Многоэлементная краевая задача для полианалитических функций со сдвигом Карлемана Текст научной статьи по специальности «Математика»

МНОГОЭЛЕМЕНТНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СО СДВИГОМ КАРЛЕМАНА

Юденков Алексей Витальевич

доктор физ.-мат. наук, профессор, ФГБОУВПО «Смоленская ГСХА»,

РФ, г. Смоленск E-mail: aleks-ydenkov@mail. ru

Римская Лилия Павловна

канд. физ.-мат. наук, ФГБОУ ВПО «Смоленская ГСХА»,

РФ, г. Смоленск E-mail: lilirimska@yandex. ru

A MULTICOMPONENT BOUNDARY PROBLEM FOR POLYANALYTIC FUNCTIONS WITH THE SHIFT OF CARLEMAN

Aleksey Yudenkov

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, FSBEIHPO “Smolensk State Agricultural Academy ",

Russia, Smolensk

Liliya Rimskaya

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, FSBEI HPO “Smolensk State Agricultural Academy ",

Russia, Smolensk

АННОТАЦИЯ

В статье исследуется многоэлементная задача со сдвигом Карлемана для полианалитических функций в вырожденном случае. Исследование основано на теории классических краевых для полианалитических функций и нетеровых

Юденков А.В., Римская Л.П. Многоэлементная краевая задача для полианалитических функций со сдвигом Карлемана // Universum: Технические науки : электрон. научн. журн. 2015. № 7 (19) . URL: http://7universum.com/ru/tech/archive/item/2412

операторов. Полученные результаты применимы к решению задач теории упругости для неоднородных анизотропных тел.

ABSTRACT

In the article a multicomponent problem with the shift of Carleman for polyanalytic functions in a degenerated case is under study. The study is based on the theory of classical boundaries for polyanalytic functions and Noetherian operators. Obtained results are applicable for the solution of problems of the elasticity theory for heterogeneous anisotropic bodies.

Ключевые слова: задача Карлемана, полианалитическая функция, нетеров оператор.

Keywords: Carleman’s problem, polyanalytic function, Noetherian operator.

Своим развитием теория многоэлементных краевых задач во многом была обязана выходу в свет монографии И.Н. Векуа [1], в которой были указаны приложения краевых задач для обобщенных аналитических функций к исследованию проблемы жесткости кусочно-регулярных поверхностей, полученных путем склеивания двух (или большего числа) регулярных поверхностей.

Например, если S+ и S— — куски овалоидов, склеенных друг с другом вдоль некоторой линии L, то вопрос о том, допускает ли бесконечно малые изгибания полученная в результате этого склеивания кусочно-регулярная поверхность S = S+ u S—, сводится к вопросу о существовании нетривиальных решений однородной задачи вида

Ф+ (t) = 0{Ф~ (t) + G2 Ф~ (t), t е L (1)

Здесь (Ф+^), Ф—(z)} — кусочно-аналитическая функция, Gk(t) (k = 1, 2) — заданные на L функции.

При гомеоморфном отображении поверхностей S+ и S_ на некоторые плоские области D+ и D_, имеющие общую границу Г, возможно получение многоэлементных краевых задач со сдвигом. Вообще, в работе [1] указывается, что разные способы склеивания произвольного числа регулярных поверхностей приводят к еще более сложным краевым задачам [1, с. 458].

В данной работе будет рассмотрена многоэлементная задача Карлемана для полианалитических функций. Отметим, что такого рода задачи возникают при моделировании процессов деформации неоднородных по упругим свойствам плоских тел (смотри, например, [2; 5; 7]).

Исследование многоэлементной задачи Карлемана для полианалитических функций будет опираться на двухэлементные краевые задачи для полианалитических функций (задача Карлемана, задача Газемана и задача Римана), теория которых к настоящему времени достаточно полно развита (смотри, например, [3; 4; 6; 8]).

Будем полагать, что контур L состоит из простой замкнутой кривой Ляпунова, определяющей область D+, содержащую точку z = 0.

