CC BY
41
ЗАДАЧА ТИПА КАРЛЕМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ,
ЗАДАННЫХ НА ДВУХ КОНТУРАХ
Скородулина Елена Юрьевна
канд. физ.-мат. наук, ФГБОУ ВПО «Смоленский филиал «РЭУ им. Г.В. Плеханова»,
РФ, г. Смоленск
Юденков Алексей Витальевич
д-р физ.-мат. наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Смоленская ГСХА»,
РФ, г. Смоленск E-mail: gleks-ydenkov@mgil.ru
THE PROBLEM OF CARLEMAN’S TYPE FOR BIANALYTIC FUNCTIONS
OVER TWO CONTOUR LINES
Elena Skorodulina
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, FSBEIHPO “Smolensk Branch “Plekhanov Russian Academy of Economics ",
Russia, Smolensk
Aleksey Yudenkov
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, FSBEI HPO “Smolensk State Agricultural Academy ",
Russia, Smolensk
АННОТАЦИЯ
В статье изучается задача типа Карлемана для бианалитических функций, заданная на двух контурах. В качестве контуров взяты концентрические окружности. Решение краевой задачи проведено с использованием граничных
Скородулина Е.Ю., Юденков А.В. Задача типа Карлемана для бианалитических функций, заданных на двух контурах // Universum: Технические науки : электрон. научн. журн. 2015. № 7 (19) .
URL: http://7universum.com/ru/tech/archive/item/2408
свойств аналитических и бианалитических функций и теории сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши. Получен общий алгоритм решения задачи, установлена ее нетеровость.
ABSTRACT
In the article, the problem of Carleman’s type for bianalytic functions over two contour lines is under study. Coaxial circles are taken as contour lines. The solution of the boundary problem is made using boundary properties of analytic and bianalytic functions, and the theory of singular integral equations with Cauchy kernel. A general algorithm for solving the problem is obtained, and its Noetherity is established.
Ключевые слова: краевая задача, бианалитическая функция, интегральное уравнение.
Keywords: boundary problem, bianalytic function, integral equation.
Задача типа Карлемана и в теории краевых задач для аналитических функций (см. [2]), и в теории краевых задач для полианалитических функций порядка n (см. [3; 5]) относится к наиболее сложным задачам. В то же время она является прямым обобщением задач Г ильберта, Дирихле, Шварца, а также первой основной задачи плоской теории упругости как для изотропных, так и для анизотропных тел [3; 4]. Все перечисленные задачи имеют не только теоретическое, но и большое практическое значение.
Ещё одно обстоятельство делает задачу типа Карлемана интересной для исследования. В отличие от задач Газемана и Карлемана она является истинно односторонней (см. [2]), т. е. её нельзя с помощью конформных отображений перевести в задачу Римана. Это заставляет при решении задачи типа Карлемана прибегать к иным методам, чем при решении задачи Римана.
Постановка задачи. Краевые задачи будут рассматриваться для функций класса Г ельдера. Будем говорить, что функция p(t) принадлежит классу Г ельдера
с показателем М (° < м < 1), если для любых точек t и t' е L выполняется условие
|p(t) -p(t')| < A • |t - tf,
где: А — некоторая константа, определяемая, вообще говоря, по функции р. Для краткости класс Гельдера будем обозначать следующим образом Hm(L).
Пусть Li и L2 — две концентрические окружности с центром (0,0), радиусами
R,, R2, ограничивающие конечные области D, и D2 соответственно.
Требуется определить неизвестную бианалитическую функцию
F(z) =%(z) + zpi(z), (1)
где Ф0(z) и ф1(z) — аналитические в D1UD2 функции, по краевым условиям.
5F(“‘(ti))- = G,(t,) ^ " g.ft), t, е L,
dx
dx
= G2(, 2) " g 2(t 2), 12 е L2
(2)
dx dx
Здесь ak(tk)(k = 1,2) — прямой сдвиг второй кратности ak(ak(tk)) = tk,
ak (tk ) е H(1)(Lk ), ak (tk ) * 0, Gk (tk ) — коэффициенты задачи, Gk (tk ) е H(Lk )
^k / ,
gk (tk ) е H(Lk ), Gk (tk ) ^ 0
Вырожденный случай. Краевые условия (2) можно переписать следующим образом
ф0 (ai (ti)) + ai (ti) • фХ (ai (ti))+Фх (ai (ti)) = Gi (ti) •
" [ф0 (t1 ) " " Ф1 (ti) " ф1 (ti )]" S'i(ti)
ф0 (a2 (t2 )) + a2 (t2 ) • фХ (a2 (t2 )) + Ф2 (a2 (t2 )) = G2 (t2 ) " [ф0 (t2 ) " ^2 " ф1 (t2 ) " ф1 (t2 )] " g2 (t2 )
(3)
Воспользуемся кратностью сдвига, получим
ф0(t1) + t1 • Ф1(tx) + 9i(h) = G1 «(tx))•
• ф0 («1 (t1)) + «1 (t1 ) • Ф1 («1 (t1)) + Ф! («1 (t1 ))] + g («1 (t1 ))
Фо (t2 ) ^ t2 • ф1 (t2 ) ^ ф2 (t2 ) _ G2 («2 (t2 )) •
• ф0 («2 (t2 )) + «2 (t2 ) • ф1 («1 (t2 )) + Ф1 («2 (t2 ))] + g («2 (t2 ))
После несложных преобразований получим:
фо(0 ^ ^ ^pi(t0 _ ^i(^i)
ф 0 (t2 ) ^ ^2 • pi(t2) ^ ф 2 (t2 ) _ ^ 2(t2)
Здесь v * (tk )
Sk («k (tk )) + Sk (tk ) Gk («k (tk )) (к = \ 2)
i - Gk («k (tk)) GJh) ’
(4)
(5)
Положим, что i - Gk («k (tk )) Gk (tk ) * 0.
