Динамическая задача теории упругости для анизотропного конечного толстостенного цилиндра с учетом сил вязкого сопротивления Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3:534.1

ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

ДЛЯ АНИЗОТРОПНОГО КОНЕЧНОГО ТОЛСТОСТЕННОГО ЦИЛИНДРА С УЧЕТОМ СИЛ ВЯЗКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

© 2008 Ю.Э.Сеницкий1

Основываясь на соотношениях линейной теории упругости анизотропного тела, приводится аналитическое решение нестационарной осесиммитричной задачи для кругового конечного анизотропного цилиндра с учетом дисси-пативных сил вязкого сопротивления. Решение получено методом конечных интегральных преобразований (КИП) в виде разложений по полной системе собственных функций, построенных для ортотропного материала с шестью независимыми упругими константами и смешанных краевых условий на его торцах. Анализируются круговые частоты и формы колебаний сплошного цилиндра из стеклопластика.

Задача определения напряженно-деформированного состояния толстостенного кругового цилиндра является классической задачей теории упругости. Она становится существенно более сложной в случае динамического нагружения, и ее точное решение, удовлетворяющее всем граничным условиям на криволинейных поверхностях и торцах цилиндра, вызывает больше трудности. В случае применения для этой цели наиболее эффективного метода разложения по собственным функциям задача сводится к исследованию бесконечных систем уравнений, например [1]. В работах [2, 3] методом конечных интегральных преобразований впервые было построено замкнутое решение осесимметричной динамической задачи для короткого (однородного, неоднородного) ортотропного цилиндра при одном из возможных вариантов задания смешанных граничных условий на его торцах. Собственные функции в [2] удалось построить лишь в случае, когда независимыми являются пять упругих констант ортотропного материала конструкции.

В настоящем исследовании решение [2, 4] обобщается, а именно рассмотрены два варианта смешанных граничных условий на торцах анизотропного цилиндра с шестью независимыми упругими константами. Кроме того, в математической модели учтены силы вязкого сопротивления, которые вводятся в процессе решения задачи в соответствии с частотно-независимой гипотезой Фойгта [5]. Применяется разработанный и математически обоснованный одним из авторов метод КИП [4, 6, 7].

1 Сеницкий Юрий Эдуардович, кафедра сопротивления материалов и строительной механики Самарского государственного архитектурно-строительного университета, 443001, Россия, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 194.

1. Постановка задачи

В цилиндрической системе координат (г, 8, г) рассматривается ортотропный полый круговой цилиндр О : {а ^ г ^ Ь, 0 ^ г ^ й), загруженный на внутренней криволинейной поверхности z=a осесимметричной нормальной Лх(г, г) и касательной А2(г, О нагрузками, в то время как на внешней г = Ь известны перемещения Б\(г, г), В2(г, г) (г — время). На торцах цилиндра г = 0, й считаются заданными нормальные напряжения С1(г, г), 0\(г, г) и радиальные перемещения С2О", г), ^(г, г) либо касательные напряжения С^(г, г), ОЦ(г, г) и продольные перемещения С2(г, г), Б2(г, 0.

Дифференциальные уравнения движения, граничные и начальные условия рассматриваемой начально-краевой задачи записываются следующим образом [8]:

1 д , дич и д2и д2Ш

а\\- — {г—) - + а55—г + (а^ + а55)^— +

г дг дг

дг2

дгдг

+(а1з - а2з)

1 дШ д и

г дг

1 д , дШч д2Ш д2и

а55--^-(г—) + «зз^~г + («55 + азОт—+

г дг дг

при

дг2

дгдг

1 ди д2Ш

+(а32 + «55) 7--р -7-т- = 0.

г дг дг2

(1)

при а) при z = 0

при z

Ь

ди и дШ А , ч

г = а ап—+ «12—+ «13—= А1(г,0; дг г дг

. ди

«55 (-Т- + —) = А2(г,0; дг дг

г = Ь и = Б1(г, г); Ш = В2(г, г). ди и дШ

+ «23— + «зз^- = С\(г, 0; и = С2(г, 0 дг г дг

ди и дШ

+ «23— + «зз^- = АО, 0; и = Б2(Г, 0 дг г дг

(2)

ди дШ

в при г = 0 Я55(^- + -г-) = С*(г, 0; ^ = С*2(г, I)

дг дг 1 2

ди дШ

при г = Ь «55(^- + = £>*(г, 0; ^ = £>*(г, 0 дг дг

при 1=0 и = ио(г, г);

ас/ д1

= ио(г, г)

дШ

\¥=\¥0 (г, г); — = ^0(г,0 дг

(З1)

(З2)

(4)

Здесь и (г, г, г), Ш (г, г, г) — искомые компоненты вектора перемещений, а ^ — упругие постоянные ортотропного материала, ио(г, г), Шо(г, г), ио(г, г), Шо(г, г) — соответственно начальные перемещения и скорости перемещений.

