CC BY
28
УДК 539.3
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В ДВУМЕРНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ
Ю. А. Боган
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН,
630090, Новосибирск, пр-т Академика Лаврентьева, 15
E-mail: bogan@hydro .nsc .ru
Изучается задача Дирихле для анизотропной термоупругой среды. Здесь, по определению, на границе заданы вектор перемещений и температура. Краевая задача приведена к системе интегральных уравнений. Эта система имеет слаборегулярные ядра в ограниченной области с ляпуновской границей и гельдеро-выми граничными данными. Если граница области и граничные данные имеют худшие свойства гладкости, краевая задача сохраняет свойство разрешимости по Фредголъму.
Ключевые слова: интегральные уравнения, анизотропия, упругость.
Введение. Интегральные уравнения редко применяются для решения стационарных задач термоупругости. Так, в статье [1] используется метод сингулярных уравнений. Не так давно автор [2] обнаружил, что при условии однозначной разрешимости краевую задачу для анизотропного материала можно легко привести к системе интегральных уравнений, если использовать простоту корней характеристического уравнения для анизотропного материала. Аналогичный подход применялся автором ранее при решении задач теории упругости. В этой работе этот подход применяется ко второй краевой задаче анизотропной термоупругости, т. е. когда на границе заданы температура и перемещения. Построена система интегральных уравнений. Если граница односвязной области достаточно гладкая, например, принадлежит классу Ляпунова, то это — система уравнений Фредгольма второго рода. Рассмотрен вопрос о гладкости напряжений.
1. Постановка задачи. Напомним необходимые сведения из термоупругости. Для определенности будем считать, что рассматривается обобщённое плоское состояние. В дальнейшем в основном используются обозначения [3]. Примем обобщённый закон Дюамеля—Неймана в следующем виде:
Здесь ву, г,,] € {1, 2}—деформации; щ, и2 — перемещения; из — температура; (7у, г,.] € {1, 2} — напряжения; с^, г,.] € {1, 2, 6} — податливости; [Зц, г € {1, 2, 6} — коэффициенты, определяющие компоненты тензора деформации свободного от внешних сил тела при изменении температуры. Напомним, что
Юрий Александрович Боган (д.ф.-м.н), ведущий научный сотрудник, отдел механики деформируемого твердого тела.
£ц = СЦ(7Ц + С12СГ22 + c16<7l2 + P11U3,
£22 = С12СГЦ + С22СГ22 + C26<7l2 + P22U3,
£12 = Cie(Tn + C2&U22 + Cqq(T 12 — 2/?б6^3
(1)
Определим из (1) напряжения и подставим их в уравнения равновесия. Получающаяся при этом система для произвольной анизотропии материала выглядит довольно громоздко, поэтому выпишем её для случая ортотропного материала:
д2ь,1 д2ь,1 д2и2 ди3
¿11 „ о + “66 „ о + (¿12 + ¿бб)т;—^------71 п— — О,
ОХ1 ОХ9 ОХ\ОХ2 ОХ\ , .
я2 я2 Я2 я (2)
сГи 1 сГи2 , , дги2 ди3
(а 12 + ¿бб)т;—-----Ь »66 п о + ¿22^71;--72т;— — 0.
ОХ\ОХ2 ОХ^ ОХ 2 ОТ?2
Функция из (ж 1,Ж2) — решение однородного уравнения , 92из 92мз , д2из
Ьц „ 2 + 12 Я-Я----^ 22 „ 2 = 0 (^)
ОХ\ ОХ\ОХ2 ОХ 2
в предположении, что (3) является эллиптическим: Ъц > 0, 622 > 0, 611622 —
— Ъ\2 > 0. Ясно, что простой заменой независимых переменных его можно привести к уравнению Лапласа. Однако это упрощение не всегда допустимо.
Уравнения (2), (3) можно рассматривать как систему уравнений анизотропной теории упругости, куда в качестве правых частей входят производные от температуры. Её общее решение состоит из общего решения однородной системы (температура отсутствует) и частного решения, соответствующего присутствию температурного слагаемого.
Решение будем искать в следующем виде:
Щ =КеП1(р3(Х1 +/13X2), П2 =ЯеП2(рз(Х1 + 113X2). (4)
Здесь 11е (¿>з(х\+ Ц3Х2) — решение уравнения теплопроводности, где 11е — действительная часть комплексного выражения. При подстановке (4) в (2) по-
лучим для щ, П2 алгебраическую систему
П1{(1ц + ¿66/4) + «2^3 (¿12 + ¿66 ) = 71)
«1^3 (¿12 + ¿66) + ^(¿66 + ¿22/^1) = 72/^3
с определителем
¿(Дз) = (¿11 + ¿6бДз)№б + ¿22 Дз) — (¿12 + ¿6б)2/4
Если цз таково, что 5 (/лз) ф 0, то постоянные щ, П2 однозначно определяются из (4) и тем самым находится требуемое частное решение. Но уравнение 5(/л) = 0 имеет четыре комплексно сопряжённых корня /Л 1, Д1, ¡Л2, р.2, и при совпадении /лз с одним из них 5(/л3) равно нулю. Следовательно, в данном случае этот подход непригоден. Тем не менее именно такой способ определения частного решения применяется в [2] без всяких оговорок.