Определение 1. Кусочно-полианалитической функцией порядка n с линией скачков L называется функция F(z), если она в двух дополняющих друг друга до полной плоскости областях D+ и D_, разделенных контуром L, определяется выражением

F(z)

F+(z), z e D+, F"(z), z e D“,

(2)

где

n-1

F+(z) = Zzk ф+(z)

k=0

n -1

F-(z) = fo- (z)+Zzkz-k-1fk- (z) = Zzk ф" (z),

n-1

k=0

k=0

(3)

Фк (z), fk (z) — аналитические в областях D+ и D соответственно функции, кроме того Фо(z) = fo“ (z), Ф[ (z) = z “ J_lfj“ (z), j > 1.

Изучаемая в работе задача будет рассматриваться в пространстве функций, удовлетворяющих на L условию Г ельдера с показателем p (H^(L)). Норма в этом пространстве определяется следующим образом

= max

teL

|p(t)| + sup

T,teL

Ь(т) -P(t)| It- tr

(0 < p < l).

Рассмотрим следующую краевую задачу. Требуется определить кусочнополианалитическую функцию F*(z) порядка n, исчезающую на бесконечности, которая непрерывно продолжается на контур L вместе со своими производными по dz и dz порядка (n — 1) включительно, по следующим краевым условиям:

,^дn-1nF+ (t) , ,+.dn-1F+ [a(t)] _ 5n-1F-(t)

ak(tK n-^ k-1+bk(tK n-Ak-i + ck(tKn- ■ +

dxn-k dy

dxn-k dy

k Л-.k-l

dxn-k dy

J/4dn-1F-[a(t)] ^ Л , ТЛ

+ dk(t) . n-k. k_i = fk(t)> (t e L)

(4)

dxn-k dy

где ak(t), bk(t), ck(t), dk(t) (k = 1,...,n) — заданные на L функции класса H(2n — k — 1)(L); f k(t) — известные на L функции, f k(t) e H(2n — 1)(L), a(t) — сдвиг Карлемана (a[a(t)] = t), a'(t) ф 0, a(t) e H(2n—1)(L).

Контур L принадлежит классу C(2n—1).

Рассмотрим несколько случаев задачи (4).

П. 1. Пусть a(t) — обратный сдвиг Карлемана. Положим, что

Ak(t) ф 0, (5)

где

Ak(t) = bk(t) dk[a(t)] — a k[a(t)] ck(t). Кроме того, всюду на L выполняются условия

Au(t)= ck(t )ck[a(t)] - dk(t )dk[a(t)] = 0, A2,k (t) = ak (tК [a(t)] - bk (t)bk [a(t)] = 0

(6)

Покажем, что соотношения

ak(t)

bk(t)

и

ck(t)

dk(t)

можно доопределить так, чтобы

они не обращались в нуль на контуре L. Пусть, например, bk(to) = 0 в некоторой точке t0 е L. Из условий (6) следует, что ак^0) = 0 или ак[а(^)] = 0. Однако если выполняется последнее равенство, то в силу условия a[a(t0)] = t получим Ak(t0) = 0, что противоречит условию (5). Поэтому если bk(fc) = 0, то а^к) = 0. Из равенства ак^0) = 0 следует, что bk[a(t0)] ф 0. Тогда из условия для Ai,k(t) получим

limak(t)-bk[a(to)]^0

t-tobk(t) ak[a(to)]

Аналогично, используя условие для A2,k(t), получим, что

ф 0.

dk(t)

Присоединим к условиям (4) n краевых условий, полученных из (4) заменой t на a(t), получим

дn-1F+ (t) дn-1F+ [a(t)] д n-1F- [a(t)]

bk[a(t)] . n-^(k)1 + ak[a(t)] , n^ 1, + cja(t)]------------МФ- +

+ dk[a(t)]

dxn-k dyk дn-1F- (t)

dxn-k dy

dxn-k dyk-1

dxn-k dyk -

1 = fk[a(t)L

m-)™+bk(t) ^af ♦ +

+ dk(t)

dxn-kdyk-1 k 4 ' dxn-kdyk

дn-1F- [a(t)]

dxn-k dyk-1

dxn-k dyk-1

fk(t), (k = l,...,n).