Замечание 1

В случае сплошного цилиндра ге[а, Ь] вместо первых двух равенств (2) следует принять условия регулярности решения, т.е. при г = о, и < то, Ш < то. Следует иметь в виду также физические уравнения, связывающие компоненты

тензора напряжении с компонентами вектора перемещении при осесимметричнои деформации цилиндра [8]

dU U dW dU U dW

Orr - ci\\~— + Ü\2 + a\3——, oge - a2\-— + агг— +

dr r dz dr r dz (5)

dU U dW dU dW

ozz = asi— + a32— + trz = ац(— + —); t r9 = T9z = 0.

dr r dz dz dr

Соотношения (1)—(4) представляют собоИ математическую формулировку рассматриваемой начально-краевоИ задачи.

2. Построение общего решения

Используется метод КИП. Сначала применяется конечное преобразование Фурье по переменной z, а затем обобщенное КИП по радиальной координате r с определением ядровой функции в процессе решения [4]. Предварительно исходная начально-краевая задача приводится дважды к стандартной форме [9]. Для этой цели вводится представление:

U(r, z, t) = gi(z)[C2(r, t), C*(r, t)] + g2(z)[Ö2(r, t), D2(r, 01 + U*(r, z, t), W(r, z, t) = g3(z)[Qi(r, t), Ql(r, t)] + g4(z)[Ö2(r, t), Q2(r, t)] + W*(r, z, t), (6)

gs(z)eC2[o, h], s = 1,2,

где

IQuQil = [Ci.Di] -a13[C'2,D'2] - ^[C2,ö2],[ß*,ß*] = [Ci.Di] -a55[q,zy2]. (7)

Штрих означает дифференцирование по соответствующей пространственной переменной.

Функции gs(z) удовлетворяют таким дифференциальным уравнениям и граничным условиям, при которых соотношения (3i), (З2) для U* и W* становятся однородными.

gs(z) = 0, s = 1,2

gs (z) = A = const, s = 3,4

a) gi(0) = 1, g2(0) = 0, gi(h) = 0, g2(h) = 1, g3(0) = a-31, g4(0) = 0, g3(h) = 0, g4(h) = a-31.

В случае в) в последних равенствах a33 необходимо заменить на a55. Отсюда следует, что

a) gx(z) = 1 - g2(z) = Ш = «зз^С! - g4(z) = (2ha33ylz2. (8)

В случае в) в равенствах (8) следует сделать указанную выше замену. Если теперь подставить равенства (6) в соотношения (1)—(4), то получаем кра-

и

евую задачу для и*Ш* в стандартной форме

1 д ди* и* д2и* дШ*

г дг дг г2 дг2 дгдг

+(а1з - а2з)

1 дШ *

г дг

д2и*

= Ра1,Ь(г, г, г);

1 д дШ* д2Ш* д2и * 1 ди *

(155—(г——) + Язз—+ («55 + азО^Г + (а32 + «55)--^--

г дг дг

дг2

дгдг

г дг д2Ш *

-р-

дг2

= р2/(г, г, г).

а) при г = 0,А: «в^1 + «гзт + «33^ = О,

Ь) при 1 = 0,к: Ш- + Ш1=0,

и * = о,

Ш * = о,

(9)

(101)

(102)

ди *

и *

дШ *

при г = а : «и — +«12—+«1з-„ дг г дг

ди* дШ*

= Лаa,ь(г, г);

при г = Ь : и * = Б1,а,Ь(г, г), Ш* = Б\аЪг г), при г = 0 : и* = ШЛг, г), = О* {г, г),

Ш* = Шо*а,Ь(г, г),

д\¥* ~дГ

= <,ь(г, г).

Здесь в случае а):

а11

(11)

(12)

р1(г,1,0 = рЬ1(г)С2(г,0 + й(г)%0] - -^ЫгХ^г, 0 + *2(г)Я2(г, ОЬ

-ац[?1(г)С^(г, 0 + 0] + (г)С2(г, 0 + й(г)02(г, ОЬ

г2

-а55 [<?1(г)С2(г, г) + ^2(г)^2(г, г)] - (ав + а55)^3(г)б1(г, г) + ^(г^О г)]-

-(«13 - а2Ъ)-г^ъШ1(Т, 0 + #4(г)б гО, 0]

Р2(г, г, г) = р[^з(г)(21(г, г) + ^(гШг, г)] - а55[£з(г)е1'(г, г) + £4(г)е2(г, г)]--а55^[£зШ1(г, 0 + g4(z)Q2(.r, 0] - аззЬз^бКл 0 + ^КШг, 01 +

+(«13 + «55)[^!(г)С2(г, 0 + £2(г)£>2(г> 0] " (агз + а55)^[^(г)С2(г, 0 + ¿2(г)Ог(г, г)],

