CC BY
62
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2012. № 1 (26). С. 116—122
УДК 539.37
АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИ АНИЗОТРОПНОГО УПРУГОГО СТЕРЖНЯ
Ю. А. Боган
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 630090, Россия, Новосибирск, пр-т Академика Лаврентьева, 15.
E-mail: bogan@hydro .nsc .ru
Построены явные решения краевых задач Дирихле и Неймана при антиплоской деформации цилиндрически анизотропного материала для. круговой области. Доказана однозначная разрешимость задачи Дирихле в ограниченной области на плоскости с кусочно-гладкой границей.
Ключевые слова: цилиндрическая анизотропия, упругость.
Введение. Краевые задачи кручения упругих анизотропных стержней хорошо изучены в монографии С. Г. Лехницкого [1]. Некоторые результаты в этом направлении были получены Тингом в статье [2]. Одна задача о щели рассматривалась в статье [3]. Необходимо отметить, что в отмеченных работах рассматривался только цилиндрически ортотропный материал. Здесь же изучены краевые задачи Дирихле и Неймана для произвольного цилиндрически анизотропного материала в предположении антиплоской деформации. При произвольной анизотропии в это уравнение входит смешанная производная по г, 9, что существенно усложняет построение явного решения. Аналогичное уравнение возникает в стационарной теплопроводности [4].
1. Основные уравнения и постановка задачи. Введем цилиндрическую систему координат г, 9, z. Тогда в предположении антиплоской деформации перемещения даются формулами
( 19w \ . .
ur = z[---— + a45Tez + a55Trz + a cos 9 + с2 sin9,
V grd9 J
Щ = + auTez + «45Trz^j + C2 COS 9 C\ sin 9 + c0r.
Здесь со, С\, С2 — вещественные постоянные. Вторые слагаемые в предыдущих формулах отвечают за жёсткое перемещение тела. Фиксируем их каким-либо способом. В предположении независимости перемещений от г напряжения определяются из соотношений
1 дъи дъи
---+ СЦб^вг + а55ТГг = 0,-----а,44Твг + а,45Тгг = 0. (1)
г 09 ог
Решив уравнения (1) относительно напряжений, получим дъи дъи дъи дъи
т~вх = ^44 + А45 ——, Тгг = Л45 ——- + Л55 —-,
год Ог го9 ог
Юрий Александрович Боган (д.ф.-м.н.), старший научный сотрудник, отд. механики деформируемого твёрдого тела.
где А44 = a55/6, А45 = Ам = -0,45/6, А55 = au/S, 5 = 044055 - а|5 > 0. Здесь А44, А45, А55 — функции координат. При подстановке результата в единственное уравнение равновесия
drrz , 1 дтвг
I г г Л\
~1Г~ + —+ — = /(г' 9> dr г од г
получим, что w(r, в) определяется из уравнения
д ( . dw , 1 dw \ 1 д ( . dw ,1 dw
~~ AwTT" + Alñ-^Г I + i A45 — A44 ——■
dr V 55 dr 45 г дв ) г дв v 45 dr 44 г дв / ^
1 / , dw , 1 dw
1 / , ow , 1 ClíA ,. ..
В частности, для однородного стержня при постоянных модулях сдвига и равной нулю правой части имеем
^ / д2w + 1 ^ А + 2А 1 + А 1 — 0 (3)
\ дг2 г дг / г дгдв г2
С уравнением (2) можно ассоциировать билинейную симметричную форму
/■ г / , 1 <9«; , dw \ дф aM)=JJ(A4S--+ +
i 1 dw dw \ 1 dib 1
+ И44—+ —^ (4)
V г дв dr J г do \
и соответствующую ей квадратичную форму a(w, w). Уравнение (2) можно рассматривать как уравнение Эйлера для функционала a(w, w). Перейдём в (4) к декартовым координатам (х\, где Х\ = г cos в, Х2 = rsin0:
, . [ г / dw \ 2 dw dw f dw \ 21 ,
a(w, w) = Цдп!^) + \dx^
где gu = A44 sin2 в — 2А45 cos в sin в + А55 cos2 в, g 12 = (^-55 — А44) sin в cos в + + 2¿45(cOS2 в — sin2 в), <721 = <712) <?22 = Al4 COS2 б1 + 2А45 cos б1 sin в + А55 sin2 в. В декартовых координатах уравнение (2) можно записать так:
д ( . . dw . . dw\ д ( . . dw . . dw \ ,, .