Как представляется автору, в этом случае для определения частного решения необходимо построить фундаментальное решение системы уравнений теории упругости и свернуть его с правой частью. Так, для ортотропного материала матрица (г^) (г,^ € {1,2}, У\2 = г^) фундаментального решения с особенностью в точке (0, 0) имеет следующий вид:
1 2 2 +
Уц(х1,х2) = 1п(Ж1 + ^кх2)>
2уг к^1
2
^12(жЬ Ж2) = ^ йб6^к 1п(Ж1 + Цкх2),
■и22(жь ж2) = V] —^7—N— 1п(ж1 + №Ж2).
Здесь ЛГ(д) = Л(/х)/, где Л(д) = ¿22с?ббД4 + (¿11^22 - ¿?2 - + ¿п^бб-
При этом //1, Ц2 — корни уравнения Л(д) = 0 с положительной мнимой частью. Нетрудно видеть, что
N(/11) = ¿22с?бб(Д1 — дг)(д 1 — Д1) (лл — Д2), Жд 2) = ¿22Йбб(Д2 — Д1)(Д2 — Д0(Д2 — Дг)-
Положим
/• 2
%(жьж2)= I ^укз( Ж1-¿1,ж2-¿2)/5(>1,£2)(Й1(Й2, /се {1,2}.
¡9 5=1
Если при этом
<9-и3 <9-и3
Л_71&? ь-~,2в^-
то функции г>д;(ж1,ж2) (А: € {1,2}) дают требуемое частное решение системы уравнений.
В реальной физической ситуации упругие постоянные и температурные параметры известны только с некоторой погрешностью, и поэтому при малом изменении параметров можно придти к неравенству 5 {¡л3) ф 0, справедливость которого будет предполагаться в дальнейшем. Отсюда для перемещений и температуры получим представление через аналитические функции (с точностью до жёсткого перемещения):
«1(Ж1,Ж2) = 11е {611^1(^1) + Ь12(р2(г2) +П1(р'3(г3)}, и2{ жьж2) = 11е{&21<£>1(21) +Ь22р2(г2) +П2(р13(г3)}, из(жьж2) = 11е <£3(2:3).
где Ъ\к = Сцд| + С\2 — С16ДА;, Ъ2к = С12ДД; + С22Дд, 1 — С26, к £ {1,2}.
2. Задача Дирихле. Количество постановок краевых задач термоупругости, допускающих приведение к регулярным интегральным уравнениям, довольно велико. Рассмотрим одну из них, которую будем называть задачей Дирихле: будем предполагать, что на границе заданы вектор перемещений и температура. Пусть Qi — односвязная ограниченная область на плоскости со спрямляемой жордановой границей дС} длины М класса С'1,"(0, М); в — длина дуги, отсчитываемая от фиксированной точки границы. В дальнейшем утверждение <9(5 € С1'а(дО;) означает, что функции ж^з), х2(з) € С1,а(0,М). Под С1,а(П) в области или на отрезке П понимается, как обычно, банахово пространство функций, имеющих I непрерывных производных в области О,
причём производная порядка I удовлетворяет условию Гельдера с показателем а, 0 < а < 1. Через <5е обозначим область, внешнюю по отношению
К
Для определения перемещений необходимо сначала решить задачу Дирихле для уравнения теплопроводности. Положим = Ж1($) + ¿£0 =
= ж^о) + Ик^о), к € {1,2,3}. Будем искать решение уравнения (3) в таком виде: и(ж1,ж2) = Ке<£з(ж1 + ц3Ж2). Здесь = 7 + г/3 (/3 > 0) определяется из уравнения 6ц + 2612Д + 622Д2 = 0 и отлично от нуля, так как 611622 — Ъ\2 > 0 ввиду эллиптичности уравнения (3).