и^а(г, г) = ио(г, г) - gl(z)C2(г, о) - 82(г)Б2(г, о), Ща(г, г) = ио(г, г) - 81(г)С2(г, о) - g2(г)b2(г, о), Шо*а(г, г) = Шо(г, г) - £з(г)б1(г, о) - ^(гШг, о), Ш'оа(г, г) = Шо(г, г) - ^з(г)021 (г, о) - ^(г)е2(г, о) Л1а(г, г) = Л1(г, г) - ап[?1(г)С2(а, г) + £2(г)Ь2(а, г)]-а12

~^Шг)С2(а, 0 + £2(г)£>2(а, 0] - <Из [¿3(2)61(0,0 + «4(2)62(0,0],

(1з)

Л*2ак, I) = Л2(1,1) - а55[£[к)С2(а, I) + ¿2(г)Я2(а, I) + £3(2)6; (а, О + g^(z)Q'1(a, 0]> Б\а(1,О = Бх(г, О - ¿х(1)С2(Ъ, О - ¿2(1)02(Ъ, 0; Б2а(1,О = Б2(г, О - ¿3(2)61 (Ь, О - ^(гШЬ О

Для случая в) рь, рь, Щь, и0Ь, \¥0Ь, Л*1Ь, Л'2Ь, Б*1Ь, Б*2Ь определяются соответствующими равенствами (13) с индексом "а", в которых следует заменить (прямая и обратная замены) ¿1, ¿2 на ¿3, а также С2, Б2 на Ш*2 и Ш1, Ш2 на С2, 02. Точка обозначает дифференцирование по переменной I.

Вводим конечные косинус и синус преобразования Фурье по переменной г, т.е.

fh nnz nnz

[Uc s(r, n, t), Wc s(r, n, 0] = [U(r,z, t), W(r, z, i)] COS ——, sin —— Jo h h

dz, (14)

nnz nnz £Tnl [Uc,s(r, n, i), Wc,¿r, n, í)][cos —, sin —],

n=0

On = { h ^ n = n (15)

n y 0,5h при n * 0, v 7

и применяем (14) к дифференциальным уравнениям (9), соотношениям (11), (12), учитывая при этом однородные граничные условия (10i), (102). Имеем

an

d2ulc au dU*s,c a22TJ„ i --TUs.c~a 55"

dr2

r dr

+C«i3 + «55>

nn

ow:

h dr

«55-

d2Wls a55 dW^

+ («13 - a23)-^W*s - p

rh

dr2

r dr

«33"

h2

-W*s ± (a13 + a55)-

d2Ul

dt2t nn dU !

= Pls,c(r, nt),

h dr

1 nn , д W*cs

±(«23 + «55)--rUsc ~ P д<7' = Plc,s(r> П> 0,

r h dt2

(16)

при t = 0

при r = a;

Ulc = U0S,c(r' n)'

WCs = W:0c/r, n),

an

a55(

дЩ,с a12,

+ —l

dr r

dW* s nn

(-; — + -

dr h

dUjc dt

dWj dt

nn

= U0s,c(r, n), = W«0c,s(r, n),

' s,c> = 2c,sV". 4,

Ulc = B¡sc(n, t), Wls = B2cs(n, t),

(17)

(18)

при г = Ь

Где р2е^ и0s,c, W0c,s, ике, ^с,^ ЛIs,C, Л2c,s, ^ Б2с,з — аналогичные (14)

трансформаты (изображения) соответствующих функций (13), причем индексы з, п

означают синус и косинус преобразования Фурье. Верхние и нижние знаки в равенствах (16), (13) соответствуют синус и косинус изображениям Фурье.

c

s

s.c

Краевая задача (16)—(18) повторно приводится к стандартной форме на основе представлений

U*c(r, n, t) = g5(r)A*1sc(n, t) + g6(r)B*1sc(n, t) + Usc(r, n, t),

W*s(r, n, t) = g7(r)A2c>, t) + g8(r)B2c>, t) + Wc,s(r, n, t), (19)

в результате подстановки которых в соотношениях (18) последние при условиях g's'(r) = E = const, g5(a) = g6(a) = g7(a) = g8(a) = g8(a) = 0, g'5(a) = a-1,

g7(a) = a-1, gs(b) = g7(b) = 0, g6(b) = g8(b) = 1, s = 5,6,7,8 (20)

становятся однородными, т.е. имеем: при r = a,

dUs,c an nn dWcs nn

an—z— + —+ ai3~rWc,s = 0, —— + — USfi = 0 (21)

dr r h dr h

при r = b, Us,c = 0, Wcs = 0.