Как видно из последних соотношений, коэффициенты уравнения — ограниченные измеримые функции, при этом разрывные в начале координат. Действительно, sin в cos в = х\х2/{х\ + — известный пример разрывной функции. Предположим, что правая часть f(x 1, Х2) € L2(Q), Q — ограниченная область на плоскости R2, и существуют постоянные Ci, С2 > 0, такие, что
для любых х € Q и всех £ = (£i, £2) € Обобщённое решение краевой задачи определяется стандартным образом как функция w(x\, Х2) € Hq(Q), удовлетворяющая интегральному тождеству
/ 9ijwxi (pXjdx = / f(x)tp(x)dx
JQ JQ
для любой tp(x) € Cq°(Q). В [5] доказано существование единственного слабого решения задачи Дирихле для эллиптического дифференциального оператора в дивергентной форме в предположении равномерной эллиптичности и измеримости коэффициентов. Очевидно, что предыдущее уравнение таковым является, так как матрица д = (gij) получается поворотом из матрицы А = (Aij) и поэтому имеет те же собственные значения, сохраняя при этом свойство положительной определённости.
Стоит отметить, что подобные уравнения возникают при изучении вопроса о непрерывности по Гёльдеру решений эллиптических уравнений второго порядка [6] и служат примерами эллиптических уравнений с негладкими (в начале координат) решениями. При использовании метода характеристик [2] и введении новых независимых неизвестных
£ = gcos^jj In д — г] = gs'm(^\n д — e^j, д = г13
исходное уравнение обращается в уравнение Пуассона
92М(£, г]) 92М(£, г])
Здесь и(£, rj) = w(r, в). При этом семейство характеристик само имеет особую точку; действительно, семейство кривых 9—(a/ß) In д = const — семейство логарифмических спиралей с особой точкой (фокусом в начале координат). При а = 0 фокус обращается в центр, а семейство логарифмических спиралей обращается в семейство концентрических окружностей. Последнее обстоятельство, в частности, показывает, что начало координат — особая точка и для уравнения Лапласа. Наличие особой точки и приводит, вообще говоря, к сингулярности решения в начале координат. Ниже даны явные решения задач Неймана и Дирихле для круговой области с центром в начале координат.
2. Задача Неймана для круга. Построим в круге радиуса R > 0 с центром в начале координат формальное решение уравнения (3) при граничном условии
dw dw
rrz(R, в) = А45— + А55—=д(в),
где д(9) — непрерывная суммируемая периодическая функция окружной координаты. Потребуем ограниченности решения в начале координат. Применим метод разделения переменных. Представим д(9) в виде ряда Фурье
9{9) = + ^2(ancosn9 + bnsmn9),
п= 1
где
an = — / g(ip) cos nißdiß, bn = — / g(<ß>) cos n<ß>d<ß>, n = 0, 1,.... к JО 7Г JQ
Ищем решение уравнения (3) в виде
оо
w(r, в) = fo(r) + ^2(fn(r) cosпв + gn(r) sinne),
n= 1
где fn(r), gn(r) определяются из системы
Afd*fn | 1 dfn\ n2A44 | 2nA45 dgn _ Q V dr2 r dr J r2 n r dr '
r dr 55 V dr2 r dr ) r2 ^n
