. 320 с.

6. Сеницкий Ю. Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований. Саратов: Изд-во СГУ, 1985. 176 с.

7. Сеницкий Ю. Э. Метод конечных интегральных преобразований. Его перспективы в исследовании краевых

задач механики (обзор). // Вестник СамГТУ. Сер.: Математическая, 2003. Вып. 22. 2003. С. 10-39.

8. БутковскийА. Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1979. 224с.

9. Цейтлин А. И., Кусаинов А. А. Методы учета внутреннего трения в динамических расчетах конструкций. Алма-Ата: Наука, 1987. 238 с.

10. Сеницкий Ю. Э. О вычислении некоторых квадратур, содержащих цилиндрические функции // Расчет пространственных строительных конструкций. Сб. тр. Куйб. инж.-строит. инст., 1974. Вып. 4. С. 102-104.

Поступила 22.08.2006 г.