Из равенств (20) следует, что:

(a + b)r - r2 - ab (a + b)r - r2 - ab

£5(r) =-71-л-' = -77-:-,

an(b - a) a55(b - a) (22)

' — П \ 2

r-a

ftW = = (—a)

Подстановка выражений (19) в (16), (17) формирует краевую здачу (23), (24), (21) в стандартной форме

d2Us,c an dUs,c Я22 n2n2

an „ , + --(— + a55—^-)USiC+

dr2

r dr

02UC,

nn dWc,s 1 nn

+(ai3 + a55)---д— + («13 -a23)-~rWCiS - ph dr r h dt2

= F

Я55"

82Wc,s a55 8Wc,s n2n2

dr2

„ -a33—rWiCjS± r dr h2

±(ai3 + ass)'-

nn dWc

1 nn.

d2Wc

± («23 + Я55)—-rUsc - ph dr r h dt2

1s,c,

= F2c,s

(23)

при

dUsc

t = 0 USiC(r, n, o) = Uo s c(r, n), li=o = Uo,sAr>«),

dt

Wc,s(r, n, o) = Woc,s(r, n),

dt

"lf=0 = WoAS(r,M),

(24)

где

FuAr,n, t) = PUjC - a\\{g^A*lsc + g'lB\sc) - ^f{g'5A\sfi + g'bB\sfi)+ 2 2

«22 П П ПП . 4 . 4

+(~Г + + ± («13 + a^—ig^ s + g^B2cs)±

1 nn

±(«13 - «2з)-у (¿7A2CiS + S8b2c,s) + PteA1SiC +

F2c.s(r,w, 0 = P2c,s - asi(g"Alcs + g^B*2cs) ~ 22

» n2n2 nn

+g&B2c,s) + a33 — (glA2c,s + £8%,,) + («13 + «55) —fes^b.c + £бВ1»,с)+ (25)

1 nn .. ..

+(«23 + «55)- —+ g6Blsc) + p(giA2cs + g&B2csy,

Uosc = UO s Jr, n) - g5(r)AlSjC(n, o) - g6(r)Bls/n, o); Uo,s,c = U0sc(r, n) - g5(r)Als c(n, o) - g6(r)B 1sc(n, o); Wo,c,s = WoiCjS(r, n) - g7(r)A*2c s(n, o) - g8(r)B*2c s(n, o);

Wo,c,s = n) - g7(r)A2c,s - g8(r)B2c,s-

Введем обобщенное КИП с неизвестными пока компонентами Gi, G2 вектора функции ядра преобразования и весом r [4].

) = r[Us,c(r, n, i)Gi(X/n,r) + Wc,s(r, n, i)G2(X/n,r)]dr; (26)

da

то

, n, t) = V n ^ 11 ^ 11-2

Us,c(r, n, t) = in, t)Gi(Kjn, r) У Gin У +

m

in,

t)Gj(Xin, r) у Gin У ;

i=fc=1

Wc,s(r, n, t) = 2 Ф(Х in,

t)G2(Xin, r) У Gin У +

m

+ £ ф(Х,-п, t)G*2(kin, r) У G, У-2

(27)

=к=1

Здесь ф(Хгп,г) — трансформанта, а (27) — формулы обращения КИП.

\\GmW —норма ядровой фукции, т.е.

Г ь

\\Gin\\2 = г[С2(Хгп,г) + 02(^п,г )]^г, (28)

а

> 0(' = 1, то) — параметры, образующие счетное множество.

Формулы обращения (27) представлены с учетом наличия в спектре двукратных (вырожденных) собственных значений, т.е. когда имеются = \кп (' = к), причем т — число двукратных собственных значений (внутренних резонансов). 01, 02 и О;, 02 —компоненты ядровой вектор-функции, соответствующие Хгп(' ф к) и Хгп(г = к).

Если подвергнуть соотношения (23), (24) преобразованию (26), проинтегрировать по частям члены, содержащие производные по г, сложить уравнения и соответствующие начальные условия, а затем воспользоваться двумя известными равенствами структурного алгоритма метода КИП [4].

пп 1 Ь

+ («13 ± «55) — г (С2 иц С - СгУ/с^)

п

(29)

=о

а

а а

г{и^с[ап(0" + -0[) - (^ + «55"7"Х?1 + («13 + «55)^^2 +

1 г 1 г2 п п

пп 1

+(«13 - а2з)—г02] + \¥с^[а55(02 + -С2)-

п 2 г

п2 п2 пп пп 1

-азз—ггС2 ± (^13 + а55)—С[ ± (а23 + а55)—-С1]}с1г = п2 п п г

Ь

2

(зо)

Г

' I

а

= -апХ2„ г(и^с01 + Шс^2)Лг,

то получаем счетную систему задач Коши для трансформанты ф. В соответствии с методом квазинормальных координат [5] вводим в полученное уравнение относительно ф силы вязкого сопротивления, используя частотно независимую гипотезу Фойгта при известном коэффициенте потерь угп для каждой моды колебаний. Такой прием основан на экспериментально подтвержденном факте [5] о том, что силы вязкого сопротивления практически не оказывают влияния на формы колебаний 01, О2, и их следует вводить в уравнения движения после отделения пространственных переменных г и г. В результате имеем:

21

ф(кп, 0 + Ут<йтЧ>(кп, 0 + (кп, 0 = ~~Р(кп, П, 0 (31)

при г = о

ф(Х;„, П, О) = ио(Х;„, П), ф(кп, П, г)|г=о = ио(кп, П). (з2)

Здесь

1

«11й

И„ = кп | — | (33)

круговые частоты оссемметричных колебаний цилиндра.