(7)

Используя соотношения для A1k(t), исключим из системы (7) краевые дn-1F+ (t) д n-1F+ [a(t)] ^

значения — _ и ------——. Получим внешнюю задачу Карлемана

дxn дy дx; дy

для полианалитических функций порядка n

дn-1F- [a(t)] = ak [a(t)]ck (t) - bk (t)dk [a(t)] дn-1F- (t) 5xn-kdyk1 ak [a(t)]dk(t) - bk (t)ck[a(t)] dxn kdyk1

, ak[a(t)]fk(t) - bk(t)fk[a(t)] ak[a(t)]dk(t) - bk(t)ck[a(t)]

Запишем следующие соотношения

(8)

Ak(t) Ak[a(t)] — Vk(t) Vk[a(t)] = Ai,k(t) A2,k(t), где Vk(t) = bk(t) Ck[a(t)] - a k[a(t)] d k(t). В силу условий (6) получим, что Ak(t)Ak[a(t)] = Vk(t)Vk[a(t)]. Значит, Vk(t) ф 0. Кроме того, справедливо равенство:

Vk[a(t)] = A k[a(t)]. (9)

dk(t)

Преобразуем выражение (8) к следующему виду:

дn-1F- [a(t)] Ck(t) дn-1F- (t) ak[a(t)]fk(t) - bk(t)fk[a(t)]

dxn-kdyk-1 dk(t) dxn-kdyk-1 V(t) ‘ (10)

(k = 1,2,...,n)

Заметим, что

ck(t) ck[a(t)] = 1 dk(t) dk[a(t)] ’

ak(t)fk[a(t)] - bk[a(t)]fk(t) Vk[a(t)]

, ck[a(t)] ak [a(t)]fk(t) - bk (t)fk[a(t)] dk[a(t)] Vk(t)

= 0.

(11)

Исключим теперь из системы (7) граничные значения

дn-1F- (t)

n-k k-1

dx dy

и

д n-1F- [a(t)] „

---- k , получим внутреннюю задачу Карлемана для полианалитических

дxn дy

функций порядка n [4]:

дn-1F+ [a(t)] = ak(t) дn-1F+ (t) ck [a(t)]fk (t) - dk (t)fk [a(t)]

дxn-k5yk 1 bk(t) дyk 1 ck[a(t)]bk(t) - dk(t)ak[a(t)^ (12)

(k = 1,...,n).

В этом случае также выполняются условия, аналогичные (34.8).

Таким образом, полианалитические функции F+(z) и F-(z), составляющие решение задачи (4), при выполнении дополнительных условий (5) и (6) являются решениями внутренней и внешней задач Карлемана для полианалитических функций соответственно. Если же подставить выражения (10) и (12) в краевое условие (4), то получится тождество.

Сформулируем полученный результат.

Теорема 1. Многоэлементная задача (4) для полианалитических функций порядка n при выполнении условий (5), (6) равносильна системе из внутренней и внешней задач Карлемана (10), (12) для полианалитических функций порядка n. Причем задача (10) и (12) являются независимыми.

Из теоремы 1 следует, что число условий разрешимости р и число l решений краевой задачи (4) можно получить суммированием числа условий разрешимости и числа решений краевых задач (10) и (12). Следовательно, многоэлементная задача (4) является нетеровой.

П. 2. Пусть a(t) — обратный сдвиг Карлемана и Ak ф 0 (k = 1, 2,..., n). Пусть выполняются условия

Приведем краевое условие (4) к системе задач Карлемана для полианалитических функций порядка n.

A

2,к ~

0

(13)

аn-1F+ [a(t)] ak(t) an-1F+ (t) | 1

n-k^ k-1 i /.i_\ '■ч n-k^Tk-1 i /

axn-k ayk-1 b (t) axn-k ayk-1 bk (t)

k-1

k-1

+

fk(t) - Ck(t)

an-1f-(t) axn-k ayk-1

k-1

(14)

Заметим, что первая краевая задача типа Карлемана помимо граничных значений производных неизвестной полианалитической функции F+(z) содержит также граничные значения производных функции F-(z).

Сформулируем полученный результат.

Теорема 2. Многоэлементная краевая задача (4) с обратным сдвигом Карлемана для полианалитических функций порядка n при выполнении условия (5) и (13) равносильна системе (14), состоящей из внутренней и внешней задач Карлемана для полианалитических функций порядка n. Причем в краевое условие внутренней задачи Карлемана входят граничные значения соответствующих производных F-(z).

П. 3. Пусть теперь a(t) — прямой сдвиг, удовлетворяющий условию Карлемана a[a(t)] = t. Допустим также, что для коэффициентов задачи (4) справедливы следующие соотношения

Ak(t) = 0, (15)

A,k(t) ф 0,

A2,k (t) Ф 0-

(k = 1,2,...,n)

(16)

Можно показать, что коэффициент

ck(t)

bk(t)

ф 0.