Положим fn(r) = BrXn, gn(f) = CrXn. Тогда В и С определяются из
(А55Х2 - Аи) В + 2А45ХС = 0, -2А45ХВ + (А55Х2 - А44) С = 0,
а Л — из уравнения
(А55Х2 - 2Аи)2 + 4А25Х2 = 0, которое допускает представление
(А55Х2 - А44 - 2А45гХ) (А55Х2 - А44 + 2А45гХ) = 0
и позволяет найти комплексно сопряженные корни Ai = ia + ß, A3 = —ia + ß, А2 = —ia - ß, Х4 = ia- ß. Здесь a = -А4Ъ/АЪЪ, ß = л/А44А55 - А%5/А55. Очевидно, ß > 0, так как предполагается, что А44А55 — А25 > 0. Корни А2, А4 следует отбросить, как приводящие к неограниченному росту решения в начале координат. При n = 0 имеем fo(r) = const, а для функций /ra(V)> gn(r) получим
fn(r) = Bnlr{ia+ß)n + Bn3r{~ia+ß)n, gn(r) = -iBnlr{ia+ß)n + iBn^~ia+ß)n. Тогда
Trz = Tj Mss-j^ + A45n — ) cosnd + ( A55-j- - A45n — ) sin пв . ' L V dr r / V dr r /
n=0
При этом
+ = ßA55n (Bn\rnXl~l + IW^3"1) ,
drr
- A45n— = ßA55n (-iBnlrnXI"1 + BnirnX*~l) , drr
и, определив Вп\, Впз из
/М55п (BnlR(-ia+^n-lBn3R(--ia+^n~l) = ап, ßA55n (-iBnlR^ia+^n-1 + iBn3д(-«+%-1) = Ьга,
получим, что
2/5A55n VE;
9n(r) =
R
2ßA55n \RJ
f \ ßn
an cos ( na In — bn sin (jia ln an sin ( na In +bn cos (jia ln
Положим w(r,6) = u(p,9), p = (r/R)/3. В результате решение представляется в виде ряда
w(r, в) = /о + ^ ^ ап cos n(e-^\npj +bn sinn(в - ^ ln pj
г=1
который можно просуммировать. Действительно, положим 5 = [ЗА55 и внесём в предыдущую формулу представление ап, Ьп, п = 0, 1, ..., в виде коэффициентов Фурье:
R [2ж °° / а \
wir, в) = — / > д(р)рп cos п(р — в + — \np\dp.
Wo fo V ? J
Положим z = r^eltp, t = R^e1^, ф = в — a\n(r/R). Имеет место равенство 11= 1
Оно позволяет представить го (г, в) как действительную часть выражения
R [2ж { z\
w(r> 6) = ^ Уо 9(ф)ln (1 - ^J (1Р,
то есть записать в виде, аналогичному решению задачи Неймана для уравнения Лапласа:
wir, в) = J gif) ln + p2 - 2pcos[ip - в + д lnpj^ dp + a0,
где üq — произвольная постоянная. Очевидно, что gip) должна удовлетворять необходимому (и достаточному) условию разрешимости
г2ж
/ д(<р)йр = 0.
3. Задача Дирихле. Совершенно аналогично можно построить решение задачи Дирихле для уравнения (3) при равной нулю правой части и граничном условии w{R, 9) = fiв).
Используя выражения для коэффициентов Фурье, w(p, 9) можно записать в виде интеграла:
^ г2ж / оо \
w{p, 9) = — / д(р) ( 1 + 2 V pn cos n(p - a In p + в) | (19. 27tJ° ^ ti
Положим p + 9 — (a/f3) In p = w и учтём, что
00 1 „2
n 1 - P
■ cos nw =
1 + p2 — 2pcos u)
11= 1
Тогда w(p, в) можно записать в виде аналога интеграла Пуассона для гармонической функции:
2тг
1 f 1 2
о
Здесь р = 9 — a In р. В действительности это настоящий интеграл Пуассона для функции rj) = w(r, 9), имеющий смысл для любой непрерывной функции, так как функция rj) —гармоническая в этих переменных. Поскольку | р cos (tp — р)\ ^ р, можно перейти к пределу под знаком интеграла и получить теорему о среднем:
г2тг
u{0, 9)=w{0, e) = ^jJf(6)M.