[^(кп, п, г), ио(кп, п), и о(кп, п)] =

а а

Ь (з4)

г[(^15,с, Щвс, ио5,с)]01(к;п, г) + (р2с,в, Щс,э, Шос,э)02(кп, г))йг.

Разыскивая частное решение уравнения (з1) методом Лангранжа, с учетом (з2), находим

ф(Х;„, и, 0 = е_|3"'г[С/о(со8 аг„ + — вта^, 0+

а7п

ио . ,

+ — 8таг„Г -ат атр и о

1 ^

о

а/п = |[ю2„(1 - 0,25у?)]51, Р/„ = 0,5у/Д/п. (35)

Поскольку (как показано ниже) рассматриваемая начально-краевая задача является самосопряженной, т.е. кп > о, и коэффициенты потерь угп > о, то из (35) следует > о. Это указывает на тот факт, что решение (35) является устойчивым.

Из операционного свойства (30) следует система дифференциальных уравнений для компонентов О1О2 ядра КИП, а из равенства нулю билинейной формы (29) и соотношений (21) соответствующие граничные условия. Имеем

7 1 + —|Gl+

a121

a11 h2 5 nn

h°2

«13 + a55 nn a13 - a23 1 nn - Gr. ч--

a11

— -¡-G2 = 0; rh

1^/v U2 an a33 n2n2 -(*?£)' + X2— -----G2±

r a55 a55 h2

a13 + a55 nn f a23 + a55 1 nn +--— Cr, +---— Cri = u.

a55 h 1 a55 r h

(36)

При r = a

при r =

anG\ + an^Gi + ai3^G2) = 0,

G'2±-,G"= 0 2h G1 = G2 = 0.

(37)

Замечание 2

д2

При соответствиях О\ ~ 02 ~ --уравнения (36) и условия (37)

тождественны дифференциальным уравнениям (23) и граничным условиям (21). Таким образом, КИП (26) при указанных соответствиях представляет собой тождественное преобразование и (36), (37) инвариантны (23), (21) относительно (26). Следовательно, исходная краевая задача (1)—(4) является самосопряженной [4], и справедливы формулы обращения (27), основанные на соотношениях обобщенной ортогональности.

Интегрирование системы дифференциальных уравнений (36) с переменными коэффициентами представляет наиболее сложный этап решения рассматриваемой задачи. В работе [2] было получено точное решение этой системы в случае, когда ац = а22 и а13 = а23. В настоящем исследовании снимем одно из этих ограничений. Полагаем, что лишь

а13 - а23. (38)

Выражая из первого уравнения (36) 02 и подставляя это равенство во второе, получаем

2

С" + -С" + (ки - ^г-2)г"1(г01)1 + к3пС2 = 0, (39)

1 г

где

(a13 + a55)2 nn a55 (nn\2 1 a22

13 55 2 k3n - ±- йцА„ - Язз-

2 v-13 ■ -55/ a55 (nn\2 hn = К +--;---T > kl =

a11a55 h an V h / a11

22

a13 + a5W . 2 n2n2

(40)

Я11Я55 h2 )'

Вводим разрешающую потенциальную функцию ф(Kinr) по формулам

G1 = гФ' + f1 ф, G2 = f2nr-1 ф" + (f3n + /4пГ-2)Ф' - r(1 + f^r-2 - ¡б^^ф. (41) Здесь fjn = const, j = 2,3,..., 6.

В результате подстановки равенств (41) в (39), получаем ф/у + (5 + /1)г-1ф'" + [kin + (4 + 2/1 - k2 + f2nk3n)r~2W+

+{[kin(2 + fi) + k3n/3n]r-1 + [k3n/4n - k2(2 + /1)]г-3)ф'- (42)

-[k3n + (k3n/5n - k1n/1)r-2 + (k2n/1 + k3n/en)r~4^ = 0.

Наряду с (42), рассмотрим уравнение

ф/у + 2r-1 ф'" + (bn - 3г-2)ф" + (bnr-1 + 3г-3)ф' + (hn + binr~2 + 3г4)ф = 0. (43) Условиями приведения уравнения (42) к (43) являются следующие равенства

/1 = -3, /2n = (5 + k2)k3n1, /3n = 2k1nk3n1, /4n = (3 - k2)k3n1, /5n = ^k^k-1 /ön = 3(1 + k^k-n,, bin = k^, hin = k3n.