Используя условия Карлемана, получим систему (7).

Умножим первые n уравнений системы на ak(t) (k = 1, 2,..., n), последние n уравнений на bk[a(t)]. После несложных преобразований получим

аn-1F+[a(t)]_ Ck(t) аn-1F-(t) | ak(t)fk[a(t)] - bk[a(t)K(t)

(17)

axn-k ayk-1 dk (t) axn-k ayk-1 \2 (t)

Краевое условие (17) представляет собой краевую задачу Газемана для полианалитических функций порядка n [3].

Сформулируем результат.

Теорема 3. Пусть a(t) — прямой сдвиг Карлемана и выполняются условия Ak(t) = 0, A1,k(t) ф 0, A2,k(t) ф 0 (k = 1, 2,., n). В этом случае многоэлементная задача для полианалитических функций равносильна задаче Г аземана для полианалитических функций вида (17).

П. 4. Пусть на контуре L выполняются условия

Vk(t) = bk(t) Ok[a(t)] — a k[a(t)] d k(t) = 0. (k = 1, 2,..., n) (18) Воспользуемся тождеством

Ak(t) Ak[a(t)] — Vk(t) Vk[a(t)] = Au(t) Дц£). (19)

Из соотношений (18), (19) получим, что если

Ak(t) ф 0,

то и

A1,k(t) ф 0, A2,k(t) ф 0.

В этом случае из системы (7) получим

д"-F + (t) cM дn-1F (t) c(0 ak[a(t)]fk (t) - dk(t)fk[aa(t)]

dxn-kdyk-1 ak(t) dxn kdyk- ak(t) Aw(t)

(19)

Заметим, что при выполнении условий

ck(t)

ak(t)

G(t) (k = 1,...,n).

(20)

задачу (19) легко свести к n задачам Римана для аналитических функций, из которых одна является независимой, остальные содержат в свободных коэффициентах краевые значения неизвестных аналитических функций. В этом случае задача (19) и, следовательно, задача (4) разрешимы в квадратурах.

Выводы. В работе рассмотрена многоэлементная задача со сдвигом Карлемана для полианалитической функции произвольного порядка в вырожденных случаях. Задача сведена к системам более простых краевых задач. Установлена ее нетеровость. Основные результаты сформулированы в виде теорем 1—3. В общем виде многоэлементная краевая задача Карлемана может быть исследована с использованием систем сингулярных интегральных уравнений (смотри, например, [5; 8]).

Список литературы:

1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. — М.: Наука, 1988. — 509 с.

2. Володченков А.М., Юденков А.В. Моделирование основных задач плоской теории упругости однородных анизотропных тел краевыми задачами со сдвигом // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2006. — № 3. — С. 482—486.

3. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М: Наука, 1977. — 640 с.

4. Редкозубов С.А., Юденков А.В. Задача Карлемана для полианалитических функций в теории упругости для областей сложной формы // Проблемы механики деформируемых тел и горных пород. Сб. статей под ред. академика РАН А.Ю. Ишлинского. — М.: Из-во МГГУ, 2001. — С. 263—270.

5. Римская Л.П. Системы сингулярных интегральных уравнений со сдвигом Карлемана в теории склеивания упругих поверхностей // Вестник Брянского государственного университета. — 2014. — № 4. — С. 31—34.

6. Юденков А.В., Володченков А.М. Основные задачи теории упругости тел с прямолинейной анизотропией в стохастической теории потенциала // Ученые записки. Электронный научный журнал Курского государственного университета. — 2013. — № 2 (26). — С. 14—17.

7. Юденков А.В., Володченков А.М. Стохастическая задача Гильберта для n-аналитических функций в статической теории упругости изотропного тела // Вестник Брянского государственного университета. — 2014. — № 4. — С. 43—45.

8. Юденков А.В., Римская Л.П. Метод регуляризации систем сингулярных

интегральных уравнений для бианалитических функций // Universum: Технические науки: электрон. научн. журн. — 2015. — № 6 (18) / [Электронный ресурс]. — Режим доступа: URL:

http://7universum.com/ru/tech/archive/item/2246 (дата обращения: 09.07.2015).