Метод конформного склеивания при решении задачи Газемана для бианалитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕТОД КОНФОРМНОГО СКЛЕИВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ГАЗЕМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Володченков Александр Михайлович

канд. физ.-мат .наук, ФГБОУ ВПО «Смоленский филиал «РЭУ им. Г.В. Плеханова»

214030, Россия, Смоленская область, г. Смоленск, ул. Нормандия-Неман, д. 21 E-mail: [email protected]

Юденков Алексей Витальевич

доктор физ.-мат .наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Смоленская ГСХА»

214000, Россия, Смоленская область, г. Смоленск, ул. Большая Советская, дом 10/2 E-mail: [email protected]

THE METHOD OF CONFORMAL PASTING IN THE PERFORMANCE OF HAZEMAN’S TASK FOR BIANALYTICAL FUNCTIONS

Aleksandr Volodchenkov

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, FSBEIHPE “Smolensk branch “Plekhanov Russian University of Economics”, 214030, Russia, Smolensk region, Smolensk, Normandie-Niemen str., 21

Aleksey Yudenkov

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, FSBEI HPE “Smolensk State Agricultural Academy ”, 214000, Russia, Smolensk region, Smolensk, Bolshaya Sovetskaya str., 10/2

АННОТАЦИЯ

Задача Г аземана является основной двухсторонней краевой задачей теории функции комплексного переменного. Наиболее исследована задача Газемана для кусочно-аналитических функций. Одним из эффективных методов её

Володченков А.М., Юденков А.В. Метод конформного склеивания при решении задачи Газемана для бианалитических функций // Universum: Технические науки : электрон. научн. журн. 2015. № 11 (22) . URL: http://7universum.com/ru/tech/archive/item/2765

решения является метод конформного склеивания, позволяющий с помощью подбора специального контура убрать сдвиг в краевых условиях.

В данной работе задача Газемана рассматривается на более широком классе функций - бианалитических функций. Бианалитические функции являются прямым обобщением аналитических и используются в задачах теории упругости для определения комплексного потенциала.

Общей проблемой, возникающей при решении краевых задач для бианалитических функций, является наличие в краевых условиях неаналитических элементов. Это приводит к тому, что бианалитическая функция не является инвариантной относительно конформных отображений. Поэтому непосредственно применить метод конформного склеивания к решению задачи Газемана для бианалитических функций нельзя.

Тем не менее в работе получен метод, аналогичный методу конформного склеивания, позволяющий свести задачу со сдвигом для бианалитических функций к задаче без сдвига для аналитического вектора. Также в работе получен общий алгоритм решения краевой задачи Газемана для бианалитических функций для областей сложной формы.

ABSTRACT

Hazeman’s task is the main bilateral boundary value problem of the functions theory of a complex variable. Hazeman’s task for piecewise-analytic functions is mostly studied. One of the effective methods of solving it is the method of conformal pasting that enables the selection of a special circuit to remove a shift in the boundary conditions.

In the article the Hazeman’s problem is considered on a wider class of functions -bianalytical functions. Bianalytical functions are a direct generalization and analysis used in the theory of elasticity to determine the complex potential.

A common problem arising in the solution of boundary value problems for bianalytical functions is the presence in the boundary conditions of non-analytic elements. It leads to the fact that bianalytical function is not invariant with respect

to conformal mappings. So application of the method of conformal pasting to Hazeman’s problem for bianalytical functions is impossible.

Nevertheless, the obtained method similar to the method of conformal pasting allows reducing the problem with shift for bianalytical functions to the problem without a shift for analytic vector. Also, a general algorithm for solving boundary value problems for Hazeman’s bianalytical functions for the areas of complex shape is obtained in the article.

Ключевые слова: конформное отображение, бианалитическая функция.

Keywords: conformal mapping, bianalytical function.

Краевые задачи для бианалитических функций эффективно используются при решении основных задач теории упругости в изотропных и анизотропных средах (смотри, например, [3; 4]). В частности , в работах [1; 2] показано, что в случае прямолинейной анизотропии общего вида основные задачи теории упругости математически эквивалентны краевым задачам для аналитических векторов с бианалитическим сдвигом.