(44)

Уравнение (43), а следовательно и (42), (44) допускает коммутативную факторизацию

(А2--Л dr2 + rdr + K in г2'

dr2 r dr r2

= 0,

(45)

где

Ain = [0,5 bin + (0,25b? + A/n)5]5, Din = [-0,5 bin + (0,25b? + A/n)5]5.

(46)

Приравнивая нулю каждый сомножитель (45), получаем обычное и видоизмененное уравнения Бесселя, и следовательно, общий интеграл (45) записывается в виде:

ф(кп, г) = С1п/1(А,-пг) + С2пГ1(Л;пг) + Сзпк(Оыг) + С^фы). (47)

Здесь /1(Лгпг), У1(А;пг), и /1(0гпг), К1(0гпг) — обычные и модифицированные функции Бесселя I и II рода, первого порядка, С^п —произвольные постоянные. Располагая (47), по формулам (41) с учетом (44) определяются компоненты О1О2. Дальнейшее решение задачи определения собственных значений кп и собственных функций О1 и О2 очевидно. После подстановки выражений (41), (47) в граничные условия (37) формируется однородная система алгебраических уравнений относительно С1п,..., С4п.

Разыскивая нетривиальные решения последней, получаем трансцендентное уравнение для нахождения параметров кп и постоянных С1п,..., С4п. Имеем

D(Xin) = det(öjk) = 0; j, k = 1,2,3,4,

C1n = Dгln, C2n = D2n, C3n = D3n, C4n = D4n

Здесь

Din = D4 =

in in in

U11 u12 u13

&in &in &in

U21 &22 &23

& in & in & in

& 31 & 32 & 33

(49)

(50)

(51)

а О1", «Г, Щ следует из детерминанта (51) с заменой соответственно первого, второго и третьего столбца на столбец -614, -^24, -^4, причем

«12,

Ь% = ап[гГ{(Аыг) - 2J[(Ainr)} + ^[rJ[(Ainr) - З/i(А/пг)]т

+a13™{^Jl'(Ainr) + -jL(2 к2 + -—Y~)J\(Ainr)-

h k3nr

k3n

-r[1 -

2kin

k3nr2 k3nr4

к = 1, при ] = 1 г = а, при ] = 3 г = Ь

1 2к1п к2 + 9 пп

--¡—(кзп--+ —— ± кзп—гУ^АтГ)-

к3п г г п

1 о к'п ок2 + 1 _ т) ппи/, л

-—(2— - 9 + ЗкЪп—Ух(АыгУ,

к = 1, при ] = 2 г = а, при ] = 4 г = Ь.

В формулах (52), если к = 2, то 11(Апг) следует заментить на 11(Апг), если к = 3, то /1(Лгпг) на 11(0'пг), а если к = 4, то /1(Лгпг) на К1(0'п).

Уравнение (49) решается итерационным путем. Задаваясь Хг-п для каждого п, по формулам (40) вычисляются к1п, к3п, затем по выражениям (46) А'п, Дп, а по (52) элементы детерминанта 6^., после чего проверяется удовлетворение уравнения (49).

Замечание 3

Для определения кратных (двухкратных) собственных значений однородной краевой задачи (36), (37), наряду с (49) необходимо исследовать также трансцендентное уравнение, получающееся путем дифференцирования по левой части (49) т.е.

4-П0чп) = 4- сЗеКбр = о. (490

иК'п и^т

Корень \'п уравнения (49) при этом должен удовлетворять одновременно и уравнению (491). Принимая во внимание, что дефект матрицы однородной системы четырех уравнений для определения постоянных Сп, ..., С4п теперь равен двум, С1п, С2п, С3п, С4п в отличие от предыдущего случая определяются с точностью до двух констант. Оставляя какие-либо два уравнения, постоянные С1п, С2п, С3п, С4п, подобно (50), (51), выражаются в этом случае через детерминаты второго порядка. В результате по формулам (41), (47) находятся компоненты ОЦ, 02. Следует отметить, что в рассматриваемой задаче кратные собственные значения (частоты колебаний) не наблюдались.

Имея в виду представления (6), (8), формулы обращения преобразований Фурье (15), зависимости (19), (22) и формулы обращения обобщенного КИП (27), общее решение рассматриваемой начально-краевой задачи может быть представ-

лено в виде:

и (г, г, о = 81(1)С2(Г, I) + 82(1)02(г, 1)+

g5(r)A\s(n, I) + Еь(г)БГи(п, I) §5(гЩс(п, О + в6(г)В[с(п, О

№

п=0

X

+ 2 ф(^п,ЪОх(Ьп, г)\\опг2+

¡Фк=1

т,

1-2

=к=1

БШ ■

пП1

сое ■

Ш(г, г, О = 8ъШ1(г, () + цШ2(г, ()+

8т(г)А2с(п, I) + §8(г~)В2с(п, I) 8т(г)А2!!(п, I) + £%(г~)В28(п, I)

0

ппг

(53)

п=0

X0-1!

