CC BY
36
УДК 539.37
СТОХАСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ n-АНАЛИТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
В СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА
А.В. Юденков, А.М. Володченков
В работе рассматривается стохастический вариант краевой задачи Гильберта для полианалитических функций. Доказывается нетеровость задачи. Дается алгоритм решения для областей достаточно общего вида.
Ключевые слова. Краевая задача, характеристический оператор, аналитическая функция.
Рассмотрим решение стохастической задачи Гильберта для полианалитических
функций порядка n > 2. Напомним, что классическая задача Гильберта для полианалитических функций порядка n формулируется следующим образом [1]. Определить полианалитическую функцию порядка n.
n _
F (z) = U ( x, y) + iV ( x, y) = X ?РФР ( z )
p-1
в области D по граничному условию
dn-iU dn-iV (s)-m + bk (s)-—j—r = ck (t) (k = 1,2,..., n)
k dx y -1 k dxn~k dyk-U (1)
Здесь ak (s) , bk (s) , ck (s) - заданные на L действительные функции длины дуги, удовлетворяющие условию Гельдера вместе со своими производными до порядка (2n - k - 2) включительно, причем a2(s) + b2(s) Ф 0. Также полагают, что выполняется условие
akks) + bk) = 1.
Граничные условия (1) можно переписать в следующем виде
n—1
Re
(ak (s) — ibk (s)) 9 FV
k w kV JJdxn-kdy -1
= cu(t) (k = n) (2)
Несложно видеть, что первая граничная задача плоской теории упругости, является частным случаем краевой задачи (1) [2].
Теперь расширим класс функций, для которых рассматривается краевая задача Гильберта таким образом, чтобы граничные условия выполнялись почти наверное. Дадим определение Х-полианалитической функции порядка п. Определение. Функция
2) = и (х, у) + г ¥( х, у) = ф0 (2) + 2ф ( 2) +... + 2пфп (2) в области Б называется Х-полианалитической порядка п, если для всех 2 Е Е и всех открытых множеств для которых ^ Е Е Х-аналитические компоненты ф0 (2 ),..., фп (2) представимы в следующем виде
фк (2) = ик (х, у) + V (х, у) = М(ик (Х^ )) + гЫ(Ук (Х%, У^ )),(к = 0,..., п) (3)
Здесь М(Г) - математическое ожидание случайной функции, Т№ - момент первого выхода двумерного броуновского процесса из множества
Функции ик и Ук связаны между собой соотношениями Коши-Римана. Можно показать, что справедливо утверждение [3].
Теорема 1. Пусть F - Х-полианалитическая функция порядка n, тогда
A" F = 0,
M (f ( ^)) - f ( z)
где AJ (z) = lim М(т ) - характеристический оператор процесса.
Обратно, если F С C2" (D) и A"F = 0 , то F - Х-полианалитическая функция порядка n.
Сформулируем стохастическую задачу Гильберта для полианалитических функций порядка n.
Определить неизвестную Х-полианалитическую функцию порядка в области D комплексного переменного z = X — iy, ограниченной контуром L, по n граничным условиям
дп~1и dn~lv
ak (Std ) x—k —1 + bk (Std ) x—k —1 = Ck (std )seL (4)
Здесь ak , bk , Ck - заданные на контуре L действительные функции такие что ak ,
bk е Н(2п к 1)(D), Ck е Н(п 1)(D), a2 + b2K = 1 (условие нормировки). Краевые условия (4) можно переписать в следующем виде
Re L-ibk )k±C:_k § (-1)ßCß § p- Sp-a-ß- (фр (STd ))(n—1) } =
[ t0 ß=0 p=^ß (p-a-ß)\ P D J (5)
= Ck ( STo )
Пусть конформно отображающая функция с(^) области D является полиномом.
Подставим в уравнение (5) а = с(s), преобразуем условие на контуре L в краевое
условие на единичной окружности Г, при этом
- 1 а = — а
Введем n новых аналитических функций
n—k k-1 n-1 — I „ i
n—k k-1 n—1 „I _ n 1 \
OkССЛ)) = §c:_k§(— 1)ßCß У p• ,ср-аЛ 1-\фр(z))
n—a—ß—1) )z=c(4)
(6)
«=0 /3=0 р=а+р (Р — « — /3)!
Относительно новых функций краевое условие (5) может быть записано в виде
Яе [(ак — 1Ък )Фк (аТв )} = с (а(аТв )) (7)
Краевые условия (7) представляют собой п стохастических краевых задач Гильберта для Х-аналитических функций.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Стохастическая задача Гильберта для полианалитических функций в областях конформно отображающихся на круг полиномами, сводится к системе из п стохастических задач Гильберта для аналитических функций.
Можно показать, что число решений однородной задачи Гильберта для полианалитических функций I и число условий разрешимости для неоднородной задачи V полностью определяются индексами краевых коэффициентов, причем
п
l—v=Х ш (^—ъ ),
к=1
то есть задача (3) является нетеровой.
The stochastic variant of the Gilbert's boundary value problem for the polyanalytic function. The neterovity of the problem is proved. The solution algorithm for the universals of the rather common view is given.
Key words: Boundary value problem, characteristic operator, analytic function.
Список литературы
1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М: Наука, 1977. 640 с.
2. Володченков А.М., Юденков А.В. Моделирование процесса упруго-пластической деформации с использованием статической функции напряжения. Ученые записки. Электронный научный журнал Курского государственного университета. 2013.№ 4 (28). [Сайт]. URL: http://scientific-notes.ru/pdf/033-002.pdf
3. Юденков А.В., Романков А.В. Стохастическая задача гильберта для бианалитических функций в изотропной теории упругости. Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). 2012. № 6. С. 160-164.
Об авторах
Юденков А.В. - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой информационных технологий и высшей математики, ФГБОУ ВПО «Смоленская ГСХА»
Володченков А.М. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры естественно-научных и гуманитарных дисциплин, Смоленский филиал ФГБОУ ВПО «РЭУ им. Г.В. Плеханова», [email protected]