Рассмотрим задачу Дирихле 1^:
из(х1,х2)\дд = £з(«о), <7з(«о) € С°'а(дд). (5)
Представим Из(ж1,ж2) в виде действительной части интеграла типа Коши с вещественной плотностью /з(-§):
«з(Ж1,Ж2) = їіе — / жі ]
/00 ¿¿з
¿3 - ¿3 ’ б><5
Здесь и в дальнейшем dtj = (ж^з) Ч-(^)) ¿5) І Є {1, 2, 3}. В силу формулы Сохоцкого, когда точка г Є С} стремится к точке ¿о = Жі(«о) + ¿Жг^о) Є 9(5 («о Є {дО)) изнутри области, имеем
ііп.і/44=9іМ + і/А
•г-і-іо 7П У tj — Zj 7ТІ .) tj —
6><з ад
Напомним, что формула Сохоцкого применима, если gj{s) Є С0,а(дСЦ). Тогда получим на границе интегральное уравнение для определения неизвестной плотности /з(§):
/з(в0) + Ке— [ = 5г3(«0), <7з($о) Є С0,а{дО). (6)
тгг 7 із - ¿зо б><5
То, что (7) является уравнением Фредгольма второго рода, следует из следующего рассуждения. Достаточно доказать, что ядро интегрального оператора в (7) имеет слабую особенность. Действительно, при помощи замены независимой переменной ж = жі + 7Ж2, у = /Зжг, Ц = 7 + г/3 (/3 > 0) получим, что
Ке1 [1ШН =Ке1 /-АМЛ
тгг .) ¿з - ¿з тгг .) Ь- х
д(5 6><3
где і = ж(з) + *2/(5), -г = ж + гу. Правая часть в этом соотношении, очевидно, совпадает с потенциалом двойного слоя для уравнения Лапласа. Действительно, при замене £і = Жі + 7Ж2, {2 = /Зжг уравнение (3) обращается в уравнение Лапласа. Как показано в [1], его ядро имеет слабую особенность, если граница имеет нормальный вектор, удовлетворяющий условию Гельдера, т. е. если функции ж(з), у (в), задающие форму границы, подчинены условию
|ж*.(з) — ж*.(«о)| ^ ф — «оГ) 0 < а < 1, А: Є {1,2}.
Напомним, что, как хорошо известно [1], конечным числом итераций ядро со слабой особенностью можно превратить в непрерывное, и поэтому к уравнению (7) можно применить теорию Фредгольма.
3. Интегральные уравнения. Рассмотрим следующую краевую задачу: определить поле перемещений и температуру по их значениям на границе:
Назовём её для краткости задачей Дирихле для системы уравнений термоупругости. Тогда функции <£1(21), <£2 (¿2) определяются из граничных условий
Положим хФ) = дф) ~ пф^ф)), к € {1,2}. Тогда функции хФ) € € С0,а{дО). Функция /з(з) — плотность интеграла типа Коши для определения температуры — определяется из уравнения (7). При этом поле перемещений должно иметь первые производные всюду в области <5, интегрируемые с квадратом в замкнутой области <5, так как иначе краевая задача не будет иметь единственного решения. Будем искать аналитические функции <рк(%к) в виде интегралов типа Коши:
Здесь ¿д. = £1(5) + /^£2(5), к € {1,2}. Пусть /1(5), /2(5) — некоторые вещественные функции. Решим систему уравнений
методом Крамера и подставим её решение в (6). Тогда перемещения будут записаны в следующем виде:
ик(хъх2)\дс) = дф), дф) £ С°’“(9(3), к €{1,2} «з(ж1,ж2)|д<э =£з00, дз(в) € С'1’“(<9<2).
11е {Ъцщ{г{) + 612^2(^2)} = дг^о) - щр'фз^о)) й.е {621^1(^1) + &22^2(^2)} = #2(«о) - п2(рзОз(5о)) 11е<£з(/з) = £з(«о), £з(«) € С1,а{дО).
к €{1,2,3}.
ЪцШх + 612^2 = /1(8), 621^1 + &22^2 = ¡2(8)
(7)
+ &22 [ (-621/1(3) +¿>11/2(3)) ¿¿2
7Н6 У ¿2 - ¿2
6><3
Здесь 5 = 611622 — 612621 —определитель системы (8). Нетрудно видеть, что он пропорционален разности — /12 и поэтому можно записать, что 5 = £ ■ (ц\ —
— Дг)- При этом £ зависит от симметрических функций, от корней характеристического уравнения, и, как следствие, от коэффициентов обобщённого закона Гука. В дальнейшем предполагается, что £ ф 0. В краевых задачах теории упругости он всегда отличен от нуля ввиду положительной определённости удельной потенциальной энергии деформации. Например, для ортотропного материала (с\в = 0, с2б = 0) составляет величину
С = (7172)_1{(СцС22 - С212)х — +С22Сбб)
I. Vе п )
и положителен, так как СЦС22 — с^2 > 0, Сц > 0, С22 > 0, Ст > 0. При этом для изотропного материала £ = (1 + г/)(3 — и)Е~2, где г/— коэффициент Пуассона, Е — модуль Юнга.