Рассмотрим пример. Пусть w(R, 9) = k cos 9. Легко вычислить интеграл Пуассона и увидеть, что w(r, 9) = kpcos(9 — 7lnp). Однако при этом функция w(r, 9) имеет ограниченную гладкость по г при любом ß > 0. Гладкость решения существенно зависит от величины ß. Действительно, w(r, 9) непрерывна в начале координат, но ее первая производная по г неограниченна, если ß < 1 и потому напряжения в начале координат неограниченны. Если ß ^ 2, то вторые производные решения растут в начале координат, но напряжения уже ограниченны.
В качестве еще одного примера рассмотрим задачу Дирихле для сектора кругового кольца:
w(r, атг) = 0, w(r, 0) = 0, w(R, 9) = g(9), 0 < а < 2, д{0) = д(атт) = 0
в предположении, что а = 0. Её решение можно представить в виде
w(r, 9) = У^ anpn^a sin пв/а,
п=1
где ап — коэффициенты в разложении в ряд Фурье функции д(9) по ортогональной системе функций $тп9/а:
2 Г ■ ПвМ
ап = — / д(9) эт —ав. атг У0 а
Гладкость решения зависит от отношения ¡3, в и функции д(в). Очевидно, решение непрерывно в замкнутой области. Оно даже аналитично, если /3/а € Z. Имеем
/ пР гп^а~1 пв
—— (г, в) = >--—arasm—.
drK ' J ^ а КпР/а п а
п=1
Ясно, что гладкость радиальной производной зависит от свойств отношения /З/ск. Например, если a = 2, диск имеет разрез от начала координат до окружности, слагаемое сп = 1 имеет порядок г'3/2-1 и если /3 ^ 2, особенности нет.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лехницкий С. Г. Кручение анизотропных и неоднородных стержней. М.: Наука, 1971. 240 с. [Lekhnitskii S. G. Torsion of Anisotropic and Inhomogeneous Rods. Moscow: Nauka, 1971. 240 pp.]
2. Ting Т. C. The remarkable nature of cylindrically anisotropic elastic materials exemplified by an anti-plane deformation// J. Elasticity, 1998. Vol.49, no. 3. Pp. 269-284.
3. Ы В., Liu Y. W., Fang Q. H. Interaction of an anti-plane singularity with interfacial anticracks in cylindrically anisotropic composites// Arch. Appl. Mech., 2008. Vol.78, no. 4. Pp. 295-309.
4. Прусов И. А. Некоторые задачи термоупругости. Минск: БГУ, 1972. 200 с. [Prusov I. А. Some Problems of Thermoelasticity. Minsk: BGU, 1972. 200 pp.]
5. Ландис E. M. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Наука, 1971. 288 с. [Landis Е. М. Second order equations of elliptic and parabolic type. Moscow: Nauka, 1971. 288 pp.]
6. Piccinini L. C, Spagnolo S. On the Holder continuity of solutions of second order elliptic equations in two variables// Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Sci. Fis. Mat., III. Ser., 1972. Vol. 26, no. 2. Pp. 391-402.
Поступила в редакцию 27/1/2012; в окончательном варианте — 27/11/2012.
MSC: 74K10; 74E10, 74B05, 35J15
ANTIPLANE DEFORMATION OF A CYLINDRICALLY ANISOTROPIC ELASTIC ROD
Yu. A. Bogan
M. A. Lavrentyev Institute of Hydrodynamics, Siberian Branch of RAS, 15, Lavrentyeva pr., Novosibirsk, 630090, Russia.
E-mail: bogan8hydro.nsc.ru
The problem of antiplane deformation of general cylindrical anisotropic material is studied, in this paper. Explicit solutions of Dirichlet and, Neumann problems are given for a circular domain. The existence of unique weak solution of the Dirichlet problem in a bounded region with a piece-wise smooth boundary is proved,.
Key words: cylindrical anisotropy, elasticity.
Original article submitted 27/1/2012; revision submitted 27/11/2012.
Yurii A. Bogan (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Senior Research Scientist, Dept. of Deformable Solid Body.