I

(

+ 2 ф(^п, 0О2(кп, г)\\Оп\\-2 + 1

т

т, г)0*2(Ьт, г)\\Оп\

¡Фк=1

1-2

1=к=1

СОв ■

ппг

вт ■

0

ппг

Здесь трасформанта ф определяется соотношением (35), а компоненты ряда КИП 01, 02 по выражениям (41), (47), (50). Первая и вторая строка матриц представлений (53) соответствуют случаям а) и в) граничных условий на торцах цилиндра. Следует отметить тот факт, что решение (53) построено для произвольных осесимметричных динамических нагрузок. Необходимо лишь каждый раз задаться аналитическим выражением для А^, (\, А2[г, (] и вычислить затем получающийся при этом интеграл Дюамеля содержащийся в (35). Имея в виду разложения (53) по формулам (5) могут быть определены все компоненты тензора напряжений. Представляет также интерес решение аналогичной задачи для сплошного кругового анизотропного цилиндра (0 ^ г ^ Ь). В этом случае вместо первых двух граничных условий (2) необходимо ввести условия регулярности решения (при г = 0 и < Ш < (), что приводит к тому, что в выражении (47) С2п = С4п = 0, и все соотношения ядровой задачи значительно упрощаются. Если цилиндр помещен в жесткую обойму, то следует принять В^г, £) = В2(г, 0 = 0.

+

Н

0

+

Н

0

3. Численный анализ результатов

Проанализируем спектр частот югп осесимметричных колебаний и соответствующих им форм О1, О2 сплошного цилиндра, помещенного в жесткую обойму. Цилиндр Н = 0,3 м выполнен из стеклопластика р = 1,9 * 103 кг/м3 с более сильным армированием в плоскостях перпендикулярных оси цилиндра по отношению к армированию вдоль образующих, при таких значениях упругих постоянных [10]: а11 = а22 = 3,143 ■ 1010 н/м2, а33 = 0, 861 ■ 1010 н/м2, а55 = 1,367 ■ 1010 н/м2, а12 = 0,431 ■ ■ 1010 н/м2, а13 = а23 = 0,275 ■ 1010 н/м2.

Коэффициент потерь для каждой моды колебаний в соответствии [5]: у, = у = = 0,01.

Частоты колебаний цилиндра югп ■ 10-4 Гц.

h/2b=0,857 h/2b= 1,5

n = 1 n = 2 n = 3 n = 1 n = 2 n=3

i = 1 i = 2 i = 3 1,442 2,608 3,771 0,603 1,528 2,654 0,608 1,059 1,647 2,496 4,547 6,589 2,545 4,554 6,608 0,801 2,627 4,618

В таблице приведены значения юг„ для первых трех тонов колебаний (г = 1,2,3) анизотропного цилиндра при образовании одной, двух и трех полу-

Н

волн (п = 1,2,3) вдоль его образующей. Независимо от параметра — частоты сог„

2Ь

Н

существенно зависят от "и", а при уменьшении — происходят снижение и од-

2Ь

новременно уплотнение частотного спектра ш,„. Диссипативные силы оказывают незаметное влияние на частотный спектр, снижая юг„ на доли процентов. Кратные частоты при этом не наблюдались.

На рис. 1-4 показаны нормированные формы первых трех тонов колебаний

~ О1 ~ О2 (г = 1,2,3), С\ = -, С2 = -, соответственно при числе полуволн п = 1,3

вдоль образующей цилиндра. К интересным качественным результатам, наблюда-

Н

емых в коротких цилиндрах — = О,875, следует отнести перестройку тонов ко-

2Ь

лебаний, т.е. при фиксированном г с ростом п появляются более низкие частоты. Как следует из рис. 1-4, отмеченная перестройка оказывает влияние и на характер в образовании форм колебаний. Действительно, если п = 1, то наблюдается обычная картина, т.е. Сг1(Хцг), 61(^21 г), С?1 (Х31 г) образованы соответственно одной, двумя и тремя полуволнами. Однако при п = 3 наблюдаются уже две первые формы ¿71(Хцг)и(51(Хззг). Изменяется также характер кривых О2. Особенности О1,02 спектральных разложений (53) изменяют вклад отдельных гармоник, который они вносят в общую динамическую реакцию системы.