В работе исследуется краевая задача Газемана (основная двухсторонняя задача со сдвигом) на классе бианалитических функций. Задачи такого вида были поставлены Ф.Д. Г аховым как обобщение основных задач теории упругости.

Пусть на плоскости комплексного переменного z задан контур

Р

L = U L. , состоящий из совокупности p +1 попарно непересекающихся

j = 0 J

простых замкнутых кривых Ляпунова, причем кривая L0 охватывает все остальные. Через D+ обозначим конечную (p + 1) - связную область, ограниченную кривыми L0, L1,..., Lр. Через D“ будем обозначать дополнение D+

и L до полной плоскости C . Конечную и бесконечную области, общей границей которых является кривая Lj (j = 0, 1, ., p), будем обозначать через

и D. соответственно.

Зададим на составном контуре L сдвиг с помощью формулы

p

a(t) = ^®(t,Lk) ak(t),t е L

(1)

k=0

где

ю (t, Lk) = Sk,j; t е Lj; kj = 0, 1, ..., m;

Д _ J0,k ф )■> kJ = \l,k = j;

ak(t) - гомеоморфизм контура L k на себя, не меняющий направление обхода. Искомую бианалитическую функцию будем искать в виде

F± (z) = Ф±(z) + z9f (z) • (2)

Здесь ф± (z) и ф±± (z) - кусочно-аналитические функции в областях D± ,

z = x — iy •

Краевую задачу Г аземана будем рассматривать на пространстве Г ельдера (H|i(L)), где норма определяется следующим образом

H,,

= max|p(t)| + sup^^—(0 < р < 1).

(3)

T,teL |х — t^

Краевые условия задачи Газемана для бианалитических функций имеют вид [5]:

SF *(a(t)) = g 1 (t) + g1(t),

Sx

Sx

SF * (a(t)) = G (t) SF—(t) * ----------- = G2(t)---“----* ig 2 (t)^

(4)

Sy

Sy

или, учитывая (2),

Ф*!/

(a(t)) * a(t) ф*' (a(t)) * ф* (a(t)) = G1 (t)[ф—' (t) *t ф—' (t) * ф— (t)]+g1 (t),

Ф0

*'(a(t)) * a(t) ф*'(a(t)) — ф* (a(t)) = G2 (t)[ф—'(t) *t Ф—'(t) — Ф— (t)]* g2 (t).

(5)

Здесь Gk(t) е H(3 k)(L) (k = 1, 2), gk (t) е H(1)(L) - заданные на L функции; Gk(t) ф 0 на L, a(t) - прямой сдвиг, a(t) е H(3)(L), a'(t) ф 0.

Из уравнений (5) сразу можно сделать вывод, что основная особенность краевых задач для бианалитических функций - это наличие в краевых условиях неаналитических компонент. Эта особенность существенно затрудняет исследование задач для областей общего вида (смотри, [3; 5]).

Решение задачи. Как известно (см. [3]), при решении задачи Газемана для кусочно-аналитических функций можно использовать так называемый метод конформного склеивания. Он заключается в том, что осуществляется переход с контура L плоскости z на контур Г плоскости £. При этом точки a(t) и t контура L переходят в одну точку so контура Г. В связи с тем, что бианалитические функции не инвариантны относительно конформных преобразований, применить непосредственно метод конформного склеивания к ним не удается. В данной работе получен аналог метода конформного склеивания, пригодный для работы с краевыми задачами для бианалитических функций в самой общей постановке.

Найдем кусочно-аналитическую функцию ш* (z), имеющую

на бесконечности простой полюс, для которой на контуре L выполняется условие

Функция ш (t) определяется как решение уравнения Фредгольма 2-го рода (см., например, [3] § 17):

Обозначим через Д+ и А области плоскости £, на которые отображаются

Пусть ш*(^) - функции, обратные ш*(z). Тогда, заменяя в (6) t на ш.^), получим:

ш+ (a(t)) = ш (t).

(6)

(7)

области D +, D функциями ш + (z) и ш (z) соответственно, а через Г - контур, разделяющий области Д+ и Д~ . Согласно условию задачи ш* (z) g H(3)(L).