Из системы (5) с учётом того, что на границах L1 и L2 выполняются условия
ti
R2 - R
t
12 _
to
получим
2
tiP0(ti) + Ri2 •Pi (ti) + ti •Pi(ti) = ti •Vi(ti) t2ф0 (t2 ) ^ R2 • pi (t2 ) ^ t2 • ф2 (t2 ) _ t2 • ^(t2 )
(6)
Условия (6) представляют собой задачи об аналитическом продолжении. Такие задачи имеют единственное решение при выполнении условия
i Г Л 'v k (т)
т
tk V k (tk ) _ . f
ТГ7 J
Lk T k tk
dr t (k = i,2)
При выполнении условия (7) решение системы (6) даётся формулами zP0(z) + Ri2 • Pii(z) + z • Pi(z) = ^ dTi ,
/777 •> 7" — T
ZP0 (Z) + R22 • Pii( z) + Z •Pi (Z)
2m ^ т - z
i ГТ2^2(Т2)
2m r T - z
drt
(7)
(8)
Отсюда получим
1 frT1 Vl(Ti) 2%i(R12 - R22) [ J Ti - z
T — z
T2 V2(T2)
T — z
— dT
2
Случай, когда 1 — Gk (a k (tk )) Gk (tk ) Ф 0 рассмотрен
полностью.
При усложнении формы контуров Li и L2 ход решения практически не изменится. Невырожденный случай задачи по скачку. Пусть
Из этого условия следует, что gk (ak (tk )) + gk (tk ) Gk (ak (tk )) = 0.
Этот случай имеет большее практическое применение, чем рассмотренный выше.
Возьмём, например, первую основную задачу плоской теории упругости для изотропного тела. Её математическая модель применительно к нашей теории будет иметь вид:
1 — Gk (a k (tk)) Gk (tk) - 0 (k — 1,2).
Re (p0 (ti) + ti • vi (ti) + Vi (ti)] = gi (ti)
Re 00 (t2 ) + t2 ■ Vi (t2 ) + V2 (t2 )] = g2 (t2 )
Здесь Gk (tk) = 1, a k (tk ) — tk , gk (tk ) — действительные функции. Значит, условия
i — Gk a (tk)) Gk (tk) - 0,
gk (ak (tk))+gk (ak (tk)) Gk (ak (tk)) - 0
выполняются.
Требуется определить бианалитическую функцию F(z) — V0(z) + zvi(z)
по краевым условиям.
ф0 («i ft))+«i ft) • («1 ft))+%i («1 ft)) = фо (o+^ -фко+%ift)]+
+,?i(ti)
ф0 («2 (t2 )) + «2 (t2 ) " ф1 («2 (t2 )) + ф2 («2 (t2 )) _ [ф0 (t2 ) + ^2 " ф1 (t2 ) + ф1 (t2 )] + + S'2 (t2 )
Рассмотрим вспомогательные функции
R 2
Ф л (z ) = ф0(* ) + ф|(z) + ф!(z) (10)
Значения вспомогательных функций на границах Li и L2 совпадают
с граничными значениями функции ф0 (z) + z ф| (z) + (z) . Поэтому условия
(9.7) можно переписать следующим образом
o,(«i(/,)) = ФД,) + gi(ti), Ф 2 («2 (t2 )) = Ф 2 (t2 ) + S2 (t2 )
Система (11) представляет собой две задачи типа Карлемана по скачку для аналитической функции.
Известно [2], что задачи типа Карлемана по скачку равносильны системе интегральных уравнений следующего вида:
(K Pk)(t*)=Pk +
I
Lk
«k(*k)
«k (*k ) ~«k (tk )
< (SfЛ
Tk ~ h у
Pk (Tk ) dTk
Sk (tk ) (12)
f.Pk («k (тк)) drk + .c
l Tk -z ’
С — произвольная действительная постоянная, которую можно приравнять к нулю.