Заключение

Построено аналитическое решение (53) начально-краевой задачи динамики для ортотропного короткого цилиндра, справедливое для произвольных осесимметрич-ных воздействий, для которых существуют трансформанты (35). Замкнутое решение получено для цилиндра с шестью независимыми упругими константами материала «11, «22, «33, «55,«12,«13 — «23, произвольных краевых условий на криволинейных поверхностях и торцах, задаваемых в смешанной форме. В математической модели учтены силы вязкого сопротивления в соответствии с частотно-независимой гипотезой Фойгта. Разложения (53) являются полными, сходящимися в метрике пространства L2, что следует из [6, 7] и алгоритма метода КИП. Поточечная сходимость разложений (53) зависит от характера динамических воздействий и для подавляющего большинства A1(z, t),..., B2(z, t) или Q(r, t),..., D2(r, t) соответственно C*(r, t),..., D2(r, t) обеспечивается наличием множителя X"2.

Для короткого цилиндра из стеклопластика выявлены особенности в образовании частот и форм свободных колебаний.

2.5 г

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

у = 1

А 1 = 2

«=зЧ

\

^ = 0.875 А = 0.3 2Ъ п = \

с.р^)

2.5 г

0.2 0.4 0.6 0.8

Рис. 1.

1.5 ■

1.0

0.5

0.0 '

-0.5

-1.0

Г \ '=1

\

¡ = 2

¿ = 3 \

^ = 0.875 А = 0.3 2Ъ п = \

1.0

0.2 0.4 0.6 0.8

Рис. 2.

1.0

б, (V)

2.5 г

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

1=1

\

\

\

¿ = 2 \ 5,— —\

- К У

4 = 0.875 А = 0.3 2Ь л = 1

0,(Хйг) 3.0 Г

2.4

1.8

1.2

0.6

0.0

-0.6

-1.2

\ н

у

\

\

\

г = з /

4 = 0.875 А = 0.3 2Ь п = 1 /

0.2 0.4 0.6 0.8

Рис. 3.

1.0

0.2 0.4 0.8ч_/ 0.8 1.0

Рис. 4.

Литература

[1] Фридман, Л.И. Динамическая задача теории упругости для цилиндра конечных размеров / Л.И.Фридман // Прикладная механика. - 1981. - Т. 17. -№3. - С. 37-43.

[2] Сеницкий, Ю.Э. К решению осесимметричной задачи динамики для анизотропного короткого толстостенного цилиндра / Ю.Э. Сеницкий // Прикладная механика. - 1981. - Т. 17. - №8. - С. 95-100.

[3] Сеницкий, Ю.Э. К проблеме интегрируемости осесимметричной краевой задачи для неоднородного анизотрпного конечного цилиндра / Ю.Э. Сеницкий // Прикладная механика. - 1999. - Т. 35. - №4. - С. 19-29.

[4] Сеницкий, Ю.Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований / Ю.Э. Сеницкий. - Саратов: Изд-во СГУ, 1985. - 176 с.

[5] Цейтлин, А.И. Методы учета внутреннего трения в динамических расчетах конструкций / А.И.Цейтлин, А.А.Кусаинов. - Алма-Ата: Наука, 1987. -238 с.

[6] Сеницкий, Ю.Э. Сходимость и единственность представлений, определяемых формулой обращения многокомпонентного обобщенного конечного интегрального преобразования / Ю.Э. Сеницкий // Изв. вузов. Математика. - 1991. -№9. - С. 56-59.

[7] Сеницкий Ю.Э. Теорема разложения по собственным вектор-функциям в динамической теории упругости / Ю.Э. Сеницкий // Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. - 2000. - №4(18). - С. 127-144.

[8] Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехницкий. -М.;Л.: Гостехтеориздат, 1950. - 299 с.

[9] Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский. - М: Наука, 1979. - 224 с.

[10] Ашкенази, Е.К. Анизотропия машиностроительных материалов / Е.К.Ашке-нази. - Л.: Машиностроение, 1969. - 110 с.

Поступила в редакцию 9/Л/2008; в окончательном варианте — 9/Л/2008.

DYNAMIC PROBLEM FOR A FINITE ANISOTROPIC THICK-WALLED CYLINDER WITH THE CONSIDERATION OF VISCOUS RESISTANCE FORCE

© 2008 Y.E. Senitsky2

The correlation of linear theory of anisotropic body analytical solution of nonstationary asymmetric problem of circular finite non-isotropic cylinder with the consideration of dissipative viscous resistance force is given. The solution is given by the aid of the finite integral transformation method (FIT) in the form of the decomposition by the complete system of eigen functions, obtained for orthotropic material with 6 independent resilient constants and mixed boundary conditions on its butt-ends. Circular frequencies and forms of solid glass-fiber cylinder oscillations are analysed.

Paper received 9/ZZ/2008. Paper accepted 9/ZZ/2008.

2 Senitsky Yuriy Eduardovitch, Dept. of Resistance of Materials and Structural Mechanics, Samara State University of Architecture and Civil Engineering, Samara, 443001, Russia.