ш+ {a[шI1(t)]} = So

(8)

Введем кусочно-аналитические функции

Ф * (£) = Ф* (ю_1 О, Ф* (z) = Ф*' (z), Ф* (S) = Ф* (©*Д))-

С учетом обозначений (9) система (5) примет вид:

Фо(©+ (a(t))) + a(t)Ф 1 (°© (a(t))) +Ф +(©+ (a(t))) =

(9)

Gi(t)

©О ’(a(t))

ф-(©- (t))+tФ1 (© (t)) + ФГ(©- (t)) Ю-1 (t)

+ gi(t),

Ф0 (©+ (a(t))) + a(t)Ф1 (© (a(t))) - ф + (© + (a(t))) :

(10)

G2(t)

©О ’(a(t))

Ф-(©- (t)) +1Ф1 (© (t)) - Ф-(©- (t))

Ю-1 (t)

+ g2(t).

Полагаем в (10) t = ©_1(s0), где s0 е Г, то есть переходим с контура L на контур Г. Тогда с учетом (8), получим:

Ф0(s0) + .a(© |(S0)\,NФ+,(s0) + Ф+(s0) =

©- 1,(a(©- 1(s0)))

= ~1(so)

Ф0(s0) + ©_-1(so) V-,(s0) + V-(s0)

©-1,(so)

+ g1(so),

Ф + (s0) + .a(© '( so)\,ЧФ+'(s0) - Ф+ (s0)

(11)

©- 1,(a(©- 1(s0)))

=G2K)

ф - (s0) + ©--1,(М ф -' (s0) - ф-(s0)

©-1,(s0)

+ g2(s0).

где Gk (s0 ) = Gk (©-1 (s0)), gk(s0) = gk (©-1 (s0 )), (k=1,2) .

Теперь краевые значения неизвестных функций ф * (£) и Ф* (£)

рассматриваются в одной точке s0 е Г. Перепишем первое краевое условие системы (11) в следующем виде

Ф+(s0) = G1(s0)V-(s0) + Q0(s0) , (12)

где

Q0 (s0 ) = - a(s0 )Ф+' (s0 ) - Ф+ (s0 ) + G2 (s0 )[b(s0 )Ф-' (s0 ) -Ф- (s0 )] + g1 (s0 ) , (13)

a(s -I «(^(S.)) . h(s ч = _^чМ

Ю-1 («(®-1(s0))) ®_1 (0

Выразим кусочно-аналитическую функцию Vо (5) через Qo(so), решая задачу Римана (12):

X± (5) г Qo(s)ds 2га 1 (s -5)X- (s)

V0 (5) = ^ bQ^- X± (5)p;-i(^).

(14)

где: Xj = JndG1(t) -1, Px.4(5) - полином степени не выше Xj -1

p

с произвольными комплексными коэффициентами, Х1 (5) = П (5-5 k) "X“er',5)

X- (5) = z-X1 er1 (5) - канонические функции задачи;

k=1

г1(5) = 2я[ l

ln

s-xn (s0-5 k)-x1kG1(s0)

k=1

dsr

s0 -5

Используя формулы Сохоцкого-Племеля, а также соотношения

[V± (^)Г =±- f[v0 (5)^'ds, s ег.

ТГ1 J

Л1 L s s0

(15)

получим

Ж+ (so) = -a(so X ' (so) - Ж+ (so) + j

2m

+

X1+ (So) 2m

X i+ (So)

1

1

2m

>o) Г

r «

X- (S) X- (So) 1 1 X1+cS)" X+w

b(s) b(so)

X- (S) X- (So)

Ж '(s)ds

+

s - S

o

Ж (s)ds X1(so)

S - S

o

2m

a( s) a(So)

X+ ( s) X+ (So)

Ж '(s)ds

S - S

Ж (s)ds 1

S -S 2

+1 ~1(So) + ^ j

X1+ (soh ~1 (s)ds

2m Г X 1(s)(s - So )

o

+

+ X1+ ( So) Px;-1( SoX

Ж (so) = -b(So Ж ’(So) - Ж (So) +

XГ(So) 2m

b(s) b(so)

X1- (S) X1- (So)