Интегральная плотность Pk (t) удовлетворяет условию
Здесь Ф k ( z)
1
2т
Pk (« k (tk)) + Pk (tk) = 0.
Ядро уравнения является ядром Фредгольма, имеющим разве что слабую особенность.
Учитывая, что на контурах Li и L2 выполняются условия
^ к (tk )
1
а к (tk ) ’
tк
1 tк
тк (S):
1
~ , преобразуем ядро интегрального уравнения (12)
т к
ак (тк )
ак (тк)
+ ■
ак(тк)~ак(tk) т, -tk ак(тк)-ак(tk) V - 1
< (тк)
1
кк
1
+ —
ак (тк) -ак (tk) тк - tk т
к
Таким образом, интегральное уравнение (12) можно переписать в следующем
2
t
виде
(K р к Ж) = р к(tк) + J
ак (тк )
1
L\ак(тк)-ак({к) тк -{к J
р к(т к) dT к +
+
Jpкft) — = 8кft), (к = 1,2)
(13)
кк
Уравнение (13) является уравнение Фредгольма 2-го рода.
Известно, что однородные интегральные уравнения (13) не имеют нетривиальных решений. Следовательно, неоднородное интегральное уравнение
(13) имеет единственное решение при любых функциях §к (^к).
Из равносильности интегральных уравнений (13) и краевых задач (12) следует утверждение.
Теорема 1. Однородная задача типа Карлемана по скачку для бианалитических функций, заданных на двух концентрических окружностях, не имеет нетривиальных решений.
Теорема 2. Неоднородная задача типа Карлемана по скачку для бианалитических функций, заданных на двух концентрических окружностях,
однозначно разрешима при любом значении коэффициентов gk (tk) и сдвигах
аk (h)
Общий случай. Перейдём к решению задачи (2) при выполнении условий
Gt (а„ (tk)) Gt (t к) - 1, gk (а к(h)) + gk (а к(tk)) Gk (ак(tk)) = 0 Введём вспомогательные функции по формулам (10).
Перепишем краевые условия (2) с учётом обозначений (10) в следующем виде
Ф (ai (ti)) = Gi (ti) ф1 (ti) + gi (ti X
(14)
Ф 2(a2(t2)) G2 (t2 ) Ф 2 (t2 ) ^ g2 (t2 )
Проведём факторизацию задачи, т. е. представим функции Gk (tk ) (k = 1,2) в виде отношения специально подобранных значений аналитических функций
(f \ _ X k (а k (tk ))
Gk <'■) =нлгг
(i5)
Здесь Xk (z) — аналитические функции в конечных областях Dk,
определяемые по формулам Xk (z) = zLk 2 Xk (z) (канонические функции).
X k (z)
решение краевой задачи
X k (a k (tk ))
t Xk/2
akk>2(tk )
•X k (tk).
Получим
Ф (a k (tk)) = Ф (tk) +
gk (tk)
X k(a k (tk))
(k = 1,2)
(i6)
Таким образом, задача (14) сведена к двум задачам по скачку для аналитических функций.
Сформулируем итоговый результат.
Теорема 3. Задача типа Карлемана для бианалитических функций, заданных на двух окружностях, сводится к решению двух задач типа Карлемана для двух аналитических функций.
Исходя из линейности задач (14) и выражения для канонических функций, несложно получить утверждение.
Теорема 4. Задача типа Карлемана для бианалитических функций, заданных на двух окружностях, является нётеровой с индексом JndK = xx + x2.
Выводы. В статье поставлена и решена задача типа Карлемана для бианалитических функций. Получен алгоритм сведения задачи к известным задачам для аналитических функций. Практическое значение состоит в том, что разработанные методы применимы к решению так называемых смешанных задач теории упругости для изотропных и анизотропных тел. Основные теоретические результаты сформулированы в теоремах 1—4.
Список литературы:
1. Володченков А.М., Юденков А.В. Моделирование основных задач плоской теории упругости однородных анизотропных тел краевыми задачами со сдвигом // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2006. — № 3. — С. 482—483.
2. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные уравнения со сдвигом. — М.: Наука, 1977. — 448 с.
3. Редкозубов С.А., Юденков А.В. Задача типа Карлемана для бианалитических функций в теории изгиба тонкой пластинки // Проблемы механики деформируемых тел и горных пород. Сб. статей под ред. академика РАН А.Ю. Ишлинского. — М.: Из-во МГГУ, 2001. — С. 270—277.
4. Юденков А.В., Володченков А.М. Основные задачи теории упругости тел с прямолинейной анизотропией в стохастической теории потенциала // Ученые записки. Электронный научный журнал Курского государственного университета. — 2013. — № 2 (26). — С. 14—17.
5. Юденков А.В., Володченков А.М. Стохастическая задача Гильберта для n-аналитических функций в статической теории упругости изотропного тела // Вестник Брянского государственного университета. — 2014. — № 4. — С. 43—45.