Нетрудно видеть, что перемещения можно представить и так:
1 [ /1(в)£Й1 +
иі{хі,Х2) = ІІЄ— І
7ТІ ]
¿1 - ¿1
д(5
(И2 сИ ¿2 “ ¿2 ¿1 - 21
д(5
+ Ке^| I (-б2і/і(в) +6п/2(в))(-
и2(х і,ж2) = Ііе— / ттг У
1 [ /2(3) (И2
¿2 - ¿2 6><5
СІІ2
+ Ке““^ І(622/1(5)-612/2(5))^
+1 “ ¿1 ¿2 - ¿2 6><5
Применяя формулу Сохоцкого, получим систему интегральных уравнений на границе
/і («о) +И.е— [ 7гг 7
1 [ /і(з)сйі
¿1 — ¿10 б><5
+ Ее^1 /+ 6.1/2«) ((^ - ¡Г^) = Х1(»о),
/2(50) + й-е— [ тгг 7
6><з
1 [ /2(в)^2 +
¿2 — ¿20 6><5
+ ^ /М‘М - «>12/2(*)) - £^) = Х2Ы-
дС}
Доказательство регулярности этой системы уравнений аналогично данному в работе [2] и потому здесь не приводится.
4. Гладкость решения. Решение задачи Дирихле имеет весьма ограниченную гладкость. Действительно, если граничные данные принадлежат только классу С°'а(дО), то функции
Шгк)\^С\5{дЯ)\а-\ к €{1,2,3}, (8)
где 5{дО) — расстояние до границы области [4, стр. 69]. Эта оценка, в частности, показывает, что производные от перемещений интегрируемы с квадратом, только если а > 1/2. Поэтому решение задачи Дирихле будет единственным, только если а > 1/2. Справедливость предыдущей оценки легко проверить для решения краевой задачи в полуплоскости. Пусть (р(гз), например, —
решение Задачи ТеПЛОПрОВОДНОСТИ В ПОЛУПЛОСКОСТИ М+2 = {(Ж1,Жг);Ж2 > 0}.
Тогда с£з(-£з) представима интегралом типа Коши:
¡i(t) dt
— oo ^ ¿3
где //(¿) € С0,а на любом подынтервале вещественной оси. Положим для сокращения записи г = гз, г = ж + гу, т. е. ц = г (это не влияет на существо оценки). Тогда
. 1 f°° yn(t)
При учёте неравенств \г — ж| = у ^ |£ — г\, |£ — х\ ^ |£ — г\, справедливых при любом вещественном t, получим следующую цепочку неравенств:
У
-1-« dt ^ 12 ""
-оо I* - ¿Р“" У-оо I* - *
/°° гН
Ауа, А> 0.
-ОО 1^
Аналогичное рассуждение применялось в статье [5]. При этом, как отмечалось в [2], для интегрируемости напряжений с квадратом необходимо предполагать, что показатель Гельдера а > 1/2. Для непрерывности напряжений на границе следует предполагать принадлежность граничных данных классам ^(«) € С1,а(дС}), к € {1,2}, дз(в) € С2,а(дСЦ).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Zhao Yu-Qui On the Plane Orthotropic Stress Problem of Quasi-Static Thermoelasticity // J. Elasticity, 1997. — Vol. 46, No. 3. — P. 199-216.
2. Боган Ю. А. Регулярные интегральные уравнения для второй краевой задачи в анизотропной теории упругости// Изв. РАН. МТТ, 2005. — №4. — С. 17-26.
3. Прусов И. А. Термоупругие анизотропные пластинки. — Минск: БГУ, 1978. — 200 с.
4. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968. — 511 с.
5. Бикчантаев И. А. Краевая задача для однородного эллиптического уравнения с постоянными коэффициентами// Изв. вузов. Матем., 1975. — №6. — С. 3-13.
Поступила в редакцию 18/УШ/2010; в окончательном варианте — 22/1Х/2010.
MSC: 74B05, 74E10
THE DIRICHLET PROBLEM IN THE 2D STATIONARY ANISOTROPIC THERMOELASTICITY
Yu. A. Bogan
M. A. Lavrentyev Institute of Hydrodynamics, Siberian Branch of RAS,
15, Lavrentyeva pr., Novosibirsk, 630090, Russia
E-mail: boganOhydro.nsc.ru
In this article the Dirichlet problem for an anisotropic thermoelastic media is studied. It means, by definition, that a displacement vector and a stationary temperature are assigned at a boundary. This boundary value problem is reduced to a system of integral equations. Kernels of integral operators, entering into this system, are weakly regular in a bounded region with a Lyapunov boundary and Holder continuous boundary data. This boundary value problem keeps up the property of Fredholm solvability if a region and boundary data have weaker properties of smoothness.
Key words: integral equations, anisotropy, elasticity.
Original article submitted 18/VIII/2010; revision submitted 22/IX/2010.
Yurii A. Bogan, Dr. Sci. (Phys. & Math.), Leading Research Scientist, Dept, of Deformable Solid Body.