Ж ’(s)ds

+

S-S

o

+ XTM f

2m j

1

1

XГ(So) 2m

X- (s) X1- (So)

11

Ж-(s)ds X1- (so)

S-S

o

2m

a(s) a(so)

X1+ (s) X1+ (So)

Ж '(s)ds

s - s

- (16)

o

Ж1+ (s)ds 1 ~1(so) , X1-(sob ~1(s)ds

X1+ (s) X1+ (so) J s - so 2 Gx(So) 2m i X1+ (s)(s - so)

o) + X 1 (so) f ^1 у .______________

i J

+ X1 (so) Px*-1(so),

г

г

г

г

г

г

i

Подставляя полученные граничные значения кусочно-аналитической функции Ж о (£) во второе краевое условие (11), после несложных преобразований получим:

Ж+ (so) - G2(So)v- (so) + j A(So, s)< (s)ds + jB(So, s)^- (s)ds = Q1OO , (17)

L L

где A(so,s), B(so,s) e Н*(Г хГ), Q1(s) e Н1(Г) - известные функции. Решая

обобщенную задачу Римана (17), определим функцию Ж+ (£). Подставляя ее граничные значения в уравнение (14), получим обычную задачу Римана для кусочно-аналитической функции Ж о (£).

Таким образом, верно следующее утверждение.

Теорема. Решение задачи Газемана для бианалитических функций на контуре L сводится к последовательному решению обобщенной задачи Римана (17) и обычной задачи Римана (14) на контуре Г относительно кусочноаналитических функций Ж о (£) и Ж+ (£) соответственно,

где Ж + (О = Ф+(ю-1^)), Ф+ (z)

Ф+ ’(z), Ж++ ф = Ф++ (ю+1(^)) .

Доказанная теорема даёт общий алгоритм решения краевой задачи Газемана для бианалитических функций. Кроме этого, непосредственно из неё можно получить важное следствие.

Следствие. Краевая задача Газемана для бианалитических функций является нётеровой. Её индекс равен сумме индексов краевых задач Римана для кусочно-аналитических функций.

Список литературы:

1. Володченков А.М., Юденков А.В. Моделирование основных задач плоской теории упругости однородных анизотропных тел краевыми задачами со сдвигом // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2006. -№ 3. - С. 482-484.

2. Володченков А.М., Юденков А.В. Об одном методе решения первой

основной задачи теории упругости для однородного анизотропного тела // Universum: Технические науки : электрон. научн. журн. - 2015. - № 6 (18) / [Электронный ресурс]. - Режим доступа: URL:

http://7universum.com/ru/tech/archive/item/2247 (дата обращения:

10.11.2015).

3. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М: Наука, 1977. - 640 с.

4. Лехницкий Г.С. Теория упругости анизотропного тела. - М.: Наука, 1977.

5. Юденков А.В. Краевые задачи со сдвигом для полианалитических функций и их приложения к вопросам статической теории упругости. -Смоленск: «Смядынь», 2002. - 268 с.

References:

1. Volodchenkov A.M., Iudenkov A.V. Simulation of the main problems of the plane theory of elasticity of anisotropic bodies by inhomogeneous boundary value problems with a shift. Obozrenie prikladnoi i promyshlennoi matematiki. [Review of applied and industrial mathematics], 2006, no. 3, pp. 482-484 (In Russian).

2. Volodchenkov A.M., Iudenkov A.V. A method for solving the first major problem of elasticity for a homogeneous anisotropic body. Universum: Tekhnicheskie nauki: elektron. nauchn. zhurn. - 2015. - № 6 (18). [Universum: Technical Sciences: the electronic scientific journal, 2015, no. 6 (18)]. Available at: http://7universum.com/ru/tech/archive/item/2247 (accessed: 10 November 2015).

3. Gakhov F.D. Boundary value problems. Moscow, Nauka Publ., 1977. 640 p. (In Russian).

4. Lekhnitskii G.S. The theory of elasticity of an anisotropic body. Moscow, Nauka Publ., 1977. (In Russian).

5. Iudenkov A.V. Boundary-value problems with a shift for poly-analytic functions and their application to issues of static elasticity theory. Smolensk, “Smiadyn'” Publ., 2002. 268 p. (In Russian).